遼寧省部分重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期開學(xué)考試模擬測試卷B（集合、命題、不等式、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、三角函數(shù)）（解析版）

PAGE1絕密★啟用并使用完畢前測試時(shí)間：年月日時(shí)分——時(shí)分遼寧省部分重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體2023-2024學(xué)年第一學(xué)期高三開學(xué)測試卷B本試卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷兩部分，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘一、選擇題：本題共小題，每小題分，共分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)集合，集合，定義，則中元素的個(gè)數(shù)是（）。A、B、C、D、【答案】A【解析】∵，，∴，則，共個(gè)元素，故選A。2．函數(shù)（）的圖像大致可以為（）。A、B、C、D、【答案】B【解析】易得為奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，故排除A，C，，顯然存在，使得當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，即在上先增后減，排除D，故選B。3．圓周率是指圓的周長與圓的直徑的比值，我國南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)家祖沖之用“割圓術(shù)”將圓周率算到了小數(shù)點(diǎn)后面第七位，“割圓術(shù)”是用圓的內(nèi)接正多邊形的周長來近似替代圓的周長，圓的內(nèi)接正多邊形邊數(shù)越多誤差越小。利用“割圓術(shù)”求圓周率，當(dāng)圓的內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)為時(shí)，圓周率的近似值可表示為（）。A、B、C、D、【答案】A【解析】設(shè)圓的半徑為，正多邊形的圓心角為，邊長為，∴，即，故選A。4．已知函數(shù)（）的導(dǎo)函數(shù)為，若使得成立的，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）。A、B、C、D、【答案】D【解析】，，，，∴，又∵，∴可得，即，∴，故選D。5．已知函數(shù)，若對于恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）。A、B、C、D、【答案】D【解析】設(shè)，則，則，則的值域?yàn)?，即的值域?yàn)?，由對于一切恒成立可得：，即，即?shí)數(shù)的取值范圍為，故選D。6．已知不等式成立，則的最小值是（）。A、B、C、D、【答案】B【解析】∵，∴，即，又當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，令，∵在上單調(diào)遞增，，∴，即，故選B。7．已知函數(shù)在上恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）。A、B、C、D、【答案】D【解析】，根據(jù)題意可知在內(nèi)有個(gè)變號零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，顯然不合題意，當(dāng)時(shí)，方程等價(jià)于，令，則，令，∵，解得，可得在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又∵，，，要使直線與的圖像有個(gè)不同的交點(diǎn)，需要滿足，解得，故選D。8．已知、、，則、、的大小關(guān)系為（）。A、B、C、D、【答案】C【解析】、、，構(gòu)造函數(shù)，定義域?yàn)?，，，?dāng)時(shí)，，∴在內(nèi)單調(diào)遞減，∴，∴在內(nèi)單調(diào)遞增，∴，即，∴，構(gòu)造函數(shù)，定義域?yàn)椋?，∴在上單調(diào)遞減，∴，即，∴，∴，故選C?！军c(diǎn)睛】本題使用構(gòu)造函數(shù)并利用函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)值大小關(guān)系，在構(gòu)造函數(shù)時(shí)首先把要比較的值變形為含有一個(gè)共同的數(shù)值，將這個(gè)數(shù)值換成變量就有了函數(shù)的形式，如在本題中、，將化為的目的就是出現(xiàn)，以便與中的一致，從而只需比較與這兩個(gè)函數(shù)大小關(guān)系即可。在構(gòu)造函數(shù)后比較大小還可以借助于函數(shù)不等式、切線不等式放縮等手段比大小。二、選擇題：本題共小題，每小題分，共分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得分，有選錯(cuò)的得分，部分選對的得分。9．設(shè)，，則下列不等式中，成立的是（）。A、B、C、D、【答案】ABD【解析】A選項(xiàng)，，對，B選項(xiàng)，∵，，∴，對，C選項(xiàng)，由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得，錯(cuò)，D選項(xiàng)，∵、，，∴，對，故選ABD。10．下列函數(shù)中，以為最小正周期，且在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（）。A、B、C、D、【答案】BD【解析】A選項(xiàng)，函數(shù)的最小正周期為，錯(cuò)，B選項(xiàng)，函數(shù)的最小正周期為，當(dāng)時(shí)，，∵在上單調(diào)遞增，∴在上單調(diào)遞增，對，C選項(xiàng)，函數(shù)最小正周期為，當(dāng)時(shí)，，∵在上單調(diào)道減，∴在上單調(diào)遞減，錯(cuò)，D選項(xiàng)，作出函數(shù)的大致圖像如圖所示，函數(shù)的最小正周期為，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，對，故選BD。11．已知定義在上的函數(shù)圖像連續(xù)，滿足，且時(shí)，恒成立，則不等式中的可以是（）。A、B、C、D、【答案】ABC【解析】由整理得，設(shè)，則有，∴為偶函數(shù)，∵時(shí)，恒成立，∴時(shí)，恒成立，∴在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，又不等式等價(jià)于，即，根據(jù)的單調(diào)性和奇偶性可知，解得，故選ABC。12．已知函數(shù)，則以下結(jié)論正確的是（）。A、函數(shù)為增函數(shù)B、、，C、若在上恒成立，則自然數(shù)的最小值為D、若關(guān)于的方程（）有三個(gè)不同的實(shí)根，則【答案】BCD【解析】設(shè)時(shí)，則，∴，又，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，則，∴，又，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，則，∴，又，∴當(dāng)時(shí)，，推測時(shí)，，作出的圖像，由圖像可知不是增函數(shù)，A選項(xiàng)錯(cuò)，由圖像可知，，∴、，，B選項(xiàng)對，在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)和函數(shù)的圖像，如圖所示，∴當(dāng)時(shí)，恒成立，∴的最小值為，C選項(xiàng)對，令，則，則方程（）等價(jià)于（），即，∴（可?。┗颍ㄉ崛ィ谕蛔鴺?biāo)系中作出函數(shù)，函數(shù)和函數(shù)的圖像，由圖像可知，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，關(guān)于的方程（）有三個(gè)不同的實(shí)根，D選項(xiàng)對，故選BCD。三、填空題：本題共小題，每小題分，共分。13．已知，則?！敬鸢浮炕颉窘馕觥吭睫D(zhuǎn)化為，則，∴，則或，當(dāng)時(shí)，∴，當(dāng)時(shí)，，填或。14．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，有，則不等式的解集為?！敬鸢浮俊窘馕觥繕?gòu)造函數(shù)，定義域?yàn)?，，則在上單調(diào)遞減，又函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則是定義在上的偶函數(shù)，則在上單調(diào)遞增，做草圖，則的解集為，又由函數(shù)性質(zhì)可知當(dāng)時(shí)與的解集相同，即。15．已知函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是?！敬鸢浮俊窘馕觥孔鞒雠c的圖像，①當(dāng)時(shí)，與的圖像有唯一一個(gè)交點(diǎn)，不符合題意，②當(dāng)時(shí)，與的圖像有唯一一個(gè)交點(diǎn)，不符合題意，③當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)為的切線時(shí)，即有唯一一個(gè)解，則中，即，即時(shí)，與的圖像有唯一一個(gè)交點(diǎn)，由圖像可知，當(dāng)時(shí)，與的圖像有三個(gè)交點(diǎn)，∴。模板：函數(shù)的零點(diǎn)：①解方程的根；②做函數(shù)的圖像與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；③做函數(shù)與的圖像的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。16．定義在上的函數(shù)滿足：、，若，則，。（本小題第一個(gè)空2分，第二個(gè)空3分）【答案】【解析】由可得：，即，即，∴，∴，∴，∴函數(shù)的一個(gè)周期為，∵，∴，在中，令，則，∴，在中，令，∴，∴，∵，∴，∴函數(shù)的圖像關(guān)于直線軸對稱，∵函數(shù)的一個(gè)周期為，∴，∴，∴，∴函數(shù)的圖像關(guān)于直線軸對稱，∵，∴，，由知，∴，∴，∵的一個(gè)周期為，∴。（1）函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱的充要條件是：即。（2）函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱的充要條件是：即。特殊的：函數(shù)與的圖像關(guān)于直線成軸對稱。互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)關(guān)于直線對稱。（3）若（）是周期函數(shù)，是它的一個(gè)周期。若，則是周期函數(shù)，是它的一個(gè)周期。①若對任何都有，則是以為周期的函數(shù)；②若對任何都有（），則是以為周期的函數(shù)；③若函數(shù)有兩條對稱軸，，則是以為周期的函數(shù)，若偶函數(shù)的圖像關(guān)于直線（）對稱，則是以為周期的函數(shù)；④若函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)和點(diǎn)（）對稱，則是以為周期的函數(shù)，若奇函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)（）對稱，則是以為周期的函數(shù)；⑤函數(shù)的圖像關(guān)于直線和點(diǎn)（）對稱，則是以為周期的函數(shù)，若奇函數(shù)的圖像關(guān)于直線（）對稱，則是以為周期的函數(shù)；⑥若函數(shù)滿足（），則是以為周期的函數(shù)；⑦若奇函數(shù)滿足（），則。四、解答題：本題共小題，共分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（本小題滿分分）已知函數(shù)（）。（1）若為的一個(gè)極值點(diǎn)，求在上的最小值和最大值；（2）若在上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍。【解析】（1）的定義域?yàn)?，?分由題意可知，則，解得，2分∴，令，即，解得或，4分極小值∴在上的最小值是，最大值是；6分（2）由題意得：在區(qū)間上恒成立，∴，7分又當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)，其最小值為，∴，9分即實(shí)數(shù)的取值范圍為。10分18．（本小題滿分分）已知函數(shù)（，，）。在用五點(diǎn)法作出函數(shù)在某一個(gè)周期的圖像時(shí)，列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù)，如表所示：（1）求函數(shù)的解析式，并直接寫出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）已知函數(shù)滿足，若當(dāng)函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎr(shí)，其值域?yàn)椋蟮淖畲笾蹬c最小值。【解析】（1）依題意，解得，又，∴，2分令，，解得，，∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，；4分（2）∵，∴，5分令，則，，解得，，6分令，則或，，解得或，，9分∵當(dāng)函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎr(shí)，其值域?yàn)?，令，則，此時(shí)，，此時(shí)。12分19．（本小題滿分分）函數(shù)的最小值為，，（1）求；（2）若，求實(shí)數(shù)及此時(shí)的最大值。【解析】（1）∵，若，即，則當(dāng)時(shí)，有最小值，若，即，則當(dāng)時(shí)，有最小值，若，即，則當(dāng)時(shí)，有最小值，∴；6分（2）若，由所求的解析式知只能是或，由解得或（舍），由解得（舍），此時(shí)，得，∴，∴有，此時(shí)的最大值為。12分20．（本小題滿分分）已知函數(shù)，。（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，求函數(shù)在上的最大值和最小值?！窘馕觥浚?）的定義域?yàn)椋?分令，得或，當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增，2分當(dāng)時(shí)，在區(qū)間和上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，3分當(dāng)時(shí)，在區(qū)間和上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減；4分（2）由（1）得，或?yàn)楹瘮?shù)的兩個(gè)極點(diǎn)，，，，5分∵，∴，6分，7分∴，∴不是最值，舍去，8分，∴，為最大值，9分，10分當(dāng)時(shí)，為最小值，當(dāng)時(shí)，為最小值，11分∴最大值為，當(dāng)時(shí)，最小值為，當(dāng)時(shí)，最小值為。12分21．（本小題滿分分）已知實(shí)數(shù)（）。（1）若時(shí)，有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若恒成立，求的最大值?！窘馕觥浚?）∵的定義域?yàn)椋?，∴，若時(shí)，有解，只需，1分設(shè)，定義域?yàn)?，，令，解得?分當(dāng)時(shí)，∴在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，∴在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，∴在處取得極大值也是最大值，，4分∴，∴；5分（2）∵的定義域?yàn)椋?分若，即時(shí)，恒成立，∴在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，又時(shí)，與題意不符合，舍去，7分若，即時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，∴在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，∴在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，∴在處取得極小值也是最小值，∴，9分∴，∴，設(shè)，定義域?yàn)椋?0分∴，令，解得，又，∴在內(nèi)單調(diào)遞增，∴在內(nèi)單調(diào)遞減，∴在