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文檔簡介
第第頁人教版高中數(shù)學選擇性必修第二冊綜合測試題A(含解析)人教版高中數(shù)學選擇性必修第二冊綜合測試題A(原卷版)
[時間:120分鐘滿分:150分]
一、單項選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)
1.數(shù)列1,3,5,7,…,(2n-1)+,…的前n項和Sn=()
A.n2+1-B.2n2-n+1-
C.n2+1-D.n2-n+1-
2.過曲線S:y=3x-x3上一點A(2,-2)的切線方程為()
A.9x-y-16=0或y=-2
B.9x+y-16=0
C.9x+y-16=0或y=-2
D.9x-y-16=0
3.已知等差數(shù)列的公差為2,若a1,a3,a4成等比數(shù)列,Sn是的前n項和,則S9=()
A.-8B.-6
C.10D.0
4.若函數(shù)f(x)=x(x-a)2在x=2處取得極小值,則a=()
A.2或6B.3或4
C.3D.2
5.已知數(shù)列滿足a1=2,an+1-an=2n+n(n∈N*),則a10=()
A.557B.567
C.1069D.1079
6.函數(shù)f(x)=ax2-xlnx在上單調遞增,則實數(shù)a的取值范圍是()
A.B.
C.[1,+∞)D.(1,+∞)
7.在數(shù)列中,若a1+a2+…+an=2n-1,則a12+a22+…+an2=()
A.(2n-1)2B.(4n-1)
C.(2n-1)D.4n-1
8.已知函數(shù)f(x)=x3-f′(1)x2+8x,若對任意x∈,均有m-≥f(x)恒成立,則實數(shù)m的取值范圍是()
A.B.
C.D.
二、多項選擇題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的四個選項中,有多項是符合題目要求的,全部選對的得5分,部分選對的得3分,有選錯的得0分)
9.用數(shù)學歸納法證明>對任意n≥k都成立,則以下滿足條件的k的值為()
A.1B.2
C.3D.4
10.已知函數(shù)f(x)=x3-3x,下面正確的是()
A.在x=2處的切線斜率為9
B.單調遞增區(qū)間為(-∞,-1)∪(1,+∞)
C.f(x)的極大值為2,極小值為-2
D.f(x)無最大值
11.設數(shù)列是等差數(shù)列,Sn是其前n項和,a1>0且S6=S9,則()
A.d>0B.a(chǎn)8=0
C.S7或S8為Sn的最大值D.S5x1時,不等式-Sk+1且Sk+10,解得:-11或x0,解得:x1,
故g(x)在上單調遞增,在(1,+∞)上單調遞減,
故g(x)max=g(1)=,故a≥,則a的取值范圍是,故選A.
7.在數(shù)列中,若a1+a2+…+an=2n-1,則a12+a22+…+an2=()
A.(2n-1)2B.(4n-1)
C.(2n-1)D.4n-1
答案B
解析由a1+a2+…+an=2n-1,得a1+a2+…+an-1=2n-1-1(n>1),
則an=2n-1,n=1也成立.
所以an2=4n-1,
所以{an2}是以1為首項,4為公比的等比數(shù)列,
所以a12+a22+…+an2==(4n-1).
故選B.
8.已知函數(shù)f(x)=x3-f′(1)x2+8x,若對任意x∈,均有m-≥f(x)恒成立,則實數(shù)m的取值范圍是()
A.B.
C.D.
答案A
解析∵f(x)=x3-f′(1)x2+8x,
∴f′(x)=x2-2f′(1)x+8,
∴f′(1)=1-2f′(1)+8,解得f′(1)=3,
∴f(x)=x3-3x2+8x,
∵對任意x∈,均有m-≥f(x)恒成立,
即對任意x∈,均有m≥x3-3x2+8x+恒成立,
令g(x)=x3-3x2+8x+,x∈,
則g′(x)=x2-6x+8,
令g′(x)=x2-6x+8=0,解得x=2或x=4,
易得g(x)在(0,2)上單調遞增,在(2,4)上單調遞減,
故x=2時,g(x)max=g(2)=7,
故實數(shù)m的取值范圍是[7,+∞),故選A.
二、多項選擇題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的四個選項中,有多項是符合題目要求的,全部選對的得5分,部分選對的得3分,有選錯的得0分)
9.用數(shù)學歸納法證明>對任意n≥k都成立,則以下滿足條件的k的值為()
A.1B.2
C.3D.4
答案CD
解析當n=1時,=,=,則,
當n=4時,=,=,則>,
故選CD.
10.已知函數(shù)f(x)=x3-3x,下面正確的是()
A.在x=2處的切線斜率為9
B.單調遞增區(qū)間為(-∞,-1)∪(1,+∞)
C.f(x)的極大值為2,極小值為-2
D.f(x)無最大值
答案ACD
解析函數(shù)f(x)=x3-3x,得到f′(x)=3x2-3,
所以當x=2時,切線斜率為f′(2)=9,故A正確;
由f′(x)>0得到x>1或x0且S6=S9,則()
A.d>0B.a(chǎn)8=0
C.S7或S8為Sn的最大值D.S50,所以a8=a1+7d=0d=-a10,a8=0,
所以等差數(shù)列的前7項為正數(shù),第8項為0,從第9項開始為負數(shù),
因此等差數(shù)列的S7或S8為Sn的最大值,C正確;
由S8-S5=a6+a7+a8=3a7>0得,S5x1時,不等式-x1時,x1f(x1)0;
當x∈(-1,3)時,f′(x)0,得an+1-an=1,
令n=1,a12+a1-2a1=0,又a1>0,所以a1=1,
所以數(shù)列是首項為1,公差為1的等差數(shù)列,
即an=1+(n-1)×1=n,n∈N*.
(2)由(1)可得bn=(2n-7)·2n,
Tn=(-5)×21+(-3)×22+(-1)×23+…+(2n-7)×2n,
2Tn=(-5)×22+(-3)×23+…+(2n-9)×2n+(2n-7)×2n+1,
兩式相減得-Tn=(-5)×2+23+24+…+2n+1-(2n-7)·2n+1,
化簡得Tn=(2n-9)·2n+1+18.
(3)Tn+1-Tn=(2n-7)·2n+2+18-(2n-9)·2n+1-18=(2n-5)·2n+1,
當n≤2時,Tn+1Tn,
即T1>T2>T3Sk+1且Sk+1Sk+1,
即Sk>Sk+ak+1,
從而ak+10.
若選①,
由b1+b3=a2,
得a2=-1-9=-10,
所以an=3n-16,
則k=4時滿足a50成立;
若選②,
由a4=b4=27且a5=-1,
所以數(shù)列{an}為遞減數(shù)列,
故不存在ak+10;
若選③,
由S5=-25==5a3,
解得a3=-5,從而an=2n-11,
所以當k=4時,能使a50成立.
22.(12分)已知函數(shù)f(x)=lnx-ax+a,g(x)=xex-2x.
(1)若x=3是函數(shù)f(x)的極值點,求曲線y=f(x)在點處的切線方程;
(2)求函數(shù)y=f(x)的單調區(qū)間;
(3)已知a=1,當x∈時,試比較f(x)與g(x)的大小,并給予證明.
解析(1)由題意得:f′(x)=-a,
∵x=3是f(x)的極值點,∴f′=-a=0,解得:a=,∴f(x)=lnx-x+,
∴f′(1)=1-=,又f(1)=0,
∴所求切線方程為y-0=,即2x-3y-2=0.
(2)由題意得:f(x)定義域為,f′(x)=-a=(x>0),
當a≤0時,f′(x)>0恒成立,
∴f(x)的單調遞增區(qū)間為,無單調遞減區(qū)間;
當a>0時,令f′(x)=0,解得:x=,
∴當x∈時,f′(x)>0;當x∈時,f′(x)0時,f(x)的單調遞增區(qū)間為,單調遞減區(qū)間為.
(3)f(x)≤g(x)證明如下:
令F(x)=g(x)-f(x)=xex-lnx-x-1,
則F′(x)=xex+ex--1=,
令h(x)=xex-1,則h′(x)=
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