人教版高中數(shù)學選擇性必修第二冊綜合測試題A(含解析)

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[時間：120分鐘滿分：150分]

一、單項選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)

1．數(shù)列1，3，5，7，…，(2n－1)＋，…的前n項和Sn＝()

A．n2＋1－B．2n2－n＋1－

C．n2＋1－D．n2－n＋1－

2．過曲線S：y＝3x－x3上一點A(2，－2)的切線方程為()

A．9x－y－16＝0或y＝－2

B．9x＋y－16＝0

C．9x＋y－16＝0或y＝－2

D．9x－y－16＝0

3．已知等差數(shù)列的公差為2，若a1，a3，a4成等比數(shù)列，Sn是的前n項和，則S9＝()

A．－8B．－6

C．10D．0

4．若函數(shù)f(x)＝x(x－a)2在x＝2處取得極小值，則a＝()

A．2或6B．3或4

C．3D．2

5．已知數(shù)列滿足a1＝2，an＋1－an＝2n＋n(n∈N*)，則a10＝()

A．557B．567

C．1069D．1079

6．函數(shù)f(x)＝ax2－xlnx在上單調遞增，則實數(shù)a的取值范圍是()

A.B.

C．[1，＋∞)D．(1，＋∞)

7．在數(shù)列中，若a1＋a2＋…＋an＝2n－1，則a12＋a22＋…＋an2＝()

A．(2n－1)2B.(4n－1)

C.(2n－1)D．4n－1

8．已知函數(shù)f(x)＝x3－f′(1)x2＋8x，若對任意x∈，均有m－≥f(x)恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是()

A.B.

C.D.

二、多項選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求的，全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分)

9．用數(shù)學歸納法證明>對任意n≥k都成立，則以下滿足條件的k的值為()

A．1B．2

C．3D．4

10．已知函數(shù)f(x)＝x3－3x，下面正確的是()

A．在x＝2處的切線斜率為9

B．單調遞增區(qū)間為(－∞，－1)∪(1，＋∞)

C．f(x)的極大值為2，極小值為－2

D．f(x)無最大值

11．設數(shù)列是等差數(shù)列，Sn是其前n項和，a1>0且S6＝S9，則()

A．d>0B．a(chǎn)8＝0

C．S7或S8為Sn的最大值D．S5x1時，不等式－Sk＋1且Sk＋10，解得：－11或x0，解得：x1，

故g(x)在上單調遞增，在(1，＋∞)上單調遞減，

故g(x)max＝g(1)＝，故a≥，則a的取值范圍是，故選A.

7．在數(shù)列中，若a1＋a2＋…＋an＝2n－1，則a12＋a22＋…＋an2＝()

A．(2n－1)2B.(4n－1)

C.(2n－1)D．4n－1

答案B

解析由a1＋a2＋…＋an＝2n－1，得a1＋a2＋…＋an－1＝2n－1－1(n>1)，

則an＝2n－1，n＝1也成立．

所以an2＝4n－1，

所以{an2}是以1為首項，4為公比的等比數(shù)列，

所以a12＋a22＋…＋an2＝＝(4n－1)．

故選B.

8．已知函數(shù)f(x)＝x3－f′(1)x2＋8x，若對任意x∈，均有m－≥f(x)恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是()

A.B.

C.D.

答案A

解析∵f(x)＝x3－f′(1)x2＋8x，

∴f′(x)＝x2－2f′(1)x＋8，

∴f′(1)＝1－2f′(1)＋8，解得f′(1)＝3，

∴f(x)＝x3－3x2＋8x，

∵對任意x∈，均有m－≥f(x)恒成立，

即對任意x∈，均有m≥x3－3x2＋8x＋恒成立，

令g(x)＝x3－3x2＋8x＋，x∈，

則g′(x)＝x2－6x＋8，

令g′(x)＝x2－6x＋8＝0，解得x＝2或x＝4，

易得g(x)在(0，2)上單調遞增，在(2，4)上單調遞減，

故x＝2時，g(x)max＝g(2)＝7，

故實數(shù)m的取值范圍是[7，＋∞)，故選A.

二、多項選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求的，全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分)

9．用數(shù)學歸納法證明>對任意n≥k都成立，則以下滿足條件的k的值為()

A．1B．2

C．3D．4

答案CD

解析當n＝1時，＝，＝，則，

當n＝4時，＝，＝，則>，

故選CD.

10．已知函數(shù)f(x)＝x3－3x，下面正確的是()

A．在x＝2處的切線斜率為9

B．單調遞增區(qū)間為(－∞，－1)∪(1，＋∞)

C．f(x)的極大值為2，極小值為－2

D．f(x)無最大值

答案ACD

解析函數(shù)f(x)＝x3－3x，得到f′(x)＝3x2－3，

所以當x＝2時，切線斜率為f′(2)＝9，故A正確；

由f′(x)>0得到x>1或x0且S6＝S9，則()

A．d>0B．a(chǎn)8＝0

C．S7或S8為Sn的最大值D．S50，所以a8＝a1＋7d＝0d＝－a10，a8＝0，

所以等差數(shù)列的前7項為正數(shù)，第8項為0，從第9項開始為負數(shù)，

因此等差數(shù)列的S7或S8為Sn的最大值，C正確；

由S8－S5＝a6＋a7＋a8＝3a7>0得，S5x1時，不等式－x1時，x1f(x1)0；

當x∈(－1，3)時，f′(x)0，得an＋1－an＝1，

令n＝1，a12＋a1－2a1＝0，又a1>0，所以a1＝1，

所以數(shù)列是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，

即an＝1＋(n－1)×1＝n，n∈N*.

(2)由(1)可得bn＝(2n－7)·2n，

Tn＝(－5)×21＋(－3)×22＋(－1)×23＋…＋(2n－7)×2n，

2Tn＝(－5)×22＋(－3)×23＋…＋(2n－9)×2n＋(2n－7)×2n＋1，

兩式相減得－Tn＝(－5)×2＋23＋24＋…＋2n＋1－(2n－7)·2n＋1，

化簡得Tn＝(2n－9)·2n＋1＋18.

(3)Tn＋1－Tn＝(2n－7)·2n＋2＋18－(2n－9)·2n＋1－18＝(2n－5)·2n＋1，

當n≤2時，Tn＋1Tn，

即T1>T2>T3Sk＋1且Sk＋1Sk＋1，

即Sk>Sk＋ak＋1，

從而ak＋10.

若選①，

由b1＋b3＝a2，

得a2＝－1－9＝－10，

所以an＝3n－16，

則k＝4時滿足a50成立；

若選②，

由a4＝b4＝27且a5＝－1，

所以數(shù)列{an}為遞減數(shù)列，

故不存在ak＋10；

若選③，

由S5＝－25＝＝5a3，

解得a3＝－5，從而an＝2n－11，

所以當k＝4時，能使a50成立．

22．(12分)已知函數(shù)f(x)＝lnx－ax＋a，g(x)＝xex－2x.

(1)若x＝3是函數(shù)f(x)的極值點，求曲線y＝f(x)在點處的切線方程；

(2)求函數(shù)y＝f(x)的單調區(qū)間；

(3)已知a＝1，當x∈時，試比較f(x)與g(x)的大小，并給予證明．

解析(1)由題意得：f′(x)＝－a，

∵x＝3是f(x)的極值點，∴f′＝－a＝0，解得：a＝，∴f(x)＝lnx－x＋，

∴f′(1)＝1－＝，又f(1)＝0，

∴所求切線方程為y－0＝，即2x－3y－2＝0.

(2)由題意得：f(x)定義域為，f′(x)＝－a＝(x>0)，

當a≤0時，f′(x)>0恒成立，

∴f(x)的單調遞增區(qū)間為，無單調遞減區(qū)間；

當a>0時，令f′(x)＝0，解得：x＝，

∴當x∈時，f′(x)>0；當x∈時，f′(x)0時，f(x)的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為.

(3)f(x)≤g(x)證明如下：

令F(x)＝g(x)－f(x)＝xex－lnx－x－1，

則F′(x)＝xex＋ex－－1＝，

令h(x)＝xex－1，則h′(x)＝