2017-2018學(xué)年度高一數(shù)學(xué)期末考試試題

2017-2018學(xué)年度高一數(shù)學(xué)期末考試試題1.已知向量a=(2,tanθ)，b=(1,-1)，且||a+b||，則tan(θ+π/4)等于多少？2.設(shè)f(x)=2e^x-1(x<2)，f(x)=log3(x-1)(x≥2)，則f[f(2)]等于多少？3.已知f(x)=ax，g(x)=loga(x)(a>0且a≠1)，若f(3)g(3)<0，則f(x)與g(x)在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象可能是什么？4.函數(shù)f(x)=-x+2的零點所在的一個區(qū)間是什么？5.要得到函數(shù)y=sin(3x+π/2)的圖象，只需要將函數(shù)y=sin3x的圖象向右平移多少個單位？6.已知向量a=(2,tanθ)，b=(1,-1)，且||a+b||，則tan(θ+π/4)等于多少？7.4sin15°cos75°-2等于多少？8.在?ABCD中，點E滿足AB/BE=BC/CE，若AB=m+n,AE=2-√3,BE=3,CE=2√3,CD=2，則m-n等于多少？9.已知函數(shù)y=sin(ωx+φ)(ω>0，0≤φ<π)，則函數(shù)y=sin(5ωx+2φ)的圖象相對于y=sin(ωx+φ)的圖象向左平移多少個單位？10.設(shè)向量a=(m+2,-2-√3),b=(-2,-2),c=(-2,0)，且A、B、D三點共線，則實數(shù)m的值為多少？11.設(shè)奇函數(shù)f(x)在(0,+∞)上為增函數(shù)，且f(2)=1/2，則不等式f(x)-f(-x)<0的解集為什么？12.將函數(shù)f(x)=sin(2x)的圖象向右平移φ(0<φ<π/2)個單位后得到函數(shù)g(x)的圖象，若函數(shù)g(x)在區(qū)間[0,π/2]上單調(diào)遞增，則φ等于多少？A.上單調(diào)遞增，則φ的取值范圍是（）B.已知向量$\vec{a}=(\cos\alpha,\sin\alpha)$（$0\leq\alpha<2\pi$），$\vec=(-1,k)$，且與$\vec{a}$不共線。（1）證明：向量$\vec{a}+\vec$與$\vec$垂直；（2）當(dāng)兩個向量$\vec{a}+\vec$與$\vec$的模相等時，求角$\alpha$。C.D.19.（本小題滿分12分）已知冪函數(shù)$f(x)=kx^\alpha$（$k>0$，$\alpha>0$），$f(2)=8$，$f(3)=27$。（1）求$k$和$\alpha$的值；（2）求$f(6)$的值。20.已知函數(shù)$f(x)=\sinx-\cosx$。（1）求函數(shù)$f(x)$的對稱軸方程及相鄰兩條對稱軸間的距離$d$；（2）設(shè)$\alpha,\beta\in[0,2\pi]$，$f(3\alpha+\pi)=\frac{1}{2}$，$f(3\beta+2\pi)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$，求$\cos(\alpha+\beta)$的值。21.已知函數(shù)$f(x)=\frac{ax^2+4}{x}$。（1）求$a$的值，使得$f(x)$在$x=1$處連續(xù)；（2）判斷函數(shù)$f(x)$的奇偶性，并加以證明；（3）判斷函數(shù)$f(x)$在$[3,+\infty)$上的單調(diào)性，并加以證明。22.已知函數(shù)$f(x)=k\sin(2x+\varphi)$，且函數(shù)$f(x)$的圖象過點$(\pi,1)$。（1）當(dāng)$x\in[0,\frac{\pi}{4}]$時，求函數(shù)$f(x)$的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若$x\in[-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}]$，求函數(shù)$g(x)=f^2(x)-f(x+\frac{\pi}{2})-1$的值域。23.已知函數(shù)$f(x)=\frac{x^2-x-2}{x-3}$。（1）求$f(x)$的零點；（2）求函數(shù)$f(x)$的單調(diào)區(qū)間和值域。第II卷（非選擇題90分）二、填空題（本題共4道小題，每小題5分，共20分）12.已知冪函數(shù)$f(x)=kx^\alpha$（$k>0$，$\alpha>0$）的圖象過點$(2,8)$，$(3,27)$，則$k+\alpha=$________。13.已知$y=f(x)$在定義域$\mathbb{R}$上為減函數(shù)，且$f(1-a)<f(2a-5)$，則$a$的取值范圍是________。14.若函數(shù)$y=f(x)$的定義域是$[1,9]$，則函數(shù)$y=f(3x)$的定義域為________。15.已知向量$\vec{a}$，$\vec$的夾角為$60^\circ$，$||\vec{a}||=2$，在區(qū)間$(1,4)$上任取一個數(shù)為$x$，則$(2-3x)\cdot||\vec{a}+\vec||<0$的概率為________。16.若$\tan20^\circ+m\sin20^\circ=3$，則$m$的值為________。三、解答題（本題共6道小題，共70分）17.（本小題滿分12分）設(shè)集合$A=\{x|-1\leqx<3\}$，$B=\{x|2x-4\geqx-2\}$，$C=\{x|x\geqa-1\}$。（1）求$A\capB$；（2）若$B\cupC=C$，求實數(shù)$a$的取值范圍。18.（本小題滿分12分）在$\triangleABC$中，$D$為$BC$邊上一點，$AD$是$\triangleABC$的角平分線，且$AB=AC$。（1）試用$\vec{a}$，$\vec$，$\vec{c}$表示$\vec{AD}$；（2）若$|\vec{AB}+\vec{AC}|=5$，設(shè)$\vec{AB}=\vec{a}$，$\vec{AC}=\vec$，$\vec{AD}=\vec{c}$，$\tan\angleBAC=m$，求$|3-\tan|m$的值。19.（本小題滿分12分）已知函數(shù)$f(x)$滿足$f''(x)>0$，$f(0)=f(1)=0$，$f(2)=2$。（1）求$f(x)$的解析式；（2）求$f(x)$在$[0,1]$上的最大值。20.（本小題滿分12分）已知函數(shù)$f(x)$滿足$f(x+1)=f(x)$，$f(x)$在$[0,1)$上為$x^2$，在$[1,2)$上為$2-x$。（1）求$f(x)$的解析式；（2）求$f(x)$在$[0,5)$上的單調(diào)區(qū)間。21.（本小題滿分13分）已知函數(shù)$f(x)=\frac{x^2-2ax+a^2}{x^2+a^2}$。（1）求$a$的值，使得$f(x)$在$x=0$處連續(xù)；（2）判斷函數(shù)$f(x)$的奇偶性，并加以證明；（3）求函數(shù)$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$上的單調(diào)區(qū)間。22.（本小題滿分19分）已知函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x^2-2x+2}$。（1）求$f(x)$的零點；（2）若$x\in[0,1]$，求$\int_0^1f(x)dx$的值；（3）若$x\in(1,+\infty)$，求$\int_1^{+\infty}f(x)dx$的值。一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分）1.B2.C3.D4.D5.A6.B7.A8.B9.B10.A11.A12.A二、填空題（共4小題，每小題5分，滿分20分）13.214.315.-1：216.4三、解答題（共6小題，滿分70分）17.在△ABC中，D為BC邊上一點，AB=5，AC=8，設(shè)AD=x，BD=5-x，CD=x-3.(1)由向量的共線性得：$\vec{AD}=k\vec{AB}$，則$\vec{BD}=(1-k)\vec{AB}$，又$\vec{CD}=\vec{CB}+\vec{BD}=(\vec{CA}+\vec{AB})+(1-k)\vec{AB}=\vec{CA}+k\vec{AB}$，即$\vec{CD}=\vec{CA}+\vec{AD}$，所以$\vec{AD}$可以表示為$\vec{CD}-\vec{CA}$，即$\vec{AD}=\vec{a}-\vec{c}$，其中$\vec{a}$表示向量$\vec{CA}$，$\vec{c}$表示向量$\vec{CD}$.(2)由余弦定理得：$BC^2=AB^2+AC^2-2\cdotAB\cdotAC\cdot\cos\angleBAC$，代入數(shù)值得：$BC^2=89$，所以$BC=\sqrt{89}$.又由向量的數(shù)量積公式得：$\vec{AB}\cdot\vec{AC}=AB\cdotAC\cdot\cos\angleBAC$，代入數(shù)值得：$\vec{AB}\cdot\vec{AC}=40$，所以$\cos\angleBAC=\frac{40}{5\cdot8}=1$，即$\angleBAC=0$.由(1)得：$\vec{AD}=\vec{a}-\vec{c}=(8\vec{i}+3\vec{j})-(x\vec{i}+(x-3)\vec{j})=(8-x)\vec{i}+(3+x)\vec{j}$，所以$\vec{AD}\cdot\vec{AB}=(8-x)\cdot5+(3+x)\cdot0=40-5x$，又$\vec{AB}\cdot\vec{AB}=25$，所以$AD=\frac{\vec{AD}\cdot\vec{AB}}{AB}=\frac{40-5x}{5}=8-x$，解得$x=4$，所以$AD=4$，$BD=1$，$CD=1$.又$\vec{AB}\cdot\vec{AC}=40$，所以$\vec{AB}\cdot\vec{AD}=20$，又$\vec{AB}\cdot\vec{AB}=25$，所以$\vec{AD}=\frac{4}{5}\vec{AB}$，又$\vec{BC}=\vec{BA}+\vec{AC}=(-5\vec{i}+3\vec{j})+(8\vec{i}+3\vec{j})=3\vec{i}+6\vec{j}$，所以$\vec{AB}\cdot\vec{BC}=6$，又$\vec{AB}\cdot\vec{AB}=25$，所以$\vec{BC}=\frac{6}{25}\vec{AB}$，所以$\vec{AD}\cdot\vec{BC}=2$，又$\vec{AD}\cdot\vec{AD}=16$，$\vec{BC}\cdot\vec{BC}=45$，所以$|\vec{AD}\times\vec{BC}|=2\sqrt{29}$，所以$|3-|\vec{AD}\times\vec{BC}||=1$.18.已知向量$\vec{a}=(\cos\alpha,\sin\alpha)$（$0\leq\alpha<2\pi$），$\vec=(-1,2)$，$\vec{c}=(x,y)$，且$\vec{a}$與$\vec$不共線.(1)因為$\vec{a}$與$\vec$不共線，所以$\vec{a}\cdot\vec\neq0$，又$\vec{a}+\vec=(\cos\alpha-1,\sin\alpha+2)$，所以$(\vec{a}+\vec)\cdot\vec=-\cos\alpha+2\sin\alpha+2=0$，即$\vec{a}+\vec$與$\vec$垂直.(2)因為$\vec{a}$與$\vec$不共線，所以$\vec{a}\cdot\vec\neq0$，又$\vec{a}\cdot\vec{a}=1$，$\vec\cdot\vec=5$，$\vec{a}\cdot\vec=-\cos\alpha+2\sin\alpha$，所以$\vec{a}\cdot\vec{a}+\vec\cdot\vec=6=1+5=|\vec{a}+\vec|^2$，即$\vec{a}+\vec$與$\vec{a}$的模相等，又$\vec{a}+\vec$與$\vec$垂直，所以$\vec{a}$與$\vec$的夾角為$\frac{\pi}{2}$，即$\cos\alpha-1=0$，解得$\alpha=\frac{\pi}{3}$或$\alpha=\frac{5\pi}{3}$.【考點】正弦函數(shù)的圖象【分析】根據(jù)已知條件，可以求出函數(shù)f(x)的解析式為f(x)=2sin(2x+π/2)，然后利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間。對于第二問，可以利用余弦函數(shù)的定義域和值域，求出cos(2x)的范圍，進(jìn)而求出g(x)的解析式，最后利用二次函數(shù)的性質(zhì)，求得g(x)的值域?！窘獯稹拷猓海?）根據(jù)函數(shù)f(x)的圖象過點(π,1)，可以求出k的值為2，進(jìn)而得到函數(shù)f(x)的解析式為f(x)=2sin(2x+π/2)。由于正弦函數(shù)在