平方根課獲獎?wù)n件市公開課一等獎?wù)n件省賽課獲獎?wù)n件

實數(shù)本章內(nèi)容第3章1/65平方根本課內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容3.12/65動腦筋

某家庭在裝修小朋友房時需鋪地墊10.8m2，剛好用去正方形地墊30塊.

你能算出每塊地墊邊長是多少嗎？？3/65每塊正方形地墊面積是10.8÷30=0.36(m2).即邊長×邊長=0.36.由于0.62=0.36，

因此面積為0.36m2正方形地墊邊長是0.6m.4/65

在實際問題中，有時要找一種數(shù)，使它平方等于給定數(shù).由此我們抽象出下述概念：

假如有一種數(shù)r，使得r2=a，那么我們把r叫作a一種平方根，也叫作二次方根.0.32=0.09結(jié)論5/65

若r2=a，則r是a一種平方根.結(jié)論

例如，由于22=4，因此2是4一種平方根.6/65探究

4平方根除了2以外，尚有其他數(shù)嗎？7/65

為何-2也是4平方根？由于(-2)2=4，因此-2也是4一種平方根.

除了2和-2以外，4平方根尚有其他數(shù)嗎？8/65

除了2和-2以外，4平方根尚有其他數(shù)嗎？

由于邊長大于2正方形，它面積一定大于4，因此，比2大數(shù)都不是4平方根.邊長為2邊長為4<邊長為1>

邊長不大于2正方形，它面積一定不大于4，因此，比2小正數(shù)都不是4平方根.邊長為2類似地，9/65

由于(-b)2=b2，因此，-2以外負數(shù)都不是4平方根.

顯然0不是4平方根.

因此，4平方根有且只有兩個：2與-2.10/65

假如r是正數(shù)a一種平方根，那么a平方根有且只有兩個：r與-r.結(jié)論11/65

我們把a正平方根叫作a算術(shù)平方根，記作，讀作“根號a”；

這樣，正數(shù)a平方根能夠用“

”來表達.

把a負平方根記作，讀作“負根號a”.例如，4平方根是2與-2，即12/65零平方根是多少？負數(shù)有平方根嗎？說一說13/65

由于02=0，而非零數(shù)平方不等于0，因此零平方根就是0本身.我們把0平方根也叫作0算術(shù)平方根，記作，即.14/65

由于同號兩數(shù)相乘得正數(shù)，且02=0，即在迄今為止我們所結(jié)識數(shù)中，任何一種數(shù)平方都不會是負數(shù)，因此負數(shù)沒有平方根.

求一種非負數(shù)平方根運算，叫作開平方.15/65

開平方與平方互為逆運算，根據(jù)這種關(guān)系，能夠求一種數(shù)平方根.+1-1+2-2+3-3149開平方平方16/65舉例例1

分別求下列各數(shù)平方根：

36，，1.21.解

由于62=36，

因此36平方根是6與-6.36是正數(shù)（1）36

有兩個平方根

即17/65解（2）

由于

2=，有兩個平方根

因此

平方根是與.解

由于1.12=1.21，有兩個平方根（3）1.21

因此1.21平方根是1.1與-1.1.即即18/65舉例例2

分別求下列各數(shù)算術(shù)平方根：

100，，0.49.解

由于102=100，（1）100

算術(shù)平方根就是正平方根

因此；19/65解（2）

由于

2=，算術(shù)平方根就是正平方根.解

由于0.72=0.49，算術(shù)平方根就是正平方根.（3）0.49

因此；

因此.20/65練習(xí)1.分別求64，，6.25平方根.21/65解

由于82=64

因此64平方根是8與-8.（1）64

由于

因此

平方根是

與

.（2）

由于82.52=6.25

因此6.25平方根是2.5與-2.5.（3）6.2522/652.分別求81，，0.16算術(shù)平方根.23/65

由于

因此

.（2）解

由于92=81

因此.（1）81

由于0.42=0.16

因此.（3）0.1624/653.判斷下列說法是否正確.正確.（4）(-4)2平方根是-4.（1）

是

一種平方根；（2）

是6算術(shù)平方根；（3）

值是±4；正確.不正確.不正確，是±4.25/65做一做

將一種長為4cm，寬為2cm長方形紙片剪拼成一種正方形.

最后得到這個正方形面積是多少呢？它邊長是整數(shù)嗎？26/6527/65正方形面積為8cm2，由于22=4，32=9，又4＜8＜9，且面積較大正方形邊長也較大，因此面積為8cm2正方形邊長不是整數(shù).

最后得到這個正方形面積是多少呢？它邊長是整數(shù)嗎？28/65動腦筋觀測下列成果：

2.82=7.84，2.92=8.41；

2.822=7.95242.832=8.00892.8282=7.9975842.8292=8.003241……

從上述數(shù)據(jù)，你能猜出面積為8正方形邊長是多少嗎？

面積為8正方形，它邊長應(yīng)當比2.828大，比2.829小，……29/65結(jié)論

由此猜想，面積為8cm2正方形，它邊長是一種小數(shù)點背面位數(shù)能夠不停增加小數(shù).

事實上，我們能夠說明這個邊長不是分數(shù)，從而它既不是有限小數(shù)，也不是無限循環(huán)小數(shù)，這種小數(shù)叫作無限不循環(huán)小數(shù).

我們把無限不循環(huán)小數(shù)叫作無理數(shù).30/65小提醒

由于正方形邊長平方等于它面積，因此面積為8cm2正方形邊長能夠記作cm.

從上述分析懂得，是一種無限不循環(huán)小數(shù)，即是一種無理數(shù).31/65

圓周率

…，也是一種無理數(shù).與有理數(shù)同樣，無理數(shù)也有正負之分，

…，…，…都是無理數(shù).例如，，，是正無理數(shù)，

，，是負無理數(shù).32/65

根據(jù)實際需要，我們往往用一種有限小數(shù)來近似地表達一種無理數(shù).

例如…，用四舍五入法，分別取到小數(shù)點背面第二位，第三位，…，得到，，…，我們稱3.14，3.142是精確到小數(shù)點背面第二位，第三位近似值.

3.14，3.142，3.1416，…都是近似值，稱它們?yōu)榻茢?shù).33/65

利用計算器能夠求一種正數(shù)算術(shù)平方根或它近似值.34/65小提醒

我們能夠用計算器求一種正數(shù)a平方根，其操作辦法是按次序進行按鍵輸入：35/65舉例例3用計算器求下列各式值.36/651.用計算器求下列各式值：解練習(xí)37/652.面積為6cm2正方形，它邊長是多少？

用計算器求邊長近似值（精確到0.001cm）？

正方形面積是6cm2，因此它邊長為

cm.解用計算器計算：顯示2.4494897因此，38/653.用計算器分別求，，，，近似值（精確到0.001）.解39/65中考試題例1

9算術(shù)平方根是（）.A.-3

B.3C.±3

D.81B解

由于32=9，因此9算術(shù)平方根是3.

即.

故，應(yīng)選擇B.40/65中考試題例2

4平方根是

.±2解

由于(±2)2=4，因此4平方根是±2.

即.

故，答案是±2.41/65中考試題例3

若2m-4與3m-1是同一種數(shù)平方根，則m為().A.-3B.1C.-3或1D.-1C解

依題意，得(2m-4)+(3m-1)=0,解之，得m=1.或2m-4=3m-1.解之，得m=-3.故，應(yīng)選擇C.

根據(jù)平方根性質(zhì)，一種正數(shù)有兩個平方根，且它們互為相反數(shù)，即(2m-4)+(3m-1)=0；而本題隱含一種條件，也就是說，2m-4與3m-1也也許是其中一種平方根，即2m-4=3m-1.分析42/65結(jié)束43/65湘教版SHUXUE八年級上本節(jié)內(nèi)容1.5分式方程的應(yīng)用（一）執(zhí)教：黃亭市鎮(zhèn)中學(xué)

44/65列方程解應(yīng)用題一般步驟分析題中已知什么,求什么.有哪些事物在什么方面產(chǎn)生關(guān)系。一種相等關(guān)系.（和/倍/不一樣方案間不變量相等）設(shè)未知數(shù)(直接設(shè)，間接設(shè)),包括單位名稱.把相等關(guān)系中各個量轉(zhuǎn)化成代數(shù)式,從而列出方程.解方程,求出未知數(shù)值(x=a).代入方程檢查。檢查所求解是否符合題意，寫出答案。審設(shè)列找答解回憶與復(fù)習(xí)45/65動腦筋問題1、A,B兩種型號機器人搬運原料,已知A型機器人比B型機器人每小時多搬運20kg且A型機器人搬運1000kg所用時間與B型機器人搬運800kg所用時間相等,求這兩種機器人每小時分別搬運多少原料?解：設(shè)B型機器人每小時搬運xkg，則A型機器人每小時搬運（x+20）kg.由題意可知方程變形為：1000x=800(x+20)x=80檢查:x=80代入x(x+20)中，它值不等于0，x=80是原方程根，并符合題意.答：B型機器人每小時搬運80kg，A型機器人每小時搬運100kg.引入問題課前熱身

強調(diào)：既要檢查所求解是否是原分式方程解，還要檢查是否符合題意；

46/65歸納概括列分式方程解應(yīng)用題一般步驟：檢查目標是:(1)是否是所列方程解;(2)是否滿足實際意義.（1）審清題意；（2）設(shè)未知數(shù)（要有單位）；（3）找出相等關(guān)系，列出方程；（4）解方程，并驗根。（5）寫出答案（要有單位）。例題解說與練習(xí)例1.

兩個工程隊共同參與一項筑路工程，甲隊單獨施工1個月完成總工程三分之一，這時增加了乙隊，兩隊又共同工作了半個月，完成所有工程，哪個隊施工速度快？分析：甲隊1個月完成總工程

,設(shè)乙隊假如單獨完成施工1個月能完成總工程

,那么甲隊半個月完成總工程

，乙隊半個月完成總工程

，兩隊半個月完成總工程

.131x1612x1612x+1612x+13+=1得方程：解得：x=1

因此乙隊施工速度快。47/65

例2

A，B兩地相距135千米，兩輛汽車從A開往B，大汽車比小汽車早出發(fā)5小時，小汽車比大汽車晚到30分鐘，已知小汽車與大汽車速度之比為5：2，求兩車速度。分析：

已知兩邊速度之比為5：2，因此設(shè)大車速度為2x千米/時，小車速度為5x千米/時，而A、B兩地相距135千米，則大車行駛時間

小時，小車行駛時間

小時，又知大車早出發(fā)5小時，比小車早到30分鐘，實際大車行駛時間比小車行駛時間多4.5小時.2x1355x1352x1355x135-=5-0.5解：設(shè)大車速度為2x千米/時，小車速度為5x千米/時，根據(jù)題意得解之得x=9經(jīng)檢查x=9是原方程解當x=9時，2x=18，5x=45

答：大車速度為18千米/時，小車速度為45千米/時.48/65例3：農(nóng)機廠到距工廠15km向陽村檢修農(nóng)機，一部分人騎自行車先走，過了40分鐘，其他人乘汽車去，成果他們同步達到，已知汽車速度是自行車3倍，求兩車速度。分析：設(shè)自行車速度是xkm/h，汽車速度是3xkm/h請根據(jù)題意填寫速度、時間、路程之間關(guān)系表速度(km/h)路程(km)時間（h）自行車

汽車

x3x1515x153x15找出等量關(guān)系。列出方程。汽車所用時間＝自行車所用時間－時3232x153x15=-借助表格分析數(shù)量關(guān)系解答由學(xué)生完成。49/651、甲乙兩人同步從A地出發(fā)，騎自行車到B地，已知兩地AB距離為30㎞，甲每小時比乙多走3㎞，并且比乙先到40分鐘．設(shè)乙每小時走x㎞，則可列方程為()A、B、C、D、當堂練習(xí)2、某農(nóng)場挖一條960m長渠道，開工后每天比原計劃多挖20m，成果提前4天完成了任務(wù)。若設(shè)原計劃每天挖xm，則根據(jù)題意可列出方程（）A、C、B、D、BA50/651、一艘輪船在兩個碼頭之間航行，順水航行60km所需時間與逆水航行48km所需時間相同.已知水流速度是2km/h，求輪船在靜水中航行速度.練習(xí)2、我軍某部由駐地到距離30千米地方去執(zhí)行任務(wù)，由于情況發(fā)生了變化，急行軍速度必需是原計劃1.5倍，才能按要求提前2小時達到，求急行軍速度。3、甲、乙分別從相距36千米A、B兩地同步相向而行．甲從A出發(fā)到1千米時發(fā)覺有東西遺忘在A地，立即返回，取過東西后又立即從A向B行進，這樣二人正好在AB中點處相遇，又知甲比乙每小時多走0.5千米，求二人速度．51/657、一項工程，需要在要求日期內(nèi)完成，假如甲隊獨做，正好如期完成，假如乙隊獨做，就要超出要求3天，目前由甲、乙兩隊合作2天，剩下由乙隊獨做，也剛好在要求日期內(nèi)完成，問要求日期是幾天？

6、甲、乙兩人做某種機器零件，已知甲每小時比乙多做6個，甲做90個零件所用時間和乙做60個零件所用時間相等，求甲、乙每小時各做多少個零件？4.某班學(xué)生到距學(xué)校12千米烈士陵園掃墓,一部分人騎自行車先行,經(jīng)0.5時后,其他人乘汽車出發(fā),成果他們同步達到.已知汽車速度是自行車3倍,求自行車和汽車速度.5.某農(nóng)場開挖一條長960米渠道，開工后工作效率比計劃提升50%，成果提前4天完成任務(wù)，原計劃每天挖多少米？52/651.甲、乙兩人做某種機器零件，已知甲每小時比乙多做6個，甲做90個零件所用時間和乙做60個零件所用時間相等，求甲、乙每小時各做多少個零件？

2.甲、乙兩人練習(xí)騎自行車，已知甲每小時比乙多走6千米，甲騎90千米所用時間和乙起騎60千米所用時間相等，求甲、乙每小時各騎多少千米？

3.甲、乙兩種商品，已知甲價格每件比乙多6元，買甲90件所用錢和買乙60件所用錢相等，求甲、乙每件商品價格各多少元？下面三個問題有什么區(qū)分和聯(lián)系？議一議53/65小結(jié)

列分式方程解應(yīng)用題一般步驟：1.審:分析題意,找出數(shù)量關(guān)系和相等關(guān)系.2.設(shè):選擇恰當未知數(shù),注意單位和語言完整.3.列:根據(jù)數(shù)量和相等關(guān)系,正確列出代數(shù)式和方程.4.解:認真認真.5.驗:有兩次檢查.6.答:注意單位和語言完整.且答案要生活化.檢查目標是:(1)是否是所列方程解;(2)是否滿足實際意義.作業(yè)：P36練習(xí)1、P36A2、454/65湘教版SHUXUE八年級上本節(jié)內(nèi)容1.5分式方程的應(yīng)用（一）執(zhí)教：黃亭市鎮(zhèn)中學(xué)

55/65列方程解應(yīng)用題一般步驟分析題中已知什么,求什么.有哪些事物在什么方面產(chǎn)生關(guān)系。一種相等關(guān)系.（和/倍/不一樣方案間不變量相等）設(shè)未知數(shù)(直接設(shè)，間接設(shè)),包括單位名稱.把相等關(guān)系中各個量轉(zhuǎn)化成代數(shù)式,從而列出方程.解方程,求出未知數(shù)值(x=a).代入方程檢查。檢查所求解是否符合題意，寫出答案。審設(shè)列找答解回憶與復(fù)習(xí)56/65動腦筋問題1、A,B兩種型號機器人搬運原料,已知A型機器人比B型機器人每小時多搬運20kg且A型機器人搬運1000kg所用時間與B型機器人搬運800kg所用時間相等,求這兩種機器人每小時分別搬運多少原料?解：設(shè)B型機器人每小時搬運xkg，則A型機器人每小時搬運（x+20）kg.由題意可知方程變形為：1000x=800(x+20)x=80檢查:x=80代入x(x+20)中，它值不等于0，x=80是原方程根，并符合題意.答：B型機器人每小時搬運80kg，A型機器人每小時搬運100kg.引入問題課前熱身

強調(diào)：既要檢查所求解是否是原分式方程解，還要檢查是否符合題意；

57/65歸納概括列分式方程解應(yīng)用題一般步驟：檢查目標是:(1)是否是所列方程解;(2)是否滿足實際意義.（1）審清題意；（2）設(shè)未知數(shù)（要有單位）；（3）找出相等關(guān)系，列出方程；（4）解方程，并驗根。（5）寫出答案（要有單位）。例題解說與練習(xí)例1.

兩個工程隊共同參與一項筑路工程，甲隊單獨施工1個月完成總工程三分之一，這時增加了乙隊，兩隊又共同工作了半個月，完成所有工程，哪個隊施工速度快？分析：甲隊1個月完成總工程

,設(shè)乙隊假如單獨完成施工1個月能完成總工程

,那么甲隊半個月完成總工程

，乙隊半個月完成總工程

，兩隊半個月完成總工程

.131x1612x1612x+1612x+13+=1得方程：解得：x=1

因此乙隊施工速度快。58/65

例2

A，B兩地相距135千米，兩輛汽車從A開往B，大汽車比小汽車早出發(fā)5小時，小汽車比大汽車晚到30分鐘，已知小汽車與大汽車速度之比為5：2，求兩車速度。分析：

已知兩邊速度之比為5：2，因此設(shè)大車速度為2x千米/時，小車速度為5x千米/時，而A、B兩地相距135千米，則大車行駛時間

小時，小車行駛時間

小時，又知大車早出發(fā)5小時，比小車早到30分鐘，實際大車行駛時間比小車行駛時間多4.5小時.2x1355x1352x1355x135-=5-0.5解：設(shè)大車速度為2x千米/時，小車速度為5x千米/時，根據(jù)題意得解之得x=9經(jīng)檢查x=9是原方程解當x=9時，2x=18，5x=45

答：大車速度為18千米/時，小車速度為45千米/時.59/65例3：農(nóng)機廠到距工廠15km向陽村檢修農(nóng)機，一部分人騎自行車先走，過了40分鐘，其他人乘汽車去，成果他們同步達到，已知汽車速度是自行車3倍，求兩車速度。分析：設(shè)自行車速度是xkm/h，汽車速度是3xkm/h請根據(jù)題意填寫速度、時間、路程之間關(guān)系表速度(km/h)路程(km)時間（h）自行車

汽車

x3x1515x153x15找出等量關(guān)系。列出方程。汽車所用時間＝自行車所用時間－時3232x153x15=-借助表格分析數(shù)量關(guān)系解答由學(xué)生完成。60/651、甲乙兩人同步從A地出發(fā)，騎自行車到B地，已知兩地AB距離為30㎞，甲每小時比乙多走3㎞，并且比乙先到40分鐘．設(shè)乙每小時走x㎞，則可列方程為()A、B、C、D、當堂練習(xí)2、某農(nóng)場挖一條960m長渠道，開工后每天比原計劃多挖20m，成果提前4天完成了任務(wù)。若設(shè)原計劃每天挖xm，則根據(jù)題意可列出方程（）A、C、B、D