2015高考數(shù)學(xué)預(yù)測(cè)專題之幾何體與球的切、接問題

2015高考數(shù)學(xué)預(yù)測(cè)專題之幾何體與球的切、接問題近幾年高考數(shù)學(xué)中，與球相關(guān)的外接與內(nèi)切問題是高考命題的熱點(diǎn)之一，要求學(xué)生有較強(qiáng)的空間想象能力和準(zhǔn)確的計(jì)算能力。但實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生對(duì)此部分知識(shí)掌握較為薄弱，認(rèn)識(shí)較為模糊，看到就頭疼的題目。為了更好地把握高考命題的趨勢(shì)和思路，下面結(jié)合近幾年高考題對(duì)球與幾何體的切接問題作深入的探究。從近幾年全國(guó)高考命題來看，這部分內(nèi)容以選擇題、填空題為主，大題很少見。首先，我們需要明確兩個(gè)定義：若一個(gè)多面體的各頂點(diǎn)都在一個(gè)球的球面上，則稱這個(gè)多面體是這個(gè)球的內(nèi)接多面體，這個(gè)球是這個(gè)多面體的外接球。若一個(gè)多面體的各面都與一個(gè)球的球面相切，則稱這個(gè)多面體是這個(gè)球的外切多面體，這個(gè)球是這個(gè)多面體的內(nèi)切球。對(duì)于球與柱體的切接問題，規(guī)則的柱體如正方體、長(zhǎng)方體、正棱柱等能夠和球進(jìn)行充分的組合，以外接和內(nèi)切兩種形態(tài)進(jìn)行結(jié)合，通過球的半徑和棱柱的棱產(chǎn)生聯(lián)系，然后考查幾何體的體積或者表面積等相關(guān)問題。以球與正方體為例，正方體的棱長(zhǎng)為a，E,F,H,G為棱的中點(diǎn)，O為球的球心。常見組合方式有三類：一是球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，截面圖為正方形EFGH和其內(nèi)切圓，則OJ等于球的半徑r等于a；二是與正方體各棱相切的球，截面圖為正方形EFGH和其外接圓，則GO等于球的半徑R等于2a；三是球?yàn)檎襟w的外接球，截面圖為長(zhǎng)方形ACAC和其外接圓，則AO等于球的半徑R'等于根號(hào)3乘以a。通過這三種類型可以發(fā)現(xiàn)，解決正方體與球的組合問題，常用工具是截面圖，即根據(jù)組合的形式找到兩個(gè)幾何體的軸截面，通過兩個(gè)截面圖的位置關(guān)系，確定好正方體的棱與球的半徑的關(guān)系，進(jìn)而將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題。正方體的棱切球，如圖3所示。位置關(guān)系為：正方體的十二條棱與球面相切，正方體中心與球心重合。數(shù)據(jù)關(guān)系為：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，球的半徑為r，這時(shí)有2r=2a。例1：棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1的8個(gè)頂點(diǎn)都在球O的表面上，E，F(xiàn)分別是棱AA1，DD1的中點(diǎn)，則直線EF被球O截得的線段長(zhǎng)為（）。思路分析：由題意推出，球?yàn)檎襟w的外接球。平面AA1DD1截面所得圓面的半徑R=AD12，得知直線EF被球O截得的線段就是球的截面圓的直徑。試題詳解：由題意可知，球?yàn)檎襟w的外接球。平面AA1DD1截面所得圓面的半徑AD12=2，得知直線EF被球O截得的線段為球的截面圓的直徑2R=2。因此，直線EF被球O截得的線段長(zhǎng)為2。點(diǎn)評(píng)：本題考查球與正方體“接”的問題，利用球的截面性質(zhì)，轉(zhuǎn)化成為求球的截面圓直徑。1.2球與長(zhǎng)方體例2：自半徑為R的球面上一點(diǎn)M，引球的三條兩兩垂直的弦MA，MB，MC，求MA+MB+MC的值。思路分析：此題欲計(jì)算所求值，應(yīng)首先把它們放在一個(gè)封閉的圖形內(nèi)進(jìn)行計(jì)算，所以應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造熟悉的幾何體并與球有密切的關(guān)系，便于將球的條件與之相聯(lián)。試題詳解：以MA，MB，MC為從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱，將三棱錐M-ABC補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體，則另外四個(gè)頂點(diǎn)必在球面上，故長(zhǎng)方體是球的內(nèi)接長(zhǎng)方體，則長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)是球的直徑。因此，MA^2+MB^2+MC^2=(2R)^2=4R^2。點(diǎn)評(píng)：此題突出構(gòu)造法的使用，以及滲透利用分割補(bǔ)形的方法解決立體幾何中體積計(jì)算。例3：已知各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上的正四棱柱高為4，體積為16，則這個(gè)球的表面積為（）。思路分析：正四棱柱也是長(zhǎng)方體。由長(zhǎng)方體的體積16及高4可以求出長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)為2，可得長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為2，2，4，長(zhǎng)方體內(nèi)接于球，它的體對(duì)角線正好為球的直徑。試題詳解：正四棱柱也是長(zhǎng)方體。由長(zhǎng)方體的體積16及高4可以求出長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)為2，因此，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為2，2，4，因?yàn)殚L(zhǎng)方體內(nèi)接于球，所以它的體對(duì)角線正好為球的直徑。長(zhǎng)方體體對(duì)角線長(zhǎng)為2√6，故球的表面積為24π。因此，選C。組合題目中，球與正棱錐的組合分為球?yàn)槿忮F的外接球和球?yàn)檎忮F的內(nèi)切球兩種情況。對(duì)于球?yàn)槿忮F的外接球，可以利用截面圖的特點(diǎn)，構(gòu)造直角三角形求解。對(duì)于球?yàn)檎忮F的內(nèi)切球，可以利用等體積法解決，即四個(gè)小三棱錐的體積和為正三棱錐的體積。在組合題目中，需要抓住棱錐的幾何性質(zhì)，綜合利用截面法、補(bǔ)形法等進(jìn)行求解。例如，對(duì)于四個(gè)面都是直角三角形的三棱錐，可以利用直角三角形斜邊中點(diǎn)的幾何特征，巧妙地確定球心位置。以例5為例，正三棱錐的高為1，底面邊長(zhǎng)為26，正三棱錐內(nèi)有一個(gè)球與其四個(gè)面相切。利用等體積法可以得到球的半徑為6-2，表面積為8(5-26)π，體積為33π。在解決組合題目時(shí)，球心是決定球的位置關(guān)鍵點(diǎn)，可以利用球心到正棱錐四個(gè)面的距離相等且為球半徑R來求解R，以球心的位置特點(diǎn)來抓球的基本量，這是解決球有關(guān)問題常用的方法。對(duì)于例6，三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長(zhǎng)均為3，則其外接球的表面積需要通過計(jì)算得出。由于沒有提供三棱錐的高或底面邊長(zhǎng)等信息，無法應(yīng)用等體積法或截面法進(jìn)行求解。試題詳解：如圖所示，連接球心O與棱心P，由于球表面與8根鐵絲都有接觸點(diǎn)，故OP垂直于棱面，且OP=r+10，由勾股定