2022-2023學年高三數(shù)學新高考一輪復習專題10.4直線與圓的位置關系含解析

Page110.4直線與圓的位置關系課標要求考情分析核心素養(yǎng)1.能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓的位置關系.2.能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題．3.初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題的思想.新高考3年考題題號考點直觀想象數(shù)學運算邏輯推理2022(Ⅱ)卷15利用直線與圓的位置關系求參2021(Ⅰ)卷11直線與圓的位置關系的綜合問題2021(Ⅱ)卷11直線與圓的位置關系的判斷1.直線與圓的位置關系設圓C:x-a2+y-b2=r2,直線l:Ax+By+C=0由x-a2+y-b2=r2Ax+By+C=0消去y(或位置關系相離相切相交圖形公共點個數(shù)012量化方程觀點??=0?幾何觀點d>rd=rd<r1.圓的切線方程常用結論(1)過圓x2+y2=(2)過圓x-a2+y-b2=(3)過圓x2+y2=1.【P93T1.多選】已知直線l：x+y-2=0與圓C：(x-1)2+(y+1)2A.直線l與圓C相離B.直線l與圓C相交

C.圓C上到直線l的距離為1的點共有2個D.圓C上到直線l的距離為1的點共有3個2.【P95T1】如圖，某個圓拱橋的水面跨度是20米，拱頂離水面4米；當水面下降1米后，橋在水面的跨度為(

)A.230米 B.202米 C.430米 D.考點一直線與圓的位置關系的判斷或求參【方法儲備】1.判斷直線與圓的位置關系的常用方法:【典例精講】角度1判斷直線與圓的位置關系例1.(2021·全國新高考2卷.多選)已知直線l:ax+by-r2=0與圓C:x2+yA.若點A在圓C上，則直線l與圓C相切B.若點A在圓C內，則直線l與圓C相離C.若點A在圓C外，則直線l與圓C相離D.若點A在直線l上，則直線l與圓C相切 【名師點睛】解決直線與圓的位置關系的問題，要充分運用數(shù)形結合的思想，既要充分運用平面幾何中有關圓的性質，又要結合待定系數(shù)法運用直線方程中的基本度量關系，養(yǎng)成勤畫圖的良好習慣.【靶向訓練】練1-1(2022·重慶市聯(lián)考)已知圓M:x2+y2+4x+2y-4=0，直線A.圓心M坐標為(2,1)B.圓M的半徑為3

C.直線l與圓M相交D.圓M上的點到直線l的距離最大值為3+練1-2(2022·湖北省十一校聯(lián)考)直線kx+y-2-3k=0與圓x2+y2A.相離 B.相切 C.相交 D.相交或相切角度2根據(jù)直線與圓的位置關系求參例2.(2021·浙江省專項測試)若圓x2+y2-4x-4y-10=0上至少有三個不同的點到直線l:ax+by=0

的距離為22，則直線l的傾斜角A.π12,π4 B.π【名師點睛】本題考查直線和圓的位置關系，點到直線的距離公式，直線的傾斜角．

依題意，當圓心到直線l的距離不超過2時，滿足題中條件，由點到直線的距離公式得到|2a+2b|a2+b2≤2，化簡得【靶向訓練】練1-3(2022·江蘇省南京市聯(lián)考)在平面直角坐標系xOy中，已知點P(2,2)，C(5,6).若在以點C為圓心，r半徑的圓上存在不同的兩點A，B，使得PA-2AB=0，則r的取值范圍為練1-4(2022·湖北省十堰市期中)

直線y=x+b與曲線x=1-y2有且僅有一個公共點，則b的取值范圍是A.|b|=2 B.-1<b≤1或b=-2

C.-1≤b≤2 D.考點二圓的切線問題【方法儲備】1.求過圓C上一點P(x過圓x-a2+y-b2=①若kPC=0,則切線斜率不存在，即切線方程為②若kPC不存在，則切線斜率為0，即切線方程為y=y③若kPC存在且不為零，則切線斜率為-12.求過圓外一點P(x理論：過圓外一點可作圓的兩條切線，至少有一條切線斜率存在.解題思路：①設切線方程為y-y0=kx-x0②若求出的k值有2個，即可得出兩條切線方程；若k值只有1個，則另一條切線斜率不存在，要補充說明.3.過圓外一點P(x0,y（1）求切線長：PA=PC2-r（2）求直線AB的方程：轉化為求以P為圓心,切線長PA為半徑的圓與圓C的公共弦所在的直線方程.角度1圓的切點方程【典例精講】例3.(2022·江蘇省無錫市模擬)已知圓M過點A(1,-1)，B(1,2)，C(5,2)，則圓M在點B處的切線方程為(

)A.3x+4y-2=0 B.3x-4y-2=0

C.4x-3y+2=0 D.4x-3y-2=0【名師點睛】本題考查圓的切線方程，涉及圓的方程的求解和切線問題．

由題意設出圓的方程，代點解方程組可得圓心，進而由斜率公式和直線的垂直關系得出切線斜率，可得切線方程．【靶向訓練】練2-1(2022·天津市模擬)已知圓C的圓心坐標是(0,m)，若直線2x-y+3=0與圓C相切于點A(-2,-1)，則圓C的標準方程為

．練2-2(2022·湖南省模擬)過點P(1,0)作圓(x-2)2+(y-2)2=1的切線，則切線方程為(

)A.x=1或3x+4y-3=0 B.x=1或3x-4y-3=0

C.y=1或4x-3y+4=0 D.y=1或3x-4y-3=0角度2圓的切點和切線長例4.(2021·全國新課標Ⅰ卷.多選)已知點P在圓(x-5)2+(y-5)2=16上，點A(4,0)A.點P到直線AB的距離小于10 B.點P到直線AB的距離大于2

C.當∠PBA最小時，|PB|=32 D.當∠PBA最大時，【名師點睛】本題考查直線與圓的位置關系，考查轉化思想與數(shù)形結合思想.求出過AB的直線方程，再求出圓心到直線AB的距離，得到圓上的點P到直線AB的距離范圍，判斷A與B；畫出圖形，由圖可知，當過B的直線與圓相切時，滿足∠PBA最小或最大，求出圓心與B點間的距離，再由勾股定理求得|PB|判斷C與D．【靶向訓練】練2-3(2022·湖北省荊州市期中)已知直線l：x+ay-1=0(a∈R)是圓C:x2+y2-4x-2y+1=0的對稱軸.過點A(-4,a)作圓C的一條切線，切點為A.2 B.42 C.6 D.練2-4(2022·遼寧省沈陽市期中)過定點M的直線：kx-y+1-2k=0與圓：(x+1)2+(y-5)2=9相切于點N考點三圓的弦長問題【方法儲備】1.求直線與圓相交弦的弦長：若直線y=kx+b與圓交于A,B兩點，則直線被圓截得的弦長|AB|有兩種求法：(1)幾何法：根據(jù)弦心距d，半徑r以及半弦長構成直角三角形，可得|AB|=2(2)代數(shù)法：設點Ax1,y可得AB=①若直線l:x=ty+m，則弦長AB②若直線l:x=③若直線l:y=n,則弦長AB2.圓的弦的性質的應用①圓的任何一條弦的垂直平分線經(jīng)過圓心；②圓心與弦中點的連線垂直于這條弦.【特別提醒】注意討論斜率不存在的情況，當直線與圓相交時，幾何法求弦長較方便，一般不用代數(shù)法.【典例精講】例5.(2021·北京卷)已知圓C：x2+y2=4，直線l：y=kx+m，當k變化時，l截得圓C弦長的最小值為2A.±2 B.±2 C.±3【名師點睛】本題考查直線與圓的位置關系，點到直線距離公式，與圓有關的最值問題，屬于中檔題．

求得圓心和半徑，由點到直線距離公式及直線與圓相交的弦長公式可得當k=0時弦長取得最小值，解方程即可．【靶向訓練】練3-1(2022·江蘇省南通市聯(lián)考.多選)已知P是圓O:x2+y2=4上的動點，直線l1:xA.l1⊥l2 B.直線l1與圓O相切

C.直線l2與圓O練3-2(2022·重慶市聯(lián)考)若直線mx-ny-2=0(m>0,n>0)被圓C：x2+y2-4x+8y+11=0所截得的弦長為6，則2核心素養(yǎng)系列直觀想象、邏輯推理——直線與圓的綜合問題【方法儲備】1.過圓外一點P(x0,y求四邊形PACB中的最值問題：①S四邊形PACB=2②求∠APB的最值，轉化為求Rt△PAC中2.通過直線與圓的方程，可以確定直線與圓、圓和圓的位置關系，對于生產(chǎn)、生活實踐以及平面幾何中與直線和圓有關的問題，我們可以建立直角坐標系，通過直線與圓的方程，將其轉化為代數(shù)問題來解決。用坐標法解決幾何問題的步驟：角度1圓中三角形(四邊形)的面積例6.(2022·廣東省梅州市聯(lián)考)已知不經(jīng)過坐標原點O的直線l與圓C：x2+y2-4x+4y=0交于A，B兩點，若銳角△ABC的面積為23，則|AB|=

【名師點睛】本題主要考查圓的方程及其應用，數(shù)形結合的數(shù)學思想，分類討論的數(shù)學思想等知識，屬于中檔題．

首先寫出圓的標準方程，然后結合面積公式可得AB的長度，最后結合圓的性質分類討論即可求得cos∠AOB【靶向訓練】練4-1(2022·江蘇省南通市期中)過直線3x+4y+12=0上一點P作圓C：x2+y2-2x=0的切線，切點為A，B，則四邊形A.6 B.22 C.3 D.練4-2(2022·湖北省七市聯(lián)考.多選)已知直線l：kx-y-k+1=0，圓C的方程為(x-2)2+(y+2)2A.直線l與圓一定相交

B.當k=0時，直線l與圓C交于兩點M，N，點E是圓C上的動點，則△MNE面積的最大值為37

C.當l與圓有兩個交點M，N時，|MN|的最小值為26

D.若圓C與坐標軸分別交于A，B，C，D四個點，則四邊形ABCD角度2直線與圓的位置關系的實際應用例7.(2022·江蘇省蘇州市月考)如圖，某海面上有O、A、B三個小島(面積大小忽略不計)，A島在O島的北偏東45°方向距O島402千米處，B島在O島的正東方向距O島20千米處，以O為坐標原點，O的正東方向為x軸的正方向，1千米為單位長度，建立平面直角坐標系，圓C經(jīng)過O、A、B三點．

(1)求C的方程；

(2)若圓C區(qū)域內有未知暗礁，現(xiàn)有一船D在O島的南偏西30°方向距O島40千米處，正沿著北偏東45°行駛，若不改變方向，試問該船有沒有觸礁的危險？【名師點睛】本題主要考查了圓的方程的求法，重點考查了點到直線的距離公式．

(1)由題意可求A(40,40)，B(20,0)，設過O，A，B三點的圓C的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0，可得F=0402+402+40D+40E+F=0202+20D+F=0，解得D，E，F(xiàn)的值，即可得解．

【靶向訓練】練4-3(2021·云南省模擬)已知某臺風中心從A點出發(fā)，以每小時30千米的速度向東偏北30°方向勻速移動，離該臺風中心不超過225千米的地區(qū)為危險區(qū)域.若B在A的東偏南15°方向上，且相距300千米，則B點處于危險區(qū)域的時長是

小時．練4-4(2022·山東省煙臺市期末)右圖是某主題公園的部分景觀平面示意圖,圓形池塘以O為圓心,以452m為半徑，B為公園入口,道路AB為東西方向，道路AC經(jīng)過點O且向正北方向延伸,OA=10m，AB=100m，現(xiàn)計劃從B處起修一條新路與道路AC相連,且新路在池塘的外圍,假設路寬忽略不計,則新路的最小長度為(單位：m)(

)A.1002 B.1003 C.150

易錯點1．忽略切線斜率不存在的情況例8.(2022·青海省西寧市五校聯(lián)考)過點A(4,-3)作圓(x-3)2+(y-1)2=1的切線，則切線方程為

．易錯點2．求弦所在直線的方程時漏解例9.(2022·廣東省梅州市聯(lián)考)已知圓C的圓心在直線y=x+1上，且圓C與x軸相切，點P(-5,-2)在圓C上，點Q(-4,-5)在圓C外．(1)求圓C的方程；(2)若過點(-2,-4)的直線l交圓C于A，B兩點，且|AB|=23，求直線l答案解析【教材改編】1.【解析】圓(x-1)2+(y+1)2=4的圓心C的坐標為(1,-1)，半徑r=2，

則圓心C(1,-1)到直線l：x+y-2=0的距離d=|1-1-2|2=1，所以d<r，所以直線l與圓C相交，

因為半徑為2.【解析】以圓拱橋的頂點為坐標原點，建立如圖所示的平面直角坐標系，

則圓拱所在圓的圓心位于y軸負半軸上，設該圓的圓心為0,-a，a>0，則該圓的方程為x2+y+a2=a2，

記水面下降前與圓的兩交點為A，B；記水面下降1米后與圓的兩交點為C，D；

由題意可得，A-10,-4，則-102+-4+a2=a2，解得a=292，

所以圓的方程為x2+y+2922=29【考點探究】例1.【解析】圓心C0,0到直線l的距離d=若點Aa,b在圓C上，則a2+b2=r2，所以若點Aa,b在圓C內，則a2+b2<r2，所以若點Aa,b在圓C外，則a2+b2>r2，所以若點Aa,b在直線l上，則a2+b2-r2=0即a故選：ABD． 練1-1.【解析】將M:x2+故圓心為M(-2,-1)，半徑r=3

，故A錯，B對；圓心為M(-2,-1)到直線x+y+2=0的距離為：d=12=2由圓心為M(-2,-1)到直線x+y+2=0的距離為：d=1圓M上的點到直線l的距離最大值為3+22，故故答案選：BCD．練1-2.【解析】∵直線kx+y-2-3k=0過定點(3,2)，且32∴點(3,2)在圓內，∴直線與圓相交．故選：C．例2.【解析】由題得圓的標準方程為(x-2)2+(y-2)2依題意，可知當圓心到直線l的距離不超過2時，滿足圓上至少有3個不同的點到直線l的距離為22所以圓心(2,2)到直線l的距離d=|2a+2b|a2化簡得(-ab)2-4(-ab)+1≤0，解得2-3≤-故選B．練1-3.【解析】設AB中點為M，根據(jù)PA-2AB=則PC2-CM2=5r2-CM2，25-C練1-4.【解析】曲線x=1-y2有即x2+y2=1?(x≥0)，表示一個半圓(如圖所示．

當直線y=x+b經(jīng)過點(0,1)時，1=0+b，求得b=1；

當直線y=x+b經(jīng)過點(1,0)、點(0,-1)時，0=1+b，求得b=-1；

當直線y=x+b和半圓相切時，由圓心到直線的距離等于半徑，可得1=|b|2，求得b=-2，或

b=2(舍去)，

故要求的實數(shù)b的范圍為-1<b≤1或例3.【解析】由題意設圓M的方程為(x-a)2代入A、B、C三點的坐標可得(1-a)2+(-1-b)2=r2(1-a)2+(2-b)2=r2(5-a)2+(2-b)2=練2-1.【解析】如圖，由圓心與切點的連線與切線垂直，得m+12=-12，解得m=-2．

∴圓心為(0,-2)，則半徑r=(-2-0)2+(-1+2)故答案為：x

??2練2-2.【解析】圓(x-2)2+(y-2)2=1的圓心為(2,2)，半徑為1．

(1)當過點P的切線切線斜率不存在，即直線垂直于x軸時，方程為x=1．

∵圓心到直線的距離為d=1=r，∴直線x=1符合題意；

(2)當過點P的切線斜率存在時，設切線方程為y=k(x-1)，即kx-y-k=0，

由點到直線的距離公式得

2k-2-kk2+1=1，解得k=34，此時切線方程為

例4.【解析】∵A(4,0)，B(0,2)，∴過A、B的直線方程為x4+y2=1，即x+2y-4=0，

圓圓心到直線x+2y-4=0的距離d=|1×5+2×5-4|∴點P到直線AB的距離的范圍為[1155-4,1155+4]，

∵1155<5，∴1155-4<1，1155+4<10滿足∠PBA最小或最大(P點位于P1時∠PBA最小，位于P2時∠PBA最大)，

此時|BC|=(5-0)2+(5-2)2=練2-3.【解析】由于直線x+ay-1=0是圓C：x2+y2-4x-2y+1=0的對稱軸，

圓C∴圓心C(2,1)在直線x+ay-1=0上，即2+a-1=0，∴a=-1，得A(-4,-1)，即|AC|2又r=2，∴|AB|2=40-4=36，∴|AB|=6．練2-4.【解析】直線：kx-y+1-2k=0，即k(x-2)-y+1=0，過定點M(2,1)，

圓：(x+1)2+(y-5)2=9的圓心(-1,5)，半徑為3；

定點M與圓心的距離為：(2+1)2+(1-5)2=5．

過定點M例5.【解析】由題可得圓心為(0,0)，半徑為2，則圓心到直線l的距離d=|m|k2+1，

弦長為2R2-d2=2練3-1.【解析】A選項：cosθ?sinθ+sinθ(-cosθ)=0，∴l(xiāng)1⊥l2，A對．

B選項：因為圓心O到直線l1的距離為4sin2θ+cos2θ=4>2，所以直線l1所以直線l2與圓O相交，截得的弦長為24-1=23，C正確；

D選項：聯(lián)立xcosθ+ysinθ=4與xsinθ-ycosθ=1得x=sinθ+4cosθ，y=4sinθ-cosθ，

即Q(sinθ+4cosθ,4sinθ-cosθ)，所以|OQ|=(sinθ+4cosθ)2+(4sinθ-cosθ)練3-2.【解析】圓x2即圓(x-2)2+(y+4)2=9，它表示以(2,-4)為圓心、半徑等于3的圓．

設弦心距為d，由題意可得32+d2=9，求得d=0，

可得直線經(jīng)過圓心，故有2m+4n-2=0，即m+2n=1，再由m>0，n>0，

可得2m+1n【素養(yǎng)提升】例6.【解析】圓的方程即(x-2)2+(y+2)2=8，

由三角形面積公式可得：S△ABC=12|CA|×|CB|×sinC=r22sinC=4sinC=23，

則sinC=32，三角形為銳角三角形，則C=π3，△ABC為等邊三角形，

從而|AB|=|AC|=r=22，練4-1.【解析】圓C：x2+y2-2x=0的圓心C(1,0)，半徑r=1，

由于AC⊥PA，BC⊥PB，|PA|=|PB|，可得四邊形PACB的面積為12r|PA|+12r|PB|=r|PA|=|PA|，

又|PA|2=|PC|2-r2=|PC|2-1,要求四邊形PACB的面積的最小值則四邊形PACB的面積的最小值為22．

故選：B練4-2.【解析】直線l：kx-y-k+1=0過定點P(1,1)，(1-2)2+(1+2)2=10<16，∴點P在圓內，

因此直線與圓一定相交，故A正確；

當k=0時，直線y=1，代入圓的方程得(x-2)2+(1+2)2=16，x=2±7，因此|MN|=27，

圓心為(2,2)，圓半徑為r=4，圓心到直線l的距離為d=3，因此E到直線l的距離的最大值為h=4+3=7，

△MNE面積的最大值為S=12×7×27=77，故B錯誤；

當l與圓有兩個交點M，N時，|MN|的最小時，PC⊥l，|PC|=(1-2)2+(1+2)2=10，

因此|MN|min=242例7.【解析】(1)由題意可求A(40,40)，B(20,0)，設過O，A，B三點的圓C的方程為x2可得F=0402+402+4