讓孩子重蹈人類思維發(fā)展中的關鍵步子

精品文檔-下載后可編輯讓孩子重蹈人類思維發(fā)展中的關鍵步子知識是什么？智慧又是什么？拋開這兩個難以清晰界定的概念，先來理解它們之間的邏輯關系：知識不等于智慧，但知識可以轉化為智慧。以知啟智，在數(shù)學教學中追蹤知識的發(fā)生過程，不僅可以增進學生對數(shù)學知識、數(shù)學思想和數(shù)學方法的理解，而且還能啟迪他們進行數(shù)學發(fā)明和創(chuàng)造的智慧，達到以智啟智、促進智慧生長的目的。

在一定意義上，數(shù)學學習是學生在教學過程中重新發(fā)現(xiàn)和認識數(shù)學知識的過程。數(shù)學教學就是要教學生主動地建構自己的數(shù)學世界，建構起自己對數(shù)學知識的理解。當然，這里發(fā)現(xiàn)知識的過程與建構理解的路徑都應當是經(jīng)過教學設計的，因為許多數(shù)學知識的發(fā)生與發(fā)展過程極其緩慢，在教學中復制人類發(fā)現(xiàn)和認識的全過程既不可能也沒必要。波利亞給出了折中的建議，即在教一個概念時，應當讓孩子重蹈人類思維發(fā)展中的那些關鍵性步子。筆者認為，在關鍵性步子中應當包含關于方法的知識。下面以數(shù)概念的學習為例，討論如何在展開知識發(fā)生的過程中促進學生智慧的生長，探討在對數(shù)學知識進行“教學法加工”時如何融入“方法論重建”。

智慧體現(xiàn)在思考的過程中

數(shù)與數(shù)學如影隨形，無論對數(shù)學學科還是數(shù)學學習來說，數(shù)概念都是最為重要的基石。只要對自然數(shù)的產(chǎn)生與擴展過程稍微有些了解，就不能不敬畏人類創(chuàng)造位值制的智慧。馬克思稱贊十進制記數(shù)法是“最妙的發(fā)明之一”。然而，由于現(xiàn)在人們對自然數(shù)太過熟悉了，并且在學習中自然而然地接受了十進制記數(shù)規(guī)則，已經(jīng)很難體會到創(chuàng)造位值制是多么了不起的事，其數(shù)學思想與文化內涵被淹沒在知識的海洋中，人類創(chuàng)造位值制的智慧被知識的結果吞噬了。

應該說，過去的教學也比較關注位值的概念，特別是對于滿十進一的教學傾注了很多的力量。舉例說，在教學10的認識時，不只是把10作為一個數(shù)來認識，而且也把10作為一個新的計數(shù)單位來介紹。一般的教學流程是，先讓學生了解生活中用10表示的事物，如一捆鉛筆是10支，10個珠子串成一串等，再通過計數(shù)器的直觀演示，引導學生理解10個1是1個10，然后把10作為新的計數(shù)單位學習更大的數(shù)。不僅如此，在學習其他如“百”、“千”、“萬”等計數(shù)單位時，仍然十分強調重演這個“滿十進一”的過程。

需要注意的是，如果只是把滿十進一作為結果來教學，而沒有深層的思考，不去關注知識的發(fā)生過程，那么這樣的教學只是知識的傳授，還談不上是智慧的發(fā)展。史寧中教授指出，認識10000時，如果說10個1000是10000（10x1000=10000），這是把知識作為結果來教學。作為過程的教育，應當強調四位數(shù)能表示的最大的數(shù)是9999，如果要表示出比9999大1的數(shù)，我們祖先用一個新計數(shù)單位“萬”來表示（9999+1=10000）。兩種教學得到的結論是一樣的，但學生經(jīng)歷的思考過程則不完全相同，后者強調了為什么要引進一個新的單位，學生的學習經(jīng)歷了“再創(chuàng)造”的思考過程，而這個過程體現(xiàn)了人類創(chuàng)造位值制的智慧。此外，“+1”符合自然數(shù)公理系統(tǒng)（皮亞諾公理）中用后繼數(shù)定義自然數(shù)的方法。這樣看來，雖然是十進制記數(shù)法的重要原則，但這個結論應當從計數(shù)單位擴展的過程中歸納得到，而不宜直接把“滿十進一”作為產(chǎn)生新計數(shù)單位的依據(jù)。

體會A類設計這一規(guī)則背后的大智慧

位值制包含了數(shù)字和規(guī)則兩部分。如果我們的祖先只是發(fā)明了0～9這10個數(shù)字，大概也不值得我們今天為之歌功頌德。因為就這些數(shù)字本身來說，完全可以用其他的符號來代替。位值制更重要的價值內核是建立了一套簡單而實用的規(guī)則，即把一個數(shù)字放在不同的位置上表示出不同的數(shù)值，也就是數(shù)位不同計數(shù)單位也不同。按照這個規(guī)則，僅用10個數(shù)字就可以表示出無窮無盡的自然數(shù)。教學中，教師需要充分挖掘“滿十進一”的思想與文化內涵，才能真正體會人類設計這個規(guī)則背后的大智慧。

教學片段一：新計數(shù)單位是怎樣產(chǎn)生的？

師：我們已經(jīng)學習了很多關于自然數(shù)的知識，假如你有機會到外星球去游覽，那里沒有數(shù)學知識，你準備怎么向“外星人”介紹自然數(shù)呢？

生：自然數(shù)都是由0～9的數(shù)字組成的。

生：自然數(shù)的個數(shù)是無限的，數(shù)也數(shù)不完。

生：滿十進一。

師：這些都是關于自然數(shù)的重要知識。如果我們要向“外星人”展示我們“地球人”發(fā)明自然數(shù)的智慧，你認為應當重點介紹什么？

（學生答不出）

師：關于自然數(shù)發(fā)明中的智慧有很多，我們先從數(shù)字說起。（板書1、2、3、4、5、6、7、8、9）這是我們最熟悉的數(shù)字。

生：老師，怎么沒有0呀？

師：對呀，怎么把O給忘記了。（板書：O）其實O～9這10個數(shù)字不是一起發(fā)明的，據(jù)說“O”的出生要比其他的數(shù)字遲3000年。關于這一點，你們有什么話想說的？

生：哇！相差這么多。

生：沒有0的時候，人們怎么表示20呢？

生：我知道，沒有O的時候，人們要表示102，就在1和2之間空上一格?？墒沁@樣很容易把12和102混淆。

師：自然數(shù)的發(fā)明不僅是一個十分漫長的過程，而且也是一個逐步完善的過程。我們現(xiàn)在對自然數(shù)很熟悉了，認為這樣表示數(shù)是很自然的，因此也很難體會到這是我們祖先的偉大創(chuàng)造。不妨再作一個假設，假如我們祖先發(fā)明了0一的數(shù)之后，沒有想到用10來表示比9大的數(shù)，你們看可以怎么辦？

生：用一個其他的符號來表示，比如說是。

師：如果要表示比大1的數(shù)呢？

生：用表示。

生：這樣表示很麻煩。

生：再多了不容易記牢。

師：是的，如果沒有一定的規(guī)則，多1的數(shù)就用一個新的符號來表示，那么我們每天都必須帶上一本厚厚的數(shù)字字典，看到一個數(shù)時，就要拿出字典來查一查，看看這個符號表示什么。（學生哈哈笑）

師：（板書10，11，12，13……并與0，1，2，3……上下對齊）我們的祖先沒有引入新符號，而是把原來的數(shù)字加以重復利用，并且建立了一套重要的規(guī)則，這個規(guī)則是什么呢？

（小組討論，匯報）

生：在0的前面加1表示10，在1的前面加1表示11，在2的前面加1表示12。這些數(shù)只是十位上多了個1，個位上還是按照O，1，2，3，4……的順序。

生：十幾的數(shù)用完了，就把十位上的1換成2，二十幾的數(shù)用完了，就把十位上的2換成3，這樣依次換下去。

師：按照這樣的方法，可以很方便地表示出兩位數(shù)。（出示10×10排列的百數(shù)表，即O～99的數(shù)從小到大排列，每行10個）在這個數(shù)表中，把前一個數(shù)加上1就得到后一個數(shù)。比較每行最后一個數(shù)和下一行第一個數(shù)，為什么十位上的數(shù)都要加上1呢？

生：因為個位上是9了，比9大1的數(shù)是10，滿十進一。

師：我們可以把滿十進一說得更具體一些。以十幾的數(shù)為例，十幾的數(shù)最大的是19，再加1的時候十幾的數(shù)已經(jīng)沒有辦法表示了。只好在十位上加上1。但十位上的1表示的是一個10，是個位上的9和加進來的1湊起來的，所以個位又變成了0。

師：所以說，自然數(shù)構成的規(guī)則主要有兩條：一是把前面一個數(shù)加上1得到后一個數(shù)。二是滿十進一。多數(shù)情況下，有了這兩條規(guī)則就暢通無阻了，可是也有特殊的情況，比如說99再加上1怎么辦？

生：個位滿十向十位進一，十位滿十再向百位進一。

師：也可以這樣理解，兩位數(shù)能表示的最大的數(shù)是99，或者說比99多1的數(shù)兩位數(shù)已經(jīng)沒有辦法表示了，這時就需要——

生：增加數(shù)位。用三位數(shù)來表示。

師：這就產(chǎn)生了新的計數(shù)單位“百”。你能解釋1000是怎么來的嗎？

師：有人說十進制記數(shù)法是最妙的發(fā)明之一，你認為最“妙”的是什么？是發(fā)明了10個數(shù)字符號還是設計了“滿十進一”的規(guī)則？

小學數(shù)學教材以史料形式介紹了記數(shù)法，教學中側重于數(shù)的符號表示與“滿十進一”的計數(shù)規(guī)則，并不重視讓學生經(jīng)歷計數(shù)單位再創(chuàng)造的思考，學生對自然數(shù)構成規(guī)則的理解散落在數(shù)的認識之中，對位值制思想的認識只是一些沒有聯(lián)系的碎片。事實上，認數(shù)教學中位值制思想的缺失，會導致學生建立的數(shù)概念缺少文化底色，并可能直接造成學生對數(shù)概念理解的缺陷。

在規(guī)則變化中感悟思想方法

記數(shù)方法的第一項重大成果是位值制的發(fā)明。根據(jù)位值制的思想，設計不同的記數(shù)規(guī)則，表示數(shù)的方法就不一樣。即使現(xiàn)在已經(jīng)有了完善的十進位值制，二進制、六十進制等仍在廣泛使用。簡單地說，位值制就是“位置”加“數(shù)值”，把握了這兩點，可以創(chuàng)造出多樣化的表示數(shù)的方法。

教學片段二：一個點能表示出多大的數(shù)？

師：（在黑板上畫一個小圓點）一個點在數(shù)學上有很多表示，你能說出一些來嗎？

生：小數(shù)點，端點，垂足……

生：一個點還可以表示1。

師：（指黑板上的小圓點）如果這個點表示1，那么2怎么表示？

生：用兩個點。

師：照這樣，可以用3個點表示3，4個點表示4……很多數(shù)都可以表示出來，但是比較麻煩。有沒有更好的辦法？

生：用一個大的點表示10，再用更大的點表示100。

師：這是一個好主意。這里也有一種記數(shù)的方法，你們能不能解開這種記數(shù)法的密碼呢？

學生討論之后，教師指出一個點在不同位置可以表示不同的數(shù)。

師：寫出下面圖形所表示的數(shù)。

師：圖②表示是幾？

生：1+2+4=7。

師：你能表示出1～7的數(shù)嗎？

（學生答略）

師：圖③表示幾？你是怎么想的？

生：圖②表示的是7，這三個格子都滿了，所以第四個格子可以表示8。

師：（指圖②）也就是說，這三個格子能表示的最大的數(shù)是7，不能再表示更大的數(shù)了，所以第四個格子要表示8，對嗎？

生：對。

師：讓第四個格子表示9或10行不行？

生：不行！這樣8就沒辦法表示了。

師：在2x2的方格圖中，能表示最大的數(shù)是多少？

生：15。1+2+4+8=15。

師：在這里，我們也可以把1，2，4，8當作計數(shù)單位。如右圖：

師：自己想表示幾個數(shù)，先在圖上畫點表示，再用加法算式表示出來。

生：如果要表示比15大1的數(shù)怎么辦？

生：增加格子。

師：下一個格子的計數(shù)單位應當是多少？你是怎么想的？

生：16。因為這些計數(shù)單位是有規(guī)律的，1，2，4，8，16，后一個數(shù)是前一個數(shù)的2倍。

生：還有，四個格子能表示最大的數(shù)是15，下一個格子就是16。

師：16后面的計數(shù)單位是什么？

生：（齊說）32，64，128，256，512，1024……

師：把這種記數(shù)方法與前面那種1個點表示1，兩個點表示2，三個點表示3……方法比一比，你比較喜歡哪一種？為什么？

生：當然是剛才的這一種，這一種簡單多了。前面那種一個點只能表示1，這里一個點能表示很大的數(shù)。

師：是的，當把點和位置結合起來表示數(shù)時，一個點可以表示不同的數(shù)。我們學習的十進制記數(shù)法也是采用了這樣的辦法。比如12，2022這兩個數(shù)中都有2，但由于它們在不同的位置上，表示的大小也不相同。

師：其實用點的位置表示數(shù)的方法還有很多。如

師：你能看懂這種表示數(shù)的方法嗎？

學生解釋后，再讓他們自己創(chuàng)造一些用點的位置表示數(shù)的方法。

仍然需要強調的是，規(guī)則才是位值制的核心。一套合適的記數(shù)規(guī)則包含了不重復、不遺漏等諸多的要求，這需要學生在經(jīng)歷創(chuàng)造的過程中去體會。但事實上，不管是記數(shù)方法還是記數(shù)規(guī)則，都不是越多越好。

把知識“聯(lián)”起來

一般認為，分數(shù)的產(chǎn)生是數(shù)概念的一次重要的擴展，而小數(shù)的產(chǎn)生并沒有什么新的創(chuàng)造。在小數(shù)點及其記數(shù)系統(tǒng)完善之前，人們早就在使用分數(shù)了。為什么有了分數(shù)還要發(fā)明小數(shù)呢？為什么小數(shù)的計算比分數(shù)更簡單？這兩個問題的答案是一致的，都是因為十進制小數(shù)與整數(shù)共享一個位值制，使得整數(shù)計算法則可以直接運用到小數(shù)計算中來，這給學習小數(shù)計算帶來了許多便利。張莫宙教授指出，小數(shù)是十進制計數(shù)向相反方向延伸的結果。對小數(shù)意義的學習，應當重視讓學生經(jīng)歷從整數(shù)擴展到小數(shù)的過程，特別是經(jīng)歷對小數(shù)計數(shù)單位再創(chuàng)造的過程，進而體會小數(shù)與整數(shù)構成規(guī)則的一致性。

師：一個正方形用“1”表示，如果把正方形平均分成10份，1份可以怎樣表示？

生：1/10，或者說0.1。

師：2份呢？

生：2/10，0.2。

師：0.2里面有2個0.1，0.1是一個新的計數(shù)單位。

師：把正方形平均分成10份，能表示出哪些小數(shù)？

生：0.1，0.2，0.3……0.9。

師：這些都是一位小數(shù)，它們的計數(shù)單位是一樣的，都是——

生：0.1。

師：如果要表示兩位小數(shù)，比如0.03。怎么辦？

生：把正方形平均分成100份，1份就是1/100，也是0.01。3個0.01就是0.03。

師：請你在圖上先表示出0.01，再表示出0.03。

師：以0.01為單位，你還能表示出哪些數(shù)？

通過對正方形進行10等分、100等分的解釋和分析，讓學生經(jīng)歷計數(shù)單位的再創(chuàng)造過程，并在活動中體會小數(shù)是十進制記數(shù)向相反方向延伸的結果。此外，這種思路暗合了度量不能得到整數(shù)結果時需要創(chuàng)造更小的單位，本質上與小數(shù)產(chǎn)生的過程是一致的。