平面向量的數(shù)量積平面向量 高考一輪數(shù)學(xué)公開課一等獎?wù)n件省課獲獎?wù)n件

學(xué)案3平面向量數(shù)量積第1頁返回目錄

1.平面向量數(shù)量積已知兩個非零向量a和b,則

叫做a與b數(shù)量積(或內(nèi)積),記作

.

要求:零向量與任歷來量數(shù)量積為

.

兩個非零向量a與b垂直充要條件是

,兩個非零向量a與b平行充要條件是

.

|a||b|·cos<a,b>a·b=|a||b|·cos<a,b>0a·b=0a·b=±|a||b|考點分析第2頁返回目錄

2.平面向量數(shù)量積幾何意義數(shù)量積a·b等于a長度|a|與b在a方向上投影

乘積.

3.平面向量數(shù)量積主要性質(zhì)

(1)e·a=a·e=

;(2)非零向量a,b,a⊥b

;(3)當(dāng)a與b同向時,a·b=

;

當(dāng)a與b反向時,a·b=

,a·a=

,|a|=

;|b|cos<a,b>|a|cos<a,e>a·b=0|a||b|-|a||b|a2第3頁返回目錄

(4)cosθ=

;(5)|a·b|

|a||b|.4.平面向量數(shù)量積滿足運算律(1)a·b=

(交換律);(2)(λa)·b=

=

(λ為實數(shù));(3)(a+b)·c=

.≤b·aλa·ba·λba·c+b·c第4頁5.平面向量數(shù)量積有關(guān)性質(zhì)坐標(biāo)表達(dá)設(shè)向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a·b=

,由此得到:若a=(x,y),則|a|2=

或|a|=

.(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則A,B兩點間距離|AB|=|AB|=

.(3)設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a⊥b

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x1x2+y1y2=0x1x2+y1y2

x2+y2

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已知向量a=(cosx,sinx),b=(cos,-sin),且x∈〔-,〕.(1)求a·b及|a+b|;(2)若f(x)=a·b-|a+b|,求f(x)最大值和最小值.考點一數(shù)量積計算題型分析第6頁返回目錄

【解析】(1)a·b=cosxcos-sinxsin=cos2x,a+b=(cosx+cos,sinx–sin),∵x∈(),∴cosx>0,∴|a+b|=2︱cosx︱.【分析】利用數(shù)量積坐標(biāo)運算及性質(zhì)即可求解,在求|a+b|時注意x取值范圍.第7頁(2)由（1）可得f(x)=cos2x-2cosx=2cos2x-2cosx-1=2(cosx-)2-.∵x∈〔〕,∴≤cosx≤1,∴當(dāng)cosx=時,f(x)取得最小值為-;當(dāng)cosx=1時,f(x)取得最大值為-1.返回目錄

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【評析】(1)與三角函數(shù)相結(jié)合考查向量數(shù)量積坐標(biāo)運算及其應(yīng)用是高考熱點題型.解答此類問題,除了要純熟掌握向量數(shù)量積坐標(biāo)運算公式、向量模、夾角坐標(biāo)運算公式外，還應(yīng)掌握三角恒等變換有關(guān)知識.(2)求平面向量數(shù)量積步驟:首先求a與b夾角為θ,θ∈［0°,180°］,再分別求|a|,|b|,然后再求數(shù)量積即a·b=|a||b|cosθ,若懂得向量坐標(biāo)a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a·b=x1x2+y1y2.第9頁＊對應(yīng)演練＊已知|a|=3,|b|=4,且a與b夾角為θ=150°,求a·b,(a-b)2,|a+b|.a·b=|a|·|b|·cosθ=-6.（a-b）2=|a|2+|b|2-2a·b=25+12.|a+b|=返回目錄

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設(shè)向量a,b,c滿足a+b+c=0,(a-b)⊥c,a⊥b.若|a|=1,則|a|2+|b|2+|c|2值是

.【分析】由垂直充要條件,尋找|a|,|b|,|c|之間關(guān)系.考點二利用向量處理垂直問題【解析】∵a⊥b,b=-a-c,∴a·b=a·(-a-c)=-|a|2-a·c=0,∴a·c=-|a|2=-1.又∵(a-b)⊥c,∴(a-b)·c=0,∴a·c=b·c=-1.∵a=-b-c,∴|a|2=|b|2+|c|2+2b·c,∴|b|2+|c|2=|a|2-2b·c=3,∴|a|2+|b|2+|c|2=4.第11頁返回目錄

【評析】垂直問題是一種主要知識點,在高考題中經(jīng)常出現(xiàn),常與向量模、向量坐標(biāo)表達(dá)等聯(lián)系在一起，要尤其注意垂直與平行區(qū)分.若a=(a1,a2),b=(b1,b2),則a⊥ba1a2+b1b2=0,a∥ba1b2-a2b1=0.第12頁返回目錄

＊對應(yīng)演練＊已知a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ)(0<α<β<π).(1)求證:a+b與a-b互相垂直;(2)若ka+b與a-kb模相等,求β-α(其中k為非零實數(shù)).第13頁(1)證明:(a+b)·(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2=(cos2α+sin2α)-(cos2β+sin2β)=0,∴a+b與a-b互相垂直.(2)ka+b=(kcosα+cosβ,ksinα+sinβ),a-kb=(cosα-kcosβ,sinα-ksinβ),|ka+b|=,|a-kb|=.∵|ka+b|=|a-kb|,∴2kcos(β-α)=-2kcos(β-α).又k≠0,∴cos(β-α)=0.而0<α<β<π,∴β-α=.返回目錄

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設(shè)兩個向量e1,e2滿足|e1|=2,|e2|=1,e1與e2夾角為,若向量2te1+7e2與e1+te2夾角為鈍角,求實數(shù)t范圍.【分析】由公式cosθ=可得θ若為鈍角,則cosθ<0,即a·b<0,從而可求出λ取值范圍,同步要注意共線反向,即θ=π這一情況.考點三利用向量處理夾角問題第15頁返回目錄

【解析】由向量2te1+7e2與e1+te2夾角為鈍角,得即(2te1+7e2)·(e1+te2)<0,化簡即得2t2+15t+7<0,解得-7<t<-.當(dāng)夾角為π時，也有(2te1+7e2)·(e1+te2)<0,但此時夾角不是鈍角，2te1+7e2與e1+te2反向.設(shè)2te1+7e2=λ(e1+te2),λ<0,第16頁2t=λ7=λtλ<0,∴所求實數(shù)t范圍是(-7,)∪(,).可求得∴返回目錄

第17頁【評析】（1）本題中,當(dāng)(2te1+7e2)·(e1+te2)<0時,也包括了向量2te1+7e2與e1+te2夾角為π即方向相反情況,應(yīng)排除這種情況.(2)公式cosθ=可求a,b

夾角及夾角取值范圍，應(yīng)用時，要注意y=cosx在x∈［0,π］上單調(diào)性.返回目錄

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＊對應(yīng)演練＊已知|a|=,|b|=1,a與b夾角為45°,求使向量(2a+λb)與(λa-3b)夾角是銳角λ取值范圍.由|a|=,|b|=1,a與b夾角為45°,得a·b=|a||b|cos45°=×1×=1,∴(2a+λb)·(λa-3b)=2λa2-6a·b+λ2a·b-3λb2=λ2+λ-6.設(shè)向量(2a+λb)與(λa-3b)夾角為θ,則且cosθ≠1,第19頁返回目錄

由(2a+λb)·(λa-3b)>0得λ2+λ-6>0,∴λ>2或λ<-3.假設(shè)cosθ=1,則2a+λb=k(λa-3b)(k>0),2=kλλ=-3k,故使向量2a+λb和λa-3b夾角為0λ不存在.∴當(dāng)λ>2或λ<-3時,向量(2a+λb)與(λa-3b)夾角是銳角.解得k2=-.∴第20頁返回目錄

已知向量m=(cosθ,sinθ)和n=(-sinθ,cosθ),θ∈(π,2π),且|m+n|=,求cos()值.【分析】從向量模入手，求出θ滿足條件.考點四以向量為載體綜合問題第21頁【解析】解法一：由題意知m+n=(cosθ-sinθ+,cosθ+sinθ),∴|m+n|==由已知|m+n|=,得cosθ+=.又∵cos(θ+)=2cos2(+)-1,∴cos2()=.∵π<θ<2π,∴<<.∴cos()<0.∴cos()=-.返回目錄

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解法二：|m+n|2=(m+n)2=m2+2m·n+n2=|m|2+|n|2+2m·n+2［cosθ(-sinθ)+sinθcosθ］=4+2(cosθ-sinθ)=4〔1+cos(θ+)〕=8cos2().由已知|m+n|=,得cos︳︳=.∵π<θ<2π,∴<<.∴cos()<0.∴cos()=-.第23頁返回目錄

【評析】本題主要以向量作為載體，實質(zhì)上是考查三角中求值問題，注意倍角公式利用.第24頁＊對應(yīng)演練＊設(shè)△ABC三個內(nèi)角A，B，C所正確邊長分別為a,b,1，已知向量u=a(cosB,sinB),v=b(cosA,-sinA).（1）假如u⊥v，指出△ABC形狀，并說明理由;（2）求|u+v|.返回目錄

第25頁（1）由u⊥v知u·v=0,即［a(cosB,sinB)］·［b(cosA,-sinA)］=0,∴cosBcosA-sinBsinA=0,∴cos(A+B)=0.又∵0<A+B<π，則A+B=.因此△ABC為直角三角形.返回目錄

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（2）由u=a(cosB,sinB),v=b(cosA,-sinA)知|u|=a,|v|=b,cos<u,v>==cos(A+B)=-cosC.∴|u+v|2=u2+v2+2u·v=u2+v2+2|u||v|cos<u,v>=u2