拉格朗日中值定理洛必達(dá)法則課件

§3.5拉格朗日中值定理與洛必達(dá)法則一、案例引入二、討論分析1、拉格朗日中值定理2、洛必達(dá)法則§3.5拉格朗日中值定理與洛必達(dá)法則一、案例引入二、討論分1在兩個(gè)高度相同的點(diǎn)間的一段連續(xù)曲線上，除端點(diǎn)外如果各點(diǎn)都有不垂直于x軸的切線，那么至少有一點(diǎn)處的切線水平的.

xyabPOAB案例引入在兩個(gè)高度相同的點(diǎn)間的一段連續(xù)曲線上，除端點(diǎn)外如果各點(diǎn)都有不21、定理3-6（拉格朗日（Lagrange）中值定理）如果函數(shù)f(x)滿足下列條件：（1）在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);（2）在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，那么在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得:一、拉格朗日（Lagrange）中值定理或討論分析1、定理3-6（拉格朗日（Lagrange）中值定理）如果3OxyABbaC由定理的條件可知,連接端點(diǎn)A和B作弦AB,則

2、拉格朗日中值定理的幾何直觀曲線在上是一條連續(xù)的曲線弧曲線弧內(nèi)部每一點(diǎn)處都有不垂直于x軸的切線.ξ

討論分析OxyABbaC由定理的條件可知,連接端點(diǎn)A和B作弦4

足拉格朗日中值定理的條件．

解所以函數(shù)在[0,2]上滿上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間(0,2)內(nèi)可導(dǎo)，函數(shù)在上滿足拉格朗日定理么？例1如果滿足，求出使定理成立的的值。

故在閉區(qū)間[0,2]是初等函數(shù)，又令解得即討論分析足拉格朗日中值定理的條件．解所以函數(shù)在[0,2]5例2證明：對(duì)任意不等式解設(shè)顯然它在上滿足即

成立．拉格朗日中值定理的條件，所以有顯然有

3、拉格朗日中值定理應(yīng)用（1）證明不等式；（2）證明等式即

討論分析例2證明：對(duì)任意不等式解設(shè)顯然它在上滿足6例3.證明不等式證:設(shè)朗日中值定理?xiàng)l件,即因?yàn)楣室虼藨?yīng)有顯然f(t)在[0,x]上滿足拉格即討論分析例3.證明不等式證:設(shè)朗日中值定理?xiàng)l件,即因?yàn)楣室虼藨?yīng)有7證設(shè)為區(qū)間I上任意兩點(diǎn)（不妨設(shè))在上滿足拉格朗日中值定理的條件，則即由于故f(x)在區(qū)間I上為一常數(shù)．即函數(shù)f(x)在區(qū)間I上任意兩點(diǎn)的函數(shù)值相等，則推論1若函數(shù)上滿足在區(qū)間f(x)在區(qū)間I上必為一常數(shù)．所以顯然，討論分析證設(shè)為區(qū)間I上任意兩點(diǎn)（不妨設(shè))8證:設(shè)由推論可知(C為常數(shù))令x=0,得又故所證等式在定義域上成立.小結(jié):欲證時(shí)只需證在I上例4.證明等式在(-1,1)上有：討論分析證:設(shè)由推論可知(C為常數(shù))令x=0,得又9則(C常數(shù))．

推論2

若兩個(gè)函數(shù)與的導(dǎo)數(shù)在區(qū)間I內(nèi)相等，即練習(xí):討論分析則(C常數(shù))．推論2若兩個(gè)函數(shù)與的導(dǎo)數(shù)在區(qū)間I10若函數(shù)滿足:(1)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)(2)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)(3)

f(a)=f(b)使在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)4、補(bǔ)充：羅爾（Rolle）定理應(yīng)用說(shuō)明：（1）證明方程f(x)=0

根的唯一性。（2）證明方程有根。討論分析若函數(shù)滿足:(1)在區(qū)間11例5.證明方程有且僅有一個(gè)小于1的正實(shí)根.證:1)根的存在性.則在[0,1]連續(xù),且由零點(diǎn)定理知存在使設(shè)即即方程有小于1的正根討論分析例5.證明方程有且僅有一個(gè)小于1的正實(shí)根.證:1)122)根的唯一性.假設(shè)另有滿足羅爾定理?xiàng)l件,至少存在一點(diǎn)但矛盾,故假設(shè)不真!討論分析2)根的唯一性.假設(shè)另有滿足羅爾定理?xiàng)l件,至少存在一點(diǎn)13例6若方程有正根證明：方程在內(nèi)必定有根。證明：令則在上連續(xù)，在存在，且所以在滿足羅爾定理的條件。根據(jù)羅爾定理可知，在上至少存在一點(diǎn)使即是方程的根。討論分析例6若方程14二、洛必達(dá)法則當(dāng)（或）時(shí)，如果兩個(gè)函數(shù)那么極限都是無(wú)窮小或都是無(wú)窮大，可能存在、也可能不存在．通常稱這種極限為未定式的極限，并分別簡(jiǎn)記為或討論分析二、洛必達(dá)法則當(dāng)（或15又滿足條件：（1）則的左右近旁可導(dǎo)，且定理3-7設(shè)在點(diǎn)（2）存在（或?yàn)闊o(wú)窮大）．1、型未定式討論分析又滿足條件：（1）則的左右近旁可導(dǎo)，且定理3-7設(shè)在點(diǎn)（16

這種通過(guò)分子與分母分別求導(dǎo)來(lái)確定未定式的結(jié)論仍然成立．極限值的方法稱作洛必達(dá)法則．說(shuō)明：如果把極限過(guò)程換成：討論分析這種通過(guò)分子與分母分別求導(dǎo)來(lái)確定未定式的結(jié)17解這是型未定式．例7求由洛必達(dá)法則，得討論分析解這是型未定式．例7求由洛必達(dá)法則，得討論分析18解這是型未定式，例8求．

由洛必達(dá)法則，得注意：如果應(yīng)用洛必達(dá)法則后所得到的極限仍然是未定式，且滿足洛必達(dá)法則的條件，則可繼續(xù)使用洛必達(dá)法則，直至求出極限為止．討論分析解這是型未定式，例8求由洛必達(dá)法則，得注意：如19極限是否為未定式．特別注意的是，在每次使用洛必達(dá)法則前,都要驗(yàn)證討論分析極限是否為未定式．特別注意的是，在每次使用洛必達(dá)法則前,都20例9求解這是

型未定式，由洛必達(dá)法則，得討論分析例9求解這是型未定式，由洛必達(dá)法則，得21練習(xí)：求討論分析練習(xí)：求討論分析22的左右近旁可導(dǎo)，且定理3-8設(shè)在點(diǎn)又滿足條件：

存在（或?yàn)闊o(wú)窮大），

則2、型未定式；討論分析的左右近旁可導(dǎo)，且定理3-8設(shè)在點(diǎn)又滿足條件：存在（或23例10

求

型未定式，解

這是由洛必達(dá)法則，得討論分析例10求型未定式，解這是由洛必達(dá)法則，得24例11求解這是型未定式，由洛必達(dá)法則，得討論分析例11求解這是型未定式，由洛必達(dá)法則，得討25練習(xí)：求極限討論分析練習(xí)：求極限討論分析263、未定式的其它類型：變形，轉(zhuǎn)化為所有這些類型的未定式都可通過(guò)適當(dāng)或求解．（2）和差形式的未定式，簡(jiǎn)記為（3）冪指形式的未定式，簡(jiǎn)記為（1）乘積形式的未定式，簡(jiǎn)記為討論分析3、未定式的其它類型：變形，轉(zhuǎn)化為所有這些類型的未定式都可通27例12求解這是型未定式，將其變形為

這是

型未定式，由洛必達(dá)法則，得討論分析例12求解這是型未定式，將其變形為28例13求

解這是型未定式，通分后可化為型未定式，利用洛必達(dá)法則，得這是原式討論分析例13求解這是型未定式，通分后可化為型未定式，29例14求

解這是型未定式，將其改寫成，是型未定式，所以由洛必達(dá)法則，得討論分析例14求解這是型未定式，將其改寫成，是型未定式30注：洛必達(dá)法則對(duì)求未定式的極限并非始終有效，而不存在(也不是無(wú)窮大)，所以右端的有些未定式利用洛必達(dá)法則求不出極限．是型的未定式，如極限不存在．討論分析注：洛必達(dá)法則對(duì)求未定式的極限并非始終有效，而31該極限是否就真的不存在呢？事實(shí)上：討論分析該極限是否就真的不存在呢？事實(shí)上：討論分析32費(fèi)馬(1601–1665)法國(guó)數(shù)學(xué)家,他是一位律師,數(shù)學(xué)只是他的業(yè)余愛(ài)好.他興趣廣泛,博覽群書并善于思考,在數(shù)學(xué)上有許多重大貢獻(xiàn).他特別愛(ài)好數(shù)論,他提出的費(fèi)馬大定理:至今尚未得到普遍的證明.他還是微積分學(xué)的先驅(qū),費(fèi)馬引理是后人從他研究最大值與最小值的方法中提煉出來(lái)的.討論分析費(fèi)馬(1601–1665)法國(guó)數(shù)學(xué)家,他是一位律師,數(shù)學(xué)33羅爾是法國(guó)數(shù)學(xué)家，1652年4月21日生于昂貝爾特，1719年11月8日卒于巴黎。羅爾在數(shù)學(xué)上的成就主要是在代數(shù)方面，專長(zhǎng)于丟番圖方程的研究。羅爾于1691年在題為《任意次方程的一個(gè)解法的證明》的論文中指出了：在多項(xiàng)式方程的兩個(gè)相鄰的實(shí)根之間，方程至少有一個(gè)根。在一百多年后，1846年尤斯托(GiustoBellavitis)將這一定理推廣到可微函數(shù)，并將此定理命名為羅爾定理。討論分析羅爾是法國(guó)數(shù)學(xué)家，1652年4月21日討論分析34拉格朗日(1736–1813)法國(guó)數(shù)學(xué)家.他在方程論,解析函數(shù)論,及數(shù)論方面都作出了重要的貢獻(xiàn),近百余年來(lái),數(shù)學(xué)中的許多成就都直接或間接地溯源于他的工作,他是對(duì)分析數(shù)學(xué)產(chǎn)生全面影響的數(shù)學(xué)家之一.討論分析拉格朗日(1736–1813)法國(guó)數(shù)學(xué)家.他在方程論,35柯西(1789–1857)