2020年高考真題-數(shù)學(xué)（全國(guó)卷III）（理科）

2020年高考真題——數(shù)學(xué)（全國(guó)卷III）（理科）1.已知集合，，則中元素的個(gè)數(shù)為（

）A.

B.

C.

D.

知識(shí)點(diǎn)：交集按元素的屬性分（點(diǎn)集、數(shù)集）答案：C解析：由題意，中的元素滿足，且，

由，得，

所以滿足的有，

故中元素的個(gè)數(shù)為故選C.總結(jié)：本題主要考查集合的交集運(yùn)算，考查學(xué)生對(duì)交集定義的理解.2.復(fù)數(shù)的虛部是（

）A.

B.

C.

D.

知識(shí)點(diǎn)：復(fù)數(shù)的有關(guān)概念復(fù)數(shù)的乘法復(fù)數(shù)的除法答案：D解析：因?yàn)椋?/p>

所以復(fù)數(shù)的虛部為故選D.3.在一組樣本數(shù)據(jù)中，，，，出現(xiàn)的頻率分別為，且，則下面四種情形中，對(duì)應(yīng)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差最大的一組是（

）A.

B.

C.

D.

知識(shí)點(diǎn)：方差與標(biāo)準(zhǔn)差答案：B解析：對(duì)于A選項(xiàng)，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為

方差為

對(duì)于B選項(xiàng)，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為

方差為

對(duì)于C選項(xiàng)，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為

方差為

對(duì)于D選項(xiàng)，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為

方差為

因此，B選項(xiàng)這一組的標(biāo)準(zhǔn)差最大

故選B.總結(jié)：本題考查標(biāo)準(zhǔn)差的大小比較，考查方差公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力.4.模型是常用數(shù)學(xué)模型之一，可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)城．有學(xué)者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計(jì)確診病例數(shù)的單位：天的模型：，其中為最大確診病例數(shù)．當(dāng)(時(shí)，標(biāo)志著已初步遏制疫情，則約為（

）A.

B.

C.

D.

知識(shí)點(diǎn)：指數(shù)與對(duì)數(shù)的關(guān)系對(duì)數(shù)型函數(shù)模型的應(yīng)用答案：C解析：，所以，則，

所以，，解得

故選C.總結(jié)：本題考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算，考查指數(shù)與對(duì)數(shù)的互化，考查計(jì)算能力.5.設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與拋物線：交于，兩點(diǎn)，若則的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A.

B.

C.

D.

知識(shí)點(diǎn)：拋物線的定義拋物線的對(duì)稱性答案：B解析：因?yàn)橹本€?與拋物線?交于?兩點(diǎn)，且?，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可以確定?，所以?，

代入拋物線方程?，求得?，所以其焦點(diǎn)坐標(biāo)為?，故選B.總結(jié)：該題考查的是有關(guān)圓錐曲線的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有直線與拋物線的交點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱性，點(diǎn)在拋物線上的條件，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo).6.已知向量，滿足?，?，?，則（

）A.

B.

C.

D.

知識(shí)點(diǎn)：向量的模數(shù)量積的運(yùn)算律向量的數(shù)量積的定義向量的夾角答案：D解析：?，?，?，?.?，

因此，?.

故選D.7.在中，，，則（

）A.

B.

C.

D.

知識(shí)點(diǎn)：余弦定理及其應(yīng)用答案：A解析：在?中，，?

根據(jù)余弦定理：?即，?

可得?

，即，

又，?

故?.

故選A.8.下圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積是

（

）

A.

B.

C.

D.

知識(shí)點(diǎn)：三視圖棱柱、棱錐、棱臺(tái)的側(cè)面積與表面積答案：C解析：根據(jù)三視圖特征，在正方體中截取出符合題意的立體圖形

?

根據(jù)立體圖形可得：，?

根據(jù)勾股定理可得：?

?是邊長(zhǎng)為的等邊三角形

根據(jù)三角形面積公式可得：，?

該幾何體的表面積是：?.

故選C.總結(jié)：本題主要考查了根據(jù)三視圖求立體圖形的表面積問(wèn)題，解題關(guān)鍵是掌握根據(jù)三視圖畫出立體圖形，考查了分析能力和空間想象能力.9.已知，則

（

）A.

B.

C.

D.

知識(shí)點(diǎn)：兩角和與差的正切公式答案：D解析：?，?，

令?，則?，整理得?，解得，即?.

故選D.總結(jié)：本題主要考查了利用兩角和的正切公式化簡(jiǎn)求值.10.若直線與曲線和都相切，則的方程為（

）A.

B.

C.

D.

知識(shí)點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義直線和圓相切答案：D解析：設(shè)直線在曲線?上的切點(diǎn)為?，則?，

函數(shù)?的導(dǎo)數(shù)為?，則直線的斜率?，

設(shè)直線的方程為?即?，

由于直線與圓?相切，則?，

兩邊平方并整理得?，解得?（舍），

則直線的方程為?，即?

.

故選D.總結(jié)：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用以及直線與圓的位置的應(yīng)用，屬于中檔題.11.設(shè)雙曲線：（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為．是上一點(diǎn)，且?．若?的面積為，則（

）A.

B.

C.

D.

知識(shí)點(diǎn)：雙曲線的離心率三角形的面積（公式）雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程雙曲線的定義答案：A解析：?，根據(jù)雙曲線的定義可得?，?，即，

，?，

，?即?，解得，

故選A.12.已知，．設(shè)，，，則（

）A.

B.

C.

D.

知識(shí)點(diǎn)：基本不等式的綜合應(yīng)用對(duì)數(shù)式的大小的比較指數(shù)（型）函數(shù)的單調(diào)性指數(shù)與對(duì)數(shù)的關(guān)系對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)對(duì)數(shù)的換底公式及其推論答案：A解析：由題意可知?，?，?；由?，得，由，得，，可得.

由?，得，由，得，，可得；

綜上所述，?.

故選A.總結(jié)：本題考查對(duì)數(shù)式的大小比較，涉及基本不等式、對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化以及指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，考查推理能力.13.若，滿足約束條件，則的最大值為

?．知識(shí)點(diǎn)：簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題答案：7解析：不等式組所表示的可行域如圖，因?yàn)?，所以?，易知截距越大，則越大，平移直線?，當(dāng)?經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)截距最大，此時(shí)最大，由?，得?，

所以?故答案為7.?14.的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是

?（用數(shù)字作答）．知識(shí)點(diǎn)：二項(xiàng)式定理的應(yīng)用答案：解析：?其二項(xiàng)式展開(kāi)通項(xiàng)：?

??

當(dāng)?，

解得,?的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是：?.

故答案為.總結(jié)：本題考查二項(xiàng)式定理，利用通項(xiàng)公式求二項(xiàng)展開(kāi)式中的指定項(xiàng)，解題關(guān)鍵是掌握?的展開(kāi)通項(xiàng)公式?，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.15.已知圓錐的底面半徑為，母線長(zhǎng)為，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為

?．知識(shí)點(diǎn)：與球有關(guān)的切、接問(wèn)題球的體積圓錐的結(jié)構(gòu)特征及其性質(zhì)答案：解析：易知半徑最大球?yàn)閳A錐的內(nèi)切球，球與圓錐內(nèi)切時(shí)的軸截面如圖所示，其中?，，且點(diǎn)邊上的中點(diǎn)，設(shè)內(nèi)切圓的圓心為，

?

由于?，故?，設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則：?

?，

解得?，其體積?.

故答案為?.16.關(guān)于函數(shù)（）

有如下四個(gè)命題：

①（）的圖象關(guān)于軸對(duì)稱．

②（）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．

③（）的圖象關(guān)于直線對(duì)稱．

④（）的最小值為．

其中所有真命題的序號(hào)是

?．知識(shí)點(diǎn)：利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)角與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系函數(shù)的最大(小)值角與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)函數(shù)奇、偶性的圖象特征函數(shù)奇、偶性的定義函數(shù)的對(duì)稱性正弦（型）函數(shù)的定義域和值域答案：②③解析：對(duì)于命題①，，?，則?，

所以，函數(shù)（）的圖象不關(guān)于軸對(duì)稱，命題①錯(cuò)誤；

對(duì)于命題②，函數(shù)（）的定義域?yàn)?，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

?，

所以，函數(shù)（）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，命題②正確；對(duì)于命題③，?，

?，則?，

所以，函數(shù)（）的圖象關(guān)于直線?對(duì)稱，命題③正確；對(duì)于命題④，當(dāng)?時(shí)，?，則?，命題④錯(cuò)誤.

故答案為②③.17.設(shè)數(shù)列滿足，．(1)計(jì)算，，猜想的通項(xiàng)公式并加以證明；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．知識(shí)點(diǎn)：數(shù)列的遞推公式數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和*數(shù)學(xué)歸納法答案：(1)由題意可得?，?，

由數(shù)列?的前三項(xiàng)可猜想數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，即?，

證明如下：當(dāng)時(shí)，?成立；

假設(shè)時(shí)，?成立.

那么?時(shí)，?也成立.

則對(duì)任意的?，都有?成立；(2)由（）可知，?，①?

?，②由①②得：??，

即.?解析：(1)利用遞推公式得出?，猜想得出的通項(xiàng)公式，利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可；(2)由錯(cuò)位相減法求解即可.總結(jié)：(2)本題主要考查了求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，屬于中檔題.18.某學(xué)生興趣小組隨機(jī)調(diào)查了某市

天中每天的空氣質(zhì)量等級(jí)和當(dāng)天到某公園鍛煉的人次，整理數(shù)據(jù)得到下表（單位：天）：鍛煉人次

空氣質(zhì)量等級(jí)（優(yōu)）（良）（輕度污染）（中度污染）(1)分別估計(jì)該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)為，，，的概率；(2)求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計(jì)值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；(3)若某天的空氣質(zhì)量等級(jí)為或，則稱這天空氣質(zhì)量好；若某天的空氣質(zhì)量等級(jí)為或，則稱這天空氣質(zhì)量不好．根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有的把握認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)？

人次人次空氣質(zhì)量好

空氣質(zhì)量不好

附：，

知識(shí)點(diǎn)：眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)獨(dú)立性檢驗(yàn)及其應(yīng)用用頻率估計(jì)概率頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖答案：(1)由頻數(shù)分布表可知，該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)為的概率為?，

等級(jí)為的概率為?，

等級(jí)為的概率為?，

等級(jí)為的概率為.?(2)由頻數(shù)分布表可知，一天中到該公園鍛煉的人次的平均數(shù)為.?(3)?列聯(lián)表如下：

人次人次空氣質(zhì)量好空氣質(zhì)量不好?，

因此，有的把握認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān).解析：(1)根據(jù)頻數(shù)分布表可計(jì)算出該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)分別為，，，的概率；(2)利用每組的中點(diǎn)值乘以頻數(shù)，相加后除以可得結(jié)果；(3)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)完善列聯(lián)表，計(jì)算出的觀測(cè)值，再結(jié)合臨界值表可得結(jié)論.總結(jié)：(3)本題考查利用頻數(shù)分布表計(jì)算頻率和平均數(shù)，同時(shí)也考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用，考查數(shù)據(jù)處理能力，屬于基礎(chǔ)題.??19.如圖，在長(zhǎng)方體中，點(diǎn)分別在棱上，且，．

(1)證明：點(diǎn)在平面內(nèi)；(2)若，，，求二面角的正弦值．知識(shí)點(diǎn)：立體幾何中的四點(diǎn)共面、三點(diǎn)共線基本事實(shí)4用空間向量研究?jī)蓚€(gè)平面所成的角答案：(1)在棱上取點(diǎn)，使得，連接、

??在長(zhǎng)方體中，且，且，

?，，且，所以，四邊形?為平行四邊形，則?且，

同理可證四邊形?為平行四邊形，?且，?且，則四邊形?為平行四邊形，

因此，點(diǎn)?在平面?內(nèi)；(2)以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系?，則，

，,?設(shè)平面的法向量為，由?，得?取?，得?，則?，

設(shè)平面?的法向量為?，由?，得?，

取?，得?，則?，?

?，

設(shè)二面角?的平面角為?，則?，?.

因此，二面角?的正弦值為?.解析：(1)連接?，證明出四邊形為平行四邊形，進(jìn)而可證得點(diǎn)在平面內(nèi)；(2)以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系?，利用空間向量法可計(jì)算出二面角?的余弦值，進(jìn)而可求得二面角的正弦值.總結(jié)：(2)本題考查點(diǎn)在平面的證明，同時(shí)也考查了利用空間向量法求解二面角角，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中等題.20.已知橢圓的離心率為，，分別為的左、右頂點(diǎn)．(1)求的方程；(2)若點(diǎn)在上，點(diǎn)在直線上，且，，求的面積．知識(shí)點(diǎn)：橢圓的離心率橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓的定義直線與橢圓的綜合應(yīng)用三角形的面積（公式）直線與圓錐曲線的其他應(yīng)用答案：(1)??，

根據(jù)離心率?，解得?或?(舍)，

?的方程為：?，即?；(2)點(diǎn)在上，點(diǎn)在直線上，且?，?，

過(guò)點(diǎn)作軸垂線，交點(diǎn)為，設(shè)與軸交點(diǎn)為根據(jù)題意畫出圖形，如圖

???

?

又?，?，

根據(jù)三角形全等條件“”，可得：?，

?，?，

?，

設(shè)點(diǎn)為?，可得點(diǎn)縱坐標(biāo)為??

將其代入，可得：?，

解得：?或

點(diǎn)為?或?，

①當(dāng)點(diǎn)為時(shí)，故?，?，?，

可得：點(diǎn)為，畫出圖象，如圖

?

?，

可求得直線的直線方程為：?，

根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式可得到直線的距離為：?，

根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可得：?，

?面積為：?；

②當(dāng)點(diǎn)?時(shí)，故?，

?，

?，可得：點(diǎn)為，畫出圖象，如圖

?

?，

可求得直線的直線方程為：?，

根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式可得到直線的距離為：?，

根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可得：?，

?面積為?

綜上所述，面積為.解析：(1)因?yàn)椋傻?，根?jù)離心率公式，結(jié)合已知，即可求得答案；(2)點(diǎn)在上，點(diǎn)在直線上，且?，?，過(guò)點(diǎn)作軸垂線，交點(diǎn)為，設(shè)與軸交點(diǎn)為，可得?，可求得點(diǎn)坐標(biāo)，求出直線的直線方程，根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式和兩點(diǎn)距離公式，即可求得的面積.21.設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線與軸垂直．(1)求．(2)若有一個(gè)絕對(duì)值不大于的零點(diǎn)，證明：所有零點(diǎn)的絕對(duì)值都不大于1．知識(shí)點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程（斜率）導(dǎo)數(shù)的幾何意義利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題答案：(1)因?yàn)?，

由題意，?，

即?則?；(2)由（1）可得?，?

令?，得?或；

令，得?，所以?在上單調(diào)遞減，

在?上單調(diào)遞增，

且?，，若所有零點(diǎn)中存在一個(gè)絕對(duì)值大于1的零點(diǎn)，

則?或，

即?或.當(dāng)時(shí)，?

又?，

由零點(diǎn)存在性定理知在?上存在唯一一個(gè)零點(diǎn)，

即在?上存在唯一一個(gè)零點(diǎn)，在?上不存在零點(diǎn)，

此時(shí)不存在絕對(duì)值不大于1的零點(diǎn)，與題設(shè)矛盾；

當(dāng)?時(shí)，?

又?，

由零點(diǎn)存在性定理知在?上存在唯一一個(gè)零點(diǎn)，

即在?上存在唯一一個(gè)零點(diǎn)，在?上不存在零點(diǎn)，

此時(shí)不存在絕對(duì)值不大于1的零點(diǎn)，與題設(shè)矛盾；

綜上，所有零點(diǎn)的絕對(duì)值都不大于1.解析：(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到?，解方程即可；(2)由（1）可得?，易知?在?上單調(diào)遞減，在?，上單調(diào)遞增，且?，，采用反證法，推出矛盾即可.總結(jié)：(2)本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)，涉及到導(dǎo)數(shù)的幾何意義，反證法，考查學(xué)生邏輯推理能力，是一道有一定難度的題.22.在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)且），與坐標(biāo)軸交于兩點(diǎn)．(1)求；(2)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求直線的極坐標(biāo)方程．知識(shí)點(diǎn)：簡(jiǎn)單曲線的參數(shù)方程兩點(diǎn)間的斜率公式兩點(diǎn)間的距離極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化直線的斜率答案：(1)令?，則?，解得或（舍），

則?，即?

.

令，則?，解得或（舍），

則?，即?

?(2)由（1）可知?，

則直線的方程為?，即?.

由?可得，

直線的極坐標(biāo)方程為?

.解析：(1)由參數(shù)方程得出的坐標(biāo)，最后由兩點(diǎn)間距離公式，即可得出?的值；(2)由的坐標(biāo)得出直線的直角坐標(biāo)方