T-S模糊模型的辨識

兩類T-S模糊模型的建模方法T-S模糊模型的辨識有兩種方法：通過運動方程建立T-S模糊模型和通過輸入輸出數(shù)據(jù)利用模糊C均值聚類算法、最小二乘法、遺傳算法等擬合算法辨識模型參數(shù)。1.通過運動方程建立T-S模糊模型。這種方法首先要對系統(tǒng)進行運動分析，然后得到運動狀態(tài)的狀態(tài)空間形式(非線性)，再利用T-S模糊模型分段近似，得到系統(tǒng)的T-S模糊模型。實例：一級倒立擺系統(tǒng)的模型建立[模糊控制系統(tǒng)的設(shè)計及穩(wěn)定性分析P45]現(xiàn)在利用一般的線性化方法構(gòu)造局部模型。假設(shè)系統(tǒng)的真值模型為：X=f(x)+g(x)u(1)其中X是系統(tǒng)的狀態(tài)變量，u是系統(tǒng)的輸入，f(x),g(x)均是關(guān)于X的非線性函數(shù)。為了方便，記F(x,u)=x=f(x)+g(x)u(2)將F(x，u)在工乍點(xo，uo)用泰勒級數(shù)展開法可得:x=Fx=F(x,u)=F(xu)+Io,0Qxx=x0u=u0(x—x)+I(u—u)+…0Qux=x00u=u03)上式中F(x,u)=f(x)+上式中F(x,u)=f(x)+g(x)u，記A=I00000Qxx=x0u=u0中的高次項得：QFQux=x0u=u0，并忽略式(3)x=Ax+Bu+(F(x,u)一Ax一Bu)00004)1.1若(x,u)=(0,0)且是系統(tǒng)的平衡點，則F(x,u)=F(0,0)=0,此時可得平0000衡點(x,u)=(0,0)處的一個局部線性化模型00x=Ax+Bu5)其中A=甞Qxb=QFx=x0=0u=u0=0QuIx=x0=0u=u0=01.2若(x,u)既不是平衡點，又不滿足(x,u)=(0,0)，我們采用下面的線性化方0000法。首先，我們的目的是：構(gòu)造一個關(guān)于x和u的線性模型，使其在工作點x逼近真0值模型(1)，即找到常數(shù)矩陣A和B,使得在工作點x及x的鄰域內(nèi)有下面式子成立。0017)17)f(x)+g(x)u=Ax+Bu,Vu(6)000和f(x)+g(x)uqAx+Bu,Vu(7)由于u是任意的，要想使式(6)成立，則必有B=g(x)0下面的任務(wù)就是確定A,使其滿足f(x)qAx，Vu(8)和f(x)=Ax,Vu(9)00設(shè)aT表示矩陣A的第i行，則式(8)和(9)可進一步表示成if(x)qaTx，i=1,2,,nii和f(x)=aTx，i=1,2,,ni0i0將式(1°)在點xo處展開，并忽略高次項可得aTxqif(x)?f(x°)+Vf(xo)(x-叮式(11)帶入式(12)可得aT(x一x)qVf(x)(x一x)i0i001°)11)12)13)上式中x是任意的，但趨近于x0?，F(xiàn)在的問題是：定義一個常向量aT，使它盡可能地趨近于Vf(x0)，并且滿足約束條件f(%)=叮x0。E=|llVf(x0)-a||210i那么上述的問題就歸結(jié)為帶有約束的優(yōu)化問題：minE滿足f(x)=aTxi0i0ai最優(yōu)化問題(14)的第一個條件為14)VE+九V(aTx一f(x))=0aai0i0ii15)fi(x0)=aiTx0(16)式中，九是Lagrange乘子。對式(15)求導(dǎo)可得a—Vf(x)+九x=0ii0018)18)由于xo豐0，利用叮左乘式d7）,并將式（⑹帶入’可得、xtVf(x)-f(x)入=—0i0i0x0l|2將式(18)帶入式(17)可得19)V(),f(x)-xtVf(x)a=Vf(x)+i~00i0x，19)ii0x200實例：對于一級倒立擺系統(tǒng)。設(shè),x2=°，則倒立擺系統(tǒng)的動態(tài)方程為x=x12gsin(x)-amlx2sin(2x)/2-acos(x)ux=1211—220)式中，質(zhì)量；141/3-amicos2(x)ixi“是擺與垂線間的夾角；x2=e是角速度；g=9.8是重力加速度；m=2是擺的m=8是小車的質(zhì)量；u是作用在小車上的作用力；l=0.5;a=m^M對比真值模型（1），可知f(x)=x2gsin(x)—amlx2sin(2x)/212141/3—amicos2(x)1g(x)=-0-acos(x)1141/3-amicos2(x)1F(x,u)=x=f(x)+g(x)u模糊系統(tǒng)規(guī)則：規(guī)則1：如果Xi大約是X2大約是0；利用式⑸即可得dFA=Iidx(xi,x2)=(0,0)u=u0=0帶入數(shù)據(jù)即可求得dF|(xi?x2)=(0,0)u=u°=0du?一0_0—x=x+17.29410-0.1765運用方法1.2，可相應(yīng)求得規(guī)則2、3、4、5中的參數(shù)。[具體求解參考程序A]規(guī)則2：如果xi大約是°，x大約是±4，則?一01__0_x=x+14.47060-0.17652(6)(6)規(guī)則3：如果X1大約是土"/3,x2大約是°’則-01--0—x二x+12.63040—0.0779規(guī)則4：如果X1大約是兀/3，x2大約是4,則?-01--0—x二x+11.59943.0367—0.0779規(guī)則5：如果xi大約是兀/3’x2大約是-4’則?-01--0—x二x+J1.5994—3.0367__—0.0799_I?若Xi和X2的隸屬度函數(shù)分別取為（1,°）和（2,°）的高斯隸屬度函數(shù)’模糊關(guān)系取乘積”?”，則經(jīng)過單點模糊化，乘積推理和加權(quán)平均反模糊化可得一級倒立擺系統(tǒng)的T-S模糊_01--0—x+_15.17170__—0.1378_II-I?若Xi和X2的隸屬度函數(shù)分別取為（1,°）和（2,°）的高斯隸屬度函數(shù)，模糊關(guān)系取取小”a”，則經(jīng)過單點模糊化，乘積推理和加權(quán)平均反模糊化可得一級倒立擺系統(tǒng)的T-S模糊模型為x模糊模型為x=_01--0—x+_14.96600__—0.1343_III.I?若x和x的隸屬度函數(shù)均取為［-149］的三角形隸屬度函數(shù)，模糊關(guān)系取乘積，則12經(jīng)過單點模糊化，乘積推理和加權(quán)平均反模糊化可得一級倒立擺系統(tǒng)的T-S模糊模型為?-01--0—x二x+12.81151.7001__—0.1103_［具體求解參考程序lch.m］2.通過輸入輸出數(shù)據(jù)建立T-S模糊模型。這種方法主要利用模糊C均值聚類算法、最小二乘法、遺傳算法等擬合算法辨識模型參數(shù)。2.1模糊模型前件結(jié)構(gòu)及參數(shù)的確定I?用模糊C均值聚類（FCM）算法確定模糊模型前件結(jié)構(gòu)及參數(shù)模糊c均值聚類算法是用隸屬度確定每個數(shù)據(jù)點屬于某個聚類的程度的一種聚類算法。

FCM把n個向量x(j=l,2,…,n)分為c個模糊組AA,…,A，然后求每組的聚類中心，使j1,2c得非相似性指標(biāo)的價值函數(shù)達到最小。FCM用模糊劃分，使得每個給定數(shù)據(jù)點用值在0到1間的隸屬度來確定其屬于各個組的程度。與引入模糊劃分相適應(yīng)，隸屬矩陣U允許有取值在0，1間的元素。不過，加上歸一化規(guī)定，一個數(shù)據(jù)集的隸屬度的和總等于1：￡u=1,Vj=1,...,n(1)iji=1在T-S模糊模型中相應(yīng)有c條模糊規(guī)則，第i條模糊規(guī)則的隸屬度可由下式確定，(2)(3)u=rtAi(x)=nui=1,2,...,c(2)(3)ij=1jjj=1ij,這里，0是模糊算子，通常采用取小運算或乘積運算。那么，F(xiàn)CM的價值函數(shù)(或目標(biāo)函數(shù))就是：J(U,c,...,c)=￡J=￡￡umd21ciijiji=1i=1j，這里u介于0,1間；c為模糊組I的聚類中心，d=||c-x||為第i個聚類中心與第ijiijijj個數(shù)據(jù)點間的歐幾里德距離；且mGR'小是一個加權(quán)指數(shù)。構(gòu)造如下新的目標(biāo)函數(shù)，可求得使(3)式達到最小值的必要條件：J(U,c,???,c,尢，???,尢)=J(U,c,???,c)+￡n九(工u-1)1c1n1cj=1jiji=1=Umd2+(^^u—1)(4)ijijjij(4)i=1jj=1i=1這里X,j=1到n,是(1)式的n個約束式的拉格朗日乘子。對所有輸入?yún)⒘壳髮?dǎo)，使j式(3)達到最小的必要條件為：￡umx(5)ijj(5)c=j=1i￡umijj=1uij￡kuij￡k=1d)—匸d丿kj2/(m—1)由上述兩個必要條件，模糊c均值聚類算法是一個簡單的迭代過程。在批處理方式運行時，F(xiàn)CM用下列步驟確定聚類中心％和隸屬矩陣U[1]：步驟1：用值在0,1間的隨機數(shù)初始化隸屬矩陣U,使其滿足式（1）中的約束條件步驟2：用式（5）計算c個聚類中心ci,i=1,…，c。步驟3：根據(jù)式（3）計算價值函數(shù)。如果它小于某個確定的閥值，或它相對上次價值函數(shù)值的改變量小于某個閥值,則算法停止。步驟4：用（6）計算新的U矩陣。返回步驟2。上述算法也可以先初始化聚類中心,然后再執(zhí)行迭代過程。由于不能確保FCM收斂于一個最優(yōu)解。算法的性能依賴于初始聚類中心°[fcm算法的一個程序見FCMClust.m，測試程序Untitled.m]II.最小二乘法辨識后件參數(shù)通過上面的模糊C均值運算，可得到模糊規(guī)則數(shù)c,以及每條模糊規(guī)則的隸屬度函數(shù)u（i=1,2,...,c）。利用加權(quán)平均反模糊化，則系統(tǒng)的輸出可以寫成i丫uyiiyTOC\o"1-5"\h\zy二—二厶g（p+px+???+px）（7）cii0i11inn厶yi=1ii=1u其中g(shù)=i~5I=1,2,???,c（8）'乞uii=1記9=[p,p…,pp,p…,p…,p,p…,p]T（9）1011,1n,2021,2n,c0c1,cn0t=[g,g,…,g,gx,gx,…,gx…，gx,gx,…,gx]（10）12c1121c1,1n