四升五培優(yōu)數(shù)學(xué)暑假班講義

四升五培優(yōu)數(shù)學(xué)暑假班講義四年級(jí)培優(yōu)數(shù)學(xué)暑假班第一講：算式謎題。解決算式謎題需要找準(zhǔn)突破口，推理時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：1.認(rèn)真分析算式中所包含的數(shù)量關(guān)系，找出隱蔽條件，選擇有特征的部分作出局部判斷；2.利用列舉和篩選相結(jié)合的方法，逐步排除不合理的數(shù)字；3.試驗(yàn)時(shí)，應(yīng)借助估值的方法，以縮小所求數(shù)字的取值范圍，達(dá)到快速而準(zhǔn)確的目的；4.算式謎解出后，要驗(yàn)算一遍。例1：在下面的方框中填上合適的數(shù)字?！?6×□□18□□□□□□31□□分析：由積的末尾是，可推出第二個(gè)因數(shù)的個(gè)位是5；由第二個(gè)因數(shù)的個(gè)位是5，并結(jié)合第一個(gè)因數(shù)與5相乘的積的情況考慮，可推出第一人個(gè)因數(shù)的百位是3；由第一個(gè)因數(shù)為376與積為31□□，可推出第二個(gè)因數(shù)的十?dāng)?shù)上是8。題中別的數(shù)字就容易填了。練習(xí)一：在空格里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。（1）6□（2）□2□□（3）285×35×□6×□□33□□□41□2□1□8□□7□□□□□□□□□□□□□9□□例2：在下面方框中填上適合的數(shù)字。分析：由商的十位是1，以及1與除數(shù)的乘積的最高位是1可推知除數(shù)的十位是1。由第一次除后余下的數(shù)是1，可推知被除數(shù)的十位只可能是7、8、9。如果是7，除數(shù)的個(gè)位是，那么最后必有余數(shù)；如果被除數(shù)是8，除數(shù)的個(gè)位就是1，也不能除盡；只有當(dāng)被除數(shù)的十位是9時(shí)，除數(shù)的個(gè)位是2時(shí)，商的個(gè)位為6，正好除盡。練習(xí)二：在空格內(nèi)填入適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使下列除法豎式成立。例3：下面算式中的a、b、c、d這四個(gè)字母各代表什么數(shù)字？abcd×9dcba分析：因?yàn)樗奈粩?shù)abcd乘9的積是四位數(shù)，可知a是1；d和9相乘的積的個(gè)位是1，可知d只能是9；因?yàn)榈诙€(gè)因數(shù)9與第一個(gè)因數(shù)百位上的數(shù)b相乘的積不能進(jìn)位，所以b只能是（1已經(jīng)用過(guò)）；再由b=0，可推知c=8。練習(xí)三：求下列各題中每個(gè)漢字所代表的數(shù)字。（1）1華羅庚金杯×3華=羅=庚=華羅庚金杯1金=杯=（2）盼望祖國(guó)早日統(tǒng)一×一盼=望=祖=盼盼盼盼盼盼盼盼盼早=日=統(tǒng)=國(guó)=一=例4：在1、2、3、4、5、6、7、8、9這九個(gè)數(shù)字中間加上“＋、－”兩種運(yùn)算符號(hào)，使其結(jié)果等于100（數(shù)字的順序不能改變）。分析：先湊出與100比較接近的數(shù)，再根據(jù)需要把相鄰的幾個(gè)數(shù)組成一個(gè)數(shù)。（1）一個(gè)乘號(hào)和七個(gè)加號(hào)添在下面的算式中合適的地方，使其結(jié)果等于100（數(shù)字的順序不能改變）。123+45+6+7+8+9+10=100（2）添上適當(dāng)?shù)倪\(yùn)算符號(hào)和括號(hào)，使下列等式成立。1+2+(3×4)÷5+6×7+8+9=100例5：在下面的式子里添上括號(hào)，使等式成立。(88+33-11)÷(11×2)=5分析：根據(jù)運(yùn)算符的優(yōu)先級(jí)，應(yīng)先計(jì)算除法，再計(jì)算加減法，所以需要給除法加上括號(hào)。1、已知兩數(shù)相除，商為19，若被除數(shù)擴(kuò)大20倍，除數(shù)縮小4倍，求新的商。原先的被除數(shù)為x，除數(shù)為y，則有x/y=19。現(xiàn)在被除數(shù)擴(kuò)大20倍，除數(shù)縮小4倍，變成了20x/(y/4)，即商變成了(20x/(y/4))/19=80x/y。所以新的商為80。2、已知兩數(shù)相除，商為27，若被除數(shù)擴(kuò)大12倍，除數(shù)擴(kuò)大6倍，求新的商。原先的被除數(shù)為x，除數(shù)為y，則有x/y=27?，F(xiàn)在被除數(shù)擴(kuò)大12倍，除數(shù)擴(kuò)大6倍，變成了12x/6y，即商變成了(12x/6y)/27=8x/9y。所以新的商為8/9。練習(xí)四1、已知小強(qiáng)把一個(gè)加數(shù)十位上的7錯(cuò)寫(xiě)成了1，個(gè)位上的8錯(cuò)寫(xiě)成了x，所得的和為285，求正確的和。設(shè)原先的加數(shù)為a，錯(cuò)寫(xiě)后的加數(shù)為b，則有a+7x+b+8=285，即a+b=280-7x。將7x錯(cuò)寫(xiě)成的數(shù)字代入得到a+b=231，所以正確的和為a+b+7x+8=239+7x。2、已知小亮把一個(gè)加數(shù)個(gè)位上的5錯(cuò)寫(xiě)成了3，另一個(gè)加數(shù)十位上的3錯(cuò)寫(xiě)成了8，所得的和為650，求正確的和。設(shè)原先的兩個(gè)加數(shù)分別為a和b，則有a+5b=10x+y，錯(cuò)寫(xiě)后的加數(shù)為a+3b+8x+y，所以有a+3b+8x+y+5b=650，即a+8b+8x+y=650。將3和8錯(cuò)寫(xiě)成的數(shù)字代入得到a+8b+2=650，所以正確的和為a+b+8x+y+2=652。練習(xí)五1、已知小剛把減數(shù)個(gè)位上的9錯(cuò)寫(xiě)成了6，十位上的3錯(cuò)寫(xiě)成了8，所得的差為268，求正確的差。設(shè)原先的減數(shù)為a，錯(cuò)寫(xiě)后的減數(shù)為b，則有a-9+10b-30=268，即a+10b=307+9=316。將9和3錯(cuò)寫(xiě)成的數(shù)字代入得到a+10b=341，所以正確的差為a-b=341-268=73。2、已知小紅把被減數(shù)十位上的x錯(cuò)寫(xiě)成了8，減數(shù)個(gè)位上的8錯(cuò)寫(xiě)成了3，所得的差為632，求正確的差。設(shè)原先的被減數(shù)為a，減數(shù)為b，則有a-x0-b=632，錯(cuò)寫(xiě)后的被減數(shù)為a-10x+b+80，所以有a-10x+b+80-x0-b=632，即a-10x+80-x0=632。將x錯(cuò)寫(xiě)成的數(shù)字代入得到a-10*8+80-0=632，所以正確的差為a-b=632-72=560。例1：已知兩箱茶葉共重96千克，如果從甲箱取出12千克放入乙箱，那么乙箱的重量是甲箱的3倍。求兩箱原來(lái)各有茶葉多少千克？設(shè)甲箱原來(lái)有x千克茶葉，則乙箱原來(lái)有(96-x)千克茶葉?，F(xiàn)在從甲箱取出12千克放入乙箱后，乙箱的茶葉重量變成了3倍的甲箱，即(96-x+12)=3x。解得x=28，所以甲箱原來(lái)有28千克茶葉，乙箱原來(lái)有68千克茶葉。1、甲、乙、丙三個(gè)人一起做某件事，甲比乙多做8個(gè)小時(shí)，丙比甲少做12個(gè)小時(shí)，他們一共做了多少小時(shí)？2、一個(gè)三角形的三個(gè)角分別是60度、70度和50度，這個(gè)三角形的周長(zhǎng)是24厘米，它的面積是多少平方厘米？解答：練習(xí)一：1、設(shè)甲、乙原來(lái)各儲(chǔ)蓄x、y元，則有x+y=2000，x-160=2(y+240)-20，解得x=1100，y=900，甲原來(lái)儲(chǔ)蓄1100元，乙原來(lái)儲(chǔ)蓄900元。2、設(shè)原來(lái)綿羊、山羊的只數(shù)分別為x、y，則有x+y=3561，x-60=y+100，2x-1=y，解得x=1187，y=2374，原來(lái)綿羊有1187只，山羊有2374只。練習(xí)二：1、設(shè)甲、乙、丙做的零件數(shù)分別為x、y、z，則有x=y+12，z=2x-20=y+38，x+y+z=？解得x=70，y=58，z=100，這批零件共有228個(gè)。2、設(shè)蘋(píng)果樹(shù)、桃樹(shù)的棵數(shù)分別為x、y，則有x=3y，25x+15y-25y=140，解得x=105，y=35，果園里共有140棵樹(shù)。練習(xí)三：1、設(shè)第三層放x雙，第二層放x+7雙，第一層放x+7+4雙，則有3x+18+4x+28+x=120，解得第三層多放39雙，第二層多放46雙，第一層多放35雙。2、設(shè)四個(gè)數(shù)分別為x、y、z、w，則有x=y+16，x=z+20，x=w-12，x+y+z+w=152，解得x=47，w=59，被除數(shù)是236，除數(shù)是59。練習(xí)四：1、設(shè)甲、乙、丙一共做了x小時(shí)，則有甲比乙多做8小時(shí)，丙比甲少做12小時(shí)，解得甲做了(x+8)/3小時(shí)，乙做了(x-8)/3小時(shí)，丙做了(x-4)/3小時(shí)，所以x=3(x+8)/3+3(x-8)/3+3(x-4)/3，解得x=60，他們一共做了60小時(shí)。2、設(shè)三角形的三條邊長(zhǎng)為a、b、c，則有a+b+c=24，cos60°=(b2+c2-a2)/(2bc)，sin60°=sqrt(3)/2，解得a=8，b=10，c=6，所以三角形的面積是sqrt(12×2×2×3)=12sqrt(3)平方厘米。1、已知被除數(shù)、除數(shù)的商和余數(shù)，求被除數(shù)。設(shè)被除數(shù)為x，除數(shù)為y，則有xy+7=5y+x+187，整理得4y=186-x，即x=186-4y。代入原式得5y+7=186-4y，解得y=23，代入可得x=79。2、已知被除數(shù)、除數(shù)的商和被除數(shù)、除數(shù)的和，求被除數(shù)和除數(shù)。設(shè)被除數(shù)為x，除數(shù)為y，則有xy+8=17y+x+y+501，整理得16y=493-x，即x=493-16y。代入原式得17y+509=493，解得y=8，代入可得x=125。1、已知?jiǎng)⑹迨宓拇婵钍抢钍迨宓?倍，如果劉叔叔取出1100元，李叔叔存入1100元，那么劉叔叔的存款是李叔叔的2倍。設(shè)李叔叔的存款為x，則劉叔叔原有存款為6x，取出1100元后剩余5x-1100，李叔叔存入1100元后剩余x+1100，根據(jù)題意有5x-1100=2(x+1100)，解得x=2500，代入可得劉叔叔原有存款為15000元。2、設(shè)小筐裝菠蘿x千克，則中筐裝菠蘿2x千克，大筐裝菠蘿8x千克。由中筐比大筐少裝16千克得到2x=8x-16，解得x=4千克。因此，小筐裝菠蘿4千克，中筐裝菠蘿8千克，大筐裝菠蘿32千克。1、已知甜甜用12去除得到商為32余6，求蜜蜜用15去除得到的商。設(shè)蜜蜜用15去除得到的商為y，則有12×32+6=15y，解得y=26，因此蜜蜜用15去除得到的商為26。2、已知小虎把被除數(shù)1250誤寫(xiě)成1205，得到的商為48余5，求正確的商。設(shè)正確的商為x，則有1205÷x=48……5，即1205=48x+5。由于正確的被除數(shù)為1250，代入得到1250=48x+5，解得x=25，因此正確的商為25。2、已知小芳把除數(shù)32錯(cuò)寫(xiě)成320，得到的商為48，求正確的商。由于除數(shù)擴(kuò)大了10倍，正確的商應(yīng)該是錯(cuò)誤商的10倍，因此正確的商為48×10=480。1.確定圖形的類型和特征，如長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬、三角形的底和高等。2.根據(jù)題目所給的條件，利用相應(yīng)的公式求解面積。3.注意單位的轉(zhuǎn)換，如將平方厘米轉(zhuǎn)換為平方米等。4.在解答過(guò)程中，注意細(xì)節(jié)，如小數(shù)點(diǎn)的位置等。練習(xí)：1.一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是5.2米，寬是3.8米，它的面積是多少平方米？分析與解答：該長(zhǎng)方形的面積為5.2米×3.8米=19.76平方米。2.一個(gè)直角三角形的底是12厘米，高是5厘米，它的面積是多少平方厘米？分析與解答：該直角三角形的面積為1/2×12厘米×5厘米=30平方厘米。3.一個(gè)圓的半徑是3.5米，它的面積是多少平方米？分析與解答：該圓的面積為π×(3.5米)2≈38.48平方米。4.一個(gè)梯形的上底是6厘米，下底是10厘米，高是8厘米，它的面積是多少平方厘米？分析與解答：該梯形的面積為1/2×(6厘米+10厘米)×8厘米=64平方厘米。5.一個(gè)正方形的面積是16平方米，它的邊長(zhǎng)是多少米？分析與解答：該正方形的邊長(zhǎng)為√16平方米=4米。1、細(xì)心觀察圖形特點(diǎn)，合理進(jìn)行切割，以解決問(wèn)題；2、從整體上觀察圖形特征，掌握?qǐng)D形本質(zhì)，結(jié)合分析推理和計(jì)算，使隱蔽的數(shù)量關(guān)系明朗化。例1：一個(gè)長(zhǎng)方形鐵板，長(zhǎng)18米，寬13米。如果長(zhǎng)和寬各減少2米，面積比原來(lái)減少多少平方米？分析與解答：用新的面積減去原來(lái)的面積，得到減少的面積。新的面積是(18-2)×(13-2)=208平方米，原來(lái)的面積是18×13=234平方米。所以，面積減少了234-208=26平方米。練習(xí)一：1、一個(gè)長(zhǎng)方形鐵板，長(zhǎng)18米，寬13米。如果長(zhǎng)和寬各減少2米，面積比原來(lái)減少多少平方米？2、一個(gè)長(zhǎng)方形地，長(zhǎng)80米，寬45米。如果把寬增加5米，要使面積不變，長(zhǎng)應(yīng)減少多少米？例2：一個(gè)長(zhǎng)方形，如果寬不變，長(zhǎng)增加6米，那么它的面積增加54平方米；如果長(zhǎng)不變，寬減少3米，那么它的面積減少36平方米。這個(gè)長(zhǎng)方形原來(lái)的面積是多少平方米？分析與解答：由“寬不變，長(zhǎng)增加6米，面積增加54平方米”可知，它的寬為9米；由“長(zhǎng)不變，寬減少3米，面積減少36平方米”可知，它的長(zhǎng)為12米。所以，這個(gè)長(zhǎng)方形原來(lái)的面積是12×9=108平方米。練習(xí)二：1、一個(gè)長(zhǎng)方形，如果寬不變，長(zhǎng)增加5米，那么它的面積增加30平方米；如果長(zhǎng)不變，寬增加3米，那么它的面積增加48平方米。這個(gè)長(zhǎng)方形原來(lái)的面積是多少平方米？2、一個(gè)長(zhǎng)方形，如果它的長(zhǎng)減少3米，或它的寬減少2米，那么它的面積都減少36平方米。求這個(gè)長(zhǎng)方形原來(lái)的面積。例3：下圖是一個(gè)養(yǎng)禽專業(yè)戶用一段16米的籬笆圍成的一個(gè)長(zhǎng)方形養(yǎng)雞場(chǎng)，求它的占地面積。墻4米分析與解答：根據(jù)題意，因?yàn)橐幻胬弥鴫Γ詢蓷l長(zhǎng)加一條寬等于16米。而寬是4米，那么長(zhǎng)是(16-4)÷2=6米，占地面積是6×4=24平方米。練習(xí)三：1、用56米長(zhǎng)的木欄圍成長(zhǎng)或?qū)捠?0米的長(zhǎng)方形，其中一邊利用圍墻，怎樣才能使圍成的面積最大？2、用15米長(zhǎng)的柵欄沿著圍墻圍一個(gè)種植花草的長(zhǎng)方形苗圃，其中一面利用著墻。如果每邊的長(zhǎng)度都是整數(shù)，怎樣才能使圍成的面積最大？例4：街心花園中一個(gè)正方形的花壇四周有1米寬的水泥路，如果水泥路的總面積是12平方米，中間花壇的面積是多少平方米？分析與解答：將水泥路分成四個(gè)同樣大小的長(zhǎng)方形，每個(gè)長(zhǎng)方形的面積為3平方米。因?yàn)樗嗦穼?米，所以每個(gè)小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為3米。由圖可知，正方形花壇的邊長(zhǎng)為小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)減去水泥路的寬，即2米。因此，中間花壇的面積為2×2=4平方米。練習(xí)一：1、假設(shè)大正方形的邊長(zhǎng)為x，四個(gè)長(zhǎng)方形的面積之和為64-4=60平方米。則每個(gè)長(zhǎng)方形的面積為60÷4=15平方米。因?yàn)殚L(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬相等，所以長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為√15米。2、設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為x，則大正方形的邊長(zhǎng)為x+4。由題可得：(x+4)2-x2=96。解得x=4，因此小正方形的面積為16平方厘米，大正方形的面積為496平方厘米。例5：將陰影部分剪下來(lái)，可以得到兩個(gè)小長(zhǎng)方形，它們的面積之和為181平方分米。再加上被剪掉的兩個(gè)小長(zhǎng)方形，可以得到一個(gè)長(zhǎng)寬分別為8分米和5分米的長(zhǎng)方形，面積為221平方分米。因此，原來(lái)正方形的邊長(zhǎng)為221÷13=17分米。練習(xí)五：1、設(shè)原來(lái)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為x，寬為y，則有xy-(x-5)(y-2)=66，化簡(jiǎn)得x+y=29。又因?yàn)槭Ｏ碌牟糠质且粋€(gè)正方形，所以x-5=y-2，解得x=21，y=8。因此，原來(lái)長(zhǎng)方形的面積為21×8=168平方分米。2、設(shè)原來(lái)正方形的邊長(zhǎng)為x，則有(x-8)2=x2-448，解得x=24。因此，原來(lái)正方形的面積為24×24=576平方厘米。例1：由題可知，劉俊每天讀的頁(yè)數(shù)是一個(gè)等差數(shù)列，首項(xiàng)為30，公差為3，末項(xiàng)為60，項(xiàng)數(shù)為11。因此，他讀的總頁(yè)數(shù)為(30+60)×11÷2=495頁(yè)。練習(xí)一胡茜讀了一本故事書(shū)，第一天讀了20頁(yè)，從第二天開(kāi)始，每天讀的頁(yè)數(shù)都比前一天多5頁(yè)。最后一天讀了50頁(yè)，恰好讀完，這本書(shū)共有多少頁(yè)？解答：設(shè)這本書(shū)一共有x頁(yè)，則第二天讀了20+5=25頁(yè)，第三天讀了25+5=30頁(yè)，以此類推，第n天讀了20+5(n-1)頁(yè)。最后一天讀了50頁(yè)，所以有20+25+...+20+5(n-1)+50=x，即(20+50)+(25+45)+...+(20+5(n-1))=x。等差數(shù)列求和公式可得，(20+50)+(25+45)+...+(20+5(n-1))=(n/2)(20+20+5(n-1))=15n^2+5n。因此，15n^2+5n=x。又因?yàn)樽詈笠惶熳x完了整本書(shū)，所以15n^2+5n=x，即15n^2+5n=x≤15n^2+30n+15=(3n+5)^2-10。因此，3n+5≥32，即n≥9。因?yàn)閚是正整數(shù)，所以n≥9。又因?yàn)閚≤20（最后一天讀完書(shū)），所以9≤n≤20。因此，我們只需在9~20之間枚舉n，判斷是否滿足15n^2+5n=x即可。最后得到x=1550。麗麗學(xué)英語(yǔ)單詞，第一天學(xué)會(huì)了6個(gè)，以后每天都比前一天多學(xué)1個(gè)，最后一天學(xué)會(huì)了16個(gè)。麗麗在這些天中學(xué)會(huì)了多少個(gè)英語(yǔ)單詞？解答：設(shè)麗麗一共學(xué)了x個(gè)單詞，則第二天學(xué)了6+1=7個(gè)單詞，第三天學(xué)了7+1=8個(gè)單詞，以此類推，第n天學(xué)了6+(n-1)個(gè)單詞。最后一天學(xué)了16個(gè)單詞，所以有6+7+...+6+(n-1)+16=x，即(6+16)+(7+15)+...+(6+n-1)+16=x。等差數(shù)列求和公式可得，(6+16)+(7+15)+...+(6+n-1)+16=(n/2)(6+6+n-1)+16=3n^2+3n+16。因此，3n^2+3n+16=x。又因?yàn)樽詈笠惶鞂W(xué)了16個(gè)單詞，所以3n^2+3n+16=x，即3n^2+3n+16≤x<3(n+1)^2+3(n+1)+16。因此，3n^2+3n+16≤x<3n^2+9n+22。因?yàn)閤是正整數(shù)，所以3n^2+3n+16≤x≤3n^2+9n+21。我們只需在1~16之間枚舉n，判斷是否滿足3n^2+3n+16≤x≤3n^2+9n+21即可。最后得到x=816。想一想：如果把“第11天”改為“最后一天”該怎樣解答？如果把“第11天”改為“最后一天”，則我們無(wú)法得知最后一天學(xué)了多少個(gè)單詞，因此無(wú)法確定麗麗一共學(xué)了多少個(gè)單詞。練習(xí)二有一些鎖的鑰匙搞亂了，已知至多要試28次，就能使每把鎖都配上自己的鑰匙。一共有幾把鎖的鑰匙搞亂了？解答：假設(shè)有n把鎖的鑰匙搞亂了，則第一次開(kāi)鎖最多需要試n-1次，第二次開(kāi)鎖最多需要試n-2次，以此類推，第n次開(kāi)鎖最多需要試1次。因此，至多需要試1+2+...+n-1=n(n-1)/2次。又因?yàn)橹炼嘁?8次，所以n(n-1)/2≤28，即n(n-1)≤56。我們只需在1~10之間枚舉n，判斷是否滿足n(n-1)≤56即可。最后得到n=7，因此有7把鎖的鑰匙搞亂了。有10只盒子，44只羽毛球。能不能把44只羽毛球放到盒子中去，使各個(gè)盒子里的羽毛球只數(shù)不相等？解答：由于每個(gè)盒子里的羽毛球只數(shù)必須是正整數(shù)，所以10個(gè)盒子里的羽毛球只數(shù)之和必須是44的因數(shù)。而44=2^2×11，因此44的因數(shù)有1、2、4、11、22、44。我們只需在10個(gè)盒子中選出若干個(gè)盒子，使它們里面的羽毛球只數(shù)之和等于1、2、4、11、22或44即可。根據(jù)奇偶性可知，只能選出偶數(shù)個(gè)盒子，因?yàn)?、11、22都是奇數(shù)。又因?yàn)?4只羽毛球不能被分成兩個(gè)奇數(shù)之和，所以不能選出所有盒子。因此，我們只需在1~9之間枚舉選出的盒子數(shù)，判斷是否能選出若干個(gè)盒子，使它們里面的羽毛球只數(shù)之和等于2、4、22或44即可。最后得到可以選出6個(gè)盒子，使它們里面的羽毛球只數(shù)之和分別為4、4、4、4、8、20。因此，可以把44只羽毛球放到盒子中去，使各個(gè)盒子里的羽毛球只數(shù)不相等。練習(xí)三在一次同學(xué)聚會(huì)中，一共有43位同學(xué)和4位老師，每一位同學(xué)或老師都要和其他同學(xué)握一次手。那么一共握了多少次手？解答：一共有43+4=47人，他們每個(gè)人都要握手，因此一共握了(47×46)/2=1081次手。假期里有一些同學(xué)相約每人互通兩次電話，他們一共打了78次電話，問(wèn)有多少位同學(xué)相約互通電話？解答：假設(shè)有n個(gè)同學(xué)相約互通電話，則每個(gè)同學(xué)都要打n-1次電話，因此一共打了n(n-1)次電話。又因?yàn)橐还泊蛄?8次電話，所以n(n-1)=78。我們只需在1~12之間枚舉n，判斷是否滿足n(n-1)=78即可。最后得到n=12，因此有12位同學(xué)相約互通電話。想一想：如果每人互通3次電話，他們一共打了78次電話，問(wèn)有多少位同學(xué)相約互通電話？如果每人互通3次電話，他們一共打了78次電話，則每個(gè)同學(xué)都要打3(n-1)次電話，因此一共打了3n(n-1)次電話。又因?yàn)橐还泊蛄?8次電話，所以3n(n-1)=78。我們只需在1~9之間枚舉n，判斷是否滿足3n(n-1)=78即可。最后發(fā)現(xiàn)沒(méi)有整數(shù)解，因此無(wú)法確定有多少位同學(xué)相約互通電話。練習(xí)四求1~999這999個(gè)連續(xù)自然數(shù)的所有數(shù)字之和。解答：首先應(yīng)該弄清楚這題是求999個(gè)連續(xù)自然數(shù)的數(shù)字之和，而不是求這999個(gè)數(shù)之和。為了能方便地解決問(wèn)題，我們不妨把算進(jìn)來(lái)（它不影響我們計(jì)算數(shù)字之和）計(jì)算0~999這1000個(gè)數(shù)的數(shù)字之和。這1000個(gè)數(shù)頭尾兩配對(duì)后每?jī)蓚€(gè)數(shù)的數(shù)字之和都相等，是9+0=9，一共有1000÷2=500對(duì)，所以，1~999這999個(gè)連續(xù)自然數(shù)的所有數(shù)字之和是9×500=4500。這篇文章介紹了還原問(wèn)題的解決方法——倒推法。還原問(wèn)題是指已知某個(gè)數(shù)經(jīng)過(guò)加、減、乘、除運(yùn)算后所得的結(jié)果，要求原數(shù)。解決這類問(wèn)題通常需要倒推法。如果遇到比較復(fù)雜的還原問(wèn)題，可以借助畫(huà)圖和列表來(lái)解決。文章通過(guò)三個(gè)例子來(lái)說(shuō)明倒推法的應(yīng)用。在第一個(gè)例子中，小剛的奶奶的年齡是通過(guò)一系列加、減、乘、除運(yùn)算得到的。倒推法可以幫助我們逆向思考，從最后一個(gè)條件開(kāi)始向前推算，找到原數(shù)。這個(gè)例子的答案是79歲。在第二個(gè)例子中，商場(chǎng)出售洗衣機(jī)的數(shù)量是通過(guò)一系列售出和剩余的數(shù)量得到的。同樣地，倒推法可以幫助我們逆向思考，從最后一個(gè)條件開(kāi)始向前推算，找到原數(shù)。這個(gè)例子的答案是480臺(tái)。在第三個(gè)例子中，三個(gè)人共有60本故事書(shū)，其中兩個(gè)人之間進(jìn)行了多次借書(shū)和還書(shū)的操作。倒推法可以幫助我們逆向思考，從最后一個(gè)條件開(kāi)始向前推算，找到原數(shù)。這個(gè)例子的答案是小明有16本書(shū)，小強(qiáng)有23本書(shū)，小勇有21本書(shū)。練習(xí)部分提供了兩個(gè)問(wèn)題，可以幫助讀者練習(xí)倒推法的應(yīng)用。在解決這些問(wèn)題時(shí)，讀者可以先從最后一個(gè)條件開(kāi)始向前推算，找到原數(shù)。練習(xí)三1、設(shè)甲、乙、丙原本各有x、y、z張賀年卡，根據(jù)題意列出方程組：x+y+z=90x-3=y+5(y+5)-23=(z+3)+13化簡(jiǎn)得到：x-2y+z=-8x+y+z=90解得x=71，y=32，z=27，因此甲、乙、丙原本各有71、32、27張賀年卡。2、設(shè)小紅、小麗、小敏原本各有x、y、z張年歷，根據(jù)題意列出方程組：x-13=yy+23=zz-3=x化簡(jiǎn)得到：x-y+z=3x+y+z=120解得x=42，y=29，z=49，因此小紅、小麗、小敏原本各有42、29、49張年歷。練習(xí)四1、設(shè)甲、乙、丙原本各有x、y、z個(gè)玻璃球，根據(jù)題意列出方程組：y=x+zx=y+zz=x+y化簡(jiǎn)得到：x+y+z=48解得x=y=z=16，因此甲、乙、丙原本各有16個(gè)玻璃球。2、設(shè)上、中、下三層書(shū)架原本分別有x、y、z本書(shū)，根據(jù)題意列出方程組：x+y+z=192x-y+z=0x+y-z=64解得x=96，y=48，z=48，因此上、中、下三層書(shū)架原本分別有96、48、48本書(shū)。例5：設(shè)甲猴最初準(zhǔn)備拿x個(gè)桃，根據(jù)題意列出方程：x-26/2-(26/2)/2+5=(26/2)/2+5化簡(jiǎn)得到：x=39因此甲猴最初準(zhǔn)備拿39個(gè)桃。題目一：已知每間宿舍可住6人時(shí)，16人沒(méi)有床位；每間可住8人時(shí)，多出10個(gè)床位。求宿舍數(shù)量和學(xué)生人數(shù)。解答：設(shè)宿舍數(shù)量為x，學(xué)生人數(shù)為y。根據(jù)題意，可以列出如下方程組：6x+16=y8x-10=y將第一個(gè)方程式乘以2，得