九年級(jí)數(shù)學(xué)一元二次方程全冊(cè)知識(shí)點(diǎn)及練習(xí)題

【復(fù)習(xí)資料、知識(shí)分享】九年級(jí)數(shù)學(xué)一元二次方程21.1一元二次方程在一個(gè)等式中，只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2次的整式方程叫做一元二次方程。一元二次方程有四個(gè)特點(diǎn)：(1)只含有一個(gè)未知數(shù)；(2)且未知數(shù)次數(shù)最高次數(shù)是2；(3)是整式方程．要判斷一個(gè)方程是否為一元二次方程，先看它是否為整式方程，若是，再對(duì)它進(jìn)行整理．如果能整理為ax2+bx+c=0(a≠0)的形式，則這個(gè)方程就為一元二次方程．（4）將方程化為一般形式：ax2+bx+c=0時(shí)，應(yīng)滿足（a≠0）21.2降次——解一元二次方程1．一元二次方程的解法(1)直接開平方法：根據(jù)平方根的意義，用此法可解出形如(a≥0)，(b≥0)類的一元二次方程．，則；，，．對(duì)有些一元二次方程，本身不是上述兩種形式，但可以化為或的形式，也可以用此法解．(2)因式分解法：當(dāng)一元二次方程的一邊為零，而另一邊易分解成兩個(gè)一次因式的積時(shí)，就可用此法來(lái)解．要清楚使乘積ab＝0的條件是a＝0或b＝0，使方程x(x－3)＝0的條件是x＝0或x－3＝0．x的兩個(gè)值都可以使方程成立，所以方程x(x－3)＝0有兩個(gè)根，而不是一個(gè)根．(3)配方法：任何一個(gè)形如的二次式，都可以通過(guò)加一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方的方法配成一個(gè)二項(xiàng)式的完全平方，把方程歸結(jié)為能用直接開平方法來(lái)解的方程．如解時(shí)，可把方程化為，，即，從而得解．注意：(1)“方程兩邊各加上一次項(xiàng)系數(shù)一半平方”的前提是方程的二次項(xiàng)系數(shù)是1．(2)解一元二次方程時(shí)，一般不用此法，掌握這種配方法是重點(diǎn)．(3)公式法：一元二次方程(a≠0)的根是由方程的系數(shù)a、b、c確定的．在的前提下，．用公式法解一元二次方程的一般步驟：①先把方程化為一般形式，即(a≠0)的形式；②正確地確定方程各項(xiàng)的系數(shù)a、b、c的值(要注意它們的符號(hào))；③計(jì)算時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根，就不必解了(因負(fù)數(shù)開平方無(wú)意義)；④將a、b、c的值代入求根公式，求出方程的兩個(gè)根．說(shuō)明：象直接開平方法、因式分解法只是適宜于特殊形式的方程，而公式法則是最普遍，最適用的方法．解題時(shí)要根據(jù)方程的特征靈活選用方法．2．一元二次方程根的判別式一元二次方程的根有三種情況：①有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；②有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；③沒有實(shí)數(shù)根．而根的情況，由的值來(lái)確定．因此叫做一元二次方程的根的判別式．△>0方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．△＝0方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．△<0方程沒有實(shí)數(shù)根．判別式的應(yīng)用(1)不解方程判定方程根的情況；(2)根據(jù)參數(shù)系數(shù)的性質(zhì)確定根的范圍；(3)解與根有關(guān)的證明題．3．韋達(dá)定理及其應(yīng)用定理：如果方程(a≠0)的兩個(gè)根是，那么．當(dāng)a＝1時(shí)，．應(yīng)用：(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及參數(shù)系數(shù)；(2)已知方程，求含有兩根對(duì)稱式的代數(shù)式的值及有關(guān)未知系數(shù)；(3)已知方程兩根，求作以方程兩根或其代數(shù)式為根的一元二次方程；(4)已知兩數(shù)和與積求兩數(shù)．4．一元二次方程的應(yīng)用(1)面積問題；(2)數(shù)字問題；(3)平均增長(zhǎng)率問題．步驟：①分析題意，找到題中未知數(shù)和題給條件的相等關(guān)系(包括隱含的)；②設(shè)未知數(shù)，并用所設(shè)的未知數(shù)的代數(shù)式表示其余的未知數(shù)；③找出相等關(guān)系，并用它列出方程；④解方程求出題中未知數(shù)的值；⑤檢驗(yàn)所求的答數(shù)是否符合題意，并做答．這里關(guān)鍵性的步驟是②和③．注意：列一元二次方程應(yīng)用題是一元一次方程解應(yīng)用題的拓展，解題的方法是相同的，但因一元二次方程有兩解，要檢驗(yàn)方程的解是否符合題意及實(shí)際問題的意義．第二十二章二次函數(shù)22.1二次函數(shù)及其圖像二次函數(shù)概念一般地，把形如y=ax2+bx+c（其中a、b、c是常數(shù)，a≠0，b，c可以為0）的函數(shù)叫做二次函數(shù)，其中a稱為二次項(xiàng)系數(shù)，b為一次項(xiàng)系數(shù)，c為常數(shù)項(xiàng)。x為自變量，y為因變量。等號(hào)右邊自變量的最高次數(shù)是2。二次函數(shù)圖像是軸對(duì)稱圖形。對(duì)稱軸為直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)，交點(diǎn)式為（僅限于與x軸有交點(diǎn)和的拋物線），與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是和。

注意：“變量”不同于“自變量”，不能說(shuō)“二次函數(shù)是指變量的最高次數(shù)為二次的多項(xiàng)式函數(shù)”?！拔粗獢?shù)”只是一個(gè)數(shù)（具體值未知，但是只取一個(gè)值），“變量”可在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)任意取值。在方程中適用“未知數(shù)”的概念（函數(shù)方程、微分方程中是未知函數(shù)，但不論是未知數(shù)還是未知函數(shù)，一般都表示一個(gè)數(shù)或函數(shù)——也會(huì)遇到特殊情況），但是函數(shù)中的字母表示的是變量，意義已經(jīng)有所不同。從函數(shù)的定義也可看出二者的差別，如同函數(shù)不等于函數(shù)的關(guān)系。二次函數(shù)公式大全二次函數(shù)

I.定義與定義表達(dá)式

一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系：

y=ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a≠0）

則稱y為x的二次函數(shù)。

二次函數(shù)表達(dá)式的右邊通常為二次三項(xiàng)式。

II.二次函數(shù)的三種表達(dá)式

一般式：y=ax2;+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a≠0）

頂點(diǎn)式：y=a(x-h)2;+k[拋物線的頂點(diǎn)P（h，k）]

交點(diǎn)式：y=a(x-x1)(x-x2)[僅限于與x軸有交點(diǎn)A（x1，0）和B（x2，0）的拋物線]

注：在3種形式的互相轉(zhuǎn)化中，有如下關(guān)系:

h=-b/2ak=(4ac-b2;)/4ax1,x2=(-b±√b2;-4ac)/2a

III.二次函數(shù)的圖象

在平面直角坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)y=x??的圖象，

可以看出，二次函數(shù)的圖象是一條拋物線。

IV.拋物線的性質(zhì)

1.拋物線是軸對(duì)稱圖形。對(duì)稱軸為直線

x=-b/2a。

對(duì)稱軸與拋物線唯一的交點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)P。

特別地，當(dāng)b=0時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸是y軸（即直線x=0）

2.拋物線有一個(gè)頂點(diǎn)P，坐標(biāo)為

P[-b/2a，(4ac-b2;)/4a]。

當(dāng)-b/2a=0時(shí)，P在y軸上；當(dāng)Δ=b2-4ac=0時(shí)，P在x軸上。

3.二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。

當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線向上開口；當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線向下開口。

|a|越大，則拋物線的開口越小。

4.一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱軸的位置。

當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)（即ab＞0），對(duì)稱軸在y軸左；

當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)（即ab＜0），對(duì)稱軸在y軸右。

5.常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)。

拋物線與y軸交于（0，c）

6.拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)

Δ=b2-4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)。

Δ=b2-4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)。

Δ=b2-4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)。

V.二次函數(shù)與一元二次方程

特別地，二次函數(shù)（以下稱函數(shù)）y=ax2;+bx+c，

當(dāng)y=0時(shí)，二次函數(shù)為關(guān)于x的一元二次方程（以下稱方程），

即ax2;+bx+c=0

此時(shí)，函數(shù)圖象與x軸有無(wú)交點(diǎn)即方程有無(wú)實(shí)數(shù)根。

函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的根。例1，二次函數(shù)配方為的形式，則()用函數(shù)觀點(diǎn)看一元二次方程1.如果拋物線與x軸有公共點(diǎn)，公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，那么當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值是0，因此就是方程的一個(gè)根。2.二次函數(shù)的圖象與x軸的位置關(guān)系有三種：沒有公共點(diǎn)，有一個(gè)公共點(diǎn)，有兩個(gè)公共點(diǎn)。這對(duì)應(yīng)著一元二次方程根的三種情況：沒有實(shí)數(shù)根，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根。實(shí)際問題與二次函數(shù)在日常生活、生產(chǎn)和科研中，求使材料最省、時(shí)間最少、效率最高等問題，有些可歸結(jié)為求二次函數(shù)的最大值或最小值。第二十三章旋轉(zhuǎn)23.1圖形的旋轉(zhuǎn)1.圖形的旋轉(zhuǎn)（1）定義：在平面內(nèi)，將一個(gè)圓形繞一個(gè)定點(diǎn)沿某個(gè)方向（順時(shí)針或逆時(shí)針）轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)叫做旋轉(zhuǎn)，這個(gè)定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動(dòng)的角稱為旋轉(zhuǎn)角。（圖形的旋轉(zhuǎn)本節(jié)我們重點(diǎn)了解旋轉(zhuǎn)、平移性質(zhì)，除外還有一個(gè)重點(diǎn)是點(diǎn)的對(duì)稱變換。二、知識(shí)要點(diǎn)1、旋轉(zhuǎn)：將一個(gè)圖形繞著某點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度的變換叫做旋轉(zhuǎn)。其中，O叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動(dòng)的角度叫做旋轉(zhuǎn)角。2、旋轉(zhuǎn)性質(zhì)①旋轉(zhuǎn)后的圖形與原圖形全等②對(duì)應(yīng)線段與O形成的角叫做旋轉(zhuǎn)角③各旋轉(zhuǎn)角都相等3、平移：將一個(gè)圖形沿著某條直線方向平移一定的距離的變換叫做平移。其中，該直線的方向叫做平移方向，該距離叫做平移距離。4、平移性質(zhì)①平移后的圖形與原圖形全等②兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)邊連線的線段平行相等（等于平行距離）③各組對(duì)應(yīng)線段平行且相等5、中心對(duì)稱與中心對(duì)稱圖形①中心對(duì)稱：若一個(gè)圖形繞著某個(gè)點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°，能夠與另一個(gè)圖形完全重合，則這兩個(gè)圖形關(guān)于這個(gè)點(diǎn)對(duì)稱或中心對(duì)稱。其中，點(diǎn)O叫做對(duì)稱中心、兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)叫做關(guān)于中心的對(duì)稱點(diǎn)。②中心對(duì)稱圖形：若一個(gè)圖形繞著某個(gè)點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°，能夠與原來(lái)的圖形完全重合，則這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形。其中，這個(gè)點(diǎn)叫做該圖形的對(duì)稱中心。6、軸對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形(1)、軸對(duì)稱：若兩個(gè)圖形沿著某條軸對(duì)折，能夠完全重合，則這兩個(gè)圖形關(guān)于這條軸對(duì)稱或它們成軸對(duì)稱。其中，這條軸叫做對(duì)稱軸。注：軸對(duì)稱的性質(zhì)：①兩個(gè)圖形全等；②對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被對(duì)稱軸垂直平分（2）軸對(duì)稱圖形：若一個(gè)圖形沿著某條軸對(duì)折，能夠完全重合，則這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形。7、點(diǎn)的對(duì)稱變換（1）、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的特征兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱時(shí)，它們的坐標(biāo)的符號(hào)相反，即點(diǎn)P（x，y）關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為P＇（-x，-y）（2）、關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的特征兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱時(shí)，它們的坐標(biāo)中，x相等，y的符號(hào)相反，即點(diǎn)P（x，y）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為P＇（x，-y）（3）、關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的特征兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱時(shí)，它們的坐標(biāo)中，y相等，x的符號(hào)相反，即點(diǎn)P（x，y）關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為P＇（-x，y）（４）、關(guān)于直線y＝x對(duì)稱兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于直線y＝x對(duì)稱時(shí)，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)與之前對(duì)換，即：P（x，y）關(guān)于直線y＝x的對(duì)稱點(diǎn)為P＇（y，x）（5）、兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于直線y＝-x對(duì)稱時(shí)，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)與之前完全相反，即：P（x，y）關(guān)于直線y＝x的對(duì)稱點(diǎn)為P＇（-y，-x）注：y＝x的直線是過(guò)一三象限的角平分線，y＝-x的直線是過(guò)二四象限的角平分線。第二十四章圓24.1圓定義：（1）平面上到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)組成的圖形叫做圓。（2)平面上一條線段，繞它的一端旋轉(zhuǎn)360°，留下的軌跡叫圓。圓心：（1）如定義（1）中，該定點(diǎn)為圓心（2）如定義（2）中，繞的那一端的端點(diǎn)為圓心。（3）圓任意兩條對(duì)稱軸的交點(diǎn)為圓心。（4）垂直于圓內(nèi)任意一條弦且兩個(gè)端點(diǎn)在圓上的線段的二分點(diǎn)為圓心。注：圓心一般用字母O表示直徑：通過(guò)圓心，并且兩端都在圓上的線段叫做圓的直徑。直徑一般用字母d表示。半徑：連接圓心和圓上任意一點(diǎn)的線段，叫做圓的半徑。半徑一般用字母r表示。圓的直徑和半徑都有無(wú)數(shù)條。圓是軸對(duì)稱圖形，每條直徑所在的直線是圓的對(duì)稱軸。在同圓或等圓中：直徑是半徑的2倍，半徑是直徑的二分之一.d=2r或r=二分之d。圓的半徑或直徑?jīng)Q定圓的大小，圓心決定圓的位置。圓的周長(zhǎng)：圍成圓的曲線的長(zhǎng)度叫做圓的周長(zhǎng)，用字母C表示。圓的周長(zhǎng)與直徑的比值叫做圓周率。圓的周長(zhǎng)除以直徑的商是一個(gè)固定的數(shù)，把它叫做圓周率，它是一個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)（無(wú)理數(shù)），用字母π表示。計(jì)算時(shí)，通常取它的近似值，π≈3.14。直徑所對(duì)的圓周角是直角。90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑。圓的面積公式：圓所占平面的大小叫做圓的面積。πr^2，用字母S表示。一條弧所對(duì)的圓周角是圓心角的二分之一。在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弦心距也相等。在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么他們所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弦心距也相等。在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么他們所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦心距也相等。周長(zhǎng)計(jì)算公式1.、已知直徑：C=πd2、已知半徑：C=2πr3、已知周長(zhǎng)：D=c\π4、圓周長(zhǎng)的一半:1\2周長(zhǎng)(曲線)5、半圓的長(zhǎng)：1\2周長(zhǎng)+直徑面積計(jì)算公式：1、已知半徑：S=πr平方2、已知直徑：S=π（d\2）平方3、已知周長(zhǎng)：S=π(c\2π)平方24.2點(diǎn)、直線、圓和圓的位置關(guān)系1.點(diǎn)和圓的位置關(guān)系①點(diǎn)在圓內(nèi)點(diǎn)到圓心的距離小于半徑②點(diǎn)在圓上點(diǎn)到圓心的距離等于半徑③點(diǎn)在圓外點(diǎn)到圓心的距離大于半徑2.過(guò)三點(diǎn)的圓不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓。3.外接圓和外心經(jīng)過(guò)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)可以做一個(gè)圓，這個(gè)圓叫做三角形的外接圓。外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心。4.直線和圓的位置關(guān)系相交：直線和圓有兩個(gè)公共點(diǎn)叫這條直線和圓相交，這條直線叫做圓的割線。相切：直線和圓有一個(gè)公共點(diǎn)叫這條直線和圓相切，這條直線叫做圓的切線，這個(gè)點(diǎn)叫做切點(diǎn)。相離：直線和圓沒有公共點(diǎn)叫這條直線和圓相離。5.直線和圓位置關(guān)系的性質(zhì)和判定如果⊙O的半徑為r，圓心O到直線的距離為d，那么①直線和⊙O相交；②直線和⊙O相切；③直線和⊙O相離。圓和圓定義：兩個(gè)圓沒有公共點(diǎn)且每個(gè)圓的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部時(shí)，叫做這兩個(gè)圓的外離。兩個(gè)圓有唯一的公共點(diǎn)且除了這個(gè)公共點(diǎn)外，每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部，叫做兩個(gè)圓的外切。兩個(gè)圓有兩個(gè)交點(diǎn)，叫做兩個(gè)圓的相交。兩個(gè)圓有唯一的公共點(diǎn)且除了這個(gè)公共點(diǎn)外，每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的內(nèi)部，叫做兩個(gè)圓的內(nèi)切。兩個(gè)圓沒有公共點(diǎn)且每個(gè)圓的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的內(nèi)部時(shí)，叫做這兩個(gè)圓的內(nèi)含。原理：圓心距和半徑的數(shù)量關(guān)系：兩圓外離＜＝＞d＞R+r兩圓外切＜＝＞d=R+r兩圓相交＜＝＞R-r<d<R+r(R>＝r)兩圓內(nèi)切＜＝＞d=R-r(R>r)兩圓內(nèi)含＜＝＞d<R-r(R>r)24.3正多邊形和圓一、本章知識(shí)框架二、本章重點(diǎn)1．圓的定義：(1)線段OA繞著它的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A所形成的封閉曲線，叫做圓．(2)圓是到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合．2．判定一個(gè)點(diǎn)P是否在⊙O上．設(shè)⊙O的半徑為R，OP＝d，則有d>r點(diǎn)P在⊙O外；d＝r點(diǎn)P在⊙O上；d<r點(diǎn)P在⊙O內(nèi)．3．與圓有關(guān)的角(1)圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫圓心角．圓心角的性質(zhì)：圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù)．(2)圓周角：頂點(diǎn)在圓上，兩邊都和圓相交的角叫做圓周角．圓周角的性質(zhì)：①圓周角等于它所對(duì)的弧所對(duì)的圓心角的一半．②同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；在同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧相等．③90°的圓周角所對(duì)的弦為直徑；半圓或直徑所對(duì)的圓周角為直角．④如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形．⑤圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)；外角等于它的內(nèi)對(duì)角．(3)弦切角：頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫弦切角．弦切角的性質(zhì)：弦切角等于它夾的弧所對(duì)的圓周角．弦切角的度數(shù)等于它夾的弧的度數(shù)的一半．4．圓的性質(zhì)：(1)旋轉(zhuǎn)不變性：圓是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，繞圓心旋轉(zhuǎn)任一角度都和原來(lái)圖形重合；圓是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是圓心．在同圓或等圓中，兩個(gè)圓心角，兩條弧，兩條弦，兩條弦心距，這四組量中的任意一組相等，那么它所對(duì)應(yīng)的其他各組分別相等．(2)軸對(duì)稱：圓是軸對(duì)稱圖形，經(jīng)過(guò)圓心的任一直線都是它的對(duì)稱軸．垂徑定理及推論：(1)垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。?2)平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。?3)弦的垂直平分線過(guò)圓心，且平分弦對(duì)的兩條?。?4)平分一條弦所對(duì)的兩條弧的直線過(guò)圓心，且垂直平分此弦．(5)平行弦夾的弧相等．5．三角形的內(nèi)心、外心、重心、垂心(1)三角形的內(nèi)心：是三角形三個(gè)角平分線的交點(diǎn)，它是三角形內(nèi)切圓的圓心，在三角形內(nèi)部，它到三角形三邊的距離相等，通常用“I”表示．(2)三角形的外心：是三角形三邊中垂線的交點(diǎn)，它是三角形外接圓的圓心，銳角三角形外心在三角形內(nèi)部，直角三角形的外心是斜邊中點(diǎn)，鈍角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，通常用O表示．(3)三角形重心：是三角形三邊中線的交點(diǎn)，在三角形內(nèi)部；它到頂點(diǎn)的距離是到對(duì)邊中點(diǎn)距離的2倍，通常用G表示．(4)垂心：是三角形三邊高線的交點(diǎn)．6．切線的判定、性質(zhì)：(1)切線的判定：①經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．②到圓心的距離d等于圓的半徑的直線是圓的切線．(2)切線的性質(zhì)：①圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑．②經(jīng)過(guò)圓心作圓的切線的垂線經(jīng)過(guò)切點(diǎn)．③經(jīng)過(guò)切點(diǎn)作切線的垂線經(jīng)過(guò)圓心．(3)切線長(zhǎng)：從圓外一點(diǎn)作圓的切線，這一點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)度叫做切線長(zhǎng)．(4)切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)作圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角．7．圓內(nèi)接四邊形和外切四邊形(1)四個(gè)點(diǎn)都在圓上的四邊形叫圓的內(nèi)接四邊形，圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，外角等于內(nèi)對(duì)角．(2)各邊都和圓相切的四邊形叫圓外切四邊形，圓外切四邊形對(duì)邊之和相等．8．直線和圓的位置關(guān)系：設(shè)⊙O半徑為R，點(diǎn)O到直線l的距離為d．(1)直線和圓沒有公共點(diǎn)直線和圓相離d>R．(2)直線和⊙O有唯一公共點(diǎn)直線l和⊙O相切d＝R．(3)直線l和⊙O有兩個(gè)公共點(diǎn)直線l和⊙O相交d<R．9．圓和圓的位置關(guān)系：設(shè)的半徑為R、r(R>r)，圓心距．(1)沒有公共點(diǎn)，且每一個(gè)圓上的所有點(diǎn)在另一個(gè)圓的外部外離d>R＋r．(2)沒有公共點(diǎn)，且的每一個(gè)點(diǎn)都在外部?jī)?nèi)含d<R－r(3)有唯一公共點(diǎn)，除這個(gè)點(diǎn)外，每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓外部外切d＝R＋r．(4)有唯一公共點(diǎn)，除這個(gè)點(diǎn)外，的每個(gè)點(diǎn)都在內(nèi)部?jī)?nèi)切d＝R－r．(5)有兩個(gè)公共點(diǎn)相交R－r<d<R＋r．10．兩圓的性質(zhì)：(1)兩個(gè)圓是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是兩圓連心線．(2)相交兩圓的連心線垂直平分公共弦，相切兩圓的連心線經(jīng)過(guò)切點(diǎn)．11．圓中有關(guān)計(jì)算：圓的面積公式：，周長(zhǎng)C＝2πR．圓心角為n°、半徑為R的弧長(zhǎng)．圓心角為n°，半徑為R，弧長(zhǎng)為l的扇形的面積．弓形的面積要轉(zhuǎn)化為扇形和三角形的面積和、差來(lái)計(jì)算．圓柱的側(cè)面圖是一個(gè)矩形，底面半徑為R，母線長(zhǎng)為l的圓柱的體積為，側(cè)面積為2πRl，全面積為．圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，底面半徑為R，母線長(zhǎng)為l，高為h的圓錐的側(cè)面積為πRl，全面積為，母線長(zhǎng)、圓錐高、底面圓的半徑之間有．注意：（1）圓周長(zhǎng)、弧長(zhǎng)、圓面積、扇形面積的計(jì)算公式。

圓周長(zhǎng)弧長(zhǎng)圓面積扇形面積公式（2）扇形與弓形的聯(lián)系與區(qū)別（2）扇形與弓形的聯(lián)系與區(qū)別圖示面積

知識(shí)點(diǎn)4、圓錐的側(cè)面積圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形，如圖所示，設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l，底面圓的半徑為r，那么這個(gè)扇形的半徑為l，扇形的弧長(zhǎng)為2，圓錐的側(cè)面積，圓錐的全面積說(shuō)明：（1）圓錐的側(cè)面積與底面積之和稱為圓錐的全面積。（2）研究有關(guān)圓錐的側(cè)面積和全面積的計(jì)算問題，關(guān)鍵是理解圓錐的側(cè)面積公式，并明確圓錐全面積與側(cè)面積之間的關(guān)系。知識(shí)點(diǎn)5、圓柱的側(cè)面積圓柱的側(cè)面積展開圖是矩形，如圖所示，其兩鄰邊分別為圓柱的高和圓柱底面圓的周長(zhǎng)，若圓柱的底面半徑為r，高為h，則圓柱的側(cè)面積，圓柱的全面積知識(shí)小結(jié)：圓錐與圓柱的比較名稱圓錐圓柱圖形圖形的形成過(guò)程

由一個(gè)直角三角形旋轉(zhuǎn)得到的，如Rt△SOA繞直線SO旋轉(zhuǎn)一周。由一個(gè)矩形旋轉(zhuǎn)得到的，如矩形ABCD繞直線AB旋轉(zhuǎn)一周。圖形的組成一個(gè)底面和一個(gè)側(cè)面兩個(gè)底面和一個(gè)側(cè)面?zhèn)让嬲归_圖的特征扇形矩形面積計(jì)算方法

第二十五章概率初步25.1隨機(jī)事件與概率1．隨機(jī)試驗(yàn)與樣本空間具有下列三個(gè)特性的試驗(yàn)稱為隨機(jī)試驗(yàn)：(1)試驗(yàn)可以在相同的條件下重復(fù)地進(jìn)行；·(2)每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)，但事先知道每次試驗(yàn)所有可能的結(jié)果；(3)每次試驗(yàn)前不能確定哪一個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn)．試驗(yàn)的所有可能結(jié)果所組成的集合為樣本空間，用表示，其中的每一個(gè)結(jié)果用表示，稱為樣本空間中的樣本點(diǎn)，記作．2．隨機(jī)事件在隨機(jī)試驗(yàn)中，把一次試驗(yàn)中可能發(fā)生也可能不發(fā)生、而在大量重復(fù)試驗(yàn)中卻呈現(xiàn)某種規(guī)律性的事情稱為隨機(jī)事件(簡(jiǎn)稱事件)．通常把必然事件(記作)與不可能事件(記作)看作特殊的隨機(jī)事件．3．頻率與概率的定義(1)頻率的定義設(shè)隨機(jī)事件A在n次重復(fù)試驗(yàn)中發(fā)生了次，則比值／n稱為隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率，記作，即.(2)概率的統(tǒng)計(jì)定義在進(jìn)行大量重復(fù)試驗(yàn)中，隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率具有穩(wěn)定性，即當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n很大時(shí)，頻率在一個(gè)穩(wěn)定的值(0<<1)附近擺動(dòng)，規(guī)定事件A發(fā)生的頻率的穩(wěn)定值為概率，即．(3)古典概率的定義具有下列兩個(gè)特征的隨機(jī)試驗(yàn)的數(shù)學(xué)模型稱為古典概型：(i)試驗(yàn)的樣本空間是個(gè)有限集，不妨記作;(ii)在每次試驗(yàn)中，每個(gè)樣本點(diǎn)(）出現(xiàn)的概率相同，即．在古典概型中，規(guī)定事件A的概率為．(4)幾何概率的定義如果隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間是一個(gè)區(qū)域(可以是直線上的區(qū)間、平面或空間中的區(qū)域)，且樣本空間中每個(gè)試驗(yàn)結(jié)果的出現(xiàn)具有等可能性，那么規(guī)定事件Ａ的概率為·25.2用列舉法求概率1、當(dāng)一次試驗(yàn)中，可能出現(xiàn)的結(jié)果是有限個(gè)，并且各種結(jié)果發(fā)生的可能性相等時(shí)，可以用被關(guān)注的結(jié)果在全部試驗(yàn)結(jié)果中所占的比分析出事件中該結(jié)果發(fā)生的概率，此時(shí)可采用列舉法．2、列舉法就是把要數(shù)的對(duì)象一一列舉出來(lái)分析求解的方法．但有時(shí)一一列舉出的情況數(shù)目很大，此時(shí)需要考慮如何去排除不合理的情況，盡可能減少列舉的問題可能解的數(shù)目.3、利用列表法或樹形圖法求概率的關(guān)鍵是：①注意各種情況出現(xiàn)的可能性務(wù)必相同；②其中某一事件發(fā)生的概率；③在考查各種情況出現(xiàn)的次數(shù)和某一事件發(fā)生的次數(shù)時(shí)不能重復(fù)也不能遺漏；4、用列表法或樹形圖法求得的概率是理論概率，而實(shí)驗(yàn)估計(jì)值是頻率，它通常受到實(shí)驗(yàn)次數(shù)的影響而產(chǎn)生波動(dòng)，因此兩者不一定一致，實(shí)驗(yàn)次數(shù)較多時(shí)，頻率穩(wěn)定于概率，但并不完全等于概率。25.3用頻率估計(jì)概率在做大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，一個(gè)隨機(jī)事件出現(xiàn)的頻率應(yīng)該穩(wěn)定于該事件發(fā)生的概率。事件發(fā)生的頻率與概率既有區(qū)別又有聯(lián)系：事件發(fā)生的頻率不一定相同，是個(gè)變數(shù)，而事件發(fā)生的概率是個(gè)常數(shù)；但它們之間又有密切的聯(lián)系，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率越來(lái)越穩(wěn)定于概率。在具體操作過(guò)程中，大家往往發(fā)現(xiàn)：雖然多次試驗(yàn)結(jié)果的頻率逐漸穩(wěn)定于概率，但可能無(wú)論做多少次試驗(yàn)，兩者之間存在著一定的偏差。應(yīng)該注意：這種偏差的存在是經(jīng)常的，并且是正常的。另外，由于受到某些因素的影響，通過(guò)試驗(yàn)得到的估計(jì)結(jié)果往往不太理想，甚至有可能出現(xiàn)極端情況，此時(shí)我們應(yīng)正確地看待這樣的結(jié)果并嘗試著對(duì)結(jié)果進(jìn)行合理的解釋。對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的頻率與理論概率的偏差的理解也是形成隨機(jī)觀念的一個(gè)重要環(huán)節(jié)。在實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)越大時(shí)，出現(xiàn)極端情況的可能性就越小。因此，我們常常通過(guò)做大量重復(fù)試驗(yàn)來(lái)獲得事件發(fā)生的頻率，并用它作為概率的估計(jì)值。試驗(yàn)次數(shù)越多，得到的估計(jì)結(jié)果就越可靠。第二十六章反比例函數(shù)26.1知識(shí)點(diǎn)1反比例函數(shù)的定義一般地，形如（k為常數(shù)，）的函數(shù)稱為反比例函數(shù)，它可以從以下幾個(gè)方面來(lái)理解：⑴x是自變量，y是x的反比例函數(shù)；⑵自變量x的取值范圍是的一切實(shí)數(shù)，函數(shù)值的取值范圍是；⑶比例系數(shù)是反比例函數(shù)定義的一個(gè)重要組成部分；⑷反比例函數(shù)有三種表達(dá)式：①（），②（），③（定值）（）；⑸函數(shù)（）與（）是等價(jià)的，所以當(dāng)y是x的反比例函數(shù)時(shí)，x也是y的反比例函數(shù)。（k為常數(shù)，）是反比例函數(shù)的一部分，當(dāng)k=0時(shí)，，就不是反比例函數(shù)了，由于反比例函數(shù)（）中，只有一個(gè)待定系數(shù)，因此，只要一組對(duì)應(yīng)值，就可以求出k的值，從而確定反比例函數(shù)的表達(dá)式。26.2知識(shí)點(diǎn)2用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式由于反比例函數(shù)（）中，只有一個(gè)待定系數(shù)，因此，只要一組對(duì)應(yīng)值，就可以求出k的值，從而確定反比例函數(shù)的表達(dá)式。26.3知識(shí)點(diǎn)3反比例函數(shù)的圖像及畫法反比例函數(shù)的圖像是雙曲線，它有兩個(gè)分支，這兩個(gè)分支分別位于第一、第三象限或第二、第四象限，它們與原點(diǎn)對(duì)稱，由于反比例函數(shù)中自變量函數(shù)中自變量，函數(shù)值，所以它的圖像與x軸、y軸都沒有交點(diǎn)，即雙曲線的兩個(gè)分支無(wú)限接近坐標(biāo)軸，但永遠(yuǎn)達(dá)不到坐標(biāo)軸。反比例的畫法分三個(gè)步驟：⑴列表；⑵描點(diǎn)；⑶連線。再作反比例函數(shù)的圖像時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：①列表時(shí)選取的數(shù)值宜對(duì)稱選取；②列表時(shí)選取的數(shù)值越多，畫的圖像越精確；③連線時(shí)，必須根據(jù)自變量大小從左至右（或從右至左）用光滑的曲線連接，切忌畫成折線；④畫圖像時(shí)，它的兩個(gè)分支應(yīng)全部畫出，但切忌將圖像與坐標(biāo)軸相交。26.4知識(shí)點(diǎn)4反比例函數(shù)的性質(zhì)☆關(guān)于反比例函數(shù)的性質(zhì)，主要研究它的圖像的位置及函數(shù)值的增減情況，如下表：反比例函數(shù)（）的符號(hào)圖像性質(zhì)①的取值范圍是，y的取值范圍是②當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖像的兩個(gè)分支分別在第一、第三象限，在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減小。①的取值范圍是，y的取值范圍是②當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖像的兩個(gè)分支分別在第二、第四象限，在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大。注意：描述函數(shù)值的增減情況時(shí)，必須指出“在每個(gè)象限內(nèi)……”否則，籠統(tǒng)地說(shuō)，當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小“，就會(huì)與事實(shí)不符的矛盾。反比例函數(shù)圖像的位置和函數(shù)的增減性，是有反比例函數(shù)系數(shù)k的符號(hào)決定的，反過(guò)來(lái)，由反比例函數(shù)圖像（雙曲線）的位置和函數(shù)的增減性，也可以推斷出k的符號(hào)。如在第一、第三象限，則可知?！罘幢壤瘮?shù)（）中比例系數(shù)k的絕對(duì)值的幾何意義。如圖所示，過(guò)雙曲線上任一點(diǎn)P（x，y）分別作x軸、y軸的垂線，E、F分別為垂足，則反比例函數(shù)（）中，越大，雙曲線越遠(yuǎn)離坐標(biāo)原點(diǎn)；越小，雙曲線越靠近坐標(biāo)原點(diǎn)。雙曲線是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是坐標(biāo)原點(diǎn)；雙曲線又是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是直線y=x和直線y=－x。第二十七章相似圖形的相似概述如果兩個(gè)圖形形狀相同,但大小不一定相等,那么這兩個(gè)圖形相似。（相似的符號(hào)：∽）判定如果兩個(gè)多邊形滿足對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)多邊形相似。相似比相似多邊形的對(duì)應(yīng)邊的比叫相似比。相似比為1時(shí)，相似的兩個(gè)圖形全等。性質(zhì)相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等。相似多邊形的周長(zhǎng)比等于相似比。相似多邊形的面積比等于相似比的平方。相似三角形判定1.兩個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等2.兩邊對(duì)應(yīng)成比例,且夾角相等3.三邊對(duì)應(yīng)成比例4.平行于三角形一邊的直線和其他兩邊或兩邊延長(zhǎng)線相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。例題∵∠A=∠A';∠B=∠B'\o"查看圖片"

∴△ABC∽△A'B'C'性質(zhì)1.相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比。2.相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比。3.相似三角形面積的比等于相似比的平方位似如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線交于一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊互相平行，那么這兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心，這時(shí)的相似比又稱為位似比。性質(zhì)位似圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)和位似中心在同一直線上，它們到位似中心的距離之比等于相似比。位似多邊形的對(duì)應(yīng)邊平行或共線。位似可以將一個(gè)圖形放大或縮小。位似圖形的中心可以在任意的一點(diǎn)，不過(guò)位似圖形也會(huì)隨著位似中心的位變而位變。根據(jù)一個(gè)位似中心可以作兩個(gè)關(guān)于已知圖形一定位似比的位似圖形,這兩個(gè)圖形分布在位似中心的兩側(cè),并且關(guān)于位似中心對(duì)稱。注意1、位似是一種具有位置關(guān)系的相似，所以兩個(gè)圖形是位似圖形，必定是相似圖形，而相似圖形不一定是位似圖形；2、兩個(gè)位似圖形的位似中心只有一個(gè)；3、兩個(gè)位似圖形可能位于位似中心的兩側(cè)，也可能位于位似中心的一側(cè)；4、位似比就是相似比．利用位似圖形的定義可判斷兩個(gè)圖形是否位似；5、平行于三角形一邊的直線和其它兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形位似。第二十八章銳角三角函數(shù)銳角三角函數(shù)銳角角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）,余切（cot）以及正割（sec），（余割csc）都叫做角A的銳角三角函數(shù)。正弦（sin）等于對(duì)邊比斜邊，余弦（cos）等于鄰邊比斜邊正切（tan）等于對(duì)邊比鄰邊；直角三角形ABC中,角A的正弦值就等于角A的對(duì)邊比斜邊,余弦等于角A的鄰邊比斜邊正切等于對(duì)邊比鄰邊,解直角三角形勾股定理，只適用于直角三角形（外國(guó)叫“畢達(dá)哥拉斯定理”）a^2+b^2=c^2,其中a和b分別為直角三角形兩直角邊，c為斜邊。勾股弦數(shù)是指一組能使勾股定理關(guān)系成立的三個(gè)正整數(shù)。比如：3，4，5。他們分別是3，4和5的倍數(shù)。ABABCD⑴直角三角形兩個(gè)銳角互余；⑵直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；⑶直角三角形中30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半；⑷勾股定理：直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，即：在Rt△ABC中，若∠C＝90°，則a2+b2=c2；ABABCacb⑹射影定理：AC2=ADAB,BC2=BDAB,CD2=DADB．銳角三角函數(shù)的定義：如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所對(duì)的邊分別為a,b,c,則sinA=eq\f(a,c),cosA=eq\f(b,c),tanA=eq\f(a,b),cotA=eq\f(b,a)特殊角的三角函數(shù)值：（并會(huì)觀察其三角函數(shù)值隨的變化情況）sincostancot30°eq\f(1,2)eq\f(1eq\f(\r(3),2)eq\f(\r(3),3)