第六章第一節(jié)-Lp空間簡(jiǎn)介課件

第一節(jié)Lp-空間簡(jiǎn)介

人們?cè)谟玫椒ń馕⒎址匠袒蚍e分方程時(shí)，常常會(huì)碰到這樣的問(wèn)題：盡管任意有限次迭代函數(shù)都是很好的函數(shù)（可微或連續(xù)函數(shù)），但當(dāng)施行極限手續(xù)以求出準(zhǔn)確解時(shí)卻發(fā)現(xiàn)，迭代序列的極限不在原來(lái)所限定的范圍內(nèi)，這促使人們將函數(shù)的范圍拓寬，空間理論正是在此基礎(chǔ)上產(chǎn)生的。1907年，F(xiàn).Riesz與Frechet首先定義了[0，1]上的平方可積函數(shù)空間，即第一節(jié)Lp-空間簡(jiǎn)介人們?cè)谟玫椒ń?第一節(jié)Lp-空間簡(jiǎn)介隨后,人們又進(jìn)一步考察p-方可積函數(shù)，得到空間,考慮這些空間的一個(gè)基本思想是，不再是將每一個(gè)函數(shù)當(dāng)作一個(gè)孤立對(duì)象看，而是作為某一類集合中的一個(gè)元素，將這個(gè)函數(shù)集合看作一個(gè)整體討論其結(jié)構(gòu)。如果說(shuō)前面所研究的Lebesgue可測(cè)函數(shù)是一棵棵的樹木,現(xiàn)在則要將這些樹木放在起構(gòu)成一片森林。第一節(jié)Lp-空間簡(jiǎn)介隨后,人們又進(jìn)一步2第一節(jié)Lp-空間簡(jiǎn)介一.—空間的定義我們知道，Rn中有線性運(yùn)算，有距離公式，對(duì)于兩個(gè)函數(shù)，可以定義它們的線性運(yùn)算，但它們之間所謂“距離”的定義卻不是件簡(jiǎn)單的是。首先，所定義的距離必須有意義，例如，對(duì)于中的兩個(gè)函數(shù)，可以用定義它們的距離，但如果用它來(lái)定義一般Lebesgue可測(cè)函數(shù)間的距離顯然是不合適的。其次，所定義的距離，必須滿足距離的一些最基本的性質(zhì)。這些性質(zhì)是什么呢？我們可以通過(guò)中的距離歸納出來(lái)，即下面的第一節(jié)Lp-空間簡(jiǎn)介一.—空間的定義3第一節(jié)Lp-空間簡(jiǎn)介定義1設(shè)是一個(gè)集合。的函數(shù)。滿足：（i）對(duì)任意

（ii）對(duì)任意（iii）對(duì)任意（三角不等式）。則稱是A上的距離是E上的Lebesgue可測(cè)函數(shù)，

設(shè)且

。第一節(jié)Lp-空間簡(jiǎn)介定義1設(shè)是一個(gè)集合。4第一節(jié)Lp-空間簡(jiǎn)介

對(duì)任意，顯然仍是E上的可測(cè)函數(shù)，由于對(duì)任意實(shí)數(shù)，有

所以第一節(jié)Lp-空間簡(jiǎn)介對(duì)任意5第一節(jié)Lp-空間簡(jiǎn)介因此不難看出。從的定義，啟發(fā)我們以下面的方式定義上的距離：由上面的討論，顯見(jiàn)對(duì)任意，有第一節(jié)Lp-空間簡(jiǎn)介因此不難看出6第一節(jié)Lp-空間簡(jiǎn)介

即上非負(fù)的有限函數(shù)。它是不是上的距離呢？為此，設(shè)，則得，于是，進(jìn)而由此立得另一方面，若

第一節(jié)Lp-空間簡(jiǎn)介即7第一節(jié)Lp-空間簡(jiǎn)介則，從而。上述分析說(shuō)明，并不是上的距離，但使的函數(shù)必有幾乎處處相等的，反之亦然。因此，我們可以將中幾乎處處相等的函數(shù)放在一起，從而構(gòu)成新的集合：當(dāng)且僅當(dāng)?shù)谝还?jié)Lp-空間簡(jiǎn)介則8第一節(jié)Lp-空間簡(jiǎn)介

對(duì)任意，定義

不難看到，對(duì)任意，，恒有

故上面的定義是無(wú)歧義的，此外，若，則顯然有。這樣，作為上的函數(shù)的確滿足距離定義中的（i），至于（ii）則是顯而易見(jiàn)的，所以只需驗(yàn)證它是否滿足（iii）。

第一節(jié)Lp-空間簡(jiǎn)介對(duì)任意9第一節(jié)Lp-空間簡(jiǎn)介

為方便起見(jiàn)，以后也用記，只要說(shuō)則指的就是與幾乎處處相等的函數(shù)類，若說(shuō)則指的就是單一的函數(shù)。二。幾個(gè)重要的不等式引理1設(shè)是正數(shù)，，，則等式成立當(dāng)且僅當(dāng)，或中有一個(gè)為0。第一節(jié)Lp-空間簡(jiǎn)介為方便起見(jiàn)，以后10第一節(jié)Lp-空間簡(jiǎn)介

證明：不妨設(shè)（情形可類似證明），由引理的條件知，于是要證的不等式可寫成即記，則對(duì)任意，存在，使，因，所以，從而，第一節(jié)Lp-空間簡(jiǎn)介證明：不妨設(shè)11第一節(jié)Lp-空間簡(jiǎn)介

即。令

，立得

從證明過(guò)程可以看出，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)或或0，證畢。定理1（霍爾德（Holder）不等式）設(shè)，（滿足條件的稱作共軛數(shù)），，，則第一節(jié)Lp-空間簡(jiǎn)介即12第一節(jié)Lp-空間簡(jiǎn)介

且。 （1）等式成立當(dāng)且僅當(dāng)與相差一個(gè)常數(shù)因子。證明：若中有一個(gè)為0，則（1）式顯然成立（事實(shí)上，此時(shí)（1）式兩邊都為0），故不妨設(shè)均不為0。于是 都不為0，第一節(jié)Lp-空間簡(jiǎn)介且13第一節(jié)Lp-空間簡(jiǎn)介

記則由引理1，當(dāng)，都不為0時(shí)，有

即

第一節(jié)Lp-空間簡(jiǎn)介記14第一節(jié)Lp-空間簡(jiǎn)介

且等號(hào)只有在即與只差一個(gè)常數(shù)因子時(shí)才成立，不等式兩邊作積分得，此即所要的不等式，證畢。定理2（Minkowski不等式）第一節(jié)Lp-空間簡(jiǎn)介且等號(hào)只有在15第一節(jié)Lp-空間簡(jiǎn)介設(shè)，，則（2）若，則等號(hào)只在與相差一個(gè)非負(fù)常數(shù)因子時(shí)成立。證明：當(dāng)時(shí)，不等式顯然成立，若,則不等式也是顯然的，故不妨第一節(jié)Lp-空間簡(jiǎn)介設(shè)，16第一節(jié)Lp-空間簡(jiǎn)介

設(shè)，且，注意到時(shí)，，故其中是的共軛數(shù)，即，于是由Holder不等式得（3）第一節(jié)Lp-空間簡(jiǎn)介設(shè)17第一節(jié)Lp-空間簡(jiǎn)介

類似地，也有

（4）將兩個(gè)不等式相加得

第一節(jié)Lp-空間簡(jiǎn)介類似地，也有18第一節(jié)Lp-空間簡(jiǎn)介

兩邊同除以立得所要的不等式。要使（2）式中的等號(hào)成立，必須且只需（3）、（4）及（5）的第一個(gè)不等式成為等式，而使（3）、（4）成為等式的充要

第一節(jié)Lp-空間簡(jiǎn)介19第一節(jié)Lp-空間簡(jiǎn)介

條件是，與都只差一常數(shù)因子.由于假設(shè)了從而，所以與只差一常數(shù)因子，即存在常數(shù)c，使進(jìn)而。要使（5）中第一個(gè)不等式成為等式，必須有第一節(jié)Lp-空間簡(jiǎn)介條件是，20第一節(jié)Lp-空間簡(jiǎn)介這意味著與的符號(hào)在E上幾乎處處相同，從而由得所以，證畢。