專題10空間向量與立體幾何-高考數(shù)學(xué)真題題源解密（全國(guó)卷）（原卷版）

2023年高考數(shù)學(xué)真題題源解密（全國(guó)卷）專題10空間向量與立體幾何目錄一覽①2023真題展現(xiàn)考向一空間幾何體的表面積和體積考向二三視圖考向三點(diǎn)線面的位置關(guān)系考向四空間中的夾角問(wèn)題②真題考查解讀③近年真題對(duì)比考向一空間幾何體的表面積和體積考向二三視圖考向三點(diǎn)線面的位置關(guān)系考向四空間中的夾角問(wèn)題④命題規(guī)律解密⑤名校模擬探源⑥易錯(cuò)易混速記考向一空間幾何體的表面積和體積一、單選題1．（2023·全國(guó)乙卷理數(shù)第8題）已知圓錐PO的底面半徑為，O為底面圓心，PA，PB為圓錐的母線，，若的面積等于，則該圓錐的體積為（

）A． B． C． D．2．（2023·全國(guó)甲卷文數(shù)第10題）在三棱錐中，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，，則該棱錐的體積為（

）A．1 B． C．2 D．33．（2023·全國(guó)甲卷理數(shù)第11題）已知四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為4的正方形，，則的面積為（

）A． B． C． D．二、填空題4．（2023·全國(guó)甲卷文數(shù)第16題）在正方體中，為的中點(diǎn)，若該正方體的棱與球的球面有公共點(diǎn)，則球的半徑的取值范圍是．三、解答題5．（2023·全國(guó)乙卷文數(shù)第19題）如圖，在三棱錐中，，，，，的中點(diǎn)分別為，點(diǎn)在上，．(1)求證：//平面；(2)若，求三棱錐的體積．6．（2023·全國(guó)甲卷文數(shù)第18題）如圖，在三棱柱中，平面．

(1)證明：平面平面；(2)設(shè)，求四棱錐的高．考向二三視圖一、單選題1．（2023·全國(guó)乙卷文數(shù)第3題/理數(shù)第3題）如圖，網(wǎng)格紙上繪制的一個(gè)零件的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長(zhǎng)為1，則該零件的表面積為（

）

A．24 B．26 C．28 D．30考向三點(diǎn)線面的位置關(guān)系一、單選題1．（2023·全國(guó)乙卷理數(shù)第9題）已知為等腰直角三角形，AB為斜邊，為等邊三角形，若二面角為，則直線CD與平面ABC所成角的正切值為（

）A． B． C． D．二、填空題2．（2023·全國(guó)乙卷文數(shù)第16題）已知點(diǎn)均在半徑為2的球面上，是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，平面，則．3．（2023·全國(guó)甲卷理數(shù)第15題）在正方體中，E，F(xiàn)分別為AB，的中點(diǎn)，以EF為直徑的球的球面與該正方體的棱共有個(gè)公共點(diǎn)．考向四空間中的夾角問(wèn)題一、解答題1．（2023·全國(guó)乙卷理數(shù)第19題）如圖，在三棱錐中，，，，，BP，AP，BC的中點(diǎn)分別為D，E，O，，點(diǎn)F在AC上，.

(1)證明：平面；(2)證明：平面平面BEF；(3)求二面角的正弦值.2．（2023·全國(guó)甲卷理數(shù)第18題）如圖，在三棱柱中，底面ABC，，到平面的距離為1．

(1)證明：；(2)已知與的距離為2，求與平面所成角的正弦值．【命題意圖】1.空間幾何體(1)認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及其簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征,并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)單物體的結(jié)構(gòu).(2)能畫(huà)出簡(jiǎn)單空間圖形(長(zhǎng)方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡(jiǎn)易組合)的三視圖,能識(shí)別上述三視圖所表示的立體模型,會(huì)用斜二側(cè)法畫(huà)出它們的直觀圖.(3)會(huì)用平行投影與中心投影兩種方法畫(huà)出簡(jiǎn)單空間圖形的三視圖與直觀圖,了解空間圖形的不同表示形式.(4)會(huì)畫(huà)某些建筑物的視圖與直觀圖(在不影響圖形特征的基礎(chǔ)上,尺寸、線條等不作嚴(yán)格要求).(5)了解球、棱柱、棱錐、臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算公式.2.能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的位置關(guān)系的簡(jiǎn)單命題.3.空間向量及其運(yùn)算(1)了解空間向量的概念,了解空間向量的基本定理及其意義,掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.(2)掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示.(3)掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示,能運(yùn)用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直.4.空間向量的應(yīng)用(1)理解直線的方向向量與平面的法向量.(2)能用向量語(yǔ)言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直、平行關(guān)系.(3)能用向量方法證明有關(guān)直線和平面位置關(guān)系的一些定理(包括三垂線定理).(4)能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角的計(jì)算問(wèn)題,了解向量方法在研究立體幾何問(wèn)題中的應(yīng)用.【考查要點(diǎn)】高頻考點(diǎn)：面面角，垂直關(guān)系的證明；中頻考點(diǎn)：體積、球及球的切接，線線角、線面角；低頻考點(diǎn)：平行關(guān)系的證明?！镜梅忠c(diǎn)】（1）簡(jiǎn)單幾何體和組合幾何體是培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力的一個(gè)很好的載體，可以單獨(dú)考查，如幾何體的識(shí)別，距離和截面面積的計(jì)算；也可以與體積、表面積結(jié)合考查，重點(diǎn)考查簡(jiǎn)單幾何體的表面積或體積，一般為小題，多為低檔題．球與簡(jiǎn)單幾何體的切接問(wèn)題或與之有關(guān)的最值問(wèn)題，題型為選擇題或填空題，這是一類重點(diǎn)問(wèn)題，有時(shí)難度相對(duì)較大。（2）小題形式多考查平行與垂直的判定與性質(zhì)，多為基礎(chǔ)題，對(duì)于截面問(wèn)題的考查，難度則有提升；解答題，第一小題多為證明線線、線面、面面垂直與平行；第二問(wèn)，多數(shù)是利用空間向量的相關(guān)知識(shí)解決空間角的問(wèn)題，為中檔題?？枷蛞豢臻g幾何體的表面積和體積一、單選題1．（2022·全國(guó)乙卷文數(shù)第9題/理數(shù)第9題）已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點(diǎn)為O，底面的四個(gè)頂點(diǎn)均在球O的球面上，則當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)，其高為（

）A． B． C． D．2．（2022·全國(guó)甲卷文數(shù)第10題/理數(shù)第9題）甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)相等，側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角之和為，側(cè)面積分別為和，體積分別為和．若，則（

）A． B． C． D．3．（2021·全國(guó)甲卷理數(shù)第11題）已知A，B，C是半徑為1的球O的球面上的三個(gè)點(diǎn)，且，則三棱錐的體積為（

）A． B． C． D．二、解答題4．（2022·全國(guó)乙卷文數(shù)第18題）如圖，四面體中，，E為AC的中點(diǎn)．(1)證明：平面平面ACD；(2)設(shè)，點(diǎn)F在BD上，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求三棱錐的體積．5．（2022·全國(guó)甲卷文數(shù)第19題）小明同學(xué)參加綜合實(shí)踐活動(dòng)，設(shè)計(jì)了一個(gè)封閉的包裝盒，包裝盒如圖所示：底面是邊長(zhǎng)為8（單位：）的正方形，均為正三角形，且它們所在的平面都與平面垂直．(1)證明：平面；(2)求該包裝盒的容積（不計(jì)包裝盒材料的厚度）．6．（2021·全國(guó)乙卷文數(shù)第18題）如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，M為的中點(diǎn)，且．（1）證明：平面平面；（2）若，求四棱錐的體積．7．（2021·全國(guó)甲卷文數(shù)第19題）已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為和的中點(diǎn)，.（1）求三棱錐的體積；（2）已知D為棱上的點(diǎn)，證明：.三、填空題8．（2021·全國(guó)甲卷文數(shù)第14題）已知一個(gè)圓錐的底面半徑為6，其體積為則該圓錐的側(cè)面積為.考向二三視圖一、單選題1．（2022·全國(guó)甲卷文數(shù)第4題/理數(shù)第4題）如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是一個(gè)多面體的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長(zhǎng)為1，則該多面體的體積為（

）A．8 B．12 C．16 D．202．（2021·全國(guó)甲卷文數(shù)第7題/理數(shù)第6題）在一個(gè)正方體中，過(guò)頂點(diǎn)A的三條棱的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，G．該正方體截去三棱錐后，所得多面體的三視圖中，正視圖如圖所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖是（）B．C．D．二、填空題1．（2021·全國(guó)乙卷文數(shù)第16題）以圖①為正視圖，在圖②③④⑤中選兩個(gè)分別作為側(cè)視圖和俯視圖，組成某個(gè)三棱錐的三視圖，則所選側(cè)視圖和俯視圖的編號(hào)依次為（寫(xiě)出符合要求的一組答案即可）．考向三點(diǎn)線面的位置關(guān)系一、單選題1．（2022·全國(guó)乙卷文數(shù)第7題/理數(shù)第7題）在正方體中，E，F(xiàn)分別為的中點(diǎn)，則（

）A．平面平面 B．平面平面C．平面平面 D．平面平面考向四空間中的夾角問(wèn)題一、單選題1．（2022·全國(guó)甲卷文數(shù)第9題/理數(shù)第7題）在長(zhǎng)方體中，已知與平面和平面所成的角均為，則（

）A． B．AB與平面所成的角為C． D．與平面所成的角為2．（2021·全國(guó)乙卷文數(shù)第10題/理數(shù)第5題）在正方體中，P為的中點(diǎn)，則直線與所成的角為（

）A． B． C． D．二、解答題3．（2022·全國(guó)乙卷理數(shù)第18題）如圖，四面體中，，E為的中點(diǎn)．(1)證明：平面平面；(2)設(shè)，點(diǎn)F在上，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求與平面所成的角的正弦值．4．（2022·全國(guó)甲卷理數(shù)第18題）在四棱錐中，底面．(1)證明：；(2)求PD與平面所成的角的正弦值．5．（2021·全國(guó)乙卷理數(shù)第18題）如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，，為的中點(diǎn)，且．（1）求；（2）求二面角的正弦值．6．（2021·全國(guó)甲卷理數(shù)第19題）已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為和的中點(diǎn)，D為棱上的點(diǎn)．（1）證明：；（2）當(dāng)為何值時(shí)，面與面所成的二面角的正弦值最小?我們通過(guò)比較近三年的高考題可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)于空間向量與立體幾何的考查在素養(yǎng)要求的層級(jí)上有所提高，但難度不會(huì)提升太多，多為基礎(chǔ)性、綜合性題目。理科數(shù)學(xué)對(duì)創(chuàng)新能力的要求有所提高，所以預(yù)計(jì)2024年的高考，會(huì)加強(qiáng)對(duì)創(chuàng)新能力的考查，但總體基調(diào)不會(huì)發(fā)生太大變化。一、單選題1．（2023·江蘇鎮(zhèn)江三模）一個(gè)圓臺(tái)的上底面半徑為1，下底面半徑為2，高為2，以該圓臺(tái)的上底面為底面，挖去一個(gè)半球，則剩余部分幾何體的體積為（

）A． B． C． D．2．（2023·北京三模）已知是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，下列命題中正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則3．（2023·安徽安慶三模）陀螺起源于我國(guó)，最早出土的石制陀螺是在山西夏縣發(fā)現(xiàn)的新石器時(shí)代遺址.如圖所示的是一個(gè)陀螺立體結(jié)構(gòu)圖.已知，底面圓的直徑，圓柱體部分的高，圓錐體部分的高，則這個(gè)陀螺的表面積（單位：）是（

）

A． B．C． D．4．（2023·江蘇無(wú)錫三模）已知，是空間中兩條不同的直線，，，是空間中三個(gè)不同的平面，則下列命題中錯(cuò)誤的是（

）A．若，，則B．若，，則C．若，，，則D．若，，，則5．（2023·河南開(kāi)封三模）某三棱錐的三視圖如圖所示，已知它的體積為36，則圖中的值為（

）

A．2 B． C．3 D．6．（2023·廣東梅州三模）在馬致遠(yuǎn)的《漢宮秋》楔子中寫(xiě)道：“氈帳秋風(fēng)迷宿草，穹廬夜月聽(tīng)悲笳.”氈帳是古代北方游牧民族以為居室、氈制帷幔.如圖所示，某氈帳可視作一個(gè)圓錐與圓柱的組合體，圓錐的高為4，側(cè)面積為，圓柱的側(cè)面積為，則該氈帳的體積為（

）

A． B． C． D．7．（2023·河北衡水三模）已知球O的半徑為2，三棱錐底面上的三個(gè)頂點(diǎn)均在球O的球面上，，，則三棱錐體積的最大值為（

）A． B． C． D．8．（2023·四川成都三模）如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是一個(gè)幾何體的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長(zhǎng)為1，則該幾何體的體積為（

）

A． B．1 C． D．49．（2023·山東濰坊·三模）我國(guó)古代名著《張邱建算經(jīng)》中記載：“今有方錐，下廣二丈，高三丈．欲斬末為方亭，令上方六尺．問(wèn)：斬高幾何？”大致意思是：“有一個(gè)正四棱錐的下底面邊長(zhǎng)為二丈，高為三丈，現(xiàn)從上面截去一段，使之成為正四棱臺(tái)，且正四棱臺(tái)的上底面邊長(zhǎng)為六尺，則截去的正四棱錐的高是多少？”按照上述方法，截得的該正四棱臺(tái)的體積為（

）（注：1丈尺）A．11676立方尺 B．3892立方尺C．立方尺 D．立方尺10．（2023·河南三模）如圖，該幾何體為兩個(gè)底面半徑為1，高為1的相同的圓錐形成的組合體，設(shè)它的體積為，它的內(nèi)切球的體積為，則（

）

A． B． C． D．11．（2023·河北衡水三模）在正方體中，M是線段（不含端點(diǎn)）上的動(dòng)點(diǎn)，N為BC的中點(diǎn)，則（

）A． B．平面平面C．平面 D．平面12．（2023·河南·襄城三模）已知三棱錐中，平面ABC，，，，，D為PB的中點(diǎn)，則異面直線AD與PC所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．13．（2023·廣東廣州三模）已知克列爾公式：對(duì)任意四面體，其體積和外接球半徑滿足，其中，，，，，，中，若，，則該四面體的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．14．（2023·福建福州三模）如圖，在圓臺(tái)OO1中，，點(diǎn)C是底面圓周上異于A、B的一點(diǎn)，，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，l為平面與平面的交線，則交線l與平面所成角的大小為（

）

A． B． C． D．15．（2023·四川·成都三模）如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為1，分別是棱，的中點(diǎn)．若點(diǎn)為側(cè)面正方形內(nèi)（含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，且平面，則與側(cè)面所成角的正切值最大為（

）

A．2 B．1 C． D．16．（2023·河南·襄城三模）如圖1，在中，，，，，沿將折起，使得二面角為60°，得到三棱錐，如圖2，若，則三棱錐的外接球的表面積為（

）

A． B． C． D．17．（2023·上海虹口三模）已知圓錐SO（O是底面圓的圓心，S是圓錐的頂點(diǎn)）的母線長(zhǎng)為，高為1，P?Q為底面圓周上任意兩點(diǎn)．有以下三個(gè)結(jié)論：①三角形SPQ面積的最大值為2；②三棱錐體積的最大值為；③四面體SOPQ外接球表面積的最小值為．以上所有正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．318．（2023·河北張家口三模）風(fēng)箏又稱為“紙鳶”，由中國(guó)古代勞動(dòng)人民發(fā)明于距今2000多年的東周春秋時(shí)期，相傳墨翟以木頭制成木鳥(niǎo)，研制三年而成，是人類最早的風(fēng)箏起源.如圖，是某高一年上級(jí)學(xué)生制作的一個(gè)風(fēng)箏模型的多面體為的中點(diǎn)，四邊形為矩形，且，當(dāng)時(shí)，多面體的體積為（

）

A． B． C． D．19．（2023·云南三模）如圖，已知半徑為、母線長(zhǎng)為的圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是半圓，在其內(nèi)部作一個(gè)半徑為、母線長(zhǎng)為的內(nèi)接圓柱（圓柱的下底面在圓錐的底面上，上底面的圓在圓錐的側(cè)面上），若圓柱的側(cè)面積與圓錐的側(cè)面積之比為，則（

）

A． B． C． D．20．（2023·河南三模）設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)E是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)M在正方體的表面上運(yùn)動(dòng)，則下列命題：

①如果，則點(diǎn)M的軌跡所圍成圖形的面積為；②如果∥平面，則點(diǎn)M的軌跡所圍成圖形的周長(zhǎng)為；③如果∥平面，則點(diǎn)M的軌跡所圍成圖形的周長(zhǎng)為；④如果，則點(diǎn)M的軌跡所圍成圖形的面積為．其中正確的命題個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題21．（2023·四川遂寧三模）某三棱錐的三視圖如圖所示，已知它的體積為，則該三棱錐外接球的表面積22．（2023·上海奉賢三模）一個(gè)正方體和一個(gè)球的表面積相同，則正方體的體積和球的體積的比值．23．（2023·上海閔行二模）在中，，，，將繞邊AB旋轉(zhuǎn)一周，所得到幾何體的體積為.24．（2023·青海西寧二模）關(guān)于正方體有如下說(shuō)法：①直線與所成的角為；

②直線與所成的角為；③直線與平面所成的角為；

④直線與平面ABCD所成的角為．其中正確命題的序號(hào)是．25．（2023·山東濟(jì)寧三模）在棱長(zhǎng)為2的正方體中，為底面的中心，為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值是.26．（2023·云南曲靖三模）已知點(diǎn)均在球的球面上運(yùn)動(dòng)，且滿足，若三棱錐體積的最大值為，則球的體積為.27．（2023·湖南邵陽(yáng)三模）三棱錐中，PA⊥平面ABC，，則三棱錐外接球的表面積為.28．（2023·山東青島三模）已知圓錐的底面半徑為1，側(cè)面展開(kāi)圖為半圓，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的表面積為．29．（2023·山東淄博三模）已知圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為半圓，則該圓錐的側(cè)面積與其內(nèi)切球的表面積之比為.30．（2023·上海黃浦三模）已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)是1，將沿對(duì)角線AC折到的位置，使（折疊后）A、、C、D四點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐的體積最大，則此三棱錐的表面積為．31．（2023·河北三模）已知四面體中，，則該四面體體積的最大值為．32．（2023·四川瀘州三模）如圖，在四棱柱中，平面，，，，為棱上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)直線的平面分別與棱，交于點(diǎn)，，則下列結(jié)論正確的是．對(duì)于任意的點(diǎn)，都有對(duì)于任意的點(diǎn)，四邊不可能為平行四邊形當(dāng)時(shí)，存在點(diǎn)，使得為等腰直角三角形存在點(diǎn)，使得直線平面33．（2023·四川成都·三模）如圖，為圓柱下底面圓的直徑，是下底面圓周上一點(diǎn)，已知，圓柱的高為5．若點(diǎn)在圓柱表面上運(yùn)動(dòng)，且滿足，則點(diǎn)的軌跡所圍成圖形的面積為．34．（2023·北京大興三模）如圖，在正方體，中，，分別為線段，上的動(dòng)點(diǎn).給出下列四個(gè)結(jié)論:

①存在點(diǎn)，存在點(diǎn)，滿足∥平面；②任意點(diǎn)，存在點(diǎn)，滿足∥平面；③任意點(diǎn)，存在點(diǎn)，滿足；④任意點(diǎn)，存在點(diǎn)，滿足.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.35．（2023·河南·襄城三模）在正四棱柱中，，點(diǎn)在棱上，平面，則三棱錐的外接球的表面積為.36．（2023·廣東深圳二模）如圖，已知球的表面積為，若將該球放入一個(gè)圓錐內(nèi)部，使球與圓錐底面和側(cè)面都相切，則圓錐的體積的最小值為.

37．（2023·陜西商洛三模）在四面體中，，，，若，，則該四面體外接球的表面積為.38．（2023·河南·襄城三模）在正四棱柱中，，，點(diǎn)P為側(cè)棱上一點(diǎn)，過(guò)A，C兩點(diǎn)作垂直于BP的截面，以此截面為底面，以B為頂點(diǎn)作棱錐，則該棱錐的外接球的表面積的取值范圍是．39．（2023·河南開(kāi)封三模）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)P是線段上一動(dòng)點(diǎn)（不與，B重合），則下列命題中：①平面平面；②一定是銳角；③；④三棱錐的體積為定值．其中真命題的有．40．（2023·陜西寶雞三模）如圖，正方體棱長(zhǎng)為2，P是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的為．①BP的最小值為②存在P點(diǎn)的某一位置，使得P，A，，C四點(diǎn)共面③的最小值為④以點(diǎn)B為球心，為半徑的球面與面的交線長(zhǎng)為三、解答題41．（2023·陜西安康三模）如圖，在四棱錐中，平面，且四邊形是正方形，，，分別是棱，，的中點(diǎn)．

(1)求證：平面；(2)若，求點(diǎn)到平面的距離.42．（2023·北京海淀三模）如圖在幾何體中，底面為菱形，.

(1)判斷是否平行于平面，并證明；(2)再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求：（i）平面與平面所成角的大小；（ii）求點(diǎn)到平面的距離.條件①：面面條件②：條件③：注：如果選擇多個(gè)條件分別作答，按第一個(gè)解答計(jì)分.43．（2023·江西南昌三模）如圖，在多面體中，四邊形與均為直角梯形，，平面，，，G在上，且．(1)求證：平面；(2)若與所成的角為，求多面體的體積．44．（2023·人大附中三模）已知四棱錐的底面為梯形，且，又，，，平面平面，平面平面．

(1)判斷直線和的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)若點(diǎn)到平面的距離為，請(qǐng)從下列①②中選出一個(gè)作為已知條件，求二面角余弦值大?。?；②為二面角的平面角．45．（2023·浙江溫州二模）在三棱錐中，，平面平面，且.

(1)證明：；(2)若是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求直線與平面所成的角的正切值最大值.46．（2023·河北三模）如圖，四棱錐的底面是菱形，其對(duì)角線交于點(diǎn)，且平面是的中點(diǎn)，是線段上一動(dòng)點(diǎn)．

(1)當(dāng)平面平面時(shí)，試確定點(diǎn)的位置，并說(shuō)明理由；(2)在（1）的前提下，點(diǎn)在直線上，以為直徑的球的表面積為．以為原點(diǎn)，的方向分別為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，求點(diǎn)的坐標(biāo)．47．（2023·江西師大附中三模）已知四棱錐的底面是正方形，，是棱上任一點(diǎn)．

(1)求證：平面平面；(2)若，求點(diǎn)到平面的距離．48．（2023·福建福州二模）如圖1，在中，為的中點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且.將沿翻折到的位置，如圖2.

(1)當(dāng)時(shí)，證明：平面平面；(2)已知二面角的大小為，棱上是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，確定的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.49．（2023·江蘇鎮(zhèn)江三模）如圖，四邊形是邊長(zhǎng)為2的菱形，，四邊形為矩形，，從下列三個(gè)條件中任選一個(gè)作為已知條件，并解答問(wèn)題（如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分）.①與平面所成角相等；②三棱錐體積為；③

(1)平面平面；(2)求二面角的大??；(3)求點(diǎn)到平面的距離.50．（2023·山東菏澤三模）已知在直三棱柱中，其中為的中點(diǎn)，點(diǎn)是上靠近的四等分點(diǎn)，與底面所成角的余弦值為．

(1)求證：平面平面；(2)在線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面與平面所成的銳二面角的余弦值為，若存在，確定點(diǎn)的位置，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．51．（2023·河南·襄城三模）如圖所示，在直四棱柱中，，，且是的中點(diǎn).

(1)證明：；(2)若，求四棱柱的體積.52．（2023·河南開(kāi)封三模）如圖，在四棱錐中，是邊長(zhǎng)為的正三角形，，，，，，，分別是線段，的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求四棱錐的體積.53．（2023·河北衡水三模）如圖，在四棱錐中，，，，.

(1)證明：平面平面；(2)已知，，.若平面與平面夾角的余弦值為，求的值.54．（2023·福建福州三模）如圖，在三棱錐中，底面，，，將繞著逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置，得到如圖所示的組合體，為的中點(diǎn).

(1)當(dāng)為何值時(shí)，該組合體的體積最大，并求出最大值；(2)當(dāng)平面時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值.55．（2023·四川成都三模）如圖，四棱柱的側(cè)棱⊥底面ABCD，四邊形ABCD為菱形，E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn).

(1)證明：四點(diǎn)共面；(2)若，求點(diǎn)A到平面的距離.56．（2023·陜西寶雞二模）如圖，在四棱錐中，四邊形是正方形，，平面，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)是棱上的一點(diǎn)，且．

(1)求證：平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離．57．（2023·河北張家口三模）如圖，在三棱柱中，側(cè)面為菱形，.

(1)證明：平面平面；(2)求二面角的余弦值.58．（2023·廣東深圳二模）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面，點(diǎn)是的中點(diǎn).

(1)證明：；(2)設(shè)的中點(diǎn)為，點(diǎn)在棱上（異于點(diǎn)，，且，求直線與平面所成角的正弦值.59．（2023·河南三模）如圖，四棱錐中，四邊形為梯形，∥，，，，，M，N分別是PD，PB的中點(diǎn)．

(1)求證：直線∥平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值．60．（2023·廣東梅州三模）如圖所示，在幾何體中，平面，點(diǎn)在平面的投影在線段上，，，，平面.

(1)證明：平面平面.(2)若二面角的余弦值為，求線段的長(zhǎng).平行的判定文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言線∥線線∥面如果平面外的一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行（簡(jiǎn)記為“線線平行線面平行面∥面線∥面如果兩個(gè)平面平行，那么在一個(gè)平面內(nèi)的所有