九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第07講 圖形的旋轉(zhuǎn)（解析版）

/第07講圖形的旋轉(zhuǎn)(重點(diǎn)題型方法與技巧)目錄類型一：生活中的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象類型二：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)類型三：旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形類型一：生活中的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象1．旋轉(zhuǎn)是圍繞一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度的圖形變換，因而旋轉(zhuǎn)一定有旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角，且旋轉(zhuǎn)前后圖形能夠重合，這是判斷旋轉(zhuǎn)的關(guān)鍵．2．旋轉(zhuǎn)中心是點(diǎn)而不是線，旋轉(zhuǎn)必須指出旋轉(zhuǎn)方向．3．旋轉(zhuǎn)的范圍是平面內(nèi)的旋轉(zhuǎn)，否則有可能旋轉(zhuǎn)成立體圖形，因而要注意此點(diǎn)．典型例題例題1．（2022·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）下列現(xiàn)象中屬于旋轉(zhuǎn)的是（

）A．汽車在急剎車時(shí)向前滑動(dòng) B．?dāng)Q開水龍頭C．雪橇在雪地里滑動(dòng) D．電梯的上升與下降【答案】B【詳解】A．汽車在急剎車時(shí)向前滑動(dòng)不是旋轉(zhuǎn)，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B．?dāng)Q開水龍頭屬于旋轉(zhuǎn)，故此選項(xiàng)正確；C．雪橇在雪地里滑動(dòng)不是旋轉(zhuǎn)，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D．電梯的上升與下降不是旋轉(zhuǎn)，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：B．點(diǎn)評(píng)：例題1主要考查了生活的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象，關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)的定義．根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義：在平面內(nèi)，把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度的圖形變換叫做旋轉(zhuǎn)可得答案．例題2．（2022·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）下列現(xiàn)象不是旋轉(zhuǎn)的是（

）A．傳送帶傳送貨物； B．飛速轉(zhuǎn)動(dòng)的電風(fēng)扇；C．鐘擺的擺動(dòng)； D．自行車車輪的運(yùn)動(dòng)【答案】A【詳解】解：A選項(xiàng)中的現(xiàn)象屬于平移，故A正確；B、C、D選項(xiàng)中的現(xiàn)象都屬于旋轉(zhuǎn)；故都不正確；故選：A．點(diǎn)評(píng)：例題2考查了旋轉(zhuǎn)的定義，解題關(guān)鍵是牢記旋轉(zhuǎn)指的是在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形繞一點(diǎn)按某個(gè)方向轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，這樣的運(yùn)動(dòng)叫做圖形的旋轉(zhuǎn)．例題3．（2022·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如果規(guī)定：在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度（小于周角）后能和自身重合，就稱此圖形為旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，旋轉(zhuǎn)的角度稱為旋轉(zhuǎn)角．下列圖形是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，且有一個(gè)旋轉(zhuǎn)角為60°的是（

）A．正三角形 B．正方形 C．正六邊形 D．正八邊形【答案】C【詳解】解：A．正三角形的最小旋轉(zhuǎn)角是120°，故此選項(xiàng)不合題意；B．正方形的旋轉(zhuǎn)角度是90°，故此選項(xiàng)不合題意；C．正六邊形的最小旋轉(zhuǎn)角是60°，故此選項(xiàng)符合題意；D．正八邊形的最小旋轉(zhuǎn)角是45°，故此選項(xiàng)不合題意；故選：C．點(diǎn)評(píng)：例題3考查了旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)角度的定義，求出旋轉(zhuǎn)角．分別求出各旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形的最小旋轉(zhuǎn)角，繼而可作出判斷．例題4．（2022·全國·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在正方形網(wǎng)格中，△ABC繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度得到，則旋轉(zhuǎn)中心是點(diǎn)（

）A．O B．P C．Q D．M【答案】B【詳解】解：如圖，連接，，可得其垂直平分線相交于點(diǎn)P，旋轉(zhuǎn)中心是點(diǎn)P．故選：B．點(diǎn)評(píng)：例題4考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線的交點(diǎn)即為旋轉(zhuǎn)中心，熟練掌握旋轉(zhuǎn)中心的確定方法是解題的關(guān)鍵．根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，可得對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線的交點(diǎn)即為旋轉(zhuǎn)中心．例題5．（2021·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）小明把自己的左手手印和右手手印按在同一張白紙上，左手手印______（填“能”或“不能”）通過旋轉(zhuǎn)與右手手印完全重合在一起．【答案】不能．【詳解】不能重合，因?yàn)闊o論怎么旋轉(zhuǎn)，兩個(gè)圖形都不能重合．旋轉(zhuǎn)的定義：在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形繞一個(gè)圖形按某個(gè)方向轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，這樣的運(yùn)動(dòng)叫做圖形的旋轉(zhuǎn)．故答案為：不能．點(diǎn)評(píng)：例題5考查了生活中的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象，關(guān)鍵是理解旋轉(zhuǎn)的定義(在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形繞一個(gè)圖形按某個(gè)方向轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，這樣的運(yùn)動(dòng)叫做圖形的旋轉(zhuǎn))．例題6．（2021·廣東·廣州市第九十七中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，E是正方形ABCD的邊BC上一點(diǎn)，ABE逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后能夠與ADF重合，旋轉(zhuǎn)中心是______，旋轉(zhuǎn)角為______度．【答案】

點(diǎn)

90【詳解】解：從圖形和已知可知：旋轉(zhuǎn)中心是點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)等于的度數(shù)，是，故答案為：點(diǎn)，90．點(diǎn)評(píng)：例題6考查了旋轉(zhuǎn)的定義，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的三要素是解決本題的關(guān)鍵，注意：旋轉(zhuǎn)的三要素分別為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)方向，旋轉(zhuǎn)角．例題7．（2021·河北滄州·九年級(jí)期中）如圖，已知是等腰直角三角形，B為AE上一點(diǎn)，經(jīng)過旋轉(zhuǎn)到達(dá)的位置，問：（1）旋轉(zhuǎn)中心是哪個(gè)點(diǎn)？旋轉(zhuǎn)了多少度？（2）求的度數(shù)．【答案】（1）C，；（2）【詳解】解：（1）∵經(jīng)過旋轉(zhuǎn)到達(dá)的位置，∴，∴點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心，∵，∴AC與CE之間的夾角為旋轉(zhuǎn)角，又∵，∴旋轉(zhuǎn)了；（2）∵為等腰直角三角形，，∴∵，∴，∴．點(diǎn)評(píng)：例題7考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)圖形旋轉(zhuǎn)前后的對(duì)應(yīng)線段，對(duì)應(yīng)角．（1）由經(jīng)過旋轉(zhuǎn)到達(dá)的位置，可知，則C為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)角即為對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的連線所形成的夾角，即為；（2）由為等腰直角三角形，可知，由全等可得，所以．同類題型演練1．（2022·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）在以下生活現(xiàn)象中，屬于旋轉(zhuǎn)變換的是（）A．鐘表的指針和鐘擺的運(yùn)動(dòng)B．站在電梯上的人的運(yùn)動(dòng)C．坐在火車上睡覺的旅客D．地下水位線逐年下降【答案】A【詳解】解：A、鐘表的指針和鐘擺的運(yùn)動(dòng)都是旋轉(zhuǎn)變換，故本選項(xiàng)正確；B、站在電梯上的人的運(yùn)動(dòng)屬于平移現(xiàn)象，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、坐在火車上睡覺，屬于平移現(xiàn)象，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、地下水位線逐年下降屬于平移現(xiàn)象，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：A．2．（2019·北京市魯迅中學(xué)九年級(jí)期中）下面生活中的實(shí)例,不是旋轉(zhuǎn)的是（

）A．傳送帶傳送貨物 B．螺旋槳的運(yùn)動(dòng)C．風(fēng)車風(fēng)輪的運(yùn)動(dòng) D．自行車車輪的運(yùn)動(dòng)【答案】A【詳解】選項(xiàng)A中，傳送帶傳送貨物是平移，B,C,D均是旋轉(zhuǎn)．故選A.3．（2022·全國·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，△COD是由△AOB繞點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)而得，則旋轉(zhuǎn)角為（

）A．∠AOD B．∠AOB C．∠BOC D．∠AOC【答案】D【詳解】解：由圖可知，與均為旋轉(zhuǎn)角故選D．4．（2022·福建福州·九年級(jí)期末）如圖，在正方形網(wǎng)格中，繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)某一角度得到，則旋轉(zhuǎn)中心可能是（

）A．點(diǎn)A B．點(diǎn)B C．點(diǎn)C D．點(diǎn)D【答案】C【詳解】解，連接FC，PC，由圖可知，，且，連接EC，RC，由圖可知，，且，連接GC，QC，由圖可知，，且，故點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心，故選：C．5．（2020·全國·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）圖中，甲圖怎樣變成乙圖：_____．【答案】繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)【詳解】解：觀察可知，甲圖繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)即可變成乙圖．故答案為：繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)．6．（2022·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，三角形乙是三角形甲經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變換得到的，則其旋轉(zhuǎn)中心是點(diǎn)____，逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)了____度.【答案】

N

90【詳解】解：如圖，連接N與兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)到點(diǎn)N的距離相等，且對(duì)應(yīng)點(diǎn)與N的連線所成的角是直角，故旋轉(zhuǎn)中心是點(diǎn)N，逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)了90°，故答案為：N，90．7．（2022·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，四邊形ABCD是正方形，△ADE經(jīng)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后與△ABF重合．(1)旋轉(zhuǎn)中心是哪一點(diǎn)？(2)旋轉(zhuǎn)了多少度？(3)如果連接EF，那么△AEF是怎樣的三角形？【答案】(1)點(diǎn)A(2)90°(3)等腰直角三角形【詳解】（1）解：由題意可判斷旋轉(zhuǎn)中心為點(diǎn)；（2）解：四邊形是正方形，，旋轉(zhuǎn)角為；（3）解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，故是等腰直角三角形．類型二：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)1．旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：（1）對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等．（2）對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．（3）旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．2．旋轉(zhuǎn)三要素：①旋轉(zhuǎn)中心；②旋轉(zhuǎn)方向；③旋轉(zhuǎn)角度．注意：三要素中只要任意改變一個(gè)，圖形就會(huì)不一樣．典型例題例題1．（2022·浙江寧波·九年級(jí)期末）如圖，在中，，以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為D、E，連接CE，若，則的值是（

）A．25° B．30° C．35° D．45°【答案】B【詳解】解：∵將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，∴，，∴，∵，∴，故選：B．點(diǎn)評(píng)：例題1主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，由旋轉(zhuǎn)得出是解題的關(guān)鍵．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，再根據(jù)平行線的性質(zhì)，得，利用三角形內(nèi)角和定理求出，即可解決問題．例題2．（2021·甘肅·民勤縣第六中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△AED．若線段AB＝3，則BE＝（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)可知AE=AB=3，∠BAE=60°，∴△ABE為等邊三角形，∴BE=AB=3．故選：B．點(diǎn)評(píng)：例題2考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及等邊三角形的判定與性質(zhì)．由旋轉(zhuǎn)可證△ABE為等邊三角形，從而可得BE=AB=3．例題3．（2022·湖南益陽·中考真題）如圖，已知△ABC中，∠CAB＝20°，∠ABC＝30°，將△ABC繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)50°得到△AB′C′，以下結(jié)論：①BC＝B′C′，②AC∥C′B′，③C′B′⊥BB′，④∠ABB′＝∠ACC′，正確的有（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【答案】B【詳解】解：①∵△ABC繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)50°得到△AB′C′，∴BC＝B′C′．故①正確；②∵△ABC繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)50°，∴∠BAB′＝50°．∵∠CAB＝20°，∴∠B′AC＝∠BAB′﹣∠CAB＝30°．∵∠AB′C′＝∠ABC＝30°，∴∠AB′C′＝∠B′AC．∴AC∥C′B′．故②正確；③在△BAB′中，AB＝AB′，∠BAB′＝50°，∴∠AB′B＝∠ABB′＝（180°﹣50°）＝65°．∴∠BB′C′＝∠AB′B+∠AB′C′＝65°+30°＝95°．∴CB′與BB′不垂直．故③不正確；④在△ACC′中，AC＝AC′，∠CAC′＝50°，∴∠ACC′＝（180°﹣50°）＝65°．∴∠ABB′＝∠ACC′．故④正確．∴①②④這三個(gè)結(jié)論正確．故選：B．點(diǎn)評(píng)：例題3考查了旋轉(zhuǎn)性質(zhì)的應(yīng)用，圖形的旋轉(zhuǎn)只改變圖形的位置，不改變圖形的形狀與大小，還考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)、平行線的判定等知識(shí)．熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，BC＝B′C′，∠C′AB′＝∠CAB＝20°，∠AB′C′＝∠ABC＝30°，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為50°，通過推理證明對(duì)①②③④四個(gè)結(jié)論進(jìn)行判斷即可．例題4．（2021·黑龍江·蘭西縣崇文實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD中，∠BAD=110°，將平行四邊形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到平行四邊形的位置，旋轉(zhuǎn)角α（0°＜α＜70°），若恰好經(jīng)過點(diǎn)D，則α的度數(shù)為__．【答案】40°##40度【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴ABCD，∴∠ADC+∠BAD=180°，∴∠ADC=180°-110°=70°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：=AD，∠=∠ADC=70°，∴∠=∠=70°，∴∠α=180°-2×70°=40°；故答案為：40°．點(diǎn)評(píng)：例題4考查了平行四邊形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，由等腰三角形的性質(zhì)求出∠=∠ADC=70°是解決問題的關(guān)鍵．由平行四邊形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出=AD，∠=∠ADC=70°，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠=∠=70°，再由三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)果．例題5．（2022·青海西寧·中考真題）如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=6，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)15°得到△AB′C′，B′C′交AB于點(diǎn)E，則B′E=________．【答案】【詳解】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=6，則∠BAC=60°，AC=3，BC=3，將△ABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)15°后，則∠C′AC=15°，AC=AC′=3，B′C′=BC=3，∴∠C′AE=45°，而∠AC′E=90°，故△AC′E是等腰直角三角形，∴AC=AC′=EC′=3∴B′E=B′C′-EC′=33．故答案為：33．點(diǎn)評(píng)：例題5考查旋轉(zhuǎn)變換、直角三角形30度角的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)．根據(jù)已知可以得出∠BAC=60°，而將△ABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)15°，可知∠C′AE=45°，可以求出AC=AC′=EC′=3，據(jù)此即可求解．例題6．（2022·廣西·防城港外國語學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）在△ABC中，∠ACB＝，∠ABC＝，AC＝2cm，△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為，點(diǎn)A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是D，E．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D恰好落在邊AB上時(shí)，旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)是；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)B，D，E三點(diǎn)恰好在同一直線上時(shí)，判斷此時(shí)直線CE與AB的位置關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)(2)垂直，理由見解析【詳解】（1）∵∠ACB＝，∠ABC＝，∴∠BAC＝．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知AC=CD，∴為等邊三角形，∴，即旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)是．故答案為：；（2）垂直，理由如下：如圖，延長(zhǎng)EC交AB于點(diǎn)F．由旋轉(zhuǎn)可知CB=CE，∵，∴．∴，即，∴，即，∴直線CE與AB的位置關(guān)系為垂直．點(diǎn)評(píng)：例題6考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)．利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．（1）由題意結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可證明為等邊三角形，即得出旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)是．（2）由旋轉(zhuǎn)可知CB=CE，結(jié)合等腰對(duì)等角即得出，從而可求出，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可求出，即直線CE與AB的位置關(guān)系為垂直．同類題型演練1．（2022·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，若點(diǎn)恰好落到邊上，則的度數(shù)為(

)A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，AB＝AB′，，∴，∵，∴∠AB′C′＝．故選：B2．（2021·福建·平潭翰英中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD的邊DC上一點(diǎn)，把△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△ABF的位置．若四邊形AECF的面積為36，DE＝2，則AF的長(zhǎng)為（

）A．6 B． C．8 D．【答案】D【詳解】解：∵把△ADE順時(shí)針旋轉(zhuǎn)△ABF的位置，∴△ADE≌△ABF，∴AE=AF，四邊形AECF的面積等于正方形ABCD的面積等于36，∴AD=DC=6，∵DE=2，∴Rt△ADE中，AE=，∴AE=AF，故選：D．3．（2022·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，、是斜邊上兩點(diǎn)，且，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，得到，連接．下列結(jié)論：①；②；③平分；④，其中正確的結(jié)論是（

）A．①②③ B．①②④ C．①②③④ D．①③④【答案】D【詳解】解：正確的有①③④，理由是：∵在

中，AB=AC，∴，∵將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，得到，∴，∴BF=DC，，，∵，，∴，∴，即∴①正確；在和中，∴，∴，即EA平分，∴③正確；∴EF=DE，∵將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，得到，∴，BF=DC，∵，∴在中，由勾股定理得：∵BF=DC，EF=DE，∴∴④正確；根據(jù)條件，不能推出，故不能推出BE=DC，∴②錯(cuò)誤；∴正確的有①③④；故選：D．4．（2022·寧夏·中考真題）如圖，直線，的邊在直線上，，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，邊交直線于點(diǎn)，則______．【答案】50【詳解】解：將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，∴，∵∠AOB=55°，∴，，，故答案為：．5．（2022·遼寧鞍山·二模）如圖，在中，，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角得到，并使點(diǎn)落在AB邊上，則線段長(zhǎng)為________．【答案】2【詳解】解：在中，，∴∠CAB=60°，AB=2AC，∵AC2+BC2=AB2，∴AC2+3=4AC2，解得AC=1，∴AB=2，由旋轉(zhuǎn)得=AB，∠B=∠CAB=60°，∴△B是等邊三角形，∴=AB=2，故答案為：2．．6．（2021·黑龍江·海林市朝鮮族中學(xué)九年級(jí)期中）如圖1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60°，D為BC邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到AE，連接EC，則：(1)①∠ACE的度數(shù)是；②線段AC，CD，CE之間的數(shù)量關(guān)系是．拓展探究：(2)如圖2，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D為BC邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AE，連接EC，請(qǐng)寫出∠ACE的度數(shù)及線段AD，BD，CD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；【答案】(1)60°，AC＝DC＋EC；(2)∠ACE＝45°，【詳解】解：（1）∵在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60°，∴∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠BAC?∠DAC＝∠DAE?∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE＝∠B＝60°，BD＝CE，∴BC＝BD＋CD＝EC＋CD，∴AC＝BC＝EC＋CD；故答案為：60°，AC＝DC＋EC；（2）∠ACE＝45°，，理由如下：由（1）得，△BAD≌△CAE，∴BD＝CE，∠ACE＝∠B＝45°，∴∠DCE＝90°，∴，在Rt△ADE中，，又AD＝AE，∴．7．（2021·湖北·襄陽市樊城區(qū)青泥灣中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，已知AOB和MON都是等腰直角三角形(OA<OM=ON)，∠AOB=∠MON=90°．(1)如圖①，連接AM，BN，求證：AOM≌BON；(2)若將MON繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，①如圖②，當(dāng)點(diǎn)N恰好在AB邊上時(shí)，求證：；②當(dāng)點(diǎn)A，M，N在同一條直線上時(shí)，若OB=4，ON=3，請(qǐng)直接寫出線段BN的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析；(2)①見解析；②或．【詳解】（1）證明：，，即．和是等腰直角三角形，，(SAS)．（2）解：①證明：如圖，連接．，，即．和是等腰直角三角形，，，，．是等腰直角三角形，，．②或．∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形，OB=4，ON=3，∴．當(dāng)點(diǎn)N在線段上時(shí)，如圖，連接，設(shè)，由(1)可知．∴，．∴，∴，∴是直角三角形，．又∵，∴，解得：（舍去）∴；當(dāng)點(diǎn)M在線段上時(shí)，如圖，連接，設(shè)，由(2)①可知．∴，．∴，∴，∴是直角三角形，．又∵，∴，解得：（舍去）∴綜上所述：的長(zhǎng)為或．類型三：旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形1．旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形：如果某一個(gè)圖形圍繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度（小于360°）后能與原圖形重合，那么這個(gè)圖形就叫做旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形．2．常見的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形有：線段，正多邊形，平行四邊形，圓等．典型例題例題1．（2022·黑龍江齊齊哈爾·二模）利用圖形旋轉(zhuǎn)可以設(shè)計(jì)一些美麗的圖案，下列圖案，可以由一個(gè)“基本圖形”連續(xù)旋轉(zhuǎn)45°得到的是（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】A.至少旋轉(zhuǎn)，故該選項(xiàng)不正確；B.至少旋轉(zhuǎn)，故該選項(xiàng)不正確；C.至少旋轉(zhuǎn)，故該選項(xiàng)正確；D.至少旋轉(zhuǎn)，故該選項(xiàng)不正確．故選：C．點(diǎn)評(píng)：例題1主要考查了旋轉(zhuǎn)對(duì)稱的定義，正確理解定義是關(guān)鍵．旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形：把一個(gè)平面圖形繞著平面上一個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)α（0°<α<360°）后，與初始圖形重合，這種圖形叫做旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，這個(gè)定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)的角度叫做旋轉(zhuǎn)角．例題2．（2022·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）下列四個(gè)圓形圖案中，分別以它們所在圓的圓心為旋轉(zhuǎn)中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，能與原圖形完全重合的是（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：A圖形順時(shí)針旋轉(zhuǎn)72°后，能與原圖形完全重合，故不符合題意；B圖形順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，能與原圖形完全重合，故符合題意；C圖形順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°后，能與原圖形完全重合，故不符合題意；D圖形順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后，能與原圖形完全重合，故不符合題意；故選B．點(diǎn)評(píng)：例題2考查了旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形的旋轉(zhuǎn)角．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形的定義即把一個(gè)圖形繞著一個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度后，與初始圖形重合，這種圖形叫做旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，這個(gè)定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)角度叫做旋轉(zhuǎn)角．例題3．（2022·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，用六個(gè)全等的等邊三角形可以拼成一個(gè)六邊形，三角形的公共頂點(diǎn)為O，則該六邊形繞點(diǎn)O至少旋轉(zhuǎn)______°后能與原來的圖形重合．【答案】60【詳解】解：由題意可知該六邊形是正六邊形，則可知正六邊形每條邊所對(duì)的圓心角為60°，所以該六邊形繞點(diǎn)O至少旋轉(zhuǎn)60°后能與原來的圖形重合；故答案為60．點(diǎn)評(píng)：例題3主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及正多邊形，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及正多邊形是解題的關(guān)鍵．同類題型演練1．（2022·湖北荊門·九年級(jí)期末）把如圖的五角星繞著它的中心旋轉(zhuǎn)一定角度后與自身重合，則這個(gè)旋轉(zhuǎn)角度可能是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：∵360°÷5=72°，∴旋轉(zhuǎn)的角度為72°的整數(shù)倍，36°、72°、90°、108°中只有72°符合．故選：B．2．（2022·浙江·舟山市定海區(qū)第五中學(xué)九年級(jí)期末）如圖四個(gè)圓形圖案中，分別以它們所在圓的圓心為旋轉(zhuǎn)中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，能與原圖形完全重合的是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：A圖形順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°后，能與原圖形完全重合，A不正確；B圖形順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，能與原圖形完全重合，B不正確；C圖形順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°后，能與原圖形完全重合，C不正確；D圖形順時(shí)針旋轉(zhuǎn)72°后，能與原圖形完全重合，D正確；故選：D．3．（2022·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，正三角形ABC的邊長(zhǎng)為3，將△ABC繞它的外心O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△A'B'C'，則它們重疊部分的面積是（）A．2 B． C． D．【答案】C【詳解】解：作AM⊥BC于M，如圖：重合部分是正六邊形，連接O和正六邊形的各個(gè)頂點(diǎn)，所得的三角形都是全等的等邊三角形．∵△ABC是等邊三角形，AM⊥BC，∴AB＝BC＝3，BM＝CM＝BC＝，∠BAM＝30°，∴AM＝BM＝，∴△ABC的面積＝BC×AM＝×3×＝，∴重疊部分的面積＝△ABC的面積＝；故選：C．4．（2018·江西上饒·九年級(jí)期中）數(shù)學(xué)課上，老師讓同學(xué)們觀察如圖所示的圖形，問：它繞著圓心O旋轉(zhuǎn)多少度后和它自身重合？甲同學(xué)說：45°；乙同學(xué)說：60°；丙同學(xué)說：90°；丁同學(xué)說：135°．以上四位同學(xué)的回答中，錯(cuò)誤的是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】B【詳解】圓被平分成八