九年級數(shù)學(xué)上冊23.1 圖形的旋轉(zhuǎn)（解析版）-2022-2023學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊章節(jié)同步實驗班培優(yōu)題型變式訓(xùn)練（人教版）

/2022-2023學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊章節(jié)同步實驗班培優(yōu)題型變式訓(xùn)練（人教版）23.1圖形的旋轉(zhuǎn)題型導(dǎo)航圖圖形的旋轉(zhuǎn)找旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角、對應(yīng)點題型1找旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角、對應(yīng)點根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解題型2根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解畫旋轉(zhuǎn)圖形題型3畫旋轉(zhuǎn)圖形旋轉(zhuǎn)中的規(guī)律性問題題型4旋轉(zhuǎn)中的規(guī)律性問題求旋轉(zhuǎn)中坐標(biāo)的變化題型5求旋轉(zhuǎn)中坐標(biāo)的變化題型變式【題型1】找旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角、對應(yīng)點1．（2022·江蘇·無錫市僑誼實驗中學(xué)八年級期中）如圖，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，則的大小為_________．【答案】50°##50度【解析】【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得出∠B'CB=50°，此題得解．【詳解】解：根據(jù)等于旋轉(zhuǎn)角的大小，∴．故答案為：50°【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，牢記對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角是解題的關(guān)鍵．【變式1-1】2．（2022·湖南·通道侗族自治縣教育科學(xué)研究室七年級期末）如圖，三角形乙是三角形甲經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變換得到的，則其旋轉(zhuǎn)中心是點____，逆時針方向旋轉(zhuǎn)了____度.【答案】

N

90【解析】【分析】根據(jù)對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等可確定旋轉(zhuǎn)中心，對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線所形成的角為旋轉(zhuǎn)角進(jìn)行解答即可．【詳解】解：如圖，連接N與兩個三角形的對應(yīng)點，發(fā)現(xiàn)兩個三角形的對應(yīng)點到點N的距離相等，且對應(yīng)點與N的連線所成的角是直角，故旋轉(zhuǎn)中心是點N，逆時針方向旋轉(zhuǎn)了90°，故答案為：N，90．【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．【題型2】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解1．（2022·四川·成都市樹德實驗中學(xué)八年級期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90o，∠CAB=30o，BC=4．將△ABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)α度（0<α180），得到△DEC，A，B的對應(yīng)點分別為D，E．邊DC，DE分別交直線AB于F，G，當(dāng)△DFG是直角三角形時，則BD=__________．【答案】或【解析】【分析】分兩種情況：當(dāng)∠DFG=90°時，當(dāng)∠DGF=90°時，分別求出BD便可．【詳解】解：根據(jù)題意得：CD=AC，∠CDE=∠A=30°，當(dāng)∠DFG=90°時，如圖：∵∠ACB=90o，∠CAB=30o，BC=4．∴，∴，∵，∴，∴；當(dāng)∠DGF=90°時，如圖：∵∠CDE=∠A=30°，∠DGB=90°，∴∠DFG=60°=∠ABC，∴點B與點F重合，∴；綜上所述，BD的長為或．故答案為：或【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，分情況討論，解題的關(guān)鍵在于分情況討論．【變式2-1】2．（2022·福建泉州·七年級期末）如圖，在直角三角形ABC中，，點P是邊AB上的一動點．，將繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)，點E是邊的中點．下列4個結(jié)論：①點C到AB的距離為；②；③PE長度的最小值為0.9，④PE長度的最大值為5.5，其中正確的是________．（寫出所有正確結(jié)論的序號）【答案】②③④【解析】【分析】利用等面積法即可求出點C到AB的距離；根據(jù)以及，即可證明；當(dāng)與在AB邊上的高重合時，PE長度最短為：；當(dāng)與的BC邊重合但取反方向時，PE長度最長為：．【詳解】解：在直角三角形ABC中，利用等面積法可求出點C到AB的距離為，故①錯誤；∵，∴，∴，∴，故②正確；∵點E是邊的中點，，∴，當(dāng)與在AB邊上的高重合時，PE長度最短為：，故③正確；當(dāng)與的BC邊重合但取反方向時，PE長度最長為：，故④正確；綜上所述：正確結(jié)論有②③④．故答案為：②③④【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，角之間的關(guān)系，動點問題，解題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，理清角之間的關(guān)系，理解當(dāng)與在AB邊上的高重合時，PE長度最短；當(dāng)與的BC邊重合但取反方向時，PE長度最長．【題型3】畫旋轉(zhuǎn)圖形1．（2022·山東青島·一模）如圖，ΔABC的三個頂點都在方格紙的格點上，其中A點的坐標(biāo)是（-1，0），現(xiàn)將ΔABC繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)90°，再向右平移一個單位后點C的對應(yīng)點C＇的坐標(biāo)是__________．【答案】【解析】【分析】利用旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)畫出圖形，觀察圖形即可得結(jié)論．【詳解】ΔABC繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)90°后的圖像如圖：觀察圖象，可知對應(yīng)的點坐標(biāo)為（-2，3），∴（-2，3）再向右平移一個單位后點C的對應(yīng)點C＇的坐標(biāo)是故答案是：．【點睛】本題考查坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)、平移，解題的關(guān)鍵是畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形，屬于中考?？碱}型．【變式3-1】2．（2022·江西·南昌二中八年級期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知△ABC的三個頂點坐標(biāo)分別是A(2，?1)，B(1，?2)，C(3，?3)．(1)將△ABC先向上平移4個單位長度再沿y軸翻折得到△A1B1C1，請畫出△A1B1C1；(2)請畫出把△ABC繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△A2B2C2．【答案】(1)見解析(2)見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)以及軸對稱的性質(zhì)分別作出A，B，C的對應(yīng)點A1，B1，C1再連接即可；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)分別作出A，B，C的對應(yīng)點A2，B2，C2再連接即可．(1)解：△A1B1C1如圖所示．;(2)解：△A2B2C2如圖所示．【點睛】本題考查作圖-旋轉(zhuǎn)變換，平移變換等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識．【題型4】旋轉(zhuǎn)中的規(guī)律性問題1．（2021·廣東佛山·八年級期末）如圖是一個裝飾連續(xù)旋轉(zhuǎn)閃爍所成的四個圖形，照此規(guī)律閃爍，第2021次閃爍呈現(xiàn)出來的圖形是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】觀察圖形的變化易得每旋轉(zhuǎn)一次的度數(shù)，根據(jù)陰影所處的位置可得相應(yīng)選項．【詳解】解：觀察圖形的變化可知：每旋轉(zhuǎn)一次，旋轉(zhuǎn)角為90°，即每4次旋轉(zhuǎn)一周，∵2021÷4＝505...1，即第2021次與第1次的圖案相同．故選：A．【點睛】此題考查了圖形的變換規(guī)律問題，解題的關(guān)鍵是找到圖形旋轉(zhuǎn)的規(guī)律周期．【變式4-1】2．（2021·重慶南川·九年級期中）有兩個完全重合的矩形，將其中一個始終保持不動，另一個矩形繞其對稱中心O按逆時針方向進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，每次均旋轉(zhuǎn)45°，第1次旋轉(zhuǎn)后得到圖①，第2次旋轉(zhuǎn)后得到圖②，……，則第2021次旋轉(zhuǎn)后得到的圖形與圖①﹣④中相同的是（

）A．圖① B．圖② C．圖③ D．圖④【答案】A【解析】【分析】觀察圖形不難發(fā)現(xiàn)，四次旋轉(zhuǎn)后矩形又回到初始水平位置，用2021除以4，根據(jù)商和余數(shù)的情況確定即可．【詳解】解：由圖可知，四次旋轉(zhuǎn)后矩形又回到初始水平位置，∵2021÷4=505余1，∴第2021次旋轉(zhuǎn)后得到的圖形為第505個循環(huán)組的第一個圖，是圖①．故選：A．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，圖形變化規(guī)律，觀察出四次旋轉(zhuǎn)后矩形又回到初始水平位置是解題的關(guān)鍵．【題型5】求旋轉(zhuǎn)中坐標(biāo)的變化1．（2022·湖北省直轄縣級單位·九年級階段練習(xí)）如圖，在坐標(biāo)系中放置一菱形，已知，點B在y軸上，，先將菱形沿x軸的正方向無滑動翻轉(zhuǎn)，每次翻轉(zhuǎn)60°，連續(xù)翻轉(zhuǎn)12次，點B的落點依次為，，，，則的橫坐標(biāo)為______．【答案】【解析】【分析】連接AC，根據(jù)條件可以求出AC，畫出第5次、第6次、第7次翻轉(zhuǎn)后的圖形，容易發(fā)現(xiàn)規(guī)律：每翻轉(zhuǎn)6次，圖形向右平移4，由于，因此點B向右平移8即可到達(dá)點，根據(jù)點B的坐標(biāo)就可求出點的坐標(biāo)．【詳解】連接AC，如圖所示，∵四邊形OABC是菱形，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∴，∵，∴，畫出第5次、第6次、第7次翻轉(zhuǎn)后的圖形，如圖所示，由圖可知：每翻轉(zhuǎn)6次，圖形向右平移4，∵，∴點B向右平移2×4=8個單位到點，∵B點的坐標(biāo)為，∴的坐標(biāo)為，故答案為：．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識，考查了操作、探究、發(fā)現(xiàn)規(guī)律的能力．發(fā)現(xiàn)“每翻轉(zhuǎn)6次，圖形向右平移4”是解決本題的關(guān)鍵．【變式5-1】2．（2022·廣東河源·八年級期中）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，是邊長為2的等邊三角形，作與關(guān)于點成中心對稱，再作與于點成中心對稱，如此作下去，則的頂點的坐標(biāo)是________．【答案】【解析】【分析】首先根據(jù)△OA1B1是邊長為2的等邊三角形，可得A1的坐標(biāo)為（1，），B1的坐標(biāo)為（2，0）；然后根據(jù)中心對稱的性質(zhì)，分別求出點A2、A3、A4的坐標(biāo)各是多少；最后總結(jié)出An的坐標(biāo)的規(guī)律，求出A2n的坐標(biāo)，即可求出答案．【詳解】解：∵△OA1B1是邊長為2的等邊三角形，∴A1的坐標(biāo)為（1，），B1的坐標(biāo)為（2，0），∵△B2A2B1與△OA1B1關(guān)于點B1成中心對稱，∴點A2與點A1關(guān)于點B1成中心對稱，∵2×21=3，2×0=，∴點A2的坐標(biāo)是（3，），∵△B2A3B3與△B2A2B1關(guān)于點B2成中心對稱，∴點A3與點A2關(guān)于點B2成中心對稱，∵2×4-3=5，2×0（）=，∴點A3的坐標(biāo)是（5，），∵△B3A4B4與△B3A3B2關(guān)于點B3成中心對稱，∴點A4與點A3關(guān)于點B3成中心對稱，∵2×65=7，2×0=，∴點A4的坐標(biāo)是（7，），…，∵1=2×1-1，3=2×2-1，5=2×3-1，7=2×4-1，……，∴An的橫坐標(biāo)是2n-1，A2n的橫坐標(biāo)是2×2n-1=4n-1，∵當(dāng)n為奇數(shù)時，An的縱坐標(biāo)是，當(dāng)n為偶數(shù)時，An的縱坐標(biāo)是，∴頂點A2n的縱坐標(biāo)是，∴頂點A2n的坐標(biāo)是（，）．∴點的坐標(biāo)是；故答案為：．【點睛】此題主要考查了坐標(biāo)與圖形變化——旋轉(zhuǎn)問題，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是分別判斷出An的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)各是多少．專項訓(xùn)練一．選擇題1．（2021·江蘇蘇州·中考真題）如圖，在方格紙中，將繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到，則下列四個圖形中正確的是（） B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°逐項分析即可．【詳解】A、是由關(guān)于過B點與OB垂直的直線對稱得到，故A選項不符合題意；B、是由繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到，故B選項符合題意；C、與對應(yīng)點發(fā)生了變化，故C選項不符合題意；D、是由繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到，故D選項不符合題意．故選：B．【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)變換．解題的關(guān)鍵是弄清旋轉(zhuǎn)的方向和旋轉(zhuǎn)的度數(shù)．2．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）如圖，矩形ABCD中，AD=2，AB=，對角線AC上有一點G（異于A，C），連接DG，將△AGD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△AEF，則BF的長為（

）A． B．2 C． D．2【答案】A【解析】【分析】過點F作FH⊥BA交BA的延長線于點H，則∠FHA=90°，△AGD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△AEF，得∠FAD=60°，AF=AD=2，又由四邊形ABCD是矩形，∠BAD=90°，得到∠FAH=30°，在Rt△AFH中，F(xiàn)H=AF=1，由勾股定理得AH=，得到BH=AH+AB=2，再由勾股定理得BF=．【詳解】解：如圖，過點F作FH⊥BA交BA的延長線于點H，則∠FHA=90°，∵△AGD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△AEF∴∠FAD=60°，AF=AD=2，∵四邊形ABCD是矩形∴∠BAD=90°∴∠BAF=∠FAD+∠BAD=150°∴∠FAH=180°－∠BAF=30°在Rt△AFH中，F(xiàn)H=AF=1由勾股定理得AH=在Rt△BFH中，F(xiàn)H=1，BH=AH+AB=2由勾股定理得BF=故BF的長．故選：A【點睛】本題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)，矩形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識，解決此題的關(guān)鍵在于作出正確的輔助線．3．（2021·河南駐馬店·七年級期末）如圖，將△ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)50°得△DBE，點C的對應(yīng)點恰好落在AB的延長線上，連接AD，下列結(jié)論不一定成立的是（）A．AB=DB B．∠CBD=80° C．∠ABD=∠E D．△ABC≌△DBE【答案】C【解析】【分析】利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得△ABC≌△DBE，BA=BD，BC=BE，∠ABD=∠CBE=50°，∠C=∠E，再由A、B、E三點共線，由平角定義求出∠CBD=80°，由三角形外角性質(zhì)判斷出∠ABD＞∠E．【詳解】解：∵△ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)50°得△DBE，∴AB=DB，BC=BE，∠ABD=∠CBE=50°，△ABC≌△DBE，故選項A、D一定成立；∵點C的對應(yīng)點E恰好落在AB的延長線上，∴∠ABD+∠CBE+∠CBD=180°，.∴∠CBD=180°-50°-50°=80°，故選項B一定成立；又∵∠ABD=∠E+∠BDE，∴∠ABD＞∠E，故選項C錯誤，故選C．【點睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．4．（2022·全國·九年級）如圖，邊長為3的正五邊形ABCDE，頂點A、B在半徑為3的圓上，其他各點在圓內(nèi)，將正五邊形ABCDE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點E第一次落在圓上時，則點C轉(zhuǎn)過的度數(shù)為（）A．12° B．16° C．20° D．24°【答案】A【解析】【分析】根據(jù)點E旋轉(zhuǎn)的角度和點C旋轉(zhuǎn)的角度相等,所以求出點E旋轉(zhuǎn)的角度即可.【詳解】解:如圖設(shè)圓心為O,連接OA,OB,點E落在圓上的點E'處.AB=OA=OB,∠OAB=,同理∠OAE'=,∠EAB=,∠EAO=∠EAB-∠OAB=,∠EAE'=∠OAE'-∠EAO=-=點E旋轉(zhuǎn)的角度和點C旋轉(zhuǎn)的角度相等,點C旋轉(zhuǎn)的角度為,故選A.【點睛】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，注意與圓的性質(zhì)的綜合.5．（2022·山東·青島三十九中八年級期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△ABC頂點的橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)．若將△ABC以某點為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)得到△A'B'C'，則旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)是（

）A．(1，1) B．(1，﹣1) C．(0，0) D．(1，﹣2)【答案】A【解析】【分析】對應(yīng)點連線的垂直平分線的交點即為旋轉(zhuǎn)中心，然后直接寫成坐標(biāo)即可．【詳解】解：如圖點O′即為旋轉(zhuǎn)中心，坐標(biāo)為O′(1，1)．故選：A【點睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)中心的確定方法，熟練掌握對應(yīng)點連線的垂直平分線的交點即為旋轉(zhuǎn)中心是解題的關(guān)鍵．6．（2022·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，在方格紙上建立的平面直角坐標(biāo)系中，將繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到，則點的坐標(biāo)為（

）．A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)作出旋轉(zhuǎn)后的圖形，然后根據(jù)平面直角坐標(biāo)系寫出點B′的坐標(biāo)即可．【詳解】△A′B′O如圖所示，點B′（2，1）．故選A．【點睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形變化，熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，作出圖形是解題的關(guān)鍵．二、填空題7．（2021·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在菱形OBCD中，OB＝1，相鄰兩內(nèi)角之比為1：2，將菱形OBCD繞頂點O順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到菱形OB′C′D′視為一次旋轉(zhuǎn)，則菱形旋轉(zhuǎn)45次后點C的坐標(biāo)為_____．【答案】（，﹣）【解析】【分析】先求出菱形的內(nèi)角度數(shù)，過作軸于點，在△中，利用特殊角度數(shù)及邊長求解和長，則點坐標(biāo)可求，由，得出菱形4次旋轉(zhuǎn)一周，4次一個循環(huán)，由，得出菱形旋轉(zhuǎn)45次后點與點重合，即可得出答案．【詳解】解：∵四邊形OBCD是菱形，相鄰兩內(nèi)角之比為1：2，∴∠C＝∠BOD＝60°，∠D＝∠OBC＝120°．根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得∠OB′C′＝120°，∴∠C′B′H＝60°．過C′作C′H⊥y軸于點H，如圖所示：在Rt△C′B′H中，B′C′＝1，，．．坐標(biāo)為，，∵360°÷90°＝4，∴菱形4次旋轉(zhuǎn)一周，4次一個循環(huán)，∵45÷4＝11……1，菱形旋轉(zhuǎn)45次后點與點重合，坐標(biāo)為，；故答案為：，．【點睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，以及坐標(biāo)與圖形變化，解決此類問題要熟知旋轉(zhuǎn)后的不變量，得出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．8．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在中，，，，將繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到，連接，，直線，相交于點，連接，在旋轉(zhuǎn)過程中，線段的最大值為__________．【答案】【解析】【分析】取AB的中點H，連接CH、FH，設(shè)EC，DF交于點G，在△ABC中，由勾股定理得到AB=，由旋轉(zhuǎn)可知：△DCE≌△ACB，從而∠DCA=∠BCE，∠ADC=∠BEC，由∠DGC=∠EGF，可得∠AFB=90o，由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可得FH=CH=AB=，在△FCH中，當(dāng)F、C、H在一條直線上時，CF有最大值為.【詳解】解：取AB的中點H，連接CH、FH，設(shè)EC，DF交于點G，在△ABC中，∠ACB=90o，∵AC=，BC=2，∴AB=，由旋轉(zhuǎn)可知：△DCE≌△ACB，∴∠DCE=∠ACB，DC=AC，CE=CB，∴∠DCA=∠BCE，∵∠ADC=(180o-∠ACD)，∠BEC=(180o-∠BCE)，∴∠ADC=∠BEC，∵∠DGC=∠EGF，∴∠DCG=∠EFG=90o，∴∠AFB=90o，∵H是AB的中點，∴FH=AB，∵∠ACB=90o，∴CH=AB，∴FH=CH=AB=，在△FCH中，F(xiàn)H+CH>CF，當(dāng)F、C、H在一條直線上時，CF有最大值，∴線段CF的最大值為.故答案為：【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是掌握全等的性質(zhì).9．（2021·廣東汕頭·九年級期中）如圖，將等邊繞頂點A順時針方向旋轉(zhuǎn)，使邊AB與AC重合得，的中點E的對應(yīng)點為F，則的度數(shù)是_______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出旋轉(zhuǎn)角，進(jìn)而得出∠EAF的度數(shù)．【詳解】∵將等邊△ABC繞頂點A順時針方向旋轉(zhuǎn)，使邊AB與AC重合得△ACD，BC的中點E的對應(yīng)點為F，∴旋轉(zhuǎn)角為60°，E，F(xiàn)是對應(yīng)點，則∠EAF的度數(shù)為：60°．故答案為：60°．【點睛】此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得出旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)是解題關(guān)鍵．10．（2022·遼寧·阜新市第一中學(xué)一模）如圖，在四邊形ABCD中，，將繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°后，點D的對應(yīng)點恰好與點A重合，得到，，，則BD=______．【答案】【解析】【分析】連接BE，如圖，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠BCE=60°，CB=CE，BD=AE，再判斷△BCE為等邊三角形得到BE=BC=9，∠CBE=60°，從而有∠ABE=90°，然后利用勾股定理計算出AE即可．【詳解】解：連接BE，如圖，∵△DCB繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°后，點D的對應(yīng)點恰好與點A重合，得到△ACE，∴∠BCE=60°，CB=CE，BD=AE，∴△BCE為等邊三角形，∴BE=BC=9，∠CBE=60°，∵∠ABC=30°，∴∠ABE=90°，在Rt△ABE中，AE=．故答案為：．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．11．（2022·上海·八年級專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別交x軸、y軸于C、A兩點．將射線繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)，得到射線．點D為上的動點，點B為上的動點，點C在的內(nèi)部．（1）周長的最小值是____________________；（2）當(dāng)?shù)闹荛L取得最小值，且時，的面積為__________．【答案】

【解析】【分析】（1）可作點C關(guān)于射線AM的對稱點C1，點C關(guān)于射線AN的對稱點C2．連接C1C2．利用兩點之間線段最短，可得到當(dāng)B、D兩點與C1、C2在同一條直線上時，△BCD的周長最小，最小值為線段C1C2的長．（2）根據(jù)（1）的作圖可知四邊形AC1CC2的對角互補(bǔ)，結(jié)合軸對稱可得∠BCD＝90°．利用勾股定理得到CB2+CD2＝BD2＝（）2，因為CB+CD＝4﹣，可推出CB?CD的值，進(jìn)而求出三角形的面積．【詳解】（1）∵直線y＝與x軸、y軸分別交于C、A兩點，把y=0代入，解得x=2，把x=0代入，解得y=2，∴點C的坐標(biāo)為（2，0），點A的坐標(biāo)為（0，2）．∴AC＝4．作點C關(guān)于射線AM的對稱點C1，點C關(guān)于射線AN的對稱點C2．由軸對稱的性質(zhì)，可知CD＝C1D，CB＝C2B．∴CB+BD+CD＝C2B+BD+C1D＝C1C2連接AC1、AC2，可得∠C1AD＝∠CAD，∠C2AB＝∠CAB，AC1＝AC2＝AC＝4．∵∠DAB＝45°，∴∠C1AC2＝90°．連接C1C2．，∵兩點之間線段最短，∴當(dāng)B、D兩點與C1、C2在同一條直線上時，△BCD的周長最小，最小值為線段C1C2的長．∴△BCD的周長的最小值為4．故答案為：4．（2）根據(jù)（1）的作圖可知四邊形AECF的對角互補(bǔ)，其中∠DAB＝45°，因此，∠C2CC1＝135°．即∠BCC2+∠DCC1+∠BCD＝135°，∴2∠BCC2+2∠DCC1+2∠BCD＝270°①，∵∠BC2C＝∠BCC2，∠DCC1＝∠DC1C，∠BC2C+∠DC1C+∠BCC2+∠DCC1+∠BCD＝180°，∴2∠BCC2+2∠DCC1+∠BCD＝180°②，①-②得，∠BCD＝90°．∴CB2+CD2＝BD2＝（）2=，∵CB+CD＝4﹣，（CB+CD）2＝CB2+CD2+2CB?CD，∴2CB?CD＝（CB+CD）2-（CB2+CD2）=∴．故答案為：【點睛】本題考查了最短路徑和勾股定理及一次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵利用軸對稱確定最短路徑，結(jié)合勾股定理來解決問題．12．（2022·江蘇南京·模擬預(yù)測）如圖，正比例函數(shù)y＝kx（k≠0）的圖像經(jīng)過點A（2，4），AB⊥x軸于點B，將△ABO繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADC，則直線AC的函數(shù)表達(dá)式為_____．【答案】y=-0.5x+5【解析】【分析】直接把點A（2，4）代入正比例函數(shù)y=kx，求出k的值即可；由A（2，4），AB⊥x軸于點B，可得出OB，AB的長，再由△ABO繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADC，由旋轉(zhuǎn)不變性的性質(zhì)可知DC=OB，AD=AB，故可得出C點坐標(biāo)，再把C點和A點坐標(biāo)代入y=ax+b，解出解析式即可．【詳解】解：∵正比例函數(shù)y=kx（k≠0）經(jīng)過點A（2，4）∴4=2k，解得：k=2，∴y=2x；∵A（2，4），AB⊥x軸于點B，∴OB=2，AB=4，∵△ABO繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADC，∴DC=OB=2，AD=AB=4∴C（6，2）設(shè)直線AC的解析式為y=ax+b，把（2，4）（6，2）代入解析式可得：，解得：，所以解析式為：y=-0.5x+5【點睛】本題考查的是一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特點及圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟知一次函數(shù)圖象上各點的坐標(biāo)一定適合此函數(shù)的解析式是解答此題的關(guān)鍵．三、解答題13．（2022·全國·八年級課時練習(xí)）如圖，已知：正方形，點，分別是，上的點，連接，，，且，求證：．【答案】見解析．【解析】【分析】將△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADG，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得GD=BE，AG=AE，∠DAG=∠BAE，然后求出∠FAG=∠EAF，再利用“邊角邊”證明△AEF和△AGF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得EF=FG，即可得出結(jié)論．【詳解】如解圖，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)至的位置，使與重合．∴，．∵．∴，∴．在和中，，∴．∴．∵，∴．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，難點在于利用旋轉(zhuǎn)變換作出全等三角形．14．（2022·安徽·中考真題）如圖，在由邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的頂點均為格點（網(wǎng)格線的交點）．(1)將△ABC向上平移6個單位，再向右平移2個單位，得到，請畫出﹔(2)以邊AC的中點O為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABC按逆時針方向旋轉(zhuǎn)180°，得到，請畫出．【答案】(1)見解析(2)見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)平移的方式確定出點A1，B1，C1的位置，再順次連接即可得到；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)可得出確定出點A2，B2，C2的位置，再順次連接即可得到．(1)如圖，即為所作；(2)如圖，即為所作；【點睛】本題考查作圖-旋轉(zhuǎn)變換與平移變換，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題．15．（2021·湖南郴州·中考真題）如圖1，在等腰直角三角形中，．點，分別為，的中點，為線段上一動點（不與點，重合），將線段繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到，連接，．（1）證明：；（2）如圖2，連接，，交于點．①證明：在點的運動過程中，總有；②若，當(dāng)?shù)拈L度為多少時，為等腰三角形？【答案】（1）見詳解；（2）①見詳解；②當(dāng)?shù)拈L度為2或時，為等腰三角形【解析】【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AH=AG，∠HAG=90°，從而得∠BAH=∠CAG，進(jìn)而即可得到結(jié)論；（2）①由，得AH=AG，再證明，進(jìn)而即可得到結(jié)論；②為等腰三角形，分3種情況：（a）當(dāng)∠QAG=∠QGA=45°時，（b）當(dāng)∠GAQ=∠GQA=67.5°時，（c）當(dāng)∠AQG=∠AGQ=45°時，分別畫出圖形求解，即可．【詳解】解：（1）∵線段繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到，∴AH=AG，∠HAG=90°，∵在等腰直角三角形中，，AB=AC，∴∠BAH=90°-∠CAH=∠CAG，∴；（2）①∵在等腰直角三角形中，AB=AC，點，分別為，的中點，∴AE=AF，是等腰直角三角形，∵AH=AG，∠BAH=∠CAG，∴，∴∠AEH=∠AFG=45°，∴∠HFG=∠AFG+∠AFE=45°+45°=90°，即：；②∵，點，分別為，的中點，∴AE=AF=2，∵∠AGH=45°，為等腰三角形，分3種情況：（a）當(dāng)∠QAG=∠QGA=45°時，如圖，則∠HAF=90°-45°=45°，∴AH平分∠EAF，∴點H是EF的中點，∴EH=；（b）當(dāng)∠GAQ=∠GQA=（180°-45°）÷2=67.5°時，如圖，則∠EAH=∠GAQ=67.5°，∴∠EHA=180°-45°-67.5°=67.5°，∴∠EHA=∠EAH，∴EH=EA=2；（c）當(dāng)∠AQG=∠AGQ=45°時，點H與點F重合，不符合題意，舍去，綜上所述：當(dāng)?shù)拈L度為2或時，為等腰三角形．【點睛】本題主要考查等腰直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握全等三角形的判定定理，根據(jù)題意畫出圖形，進(jìn)行分類討論，是解題的關(guān)鍵．16．（2022·河南南陽·一模）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，動點D在直線BC上（不與點B，C重合），連接AD，把AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到AE，連接DE，F(xiàn)，G分別是DE，CD的中點，連接FG．【特例感知】（1）如圖1，當(dāng)點D是BC的中點時，F(xiàn)G與BD的數(shù)量關(guān)系是，F(xiàn)G與直線BC的位置關(guān)系是；【猜想論證】（2）當(dāng)點D在線