第四章向量相關(guān)性4 4線性方程組解結(jié)構(gòu)

要求：理解齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系的概念及系數(shù)矩陣與全體解向量的秩之間的關(guān)系；熟悉基礎(chǔ)解系的求法；理解非齊次線性方程組通解的構(gòu)造；知道齊次線性方程組的解空間的概念R(

A)

nm

n1、Ax

0

有非零解2、Axm

n

b

有解有唯一解有無窮多解R(

A)

R(

A,

b)R(

A)

R(

A,

b)

nR(

A)

R(

A,

b)

n下面用向量組的線性相關(guān)性的理論來討論線線性方程組的解。一、齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)

a

x

a

x

a

x

021

1

22

2

2n

n１、解向量設(shè)有齊次線性方程組

a11

x1

a12

x2

a1n

xn

0

am1

x1

am

2

x2

amn

xn

0若記（1）

mn

a

a

am1

m

2a2n

,A

a21a1n

a11

a12a22

n

x

x

x2

x1

則上述方程組（1）可寫成向量方程Ax

0.若x1

11

,x2

21

,

,xn

n1

為方程Ax

0

的解，則矩陣表示

n

x

xx

x1

稱為方程組(1)

的解向量，它也就是矩陣方程Ax

0的解。A

1

02

21

n1

11

1

即有２、齊次線性方程組解的性質(zhì)（1）若x

1

,x

2為Ax

0的解，則x

1

2也是

Ax

0

的解.A

1

0

A

2

0A

A

1

2

1

A

2

0

0

0x

1

2也是Ax

0

的解。（3）若

x

1

,

x

2

為

Ax

0的解，則x

k1

1

k2

2也是Ax

0的解.（2）若

x

1

為

Ax

0的解，

k

為實(shí)數(shù)，則x

k

1

也是Ax

0

的解．A

k

kA

k0

01

1齊次線性方程組Ax

0的全體解向量所組成的集合記為S若S

0

:

1

,

2

,

,

t為S

的一個(gè)最大無關(guān)組。則齊次線性方程組Ax

0的通解為x

k

1

1

k

2

2

k

t

t3、基礎(chǔ)解系定義1齊次線性方程組的解集的最大無關(guān)組稱為該齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系。定義2

設(shè)

1

,

2

,

,

n

r

是

AX

0

的解，滿足（1）

1

,

2

,

,

n

r線性無關(guān)；（2）AX

0

的任一解都可以由

1

,

2

,

,

n

r線性表示。則稱

1

,

2

,

,

n

r

為AX

0

的一個(gè)基礎(chǔ)解系。Ax

0如果

1

,

2

,

,

t

為齊次線性方程組的一組基礎(chǔ)解系,那么,Ax

0

的通解可表示為x

k1

1

k2

2

kt

t其中k1

,k2

,

,kt

為任意常數(shù)。問題：如何求基礎(chǔ)解系？以某種方法找t

個(gè)解；證明這t個(gè)解線性無關(guān)；證明任一解都可由這t

個(gè)解線性表示。4、基礎(chǔ)解系的求法

0

br

,

n

r

br1b1,

n

r

b11

1

0

A

~

1

0

0

0

0設(shè)齊次線性方程組的系數(shù)矩陣A

的秩為，并不妨設(shè)A

的前r

個(gè)列向量線性無關(guān)。于是經(jīng)過行的初等變換，A

可化為

0

0

n

r

r1

x

x2

b1,n

r

x1

b11

0

1

b

b

r

,n

0

0

1

0

0(2)

r r

1

r

1

r

,n

r

n

x

b

x

b

x

x1

b11xr

1

b1,n

r

xnAx

0

現(xiàn)對(duì)xr

1

,

,xn

取下列n

r

組數(shù)：

n

xr

1

xr

br1

xr

1

br

,n

r

xn

x1

b11

xr

1

b1,n

r

xn分別代入

1

0

0

xr

2

0

,

1

0

0

x

1

,

,

0

.依次得

x

x1

br

1

10

0

1

,

01

0

br

2

b11

b12

,

2

.

br

,n

r

b1

,n

r

00

1

從而求得原方程組的n

r

個(gè)解：

br

,n

r

,

.

b1

,n

r

r

2

b

,

b

r

r

1

b11

b12

,

,

n

r是齊次線性方程組的

1

0

0

0

0

,

1

,

1

0

,

0

由于

n

r

個(gè)

n

r

維向量線性無關(guān)，所以n

r

個(gè)n

維向量

1

,

2

,

,

n

r

亦線性無關(guān).下面證明

1

,

2

,

,

n

r一個(gè)基礎(chǔ)解系。(1)證明

1

,

2

,

,

n

線性無關(guān).線性表示.(2)證明解空間的任一解都可由

1

,

2

,

,

n

r

n

為上述T

r

1設(shè)x

1

r方程組的一個(gè)解.

再作

1

,

2

,

,

n

r

的線性組合

,

r

2

2

r

1

1

n

n

r也是Ax

0的由于

1

,

2,

,

n

r

是Ax

0

的解,故解.下面來證明

.

r

1

br1

b11

01

0

r

2

br

2

b12

1

0

0

00

1

n

br

,n

r

b1,n

r

n

n

rr

2

2

r

1

1

n

cr

r

2

r

1

c1由于

與

都是方程Ax

0的解,而Ax

0又等價(jià)于

x

x1

b11

xr

1r

br

1

xr

1

br

,n

r

xn

b1,n

r

xn所以

與

都是此方程組的解

,

nr

c

c

r

2

r

11

nr

r

2

r

11由

rr

c

,

,

c

.11方程組r

2

2

r

1

1

n

n

r

.故

.

即

所以1

,

,

n

r

是齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系。定理設(shè)

m

n矩陣A

的秩R(

A)

r，則齊次線性線性方程組

Ax

0

的解集S

的秩為RS

n

r.例1

求齊次線性方程組

1

5

x2

3

x3

2

x4

0,

2

xx1

x2

x3

x4

0,

7

x1

7

x2

3

x3

x4

0的基礎(chǔ)解系與通解.解0

4

7

,1

02

~

0

7

1

1

1

1

1

0

2

7

3

7

5

3

1

5

7

7

3

0

0A

2陣，有對(duì)系數(shù)矩陣A作初等行變換，變?yōu)樾凶詈喚?/p>

774775431x4

.x3

x2

3

x

,

x

2

x便得

0

1

x4

x3

1

0

4

7

3

7

5

7

2

7

及

,令

及

,

對(duì)應(yīng)有

x2

x1

21

1

3

7

0

1

0

2

7

即得基礎(chǔ)解系

5

7

,

4

7

,,(4

75

7212ccccx,

R).

2

0

3

7

0

1

1

1

2

7

3

x

x

4

x1

并由此得到通解例2

解線性方程組

1

3x1

x2

5

x3

6

x4

7

x5

0

x2

3

x3

2

x4

x5

0

x

x1

x2

x3

4

x4

3

x5

0

2

x1

x2

3

x3

5

x4

5

x5

0解

3

1114

3

135

5

13

2

1

156

7

1A

2對(duì)系數(shù)矩陣施行初等行變換0

1

x2

x3

3x4

x5

0

2

2

6

2

0

0

0

0

02

0

01

~

0

1

1

1

4

3

1

1

1

4

3

~

0

1

1

3

1

1

3

2

2

6

0

0

0R

A

r

2,n

5,n

r

3,即方程組有無窮多解，其基礎(chǔ)解系中有三個(gè)線性無關(guān)的解向量.原方程組等價(jià)于

x1

x2

x3

4x4

3x5

54321

2

3

4

5x

x

3x

x

x

x

x

4x

3x

5

x

x3

令

x4

代入

0

0

1

0

,

1

,

0

.

1

0

0

x

1

2

2

x1

依次得

2

,

,

3

1

.

1

所以原方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為

0

1

2

1

1

,故原方程組的通解為x

k1

1

k2

2

k3

3

.其中k1

,k2

,k3為任意常數(shù).

1

3

1

2

0

,

0

0

1

0

1

2

3

0

.例3證證明R(AT

A)

R(A).設(shè)A為m

n矩陣,x為n維列向量.若x滿足Ax

0,則有AT

(Ax)

0,即(

AT

A)

x

0;若x滿足(AT

A)x

0,則xT

(AT

A)x

0,即(Ax)T

(Ax)

0,從而推知Ax

0.綜上可知方程組Ax

0與(AT

A)x

0同解,因此

R(

AT

A)

R(

A).例4

:

求下列齊次方程組的通解。23

x1

2

x2

4

x3

x4

0

(1)

2

x1

4

x2

8

x3

x4

0

3

x

6

x

2

x

0

1

30

0

0

1

1

2

0

5

3

1

2

4 1

解：

A

2

4

8 1

6

2

1

2

4

1

0

0

10

3

0

0

1

0

0

010

0

00

初等行變換

行最簡形矩陣對(duì)應(yīng)的方程組為法1：先求通解，再求基礎(chǔ)解系12

45

x

2

x

1

x

0

x3

3 10x

4

0

124345310

x

2

x

1

x

即

x

x

x2

,

x4是自由

未知量。令

x2

c1

,

x4

c232215c2cc

x1

2c1

3

10

x

x則

x

2

c1

4即

1

5

x

1

2

x2

c

1

c

0

x

1

0

2

3

3

0

x4

10

1

1c

,

c2

為任意常數(shù)。1245310x4

x

2

x

1

x

法2：先求基礎(chǔ)解系，再求通解。由

x

0

4

x

1

令

2

得1

2

x

3

1

0

0

0x

令2

x

1

4

得2

1

5

0

3

10

1

則通解為x

k1

1

k2

22(k1

,

k為任意常數(shù)）1231232

x

24

x

3(2)

x1

3解：A

x1

2

x

2

3

x

3

0

3

x

6

x

10

x

0

2

x

5

x

7

x

0

02100

13

1

0

01

0

初等行變換

0r

A

3

n,所以只有零解。

1

0

1

2

0

0

1

0

0

0

0

0

01

0

1

2

3

6

10

2

5

7

1

2

4

1

0

0

0

1

0

00

0二、非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)1、非齊次線性方程組解的性質(zhì)(1)設(shè)x

1及x

2都是Ax

b的解,則x

1

2為對(duì)應(yīng)的齊次方程Ax

0的解.證明

A

1

b,

A

2

b

A

A

A

1

2

1

2即x

1

2滿足方程Ax

0.

b

b

0證明A

A

A

0

b

b,所以x

是方程Ax

b的解.證畢．Ax

0的解,則x

仍是方程Ax

b

的解.(2)

設(shè)x

是方程Ax

b的解,x

是方程２、非齊次線性方程組的通解非齊次線性方程組Ax

b

的一個(gè)特解為

*齊次線性方程組Ax

0

的基礎(chǔ)解系為

1

,

2

,

,

n

r則非齊次線性方程組Ax

b

的解解為x

k1

1

k2

2

kn

r

n

r

其中k1

,k

2

,

,kn

r

為任意實(shí)數(shù)。向量b能由向量組

1

,

2

,

,

n線性表示;

向量組

1

,

2

,

,

n與向量組

1

,

2

,

,

n

,b等價(jià);

矩陣A

1

,

2

,

,

n

與矩陣B

1

,

2

,

,

n

,b

的秩相等.

３、方程組Ax

b有解等價(jià)的命題線性方程組Ax

b有解４、線性方程組的解法應(yīng)用克萊姆法則特點(diǎn)：只適用于系數(shù)行列式不等于零的情形，計(jì)算量大，容易出錯(cuò)，但有重要的理論價(jià)值，可

用來證明很多命題．利用初等變換特點(diǎn)：適用于方程組有唯一解、無解以及有無窮多解的各種情形，全部運(yùn)算在一個(gè)矩陣（數(shù)表）中進(jìn)行，計(jì)算簡單，易于編程實(shí)現(xiàn)，是有效的計(jì)算方法．例4

求解方程組

1

x1

x2

2

x3

3

x4

1

2.

x2

x3

3

x4

1,xx1

x2

x3

x4

0,解對(duì)增廣矩陣B施行初等行變換:

1

2

11B

10

0

1

1

1

1

0

1

1

3

1

2

3

1

1

0

1 1

2

~

0

0

1

2 1

2

,

0

0

0可見R(A)

R(B)

2,故方程組有解,并有4

3

x

2

x

1

2.

x1

x2

x4

1

2,2

421

3取

x

x

0,

則x

x

1

,

即得方程組的一個(gè)解

0

1

2

0

.

1

2

4

中,取21在對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組

2

x4

x3

x

,

x

x12

及

,

則

及

,

x

0

x1

1

1

21

1

0

0

2

x4

0

1

x3

0

2

即得對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系

1

1

1

,

0

,于是所求通解為,(001212ccccx,

R).

1

2

1

2

2

2

0

1

0

1

0

1

1

3

x

x

4

x1

52

3

4

8

x1

3

x2

4

x3

2

x

x

2

x

x1

x2

x3

x4

x5

7,

3

x1

x2

2

x3

x4

3

x5

2,解

12

0

6

x

23,

3

x4

x5

12.

1

1

1

1

1

7

1

2

1

3

2

2

1

2

6 23

8

3

4

3

1B

3例5

求下述方程組的解

0

011117

2

1

2

6

230000000000

1~

0

52

3

4

2

x

x

2

x

6

x

23由R

A

R

B

,知方程組有解.又R

A

2,n

r

3,所以方程組有無窮多解.且原方程組等價(jià)于方程組

x1

x2

x3

x4

x5

7求導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系

0

0

1

,

0

.

5

x

0

0

1

x4

0

,

x3

1

令依次得

3

.

0

2

1

,

1

2

2

,x

1

2

x1

52

3

4

2

x

x

2

x

6

x

23

x4

x5

7

x1

x2

x3代入100

0

1

2

3

1

0

0

1

,

1

2

1

2

3

0

.

2

0

,

1

求特解2

223

4

5

1令

x

x

x

0,得x

9

,

x

23

.所以方程組的通解為故得基礎(chǔ)解系

.

9

2

0

0

0

2

0

1

1

3

23

2

1

2

1

2

1

k2

0

k3

0

00

00

0x

k1

其中k1

,k2

,k3

為任意常數(shù).另一種解法

12

0

1

1

1

1

1 7

1

2

1

3

2

2

1

2

6

23

8

3

4

3

1B

3

0

0

23

0

1

1

1

1

1

7

~

0

2

1

2

6

0

0

0

00

0

0

0

0

0

1

0 1

2

0

2

9

2

~

0

1 1

2

1

3

23 2

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0則原方程組等價(jià)于方程組

22322

92151

3x3

x4

3

x5

x2

x

1

x

2

x

x

x4

4

x3

x32

x4

3

x5

23

22

2

x5

9

2

x1

x3

x

x2

3

x5

x5所以方程組的通解為

.

9

2

3

23 2

1

0

0

2

1

0

1

1

2

1

2

k2

0

k3

0

000x

k1

100其中k1

,k2

,k3

為任意常數(shù).例6

:

求解非齊次方程組1

42

3

4

x1

5

x2

x3

x4

1

x

3

x

8

x

x

x1

9

x2

3

x3

7

x4

2

x2

x3

3

x

3

1

7解：

13

(

A

,

b

)

17

04

x1

1

5

1

1

1

2

1

3

3

8

1

1

1

9

3

7

1

5

1

1

1

7

2

4

0

0

0

0

0

0

0

0

00

1

31

30771470000000000

1

4

37

2

7

0

7

134774

2747

77

x

1

3

3

x

1

3

x

x2

x

3

x

4

則1122121

313

37

74

27

7747cc1c

2

x

c

c

x

c

x

3

x

4(c1

,c2為任意常數(shù)）法1：令

x3

c1

,

x4

c2法2：

令

x3

x4

0,

00

4

7

7

13得

又原方程組對(duì)應(yīng)的齊次方程組的通解是

32431472777xx

x

13

x

x

3

x令

0

1

,

4

x

x3

1

0

4

7

0

147

13

10

7

2

7

3

21

,

得基礎(chǔ)解系

所以原方程組的通解是

k1

1

k2

2

1

2(k

,

k為任意常數(shù)）

1

0

br

,n

r

br1b1,n

r

b11

1

0

A

~

0

0

0

0三、小結(jié)１．齊次線性方程組基礎(chǔ)解系的求法（1）對(duì)系數(shù)矩陣A進(jìn)行初等變換，將其化為最簡形

xr

br1

xr

1

br,n

r

xn

x1

b11

xr

1

b1,n

r

xnAx

0

由于令n

x

1

0

0

1

0

0

xr

1

xr

2

0