2023年湖北省利川市團(tuán)堡鎮(zhèn)朱砂屯民族中學(xué)中考模擬數(shù)學(xué)試題（解析版）

2022-2023學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)6月測(cè)試題一、單選題（36分）1.計(jì)算的結(jié)果是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)正切值等于對(duì)邊比鄰邊計(jì)算求值即可．【詳解】如圖，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC，∴==1，故選：D．．【點(diǎn)睛】此題考查正切值計(jì)算公式，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟記正切值的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．2.在中，，，，那么等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)中，，，可利用勾股定理逆定理判斷出是直角三角形，再根據(jù)正弦的定義可得答案．【詳解】解：，，直角三角形，，，故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理逆定理，以及銳角三角函數(shù)定義，關(guān)鍵是掌握勾股定理逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)，，滿(mǎn)足，那么這個(gè)三角形就是直角三角形．3.在中，各邊都擴(kuò)大5倍，則∠A的三角函數(shù)值（）A.不變 B.擴(kuò)大5倍 C.縮小5倍 D.不能確定【答案】A【解析】【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義解答即可．【詳解】解：因?yàn)槿呛瘮?shù)值與對(duì)應(yīng)邊的比值有關(guān)，所以各邊的長(zhǎng)度都擴(kuò)大5倍后，銳角A的各三角函數(shù)值沒(méi)有變化，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，掌握三角函數(shù)值的大小只與角的大小是解題的關(guān)鍵．4.如圖，是斜邊上的高，若，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)，可設(shè)，則，求出，可得，再解直角三角形即可.【詳解】解：∵，∴設(shè)，則，∵，∴，∴,則在直角三角形中，；故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，熟練掌握銳角三角函數(shù)的知識(shí)是解題的關(guān)鍵.5.如圖，要測(cè)量小河的寬度，在小河邊取的垂線(xiàn)上的一點(diǎn)，測(cè)得，，則小河的寬度等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)正切函數(shù)可求小河寬PA的長(zhǎng)度．【詳解】解：∵PA⊥PB，PC=50米，∠PCA=35°，

∴小河寬PA=PCtan∠PCA=50tan35°(米)．

故選：A．【點(diǎn)睛】考查考查了解直角三角形的應(yīng)用，解直角三角形的一般過(guò)程是：①將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題（畫(huà)出平面圖形，構(gòu)造出直角三角形轉(zhuǎn)化為解直角三角形問(wèn)題）．②根據(jù)題目已知特點(diǎn)選用適當(dāng)銳角三角函數(shù)或邊角關(guān)系去解直角三角形，得到數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案，再轉(zhuǎn)化得到實(shí)際問(wèn)題的答案．6.如圖，△ABC的頂點(diǎn)都在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，則tan∠ACB的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意連接BD可知，進(jìn)而利用勾股定理得出BD和CD，最后即可得出tan∠ACB的值．【詳解】解：如圖，連接BD，根據(jù)圖象可知，則有，所以．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查網(wǎng)格與勾股定理以及銳角三角函數(shù)的定義，注意掌握在直角三角形中，一銳角的正切等于它的對(duì)邊與鄰邊的比值．7.在△ABC中，∠A，∠B都是銳角，tanA＝1，sinB＝，你認(rèn)為△ABC最確切的判斷是（）A.等腰三角形 B.等腰直角三角形C.直角三角形 D.銳角三角形【答案】B【解析】【詳解】試題分析：∵△ABC中，tanA=1，sinB=，∴∠A=45°，∠B=45°，∴△ABC是等腰直角三角形．故選B．考點(diǎn)：特殊角的三角函數(shù)值．8.下列計(jì)算錯(cuò)誤的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)特殊角三角函數(shù)值,可得答案.【詳解】解：A.sin-sin=，故A符合題意;B.,故B不符合題意;C.,故C不符合題意;D.,故D不符合題意;故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的定義及運(yùn)算，注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性.9.課外活動(dòng)小組測(cè)量學(xué)校旗桿的高度．如圖，當(dāng)太陽(yáng)光線(xiàn)與地面成30°角時(shí)，測(cè)得旗桿AB在地面上的影長(zhǎng)BC為24米，那么旗桿AB的高度約是A.12米 B.米 C.24米 D.米【答案】B【解析】【分析】直接利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出，即可求解．【詳解】解：依題意，tan∠ACB=，則，解得：AB=米，故選B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，正確選擇銳角三角函數(shù)關(guān)系是解題關(guān)鍵．10.如圖，點(diǎn)，，，在上，是的一條弦，則（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】連接CD，由圓周角定理可得出∠OBD=∠OCD，根據(jù)點(diǎn)D(0，3)，C(4，0)，得OD=3，OC=4，由勾股定理得出CD=5，再在直角三角形OCD中利用三角函數(shù)即可求出答案．【詳解】解：連接CD，∵D(0，3)，C(4，0)，∴OD=3，OC=4，∵∠COD=90°，∴，∵∠OBD=∠OCD，∴sin∠OBD=sin∠OCD=，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，勾股定理、以及銳角三角函數(shù)的定義；熟練掌握?qǐng)A周角定理是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．11.直線(xiàn)與軸正半軸的夾角為，那么下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】過(guò)點(diǎn)作軸于，由函數(shù)可得如果，則，根據(jù)勾股定理還可以求得，即可求得的三角函數(shù)值．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作軸于．直線(xiàn)與軸正半軸的夾角為，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理得，，，．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查銳角三角函數(shù)的概念：在直角三角形中，正弦等于對(duì)邊比斜邊；余弦等于鄰邊比斜邊；正切等于對(duì)邊比鄰邊．12.如圖，在菱形ABCD中，DE⊥AB，，BE＝2，則tan∠DBE的值是（）A. B.2 C. D.【答案】B【解析】【分析】在直角三角形ADE中，，求得AD，AE．再求得DE，即可得到tan∠DBE．【詳解】設(shè)菱形ABCD邊長(zhǎng)為t．∵BE＝2，∴AE＝t?2．∴，∴，∴t＝5．∴AE＝5?2＝3．∴DE＝＝＝4．∴tan∠DBE＝＝2．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形中三角函數(shù)的應(yīng)用，要熟練掌握邊角之間的關(guān)系．二、填空題（12分）13.若，那么___________．【答案】##60度【解析】【分析】由，即可求解．【詳解】解：，，故答案：．【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值求特殊角問(wèn)題，掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．14.中，若，，，則的面積為_(kāi)_______.【答案】【解析】【分析】過(guò)點(diǎn)A作BC邊上的高交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D，在中，利用三角函數(shù)求出AD長(zhǎng)，再根據(jù)三角形面積公式求解即可.【詳解】解：如圖，作于點(diǎn)D，則，在中，所以的面積為故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)，靈活添加輔助線(xiàn)利用三角函數(shù)求出三角形的高是解題的關(guān)鍵.15.已知銳角的正弦是一元二次方程的一個(gè)根，則_______．【答案】【解析】【分析】解方程得到，，然后根據(jù)正弦的定義確定的值．【詳解】解：，解得：，，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，正弦的定義，解題的關(guān)鍵是根據(jù)正弦值的范圍選擇合理的解．16.因?yàn)?，，所以，由此猜想：?dāng)為銳角時(shí)，有，由此可知：_______．【答案】##【解析】【分析】當(dāng)為銳角時(shí)有．把代入計(jì)算即可．【詳解】解：，．故答案：．【點(diǎn)睛】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，本題是信息題，按照一般地當(dāng)為銳角時(shí)有去答題．同時(shí)熟記特殊角的三角函數(shù)值也是解題的關(guān)鍵．三、解答題（72分）17.計(jì)算：【答案】【解析】【分析】把相應(yīng)的特殊角的三角函數(shù)值代入即可．【詳解】原式【點(diǎn)睛】本題主要考查了不同特殊角的三角函數(shù)值的混合運(yùn)算，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．18.在中，，，，的對(duì)邊分別為，，，已知，求的正弦、余弦和正切值．【答案】，，【解析】【分析】根據(jù)即可求得和，的關(guān)系，即可解題．【詳解】解：，或，∴，，．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形中三角函數(shù)的運(yùn)用，考查了直角三角形中三角函數(shù)的計(jì)算，勾股定理，本題中求得各邊的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．19.如圖，小明將一張矩形紙片ABCD沿CE折疊，點(diǎn)B恰好落在AD邊上的點(diǎn)F處，若AB∶BC＝4∶5.求sin∠DCF的值．【答案】sin∠DCF＝.【解析】【分析】設(shè)AB＝4x，BC＝5x，根據(jù)矩形的性質(zhì)可知FD＝3x，∠D＝90°，由折疊的性質(zhì)可知CB＝CF＝5x，根據(jù)直角三角形勾股定理可以求出DF的值，從而完成本題的解答.【詳解】∵AB∶BC＝4∶5，∴設(shè)AB＝4x，則BC＝5x.由題意，得FC＝BC＝5x，DC＝AB＝4x.由勾股定理，得DF＝3x.在Rt△CDF中，∠D＝90°，DF＝3x，F(xiàn)C＝5x，∴sin∠DCF＝【點(diǎn)睛】本題考查的是三角函數(shù)，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.20.超速行駛是引發(fā)交通事故的主要原因．上周末，小明和三位同學(xué)嘗試用自己所學(xué)的知識(shí)檢測(cè)車(chē)速，如圖，觀測(cè)點(diǎn)設(shè)在到縣城城南大道的距離為米的點(diǎn)處．這時(shí)，一輛出租車(chē)由西向東勻速行駛，測(cè)得此車(chē)從處行駛到處所用的時(shí)間為秒，且，．求、之間的路程；請(qǐng)判斷此出租車(chē)是否超過(guò)了城南大道每小時(shí)千米的限制速度？【答案】（米）；此車(chē)超過(guò)了每小時(shí)千米的限制速度.【解析】【分析】（1）利用三角函數(shù)在兩個(gè)直角三角形中分別計(jì)算出BO、AO的長(zhǎng)，即可算出AB的長(zhǎng)；（2）利用路程÷時(shí)間＝速度，計(jì)算出出租車(chē)速度，再把60千米/時(shí)化為米/秒，再進(jìn)行比較即可．【詳解】由題意知：米，，，在直角三角形中，∵，∴米，在直角三角形中，∵，∴米，∴（米）；∵從處行駛到處所用的時(shí)間為秒，∴速度為米/秒，∵千米/時(shí)米/秒，而，∴此車(chē)超過(guò)了每小時(shí)千米的限制速度.【點(diǎn)睛】此題是解直角三角形的應(yīng)用，主要考查了銳角三角函數(shù)，從復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題中整理出直角三角形并求解是解決此類(lèi)題目的關(guān)鍵．21.某船以每小時(shí)36海里的速度向正東方向航行，在點(diǎn)A測(cè)得某島C在北偏東60°方向上，航行半小時(shí)后到達(dá)點(diǎn)B，測(cè)得該島在北偏東30°方向上，已知該島周?chē)?6海里內(nèi)有暗礁．（1）試說(shuō)明點(diǎn)B是否在暗礁區(qū)域外？（2）若繼續(xù)向東航行有無(wú)觸礁危險(xiǎn)？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）BC=18>16，在暗礁區(qū)域外；（2）C到AB的距離為，小于16，繼續(xù)向東有危險(xiǎn)【解析】【分析】（1）作CD⊥AB于D點(diǎn)，可先求出CD的長(zhǎng)，再求出CB的長(zhǎng)即可；（2）根據(jù)（1）中求出的CD值，進(jìn)行比較即可．【詳解】解：（1）作CD⊥AB于D點(diǎn)，設(shè)BC為x海里，在Rt△BCD中∠CBD＝60°，∴BD＝x海里．CD＝x海里．在Rt△ACD中∠CAD＝30°tan∠CAD＝＝，∴＝．解得x＝18．∵18>16，∴點(diǎn)B是在暗礁區(qū)域外；（2）∵CD＝x＝9海里，∵9＜16，∴若繼續(xù)向東航行船有觸礁的危險(xiǎn)．【點(diǎn)睛】考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問(wèn)題，本題是將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直角三角形中的數(shù)學(xué)問(wèn)題，可通過(guò)作輔助線(xiàn)構(gòu)造直角三角形，再把條件和問(wèn)題轉(zhuǎn)化到這個(gè)直角三角形中，使問(wèn)題解決．22.如圖，從地面上的點(diǎn)看一山坡上的電線(xiàn)桿，測(cè)得電線(xiàn)桿頂端點(diǎn)的仰角是45°，向前走到達(dá)點(diǎn)，測(cè)得桿頂端點(diǎn)和桿底端點(diǎn)的仰角分別是60°和30°．（1）求證：；（2）求該電線(xiàn)桿的高度（結(jié)果精確到，備用數(shù)據(jù)：，）．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）9m．【解析】【分析】（1）證明即可得出；（2）設(shè)PE=xm，在直角△APE和直角△BPE中，根據(jù)三角函數(shù)利用x表示出AE和BE，根據(jù)AB=AE-BE即可列出方程求得x值，再在直角△BQE中利用三角函數(shù)求得QE的長(zhǎng)，則PQ的長(zhǎng)度即可求解．【詳解】（1）證明：如圖，延長(zhǎng)交直線(xiàn)于點(diǎn)，∴，∴，由題意知，，∴，．∴．∴．（2）解：設(shè)，則．在中，，∴，．在中，由題意知，∴．∵，∴．解得．答：電線(xiàn)桿的高度約為．【點(diǎn)睛】本題考查了仰角的定義，以及三角函數(shù)，正確求得PE的長(zhǎng)度是關(guān)鍵．23.小明同學(xué)在綜合實(shí)踐活動(dòng)中對(duì)本地的一座古塔進(jìn)行了測(cè)量．如圖，他在山坡坡腳P處測(cè)得古塔頂端M的仰角為，沿山坡向上走25m到達(dá)D處，測(cè)得古塔頂端M的仰角為．已知山坡坡度，即，請(qǐng)你幫助小明計(jì)算古塔的高度ME．（結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：）【答案】古塔的高度ME約為39.8m．【解析】【分析】作交EP的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)C，作于點(diǎn)F，作于點(diǎn)H，先在Rt△DCP中利用已知條件利用勾股定理求出DC和PC的長(zhǎng)，從而可得DH和EF的長(zhǎng)，設(shè)，分別在Rt△MPE和Rt△MFD中根據(jù)60°和30°的三角函數(shù)用y的代數(shù)式表示出PE和DF，再根據(jù)PE、DF和DH的關(guān)系列出方程，解方程后即可求出結(jié)果.【詳解】解：作交EP的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)C，作于點(diǎn)F，作于點(diǎn)H，則，，，設(shè)，∵，∴，由勾股定理得，，即，解得，，則，，∴，，設(shè)，則，在中，，則，在中，，則，∵，∴，解得，，∴.答：古塔的高度ME約為39.8m．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用和仰角、坡度等概念，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義、靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合和方程的思想是解題的關(guān)鍵.24.如圖，在△ABC中，O為AC上一點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心，OC為半徑作圓，與BC相切于點(diǎn)C，點(diǎn)A作AD⊥BO交BO的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D，且∠AOD=∠BAD．（1）求證：AB為⊙O的切線(xiàn)；（2）若BC=6，tan∠ABC=，求⊙O的半徑和AD的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）3，．【解析】【分析】（1）作OE⊥AB，先由∠AOD=∠BAD求得∠ABD=∠OAD，再由∠BCO=∠D=90°及∠BOC=∠AOD求得∠OBC=∠OAD=∠ABD，最后證△BOC≌△BOE得OE=OC，依據(jù)切線(xiàn)的判定可得；

（2）先求得∠EOA=∠ABC，在Rt△ABC中求得AC=8、AB=10，由切線(xiàn)長(zhǎng)定理知BE=BC=6、AE=4、OE=3，繼而得BO=3，再證△ABD∽△OBC，得，據(jù)此可得答案．【詳解】（1）過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AB于點(diǎn)E，∵AD⊥BO于點(diǎn)D，∴∠D=90°，∴∠BAD+∠ABD=90°，∠AOD+∠OAD=90°，∵∠AOD=∠BAD，∴∠ABD=∠OAD，又∵BC為⊙O的切線(xiàn)，∴AC⊥B