空間向量與立體幾何 全章復(fù)習與鞏固練習無答案

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1.空間向量的基本運算：

運算類型幾何方法運算性質(zhì)

向量的加法1平行四邊形法則：加法交換率：加法結(jié)合率：

2三角形法則：

向量的減法三角形法則：

向量的乘法是一個向量，滿足：>0時，與同向；<0時，與異向；=0時，=0∥

向量的數(shù)量積1．是一個數(shù)：；2．，或=0．

2.用向量方法討論垂直與平行

圖示向量證明方法

線線平行（//）//（分別為直線的方向向量）

線線垂直（）（分別為直線的方向向量）

線面平行（//），即（是直線的方向向量，是平面的法向量）．

線面垂直（）//（是直線的方向向量，是平面的法向量）

面面平行（//）（分別是平面，的法向量）

面面垂直（），即（，分別是平面，的法向量）

2.用向量方法求角

圖示向量證明方法

異面直線所成的角（，是直線上不同的兩點，，是直線上不同的兩點）

直線和平面的夾角（其中直線的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為，與的角為）

二面角（平面與的法向量分別為和，平面與的夾角為）

要點詮釋：

①當法向量與的方向分別指向二面角的內(nèi)側(cè)與外側(cè)時，二面角的大小等于，的夾角的大小。

②當法向量，的方向同時指向二面角的內(nèi)側(cè)或外側(cè)時，二面角的大小等于，的夾角的補角的大小。

3.用向量方法求距離

圖示向量證明方法

點到平面的距離（為平面的法向量）

與平面平行的直線到平面的距離（是平面的公共法向量）

兩平行平面間的距離（是平面，的一個公共法向量）

【典型例題】

類型一：空間向量的概念及運算

例1．如圖，在平行六面體中，為與的交點．若，，，則下列向量中與相等的向量是（）

A．B．

C．D．

【變式1】在四邊形中，＝，且·＝0，則四邊形是（）

A．矩形B．菱形C．直角梯形D．等腰梯形

類型二：空間向量的直角坐標運算

例2．已知空間三點，，．設(shè)，．

（1）求；

（2）求和的夾角的余弦值；

（2）若向量+與－互相垂直，求的值．

舉一反三：

【變式1】已知三點坐標分別為，求點坐標使得=

【變式2】已知向量，，若，⊥，則的值是（）

A．或B．或C．D．

【變式3】設(shè)A、B、C、D是空間不共面的四點，且滿足，，，則△BCD是()

A．鈍角三角形B．銳角三角形C．直角三角形D．不確定

類型三：共線和共面向量定理的應(yīng)用

例3．已知平行四邊形，從平面外一點引向量，，，．求證：

（1）四點共面；

（2）平面//平面．

舉一反三：

【變式1】已知，，且不共面．若，求的值．

【變式2】下列各組向量共面的是（）

A．=(1，0，-1)，=(1，1，0)，=(0，1，1)

B．=(1，0，0)，=(0，1，-1)，=(0，0，1)

C．=(1，1，1)，=(1，-1，0)，=(1，0，1)

D．=(1，1，0)，=(1，0，1)，=(0，1，1)

類型四：空間向量在立體幾何中的應(yīng)用

例4．正三角形ABC的邊長為4，CD是AB邊上的高，E，F(xiàn)分別是AC和BC邊的中點，現(xiàn)將△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B(如圖②所示)．在圖②中求平面ABD與平面EFD的夾角的余弦值．

舉一反三：

【變式1】四棱錐中，底面是矩形，平面，，．

以的中點為球心、為直徑的球面交于點，交于點．

（1）求證：平面⊥平面；

（2）求直線與平面所成的角的正弦值；

（3）求點到平面的距離．

【變式2】正方形的邊長為1，⊥平面，且，分別是的中點．

(1)求點到平面的距離；

(2)求直線到平面的距離．

例5．如圖，在棱長為1的正方體中，是側(cè)棱上的一點，。

（Ⅰ）試確定，使直線與平面所成角的正切值為；

（Ⅱ）在線段上是否存在一個定點，使得對任意的，在平面上的射影垂直于，并證明你的結(jié)論．

舉一反三：

【變式】如圖，在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，M，N分別是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中點，點P，Q分別在棱DD1，BB1上移動，且DP＝BQ＝λ(0＜λ＜2)

(Ⅰ)當λ＝1時，證明：直線BC1∥平面EFPQ；

(Ⅱ)是否存在λ，使面EFPQ與面PQMN所成的二面角為直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，說明理由．

【鞏固練習】

一、選擇題

1．平行六面體中，是的中點，則（）

A．B．C．D．

2．向量，與任何向量都不能構(gòu)成空間的一個基底，則()

A．與共線B．與同向C．與反向D．與共面

3．已知平面內(nèi)有一個點，的一個法向量為，則下列點中，

在平面內(nèi)的是（）

A．（1，-1，1）B．（1，3，）C．（1，－3，）D．（－1，3，）

4．已知點，則面的法向量可以是（）

A．（1，1，1）B．C．D．（-1，0，1）

5．已知三點不共線，對平面外的任一點，下列條件中能確定點與點一定共面的是（）

A．B．

C．D．

6．已知，，則的最小值為（）

A．B．C．D．

7.在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別為棱AA1、BB1的中點，G為棱A1B1上的一點，且A1G＝(0≤≤1)，則點G到平面D1EF的距離為()

A．B．

C．D．

二、填空題

8．已知＝(x，2，-4)，＝(-1，y，3)，＝(1，-2，z)，且，，兩兩垂直，則(x，y，z)＝______．

9．已知向量，的夾角為。

10．設(shè)，則的中點到點的距離＝________．

三、解答題

13.如圖，四面體中，，，，，

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求異面直線與所成角的余弦值；

（Ⅲ）求點到平面的距離.

14.如圖，正方形AMDE的邊長為2，B，C分別為AM，MD的中點，在五棱錐P－ABCDE中，F(xiàn)為棱PE的中點，平面ABF與棱PD，PC分別交于點G，H．

(1)求證：AB∥FG；

(2)若PA⊥底面ABCDE，且PA＝AE