【解析】2023-2024學(xué)年初中數(shù)學(xué)九年級上冊 25.1 銳角三角比的意義 同步分層訓(xùn)練培優(yōu)卷(滬教版五四制)

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2023-2024學(xué)年初中數(shù)學(xué)九年級上冊25.1銳角三角比的意義同步分層訓(xùn)練培優(yōu)卷(滬教版五四制)

一、選擇題

1．（2023九上·興化期末）在中，，，則的值為（）

A．B．C．D．2

【答案】A

【知識點】勾股定理；銳角三角函數(shù)的定義

【解析】【解答】解：如圖：

，

，

設(shè)，則，

，

.

故答案為：A.

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的概念可設(shè)AC=x，則BC=2x，由勾股定理可得AB=x，然后根據(jù)三角函數(shù)的概念進行解答.

2．（2023九上·徐州期末）如圖，在中，，，，則的正弦值為()

A．B．C．D．

【答案】C

【知識點】勾股定理；銳角三角函數(shù)的定義

【解析】【解答】解：在中，，，，

故答案為：C.

【分析】利用勾股定理求出AC的值，然后根據(jù)三角函數(shù)的概念進行計算.

3．（2023九上·新邵期末）如圖，A、D、B在同一條直線上，電線桿的高度為h，兩根拉線與相互垂直，，則拉線的長度為()

A．B．C．D．

【答案】A

【知識點】銳角三角函數(shù)的定義

【解析】【解答】解：，，

，

在中，，

，

故答案為：A.

【分析】由同角的余角相等得∠CAD=∠BCD，在Rt△BCD中，由余弦函數(shù)的定義，由即可得出答案.

4．（2023九上·西安期末）如圖，在的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1，的頂點都在這些小正方形的頂點上，則的值為（）

A．B．C．D．

【答案】A

【知識點】銳角三角函數(shù)的定義

【解析】【解答】解：如圖，根據(jù)網(wǎng)格可知：，

在直角中，.

故答案為：A.

【分析】取點D，使∠ADC=90°，然后在Rt△ADC中，根據(jù)三角函數(shù)的概念進行解答.

5．（2023九上·平桂期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，則sinB的值為（）

A．B．C．D．

【答案】D

【知識點】勾股定理；銳角三角函數(shù)的定義

【解析】【解答】解：如圖，根據(jù)勾股定理得，

AB===13，

∴sinB==.

故答案為：D.

【分析】首先利用勾股定理求出AB的值，然后根據(jù)三角函數(shù)的概念進行計算.

6．（2023九上·義烏期末）如圖，矩形中，，E為的中點，將沿翻折得到，延長交于G，，垂足為H，連接、.以下結(jié)論：①；②；③；④，其中正確的個數(shù)是（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】D

【知識點】矩形的性質(zhì)；翻折變換（折疊問題）；相似三角形的判定與性質(zhì)；銳角三角函數(shù)的定義

【解析】【解答】解：①∵，E為的中點，

∴，

∵將沿翻折得到，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

故①正確；

②∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

故②正確；

③過點E作于點M，如圖，

∵，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

設(shè)，

∵，

∴，

∴，

∴，即，

解得，，

∴，

∴，

故③正確；

④，

故④正確；

綜上共有4個正確.

故答案為：D.

【分析】由翻折得AD=DF，AE=EF=2，∠AED=∠DEF，故AE=EF=BE，由等邊對等角及三角形外角性質(zhì)得∠AED=∠EBF，從而根據(jù)同位角相等，兩直線平行得BF∥ED，從而即可判斷①；根據(jù)等角的余角相等得∠FBH=∠ADE，根據(jù)等角的同名三角函數(shù)值相等并結(jié)合正切函數(shù)的定義可得BH=3FH，據(jù)此可判斷②；過點E作EM⊥BF于點M，根據(jù)等腰三角形的三線合一得，根據(jù)等角的余角相等得∠FEM=∠EDF，從而根據(jù)有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似得△EFM∽△DEF，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例建立方程可求出FM，再判斷出△BHF∽△DFE，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例可求出FH、BH，接著判斷出△GFH∽△GEB，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例建立方程求出HG的長，最后根據(jù)正切三角函數(shù)的定義可求出tan∠GEB的值，據(jù)此可判斷③；直接利用三角形面積計算公式算出△BFG的面積，可判斷④.

7．（2022九上·渠縣期末）如圖，在正方形ABCD中，△BPC是等邊三角形，BP、CP的延長線分別交AD于點E、F，連結(jié)BD、DP，BD與CF相交于點H.給出下列結(jié)論，其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）

①△BDE∽△DPE；②；③；④tan∠DBE=.

A．4個B．3個C．2個D．1個

【答案】B

【知識點】等邊三角形的性質(zhì)；正方形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)；銳角三角函數(shù)的定義

【解析】【解答】解：∵△BPC是等邊三角形，

∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°，

在正方形ABCD中，

∵AB=BC=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=90°

∴∠ABE=∠DCF=30°，

∴∠CPD=∠CDP=75°，∴∠PDE=15°，

∵∠PBD=∠PBC-∠HBC=60°-45°=15°，

∴∠EBD=∠EDP，

∵∠DEP=∠DEB，

∴△BDE∽△DPE；故①正確；

∵PC=CD，∠PCD=30°，

∴∠PDC=75°，

∴∠FDP=15°，

∵∠DBA=45°，

∴∠PBD=15°，

∴∠FDP=∠PBD，

∵∠DFP=∠BPC=60°，

∴△DFP∽△BPH，

∴，故②錯誤；

∵∠PDH=∠PCD=30°，

∵∠DPH=∠DPC，

∴△DPH∽△CDP，

∴，

∴PD2=PHCD，

∵PB=CD，

∴PD2=PHPB，故③正確；

如圖，過P作PM⊥CD，PN⊥BC，

設(shè)正方形ABCD的邊長是4，△BPC為正三角形，

∴∠PBC=∠PCB=60°，PB=PC=BC=CD=4，

∴∠PCD=30°

∴CM=PN=PBsin60°=4×，PM=PCsin30°=2，

∵DE∥PM，

∴∠EDP=∠DPM，

∴∠DBE=∠DPM，

∴tan∠DBE=tan∠DPM=，故④正確；

故答案為：B.

【分析】①根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，得到∠ABE=∠DCF=30°，于是得到∠CPD＝∠CDP＝75°，證得∠EDP＝∠PBD＝15°，于是得到△BDE∽△DPE，故①正確．

②由于∠FDP＝∠PBD，∠DFP＝∠BPC＝60°，推出△DFP∽△BPH，得到，

故②錯誤；

③由于∠PDH＝∠PCD＝30°，∠DPH＝∠DPC，推出△DPH∽△CPD，得到，結(jié)合PB＝CP，等量代換得到PD2＝PHPB，故③正確；

④過P作PM⊥CD，PN⊥BC，設(shè)正方形ABCD的邊長是4，△BPC為正三角形，于是得到∠PBC＝∠PCB＝60°，PB＝PC＝BC＝CD＝4，求得∠PCD＝30°，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到CM=PN=PBsin60°=4×，PM＝PCsin30°＝2，由平行線的性質(zhì)得到∠EDP＝∠DPM，等量代換得到∠DBE＝∠DPM，于是求得tan∠DBE=tan∠DPM=故④正確．

8．（2022九上·新昌期中）如圖，在等邊三角形ABC中，點P，Q分別是AC，BC邊上的動點（都不與線段端點重合），且AP=CQ，AQ、BP相交于點O.下列四個結(jié)論：①若PC=2AP，則BO=6OP；②若BC=8，BP=7，則PC=5；③AP2=OPAQ；④若AB=3，則OC的最小值為，其中正確的是（）

A．①③④B．①②④C．②③④D．①②③

【答案】A

【知識點】等邊三角形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)；銳角三角函數(shù)的定義；三角形全等的判定（SAS）

【解析】【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，

∴AC=BC，

∵AP=CQ，

∴CP=BQ，

∵PC=2AP，

∴BQ=2CQ，

如圖，過P作PD∥BC交AQ于D，

∴△ADP∽△AQC，△POD∽△BOQ，

∴，，

∴CQ=3PD，

∴BQ=6PD，

∴BO=6OP；故①正確；

過B作BE⊥AC于E，

則CE=AC=4，

∵∠C=60°，

∴BE=4，

∴PE==1，

∴PC=4+1=5，或PC=4-1=3，故②錯誤；

在等邊△ABC中，AB=AC，∠BAC=∠C=60°，

在△ABP與△CAQ中，

，

∴△ABP≌△ACQ（SAS），

∴∠ABP=∠CAQ，PB=AQ，

∵∠APO=∠BPA，

∴△APO∽△BPA，

∴，

∴AP2=OPPB，

∴AP2=OPAQ.故③正確；

以AB為邊作等邊三角形NAB，連接CN，

∴∠NAB=∠NBA=60°，NA=NB，

∵∠PBA=∠QAC，

∴∠NAO+∠NBO=∠NAB+∠BAQ+∠NBA+∠PBA

=60°+∠BAQ+60°+∠QAC

=120°+∠BAC

=180°，

∴點N，A，O，B四點共圓，且圓心即為等邊三角形NAB的中心M，

設(shè)CM于圓M交點O′，CO′即為CO的最小值，

∵NA=NB，CA=CB，

∴CN垂直平分AB，

∴∠MAD=∠ACM=30°，

∴∠MAC=∠MAD+∠BAC=90°，

在Rt△MAC中，AC=3，

∴MA=ACtan∠ACM=，CM=2AM=2，

∴MO′=MA=，

即CO的最小值為，故④正確.

綜上：正確的有①③④.

故答案為：A.

【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AC=BC，由已知條件可知AP=CQ，則CP=BQ，結(jié)合PC=2AP可得BQ=2CQ，過P作PD∥BC交AQ于D，易證△ADP∽△AQC，△POD∽△BOQ，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得CQ=3PD，則BQ=6PD，據(jù)此判斷①；過B作BE⊥AC于E，則CE=AC=4，利用勾股定理可得PE，進而判斷②；利用SAS證明△ABP≌△ACQ，得到∠ABP=∠CAQ，PB=AQ，證明△APO∽△BPA，利用相似三角形的性質(zhì)可判斷③；以AB為邊作等邊△NAB，連接CN，則∠NAO+∠NBO=180°，故點N，A，O，B四點共圓，且圓心即為等邊△NAB的中心M，設(shè)CM于圓M交點O′，CO′即為CO的最小值，易知∠MAD=∠ACM=30°，∠MAC=90°，根據(jù)三角函數(shù)的概念可得MA、CM，據(jù)此判斷④.

二、填空題

9．（2023九上·長興期末）在中，，則的值為.

【答案】

【知識點】勾股定理；銳角三角函數(shù)的定義

【解析】【解答】解：根據(jù)題意畫出圖如圖所示：

，

，

，

，

故答案為：.

【分析】根據(jù)題意畫出圖形，由勾股定理求出BC的值，然后根據(jù)三角函數(shù)的概念進行計算.

10．（2023九上·嵊州期末）如圖，在由相同的菱形組成的網(wǎng)格中，，小菱形的頂點稱為格點，已知點A，B，C，D，E都在格點上，連接，，的值為.

【答案】

【知識點】等邊三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；菱形的性質(zhì)；銳角三角函數(shù)的定義

【解析】【解答】解：連接，如圖所示：

設(shè)菱形網(wǎng)格的邊長為a，則，

∵此圖為相同的菱形組成的網(wǎng)格，

∴四邊形為菱形，在上，

∴，，

∵，，

∴為等邊三角形，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴為等邊三角形，

∴，

∴，

根據(jù)勾股定理得：，

∴.

故答案為：.

【分析】連接AC，設(shè)菱形網(wǎng)格的邊長為a，則AB=BC=3a，AC⊥BD，AO=AC，易得△ABC、△AEF為等邊三角形，則AC=3a，AO=AC=a，AE=AF=a，EO=a，由勾股定理可得BO，然后根據(jù)三角函數(shù)的概念進行解答.

11．（2023九上·永嘉期末）如圖，在邊長為4的正方形ABCD內(nèi)有一動點P，且BP＝.連接CP，將線段PC繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PQ.連接CQ、DQ，則DQ+CQ的最小值為.

【答案】5

【知識點】正方形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)；銳角三角函數(shù)的定義；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

【解析】【解答】解：如圖，連接AC、AQ，

∵四邊形ABCD是正方形，PC繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PQ，

∴∠ACB＝∠PCQ＝45°，

∴∠BCP＝∠ACQ，cos∠ACB＝，cos∠PCQ＝，

∴∠ACB=∠PCO，

∴△BCP∽△ACQ，

∴

∵BP＝，

∴AQ＝2，

∴Q在以A為圓心，AQ為半徑的圓上，

在AD上取AE＝1，

∵，，∠QAE＝∠DAQ，

∴△QAE∽△DAQ，

∴即EQ＝QD，

∴DQ+CQ＝EQ+CQ≥CE，

連接CE，

∴，

∴DQ+CQ的最小值為5.

故答案為：5.

【分析】連接AC、AQ，根據(jù)正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及等腰直角三角形的性質(zhì)得∠ACB＝∠PCQ＝45°，推出∠BCP＝∠ACQ，進而根據(jù)等角的同名三角函數(shù)值相等得∠ACB=∠PCO，則可判斷出△BCP∽△ACQ，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求出AQ=2，故Q在以A為圓心，AQ為半徑的圓上，在AD上取AE＝1，再根據(jù)兩組邊對應(yīng)成比例，且夾角相等的兩個三角形相似得△QAE∽△DAQ，得EQ＝QD，所以DQ+CQ＝EQ+CQ≥CE，連接CE，用勾股定理算出CE，即可得出答案.

12．（2023九上·嵊州期末）如圖，矩形中，，，是射線上一動點，連結(jié)交對角線于點，當把分成一個三角形和一個四邊形時，這個三角形的面積恰好是面積的，則的長為.

【答案】或

【知識點】三角形的面積；矩形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)；銳角三角函數(shù)的定義

【解析】【解答】解：∵四邊形是矩形，，，

∴，，

∴，

∴，

①當在線段上時，

設(shè)，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵

∴，

∵，，

∴，

設(shè)中，邊上的高為，則，

∴

∵，

即當時，

∴

解得：（負值舍去）

∴；

②當在的延長線上時，如圖

設(shè)，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵

∴，

∵，，

∴

∴

∴

∵，

∴，

∴

∵的面積為，

∴四邊形的面積為，

即

即

解得：或（，不合題意舍去）

∴，

故答案為：或.

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)可得AB∥DC，BC=AD=3，利用勾股定理可得AC的值，根據(jù)三角函數(shù)的概念可得sin∠CAB、sin∠FAE的值，①當E在線段AB上時，設(shè)AE=nBE，則，證明△AEF∽△CDF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得AF，然后表示出AE，設(shè)△AFC中，AE邊上的高為h，然后根據(jù)三角形的面積公式可得S△AFC，求出S△ABC，結(jié)合題意可得S△AFC=S△ABC，據(jù)此可求出n的值，進而可得AE；②當E在AB的延長線上時，同理求解即可.

13．（2022九上·桐鄉(xiāng)市期中）如圖，半徑為6cm的⊙O中，C，D為直徑AB的三等分點，點E，F(xiàn)分別在AB兩側(cè)的半圓上，∠BCE=∠BDF=60°，連結(jié)AE，BF，則圖中兩個陰影部分的面積為cm2

【答案】

【知識點】軸對稱的性質(zhì)；平行線分線段成比例；銳角三角函數(shù)的定義

【解析】【解答】解：如圖作△DBF的軸對稱圖形△CAG，作AM⊥CG，ON⊥CE，

∵△DBF的軸對稱圖形△CAG，

由于C、D為直徑AB的三等分點，則H與點C重合

∴△ACG≌△BDF，

∴∠ACG=∠BDF=60°，

∵∠ECB=60°，

∴G、C、E三點共線，

∵AM⊥CG，ON⊥CE，

∴AM∥ON，

∴，

在Rt△ONC中，∠OCN=60°，

∴ON=sin∠OCNOC=OC，

∵OC=OA-AC=6-12÷3=2，

∴ON=，

同理：AM=，

∵ON⊥GE，

∴NE=GN=GE，

連接OE，

在Rt△ONE中，NE=，

∴GE=2NE=，

∴S△AGE=GEAM=，

∴圖中兩個陰影部分的面積和為.

故答案為：.

【分析】如圖作△DBF的軸對稱圖形△CAG，作AM⊥CG，ON⊥CE，判斷出G、C、E三點共線，根據(jù)同一平面內(nèi)垂直同一直線的兩條直線互相平行，可得AM∥ON，根據(jù)平行線分線段成比例定理得，由ON=sin∠OCNOC求出ON，同理求出AM，根據(jù)垂徑定理得NE=GN=GE，連接OE，利用勾股定理算出NE，從而即可得出GE，進而根據(jù)三角形面積計算公式即可得出答案.

三、解答題

14．（2022九上·潞城月考）已知：如圖，在△ABC中，CD⊥AB，sinA=，CD=4，AB=5，求AD的長和tanB的值.

【答案】解：

∵，

∴

∵，，

∴

根據(jù)勾股定理可得

∴

【知識點】勾股定理；銳角三角函數(shù)的定義

【解析】【分析】根據(jù)，，求出AC的長，利用勾股定理求出AD的長，再利用正切的定義可得。

15．（2022九上·楊浦期中）如圖，已知中，，，，邊的垂直平分線分別交、于點D、E．求線段的長．

【答案】解：過A作，垂足為點H．

在中，∵，，

∴，．

在中，∵，∴．

∴．

∵垂直平分，∴，．

在中，∵，∴．

∴．

【知識點】含30°角的直角三角形；勾股定理；銳角三角函數(shù)的定義

【解析】【分析】過點A作AH⊥BC于點H，根據(jù)題意求出AH和BH的長，再根據(jù)銳角三角函數(shù)定義求出CH的長，從而求出BC的長，再求出BE的長，利用CE=BC-BE，即可得出CE的長.

四、作圖題

16．（2023九上·懷寧期末）如圖，在平面直角坐標系中，已知△ABC三個頂點的坐標分別是A（2，2），B（4，0），C（4，﹣4）．

⑴請畫出△ABC向左平移6個單位長度后得到的△A1B1C1；

⑵以點O為位似中心，將△ABC縮小為原來的一半，得到△A2B2C2，請在y軸右側(cè)畫出△A2B2C2，并求出∠A2C2B2的正切值為▲．

【答案】解：⑴如圖，△A1B1C1為所求；

⑵如圖，△A2B2C2為所求；

【知識點】作圖﹣平移；作圖﹣位似變換；銳角三角函數(shù)的定義

【解析】【解答】解：（2）如圖，tan∠A2C2B2，

即∠A2C2B2的正切值為；

故答案為．

【分析】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)找出點A、B、C的對應(yīng)點，再連接即可；

（2）根據(jù)位似圖形的性質(zhì)作圖，再利用正切的定義求解即可。

五、綜合題

17．（2022九上·成都月考）在中，，，點，分別是，邊上的動點，連接，作關(guān)于對稱的圖形.

（1）如圖1，當點恰好與點重合，求的長；

（2）如圖2，是邊的中點，當為等腰三角形時，求的長；

（3）如圖3，是邊的中點，連接，是的中點，連接，在點的運動過程中，求線段長度的最大值.

【答案】（1）解：由題意可得，

∵，

∴，

∵，

∴.

（2）解：∵與關(guān)于對稱，

∴求為等腰三角形時的長，即求為等腰三角形時的長，

∵是邊的中點，

∴.

①當時，

；

②當時，

如圖，作交于M，

∵，，

∴是的垂直平分線，

∵，，

∴，

∴；

③當時，

如圖，作交于N，

∵，，

∴是的垂直平分線，

∴，

∵，

∴；

∴的長為5或8或.

（3）解：如圖，連接，過點C作于H，取的中點O，連接，過點O作于G，

∵，，

∴，，

∵是邊的中點，

∴，

∴，

∵點F是的中點，點O是的中點，

∴，

∴點F在以點O為圓心，為半徑的圓上運動，

∴當點F在的延長線上時，有最大值，

∵，點O是的中點，

∴，，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

在中，由勾股定理可得：，

∴的最大值為.

【知識點】線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)；銳角三角函數(shù)的定義；三角形的中位線定理

【解析】【分析】（1）由題意可得AE=CE，∠AED=90°，然后根據(jù)∠A的正切函數(shù)的概念可得DE的值；

（2）由題意可得求△A′DE為等腰三角形時AD的長，即求△ADE為等腰三角形時AD的長，根據(jù)中點的概念可得AE=5，①當AE=AD時，根據(jù)AE的值可得AD的值；②當AE=ED時，作EM⊥AD交AD于M，則EM為AD的垂直平分線，根據(jù)∠A正切函數(shù)的概念可得AM的值，進而可得AD；③當AD=ED時，作DN⊥AE交AE于N，同理可得AD的值；

（3）連接BE，過點C作CH⊥AB于H，取BE的中點O，連接OF、OH，過點O作OG⊥CH于G，根據(jù)三角函數(shù)的概念可得AH、HC，易得OF為△A′BE的中位線，則OF=A′E，由題意可得當點F在CO的延長線上時，CF有最大值，證明△ACH∽△OHG，利用相似三角形的性質(zhì)可得HG、GO，然后求出CG，利用勾股定理可得CO，據(jù)此解答.

18．（2022九上·義烏月考）【性質(zhì)探究】

如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，AE平分∠BAC，交BC于點E.作DF⊥AE于點H，分別交AB，AC于點F，G.

（1）判斷△AFG的形狀并說明理由.

（2）求證：BF=2OG.

（3）【遷移應(yīng)用】

記△DGO的面積為S1，△DBF的面積為S2，當時，求的值.

（4）【拓展延伸】

若DF交射線AB于點F，【性質(zhì)探究】中的其余條件不變，連結(jié)EF，當△BEF的面積為矩形ABCD面積的時，請直接寫出tan∠BAE的值.

【答案】（1）解：如圖1中，△AFG是等腰三角形.

理由：∵AE平分∠BAC，

∴∠1=∠2，

∵DF⊥AE，

∴∠AHF=∠AHG=90°，

∵AH=AH，

∴△AHF≌△AHG（ASA），

∴AF=AG，

∴△AFG是等腰三角形.

（2）證明：如圖2中，過點O作OL∥AB交DF于L，則∠AFG=∠OLG.

∵AF=AG，

∴∠AFG=∠AGF，

∵∠AGF=∠OGL，

∴∠OGL=∠OLG，

∴OG=OL，

∵OL∥AB，

∴△DLO∽△DFB，

∴，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴BD=2OD，

∴BF=2OL，

∴BF=2OG.

（3）解：如圖3中，過點D作DK⊥AC于K，則∠DKA=∠CDA=90°，

∵∠DAK=∠CAD，

∴△ADK∽△ACD，

∴，

∵S1=OGDK，S2=BFAD，

又∵BF=2OG，，

∴，設(shè)CD=2x，AC=3x，則AD=，

∴.

（4）解：或

【知識點】等腰三角形的判定；矩形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)；銳角三角函數(shù)的定義；三角形全等的判定（ASA）

【解析】【解答】（4）解：設(shè)OG=a，AG=k.

①如圖4中，連接EF，當點F在線段AB上時，點G在OA上.

∵AF=AG，BF=2OG，

∴AF=AG=k，BF=2a，

∴AB=k+2a，AC=2（k+a），

∴AD2=AC2﹣CD2=[2（k+a）]2﹣（k+2a）2=3k2+4ka，

∵∠ABE=∠DAF=90°，∠BAE=∠ADF，

∴△ABE∽△DAF，

∴，

∴，

∴，

由題意：=AD（k+2a），

∴AD2=10ka，

即10ka=3k2+4ka，

∴k=2a，

∴AD=，

∴BE==，AB=4a，

∴tan∠BAE=.

②如圖5中，當點F在AB的延長線上時，點G在線段OC上，連接EF.

∵AF=AG，BF=2OG，

∴AF=AG=k，BF=2a，

∴AB=k﹣2a，AC=2（k﹣a），

∴AD2=AC2﹣CD2=[2（k﹣a）]2﹣（k﹣2a）2=3k2﹣4ka，

∵∠ABE=∠DAF=90°，∠BAE=∠ADF，

∴△ABE∽△DAF，

∴，

∴，

∴，

由題意：=AD（k﹣2a），

∴AD2=10ka，

即10ka=3k2﹣4ka，

∴k=，

∴AD=，

∴，AB=，

∴tan∠BAE=，

綜上所述，tan∠BAE的值為或.

【分析】（1）如圖1中，△AFG是等腰三角形，利用ASA判斷出△AHF≌△AHG，利用全等三角形的性質(zhì)證明即可；

（2）如圖2，過O作OL∥AB交DF于L，則∠AFG＝∠OLG，先證明OG＝OL，再證△DLO∽△DFB，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例得，結(jié)合矩形的性質(zhì)證BF＝2OL即可解決問題；

（3）如圖3中，過點D作DK⊥AC于K，則∠DKA＝∠CDA＝90°，首先證△ADK∽△ACD，利用相似三角形的性質(zhì)解決問題即可；

（4）設(shè)OG＝a，AG＝k，分兩種情形：①如圖4中，連接EF，當點F在線段AB上時，點G在OA上，②如圖5中，當點F在AB的延長線上時，點G在線段OC上，連接EF，分別求解即可解決問題．

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2023-2024學(xué)年初中數(shù)學(xué)九年級上冊25.1銳角三角比的意義同步分層訓(xùn)練培優(yōu)卷(滬教版五四制)

一、選擇題

1．（2023九上·興化期末）在中，，，則的值為（）

A．B．C．D．2

2．（2023九上·徐州期末）如圖，在中，，，，則的正弦值為()

A．B．C．D．

3．（2023九上·新邵期末）如圖，A、D、B在同一條直線上，電線桿的高度為h，兩根拉線與相互垂直，，則拉線的長度為()

A．B．C．D．

4．（2023九上·西安期末）如圖，在的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1，的頂點都在這些小正方形的頂點上，則的值為（）

A．B．C．D．

5．（2023九上·平桂期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，則sinB的值為（）

A．B．C．D．

6．（2023九上·義烏期末）如圖，矩形中，，E為的中點，將沿翻折得到，延長交于G，，垂足為H，連接、.以下結(jié)論：①；②；③；④，其中正確的個數(shù)是（）

A．1B．2C．3D．4

7．（2022九上·渠縣期末）如圖，在正方形ABCD中，△BPC是等邊三角形，BP、CP的延長線分別交AD于點E、F，連結(jié)BD、DP，BD與CF相交于點H.給出下列結(jié)論，其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）

①△BDE∽△DPE；②；③；④tan∠DBE=.

A．4個B．3個C．2個D．1個

8．（2022九上·新昌期中）如圖，在等邊三角形ABC中，點P，Q分別是AC，BC邊上的動點（都不與線段端點重合），且AP=CQ，AQ、BP相交于點O.下列四個結(jié)論：①若PC=2AP，則BO=6OP；②若BC=8，BP=7，則PC=5；③AP2=OPAQ；④若AB=3，則OC的最小值為，其中正確的是（）

A．①③④B．①②④C．②③④D．①②③

二、填空題

9．（2023九上·長興期末）在中，，則的值為.

10．（2023九上·嵊州期末）如圖，在由相同的菱形組成的網(wǎng)格中，，小菱形的頂點稱為格點，已知點A，B，C，D，E都在格點上，連接，，的值為.

11．（2023九上·永嘉期末）如圖，在邊長為4的正方形ABCD內(nèi)有一動點P，且BP＝.連接CP，將線段PC繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PQ.連接CQ、DQ，則DQ+CQ的最小值為.

12．（2023九上·嵊州期末）如圖，矩形中，，，是射線上一動點，連結(jié)交對角線于點，當把分成一個三角形和一個四邊形時，這個三角形的面積恰好是面積的，則的長為.

13．（2022九上·桐鄉(xiāng)市期中）如圖，半徑為6cm的⊙O中，C，D為直徑AB的三等分點，點E，F(xiàn)分別在AB兩側(cè)的半圓上，∠BCE=∠BDF=60°，連結(jié)AE，BF，則圖中兩個陰影部分的面積為cm2

三、解答題

14．（2022九上·潞城月考）已知：如圖，在△ABC中，CD⊥AB，sinA=，CD=4，AB=5，求AD的長和tanB的值.

15．（2022九上·楊浦期中）如圖，已知中，，，，邊的垂直平分線分別交、于點D、E．求線段的長．

四、作圖題

16．（2023九上·懷寧期末）如圖，在平面直角坐標系中，已知△ABC三個頂點的坐標分別是A（2，2），B（4，0），C（4，﹣4）．

⑴請畫出△ABC向左平移6個單位長度后得到的△A1B1C1；

⑵以點O為位似中心，將△ABC縮小為原來的一半，得到△A2B2C2，請在y軸右側(cè)畫出△A2B2C2，并求出∠A2C2B2的正切值為▲．

五、綜合題

17．（2022九上·成都月考）在中，，，點，分別是，邊上的動點，連接，作關(guān)于對稱的圖形.

（1）如圖1，當點恰好與點重合，求的長；

（2）如圖2，是邊的中點，當為等腰三角形時，求的長；

（3）如圖3，是邊的中點，連接，是的中點，連接，在點的運動過程中，求線段長度的最大值.

18．（2022九上·義烏月考）【性質(zhì)探究】

如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，AE平分∠BAC，交BC于點E.作DF⊥AE于點H，分別交AB，AC于點F，G.

（1）判斷△AFG的形狀并說明理由.

（2）求證：BF=2OG.

（3）【遷移應(yīng)用】

記△DGO的面積為S1，△DBF的面積為S2，當時，求的值.

（4）【拓展延伸】

若DF交射線AB于點F，【性質(zhì)探究】中的其余條件不變，連結(jié)EF，當△BEF的面積為矩形ABCD面積的時，請直接寫出tan∠BAE的值.

答案解析部分

1．【答案】A

【知識點】勾股定理；銳角三角函數(shù)的定義

【解析】【解答】解：如圖：

，

，

設(shè)，則，

，

.

故答案為：A.

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的概念可設(shè)AC=x，則BC=2x，由勾股定理可得AB=x，然后根據(jù)三角函數(shù)的概念進行解答.

2．【答案】C

【知識點】勾股定理；銳角三角函數(shù)的定義

【解析】【解答】解：在中，，，，

故答案為：C.

【分析】利用勾股定理求出AC的值，然后根據(jù)三角函數(shù)的概念進行計算.

3．【答案】A

【知識點】銳角三角函數(shù)的定義

【解析】【解答】解：，，

，

在中，，

，

故答案為：A.

【分析】由同角的余角相等得∠CAD=∠BCD，在Rt△BCD中，由余弦函數(shù)的定義，由即可得出答案.

4．【答案】A

【知識點】銳角三角函數(shù)的定義

【解析】【解答】解：如圖，根據(jù)網(wǎng)格可知：，

在直角中，.

故答案為：A.

【分析】取點D，使∠ADC=90°，然后在Rt△ADC中，根據(jù)三角函數(shù)的概念進行解答.

5．【答案】D

【知識點】勾股定理；銳角三角函數(shù)的定義

【解析】【解答】解：如圖，根據(jù)勾股定理得，

AB===13，

∴sinB==.

故答案為：D.

【分析】首先利用勾股定理求出AB的值，然后根據(jù)三角函數(shù)的概念進行計算.

6．【答案】D

【知識點】矩形的性質(zhì)；翻折變換（折疊問題）；相似三角形的判定與性質(zhì)；銳角三角函數(shù)的定義

【解析】【解答】解：①∵，E為的中點，

∴，

∵將沿翻折得到，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

故①正確；

②∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

故②正確；

③過點E作于點M，如圖，

∵，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

設(shè)，

∵，

∴，

∴，

∴，即，

解得，，

∴，

∴，

故③正確；

④，

故④正確；

綜上共有4個正確.

故答案為：D.

【分析】由翻折得AD=DF，AE=EF=2，∠AED=∠DEF，故AE=EF=BE，由等邊對等角及三角形外角性質(zhì)得∠AED=∠EBF，從而根據(jù)同位角相等，兩直線平行得BF∥ED，從而即可判斷①；根據(jù)等角的余角相等得∠FBH=∠ADE，根據(jù)等角的同名三角函數(shù)值相等并結(jié)合正切函數(shù)的定義可得BH=3FH，據(jù)此可判斷②；過點E作EM⊥BF于點M，根據(jù)等腰三角形的三線合一得，根據(jù)等角的余角相等得∠FEM=∠EDF，從而根據(jù)有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似得△EFM∽△DEF，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例建立方程可求出FM，再判斷出△BHF∽△DFE，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例可求出FH、BH，接著判斷出△GFH∽△GEB，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例建立方程求出HG的長，最后根據(jù)正切三角函數(shù)的定義可求出tan∠GEB的值，據(jù)此可判斷③；直接利用三角形面積計算公式算出△BFG的面積，可判斷④.

7．【答案】B

【知識點】等邊三角形的性質(zhì)；正方形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)；銳角三角函數(shù)的定義

【解析】【解答】解：∵△BPC是等邊三角形，

∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°，

在正方形ABCD中，

∵AB=BC=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=90°

∴∠ABE=∠DCF=30°，

∴∠CPD=∠CDP=75°，∴∠PDE=15°，

∵∠PBD=∠PBC-∠HBC=60°-45°=15°，

∴∠EBD=∠EDP，

∵∠DEP=∠DEB，

∴△BDE∽△DPE；故①正確；

∵PC=CD，∠PCD=30°，

∴∠PDC=75°，

∴∠FDP=15°，

∵∠DBA=45°，

∴∠PBD=15°，

∴∠FDP=∠PBD，

∵∠DFP=∠BPC=60°，

∴△DFP∽△BPH，

∴，故②錯誤；

∵∠PDH=∠PCD=30°，

∵∠DPH=∠DPC，

∴△DPH∽△CDP，

∴，

∴PD2=PHCD，

∵PB=CD，

∴PD2=PHPB，故③正確；

如圖，過P作PM⊥CD，PN⊥BC，

設(shè)正方形ABCD的邊長是4，△BPC為正三角形，

∴∠PBC=∠PCB=60°，PB=PC=BC=CD=4，

∴∠PCD=30°

∴CM=PN=PBsin60°=4×，PM=PCsin30°=2，

∵DE∥PM，

∴∠EDP=∠DPM，

∴∠DBE=∠DPM，

∴tan∠DBE=tan∠DPM=，故④正確；

故答案為：B.

【分析】①根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，得到∠ABE=∠DCF=30°，于是得到∠CPD＝∠CDP＝75°，證得∠EDP＝∠PBD＝15°，于是得到△BDE∽△DPE，故①正確．

②由于∠FDP＝∠PBD，∠DFP＝∠BPC＝60°，推出△DFP∽△BPH，得到，

故②錯誤；

③由于∠PDH＝∠PCD＝30°，∠DPH＝∠DPC，推出△DPH∽△CPD，得到，結(jié)合PB＝CP，等量代換得到PD2＝PHPB，故③正確；

④過P作PM⊥CD，PN⊥BC，設(shè)正方形ABCD的邊長是4，△BPC為正三角形，于是得到∠PBC＝∠PCB＝60°，PB＝PC＝BC＝CD＝4，求得∠PCD＝30°，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到CM=PN=PBsin60°=4×，PM＝PCsin30°＝2，由平行線的性質(zhì)得到∠EDP＝∠DPM，等量代換得到∠DBE＝∠DPM，于是求得tan∠DBE=tan∠DPM=故④正確．

8．【答案】A

【知識點】等邊三角形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)；銳角三角函數(shù)的定義；三角形全等的判定（SAS）

【解析】【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，

∴AC=BC，

∵AP=CQ，

∴CP=BQ，

∵PC=2AP，

∴BQ=2CQ，

如圖，過P作PD∥BC交AQ于D，

∴△ADP∽△AQC，△POD∽△BOQ，

∴，，

∴CQ=3PD，

∴BQ=6PD，

∴BO=6OP；故①正確；

過B作BE⊥AC于E，

則CE=AC=4，

∵∠C=60°，

∴BE=4，

∴PE==1，

∴PC=4+1=5，或PC=4-1=3，故②錯誤；

在等邊△ABC中，AB=AC，∠BAC=∠C=60°，

在△ABP與△CAQ中，

，

∴△ABP≌△ACQ（SAS），

∴∠ABP=∠CAQ，PB=AQ，

∵∠APO=∠BPA，

∴△APO∽△BPA，

∴，

∴AP2=OPPB，

∴AP2=OPAQ.故③正確；

以AB為邊作等邊三角形NAB，連接CN，

∴∠NAB=∠NBA=60°，NA=NB，

∵∠PBA=∠QAC，

∴∠NAO+∠NBO=∠NAB+∠BAQ+∠NBA+∠PBA

=60°+∠BAQ+60°+∠QAC

=120°+∠BAC

=180°，

∴點N，A，O，B四點共圓，且圓心即為等邊三角形NAB的中心M，

設(shè)CM于圓M交點O′，CO′即為CO的最小值，

∵NA=NB，CA=CB，

∴CN垂直平分AB，

∴∠MAD=∠ACM=30°，

∴∠MAC=∠MAD+∠BAC=90°，

在Rt△MAC中，AC=3，

∴MA=ACtan∠ACM=，CM=2AM=2，

∴MO′=MA=，

即CO的最小值為，故④正確.

綜上：正確的有①③④.

故答案為：A.

【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AC=BC，由已知條件可知AP=CQ，則CP=BQ，結(jié)合PC=2AP可得BQ=2CQ，過P作PD∥BC交AQ于D，易證△ADP∽△AQC，△POD∽△BOQ，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得CQ=3PD，則BQ=6PD，據(jù)此判斷①；過B作BE⊥AC于E，則CE=AC=4，利用勾股定理可得PE，進而判斷②；利用SAS證明△ABP≌△ACQ，得到∠ABP=∠CAQ，PB=AQ，證明△APO∽△BPA，利用相似三角形的性質(zhì)可判斷③；以AB為邊作等邊△NAB，連接CN，則∠NAO+∠NBO=180°，故點N，A，O，B四點共圓，且圓心即為等邊△NAB的中心M，設(shè)CM于圓M交點O′，CO′即為CO的最小值，易知∠MAD=∠ACM=30°，∠MAC=90°，根據(jù)三角函數(shù)的概念可得MA、CM，據(jù)此判斷④.

9．【答案】

【知識點】勾股定理；銳角三角函數(shù)的定義

【解析】【解答】解：根據(jù)題意畫出圖如圖所示：

，

，

，

，

故答案為：.

【分析】根據(jù)題意畫出圖形，由勾股定理求出BC的值，然后根據(jù)三角函數(shù)的概念進行計算.

10．【答案】

【知識點】等邊三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；菱形的性質(zhì)；銳角三角函數(shù)的定義

【解析】【解答】解：連接，如圖所示：

設(shè)菱形網(wǎng)格的邊長為a，則，

∵此圖為相同的菱形組成的網(wǎng)格，

∴四邊形為菱形，在上，

∴，，

∵，，

∴為等邊三角形，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴為等邊三角形，

∴，

∴，

根據(jù)勾股定理得：，

∴.

故答案為：.

【分析】連接AC，設(shè)菱形網(wǎng)格的邊長為a，則AB=BC=3a，AC⊥BD，AO=AC，易得△ABC、△AEF為等邊三角形，則AC=3a，AO=AC=a，AE=AF=a，EO=a，由勾股定理可得BO，然后根據(jù)三角函數(shù)的概念進行解答.

11．【答案】5

【知識點】正方形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)；銳角三角函數(shù)的定義；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

【解析】【解答】解：如圖，連接AC、AQ，

∵四邊形ABCD是正方形，PC繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PQ，

∴∠ACB＝∠PCQ＝45°，

∴∠BCP＝∠ACQ，cos∠ACB＝，cos∠PCQ＝，

∴∠ACB=∠PCO，

∴△BCP∽△ACQ，

∴

∵BP＝，

∴AQ＝2，

∴Q在以A為圓心，AQ為半徑的圓上，

在AD上取AE＝1，

∵，，∠QAE＝∠DAQ，

∴△QAE∽△DAQ，

∴即EQ＝QD，

∴DQ+CQ＝EQ+CQ≥CE，

連接CE，

∴，

∴DQ+CQ的最小值為5.

故答案為：5.

【分析】連接AC、AQ，根據(jù)正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及等腰直角三角形的性質(zhì)得∠ACB＝∠PCQ＝45°，推出∠BCP＝∠ACQ，進而根據(jù)等角的同名三角函數(shù)值相等得∠ACB=∠PCO，則可判斷出△BCP∽△ACQ，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求出AQ=2，故Q在以A為圓心，AQ為半徑的圓上，在AD上取AE＝1，再根據(jù)兩組邊對應(yīng)成比例，且夾角相等的兩個三角形相似得△QAE∽△DAQ，得EQ＝QD，所以DQ+CQ＝EQ+CQ≥CE，連接CE，用勾股定理算出CE，即可得出答案.

12．【答案】或

【知識點】三角形的面積；矩形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)；銳角三角函數(shù)的定義

【解析】【解答】解：∵四邊形是矩形，，，

∴，，

∴，

∴，

①當在線段上時，

設(shè)，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵

∴，

∵，，

∴，

設(shè)中，邊上的高為，則，

∴

∵，

即當時，

∴

解得：（負值舍去）

∴；

②當在的延長線上時，如圖

設(shè)，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵

∴，

∵，，

∴

∴

∴

∵，

∴，

∴

∵的面積為，

∴四邊形的面積為，

即

即

解得：或（，不合題意舍去）

∴，

故答案為：或.

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)可得AB∥DC，BC=AD=3，利用勾股定理可得AC的值，根據(jù)三角函數(shù)的概念可得sin∠CAB、sin∠FAE的值，①當E在線段AB上時，設(shè)AE=nBE，則，證明△AEF∽△CDF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得AF，然后表示出AE，設(shè)△AFC中，AE邊上的高為h，然后根據(jù)三角形的面積公式可得S△AFC，求出S△ABC，結(jié)合題意可得S△AFC=S△ABC，據(jù)此可求出n的值，進而可得AE；②當E在AB的延長線上時，同理求解即可.

13．【答案】

【知識點】軸對稱的性質(zhì)；平行線分線段成比例；銳角三角函數(shù)的定義

【解析】【解答】解：如圖作△DBF的軸對稱圖形△CAG，作AM⊥CG，ON⊥CE，

∵△DBF的軸對稱圖形△CAG，

由于C、D為直徑AB的三等分點，則H與點C重合

∴△ACG≌△BDF，

∴∠ACG=∠BDF=60°，

∵∠ECB=60°，

∴G、C、E三點共線，

∵AM⊥CG，ON⊥CE，

∴AM∥ON，

∴，

在Rt△ONC中，∠OCN=60°，

∴ON=sin∠OCNOC=OC，

∵OC=OA-AC=6-12÷3=2，

∴ON=，

同理：AM=，

∵ON⊥GE，

∴NE=GN=GE，

連接OE，

在Rt△ONE中，NE=，

∴GE=2NE=，

∴S△AGE=GEAM=，

∴圖中兩個陰影部分的面積和為.

故答案為：.

【分析】如圖作△DBF的軸對稱圖形△CAG，作AM⊥CG，ON⊥CE，判斷出G、C、E三點共線，根據(jù)同一平面內(nèi)垂直同一直線的兩條直線互相平行，可得AM∥ON，根據(jù)平行線分線段成比例定理得，由ON=sin∠OCNOC求出ON，同理求出AM，根據(jù)垂徑定理得NE=GN=GE，連接OE，利用勾股定理算出NE，從而即可得出GE，進而根據(jù)三角形面積計算公式即可得出答案.

14．【答案】解：

∵，

∴

∵，，

∴

根據(jù)勾股定理可得

∴

【知識點】勾股定理；銳角三角函數(shù)的定義

【解析】【分析】根據(jù)，，求出AC的長，利用勾股定理求出AD的長，再利用正切的定義可得。

15．【答案】解：過A作，垂足為點H．

在中，∵，，

∴，．

在中，∵，∴．

∴．

∵垂直平分，∴，．

在中，∵，∴．

∴．

【知識點】含30°角的直角三角形；勾股定理；銳角三角函數(shù)的定義

【解析】【分析】過點A作AH⊥BC于點H，根據(jù)題意求出AH和BH的長，再根據(jù)銳角三角函數(shù)定義求出CH的長，從而求出BC的長，再求出BE的長，利用CE=BC-BE，即可得出CE的長.

16．【答案】解：⑴如圖，△A1B1C1為所求；

⑵如圖，△A2B2C2為所求；

【知識點】作圖﹣平移；作圖﹣位似變換；銳角三角函數(shù)的定義

【解析】【解答】解：（2）如圖，tan∠A2C2B2，

即∠A2C2B2的正切值為；

故答案為．

【分析】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)找出點A、B、C的對應(yīng)點，再連接即可；

（2）根據(jù)位似圖形的性質(zhì)作圖，再利用正切的定義求解即可。

17．【答案】（1）解：由題意可得，

∵，

∴，

∵，

∴.

（2）解：∵與關(guān)于對稱，

∴求為等腰三角形時的長，即求為等腰三角形時的長，

∵是邊的中點，

∴.

①當時，

；

②當時，

如圖，作交于M，

∵，，

∴是的垂直平分線，

∵，，

∴，

∴；

③當時，

如圖，作交于N，

∵，，

∴是的垂直平分線，

∴，

∵，

∴；