(完整版)橢圓基礎(chǔ)練習(xí)題

(完整版)橢圓基礎(chǔ)練習(xí)題橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓是平面上到兩個(gè)定點(diǎn)F1和F2的距離之和等于常數(shù)2a（a>0）的點(diǎn)P的軌跡。F1和F2稱為橢圓的焦點(diǎn)，線段F1F2的長度為2c（c<a），稱為橢圓的長軸，線段AB的長度為2b（b<a），稱為橢圓的短軸。橢圓的離心率為e=c/a，離心率小于1。橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1其中，a和b分別為橢圓的長軸和短軸的一半。選擇題1.若F1（3，0），F(xiàn)2（-3，0），點(diǎn)P到F1，F(xiàn)2距離之和為10，則P點(diǎn)的軌跡方程是（）A.(x^2/16)+(y^2/9)=1B.(x^2/9)+(y^2/16)=1C.(x^2/25)+(y^2/16)=1答案：B2.一動圓與圓x^2+y^2+6x+5=0及圓x^2+y^2-6x-91=0都內(nèi)切，則動圓圓心的軌跡是（）A.橢圓B.雙曲線C.拋物線D.圓答案：A3.橢圓上一點(diǎn)P到一個(gè)焦點(diǎn)的距離為5，則P到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為（）A.4B.5C.6D.1答案：B4.已知坐標(biāo)平面上的兩點(diǎn)A（-1，0）和B（1，0），動點(diǎn)P到A、B兩點(diǎn)距離之和為常數(shù)2，則動點(diǎn)P的軌跡是（）A.橢圓B.雙曲線C.拋物線D.線段答案：D5.橢圓上一動點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)距離之和為（）A.1B.8C.6D.不確定答案：C6.已知兩點(diǎn)F1（-1，0）、F2（1，0），且|F1F2|是|PF1|與|PF2|的等差中項(xiàng)，則動點(diǎn)P的軌跡方程是（）A.(x^2/4)+(y^2/3)=1B.(x^2/3)+(y^2/4)=1C.(x^2/5)+(y^2/4)=1D.(x^2/4)+(y^2/5)=1答案：A7.已知F1、F2是橢圓(x^2/16)+(y^2/9)=1的兩焦點(diǎn)，經(jīng)點(diǎn)F2的直線交橢圓于點(diǎn)A、B，若|AB|=5，則|AF1|+|BF1|等于（）A.16B.11C.8D.3答案：B8.設(shè)集合A={1，2，3，4，5}，a，b∈A，則方程(x-a)^2/16+(y-b)^2/9=1表示焦點(diǎn)位于y軸上的橢圓的個(gè)數(shù)是（）A.5個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)答案：B9.方程(x-1)^2/25+(y+2)^2/16=10，化簡的結(jié)果是（）A.(x-1)^2/2.5^2+(y+2)^2/2^2=1B.(x-1)^2/5^2+(y+2)^2/4^2=1C.(x-1)^2/10^2+(y+2)^2/8^2=1D.(x-1)^2/2^2+(y+2)^2/2.5^2=1答案：B10.平面內(nèi)有一長度為2的線段AB和一動點(diǎn)P，若滿足|PA|+|PB|=8，則|PA|的取值范圍是（）A.[1，4]B.[2，6]C.[3，5]D.[3，6]答案：C11.設(shè)定點(diǎn)F1（0，-3），F(xiàn)2（0，3），滿足條件|PF1|+|PF2|=6，則動點(diǎn)P的軌跡是（）A.橢圓B.線段C.橢圓或線段或不存在D.不存在答案：B12.已知△ABC的周長為20，且頂點(diǎn)B（0，-4），C（0，4），則頂點(diǎn)A的軌跡方程是（）A.x^2/16+y^2/25=1B.x^2/25+y^2/16=1C.x^2/9+y^2/16=1D.x^2/16+y^2/9=1，(x≠0)答案：D13.已知P是橢圓(x^2/16)+(y^2/9)=1上的一點(diǎn)，則P到一條準(zhǔn)線的距離與P到相應(yīng)焦點(diǎn)的距離之比為（）A.3/4B.4/3C.5/4D.4/5答案：B14.平面內(nèi)有兩定點(diǎn)A、B及動點(diǎn)P，設(shè)命題甲是：“|PA|+|PB|是定值”，命題乙是：“點(diǎn)P的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的橢圓”，那么（）A.甲是乙成立的充分不必要條件B.甲是乙成立的必要不充分條件C.甲是乙成立的充要條件D.甲是乙成立的非充分非必要條件答案：C15.如果方程(x^2/25)+(y^2/m^2)=1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則m的取值范圍是（）A.3＜m＜4B.2＜m＜5C.1＜m＜6D.0＜m＜6答案：B3．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1（﹣2，0），F(xiàn)2（2，0），離心率為2/3，且過點(diǎn)（0，3）的切線與橢圓交于點(diǎn)P和Q，則△FPQ的面積為（）A．2/3B．8/9C．4/3D．16/9解答：解：設(shè)橢圓方程為則b=2，c=4/3a，a2=b2+c2=52，則a=4.因?yàn)檫^點(diǎn)（0，3）的切線與橢圓交于點(diǎn)P和Q，則PQ是橢圓的直徑，且PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0）.∴F1（﹣2，0），F(xiàn)2（2，0）分別是PQ的兩個(gè)端點(diǎn)，又因?yàn)殡x心率為2/3，故PF1=2a/3，PF2=4a/3，則△FPQ的高為b=2，底為2a=8，面積為8/3，故選C．4．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1（﹣2，0），F(xiàn)2（2，0），離心率為2/3，則橢圓的方程是（）A．B．C．D．解答：解：因?yàn)闄E圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1（﹣2，0），F(xiàn)2（2，0），離心率為2/3，∴橢圓的中心為（0，0），c=4/3a，故a=3，b=√(a2-c2)=√(9-16/9)=√(65/9)，因此，橢圓的方程為故選A．5．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1（﹣2，0），F(xiàn)2（2，0），離心率為2/3，則橢圓的面積為（）A．4π/3B．8π/3C．16π/9D．32π/9解答：解：因?yàn)闄E圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1（﹣2，0），F(xiàn)2（2，0），離心率為2/3，∴橢圓的中心為（0，0），c=4/3a，故a=3，b=√(a2-c2)=√(65/9)，因此，橢圓的面積為πab=π×3×√(65/9)=3π√65，故選D．6．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1（﹣2，0），F(xiàn)2（2，0），離心率為2/3，則橢圓的周長為（）A．2πB．4π/3C．8π/3D．4π解答：解：因?yàn)闄E圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1（﹣2，0），F(xiàn)2（2，0），離心率為2/3，∴橢圓的中心為（0，0），c=4/3a，故a=3，b=√(a2-c2)=√(65/9)，因此，橢圓的周長為2πb+4(a-b)=2π√(65/9)+4(3-√(65/9))，化簡得周長為4π/3，故選B．7．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1（﹣2，0），F(xiàn)2（2，0），離心率為2/3，則橢圓的長軸與短軸的長度之比為（）A．1：√(65)/3B．√(65)/3：1C．1：√(26)/3D．√(26)/3：1解答：解：因?yàn)闄E圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1（﹣2，0），F(xiàn)2（2，0），離心率為2/3，∴橢圓的中心為（0，0），c=4/3a，故a=3，b=√(a2-c2)=√(65/9)，因此，橢圓的長軸與短軸的長度之比為a:b=3:√(65)/3，化簡得√(65)/3:1，故選B．8．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1（﹣2，0），F(xiàn)2（2，0），離心率為2/3，則橢圓的方程可以表示為（）A．B．C．D．解答：解：因?yàn)闄E圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1（﹣2，0），F(xiàn)2（2，0），離心率為2/3，∴橢圓的中心為（0，0），c=4/3a，故a=3，b=√(a2-c2)=√(65/9)，因此，橢圓的方程為故選A．9．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1（﹣2，0），F(xiàn)2（2，0），離心率為2/3，則橢圓的離心率的值為（）A．2/3B．4/5C．3/4D．5/6解答：解：因?yàn)闄E圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1（﹣2，0），F(xiàn)2（2，0），離心率為2/3，∴橢圓的中心為（0，0），c=4/3a，故a=3，因此，橢圓的離心率為c/a=4/9，故選D．10．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1（﹣2，0），F(xiàn)2（2，0），離心率為2/3，則橢圓的焦距為（）A．2B．4/3C．4D．8/3解答：解：因?yàn)闄E圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1（﹣2，0），F(xiàn)2（2，0），離心率為2/3，∴橢圓的中心為（0，0），c=4/3a，故a=3，因此，橢圓的焦距為2c=8/3，故選D．11．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1（﹣2，0），F(xiàn)2（2，0），離心率為2/3，則橢圓的面積與其長軸的乘積為（）A．6πB．9πC．12πD．18π解答：解：因?yàn)闄E圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1（﹣2，0），F(xiàn)2（2，0），離心率為2/3，∴橢圓的中心為（0，0），c=4/3a，故a=3，b=√(a2-c2)=√(65/9)，因此，橢圓的面積為πab=3π√(65/9)，橢圓的長軸為2a=6，故橢圓的面積與其長軸的乘積為18π，故選D．12．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1（﹣2，0），F(xiàn)2（2，0），離心率為2/3，則橢圓的周長與其長軸的乘積為（）A．4πB．8πC．12πD．16π解答：解：因?yàn)闄E圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1（﹣2，0），F(xiàn)2（2，0），離心率為2/3，∴橢圓的中心為（0，0），c=4/3a，故a=3，b=√(a2-c2)=√(65/9)，因此，橢圓的周長為2πb+4(a-b)=2π√(65/9)+4(3-√(65/9))，橢圓的長軸為2a=6，故橢圓的周長與其長軸的乘積為16π，故選D．13．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1（﹣2，0），F(xiàn)2（2，0），離心率為2/3，則橢圓的短軸與其離心率的乘積為（）A．2/3B．4/3C．2D．8/3解答：解：因?yàn)闄E圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1（﹣2，0），F(xiàn)2（2，0），離心率為2/3，∴橢圓的中心為（0，0），c=4/3a，故a=3，因此，橢圓的離心率為c/a=4/9，b=√(a2-c2)=√(65/9)，故橢圓的短軸與其離心率的乘積為2b×(4/9)=8/3，故選D．14．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1（﹣2，0），F(xiàn)2（2，0），離心率為2/3，則橢圓的左、右頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（）A．（﹣3，0），（3，0）B．（﹣4，0），（4，0）C．（﹣5，0），（5，0）D．（﹣6，0），（6，0）解答：解：因?yàn)闄E圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1（﹣2，0），F(xiàn)2（2，0），離心率為2/3，∴橢圓的中心為（0，0），c=4/3a，故a=3，因此，橢圓的左、右頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（﹣3，0），（3，0），故選A．15．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1（﹣2，0），F(xiàn)2（2，0），離心率為2/3，則橢圓的上、下頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（）A．（0，√(65)/3），（0，﹣√(65)/3）B．（0，√(26)/3），（0，﹣√(26)/3）C．（0，2√(2/3)），（0，﹣2√(2/3)）D．（0，2√(3/2)），（0，﹣2√(3/2)）解答：解：因?yàn)闄E圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1（﹣2，0），F(xiàn)2（2，0），離心率為2/3，∴橢圓的中心為（0，0），c=4/3a，故a=3，b=√(a2-c2)=√(65/9)，因此，橢圓1.因此點(diǎn)的軌跡是以焦點(diǎn)為A、B，中心在(0,0)的橢圓。2.已知點(diǎn)P到一個(gè)焦點(diǎn)的距離為5，則P到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為5，因此a=5。由橢圓的定義可知，P到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為2a-5=5，故P到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為2a=10，選B。3.已知點(diǎn)A(-1,0)和點(diǎn)B(1,0)，動點(diǎn)P到A、B兩點(diǎn)距離之和為常數(shù)2，則動點(diǎn)P的軌跡是線段AB，選D。4.根據(jù)題意可得點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動，因此動點(diǎn)P的軌跡是線段AB，選D。5.根據(jù)橢圓的定義可知，動點(diǎn)P到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為2a=8，選B。6.已知F1(-1,0)和F2(1,0)，且|F1F2|是|PF1|與|PF2|的等差中項(xiàng)，則點(diǎn)P在以F1、F2為焦點(diǎn)的橢圓上。由a=2、c=1可得b^2=3，因此橢圓的方程是(x^2)/4+(y^2)/3=1，選C。7.由橢圓的定義可得|AF1|+|BF1|+|AB|=4a，因此|AF1|+|BF1|=16-5=11，選B。8.焦點(diǎn)位于y軸上的橢圓則a<b。當(dāng)b=2時(shí)，a=1；當(dāng)b=3時(shí)，a=1、2；當(dāng)b=4時(shí)，a=1、2、3；當(dāng)b=5時(shí)，a=1、2、3、4。因此共有1個(gè)焦點(diǎn)位于y軸上的橢圓，選B。9.根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可得|PF1|=√(x-2)^2+y^2，|PF2|=√(x+2)^2+y^2。因此原等式化簡為√(x-2)^2+y^2+√(x+2)^2+y^2=10，選A。1.因?yàn)閨F1F2|=2<10，根據(jù)橢圓的定義可得：點(diǎn)P的軌跡是橢圓，其中a=5，c=2，因此b^2=21。所以橢圓的方程為：(x^2)/25+(y^2)/21=1，表示點(diǎn)P(x,y)與點(diǎn)F1、F2的距離之和為10。因此答案為D。2.動點(diǎn)P的軌跡是以A、B為左、右焦點(diǎn)，定長2a=8的橢圓。因?yàn)?c=2，所以c=1，因此2a=8，所以a=4。當(dāng)P為橢圓長軸端點(diǎn)時(shí)，|PA|分別取最大、最小值，因此|PA|≥a-c=3，|PA|≤a+c=5。所以|PA|的取值范圍是3≤|PA|≤5，答案為C。3.根據(jù)題意可得：動點(diǎn)P滿足條件|PF1|+|PF2|=6，而且|F1F2|=6，因此點(diǎn)P的軌跡是線段F1F2，答案為B。4.根據(jù)題意可得：△ABC的周長為20，頂點(diǎn)B(-4,0)，C(4,0)，因此BC=8，AB+AC=12。因?yàn)?2>8，所以點(diǎn)A到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于定值，因此點(diǎn)A的軌跡是橢圓。橢圓的方程為(x^2)/36+(y^2)/20=1，其中(x≠0)，答案為B。5.已知P是橢圓(x^2)/16+(y^2)/9=1上的一點(diǎn)，根據(jù)橢圓的定義可知a=4，b=3，c=√7。因此離心率e=c/a=√7/4，P到焦點(diǎn)的距離為a*e=√7，P到一條準(zhǔn)線的距離為b=3，所以P到一條準(zhǔn)線的距離與P到相應(yīng)焦點(diǎn)的距離之比為3/√7，答案為D。6.命題甲是“|PA|+|PB|是定值”，命題乙是“點(diǎn)P的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的橢圓”。因?yàn)闄E圓的定義是到兩個(gè)焦點(diǎn)距離之和為定值的點(diǎn)的軌跡，所以乙成立的必要條件是甲成立。但是甲成立并不一定意味著乙成立，因?yàn)榧卓赡艹闪⒌那闆r下，P的軌跡也可能是雙曲線、拋物線或直線等其他圖形。因此甲是乙成立的必要不充分條件，答案為B。當(dāng)一個(gè)動點(diǎn)到兩個(gè)頂點(diǎn)距離之和等于定值時(shí)，再加上這個(gè)和大于兩個(gè)定點(diǎn)之間的距離，可以得到動點(diǎn)的軌跡是橢圓。如果沒有加上的條件，不一定能推出動點(diǎn)的軌跡是橢圓。但是，點(diǎn)P的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的橢圓，因此一定能夠推出|PA|+|PB|是定值。因此，甲是乙成立的必要不充分條件。答案為B。如果方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則m的取值范圍是3＜m＜4。因此答案為D?！癿n＞”是“mx2+ny2=mn為橢圓”的必要不充分條件。當(dāng)mn＞時(shí)，方程mx2+ny2=mn可化為；而當(dāng)mx2+ny2=mn為橢圓時(shí)，方程可化為=1，則m＞，n＞，故mn＞成立，=1。當(dāng)n＜，m＜時(shí)方程不是橢圓的方程，故“mn＞”是“mx2+ny2=mn為橢圓”的不充分條件。答案為A。已知動點(diǎn)P（x、y）滿足10=|3x+4y+2|，則動點(diǎn)P的軌跡是橢圓。其幾何意義為點(diǎn)M（x，y）到定點(diǎn)（1，2）的距離等于到定直線3x+4y+2=0的距離的，由橢圓的定義，點(diǎn)M的軌跡為以（1，2）為焦點(diǎn)，以直線3x+4y+2=0為準(zhǔn)線的橢圓。答案為A。已知A（﹣1，），B（1，），若點(diǎn)C（x，y）滿足，兩邊平方可得4（x﹣1）2+4y2=（x﹣4）2，整理得3x2+4y2=12。因此，點(diǎn)C的軌跡是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，滿足a2=4，b2=3，得c=。因此，該橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為A（﹣1，），B（1，），根據(jù)橢圓的定義，得|AC|+|BC|=2a=4。答案為B。在橢圓中，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是其左右焦點(diǎn)，若|PF1|=2|PF2|，則該橢圓離心率的取值范圍是。根據(jù)橢圓定義|PF1|+|PF2|=2a，將設(shè)|PF1|=2|PF2|代入得，即。又e＜1，根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)，|PF2|≥a﹣c，故，故。因此，該橢圓離心率的取值范圍為。答案為B。二．填空題（共7小題）20.方程$\frac{(x-1)^2}{9}+\frac{(y-2)^2}{4}=1$表示橢圓，$\frac{(x-1)^2}{4}+\frac{(y-2)^2}{9}=1$表示橢圓，則$k$的取值范圍是$k>3$。21.已知$A(-1,0),B(1,0)$，點(diǎn)$C(x,y)$滿足$|AC|+|BC|=4$，則點(diǎn)$C(x,y)$在以點(diǎn)$B$為焦點(diǎn)，以直線$x=4$為準(zhǔn)線的橢圓上，故$c=1,a=2$，$|AC|+|BC|=2a=4$，故答案為$4$。22.設(shè)$P$是橢圓$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$上的點(diǎn)。若$F_1,F_2$是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則$PF_1+PF_2=10$。23.若$k\inZ$，則橢圓$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{(k+1)^2}=1$的離心率是$\frac{\sqrt{k^2+2k}}{|k+1|}$。依題意可