微分方程例題課件

例.

求下述微分方程的通解:解:令則故有即解得(C為任意常數(shù))所求通解:例.求下述微分方程的通解:解:令則故有即解得(C1例:解法1分離變量即(C<0

)解法2故有積分(C為任意常數(shù))所求通解:例:解法1分離變量即(C<0)解法2故有積2例.解微分方程解:則有分離變量積分得代回原變量得通解即說明:顯然

x=0,y=0,y=x也是原方程的解,但在(C為任意常數(shù))求解過程中丟失了.例.解微分方程解:則有分離變量積分得代回原變量得通解即說3例.

求方程的通解.解:注意x,y同號(hào),由一階線性方程通解公式,得故方程可變形為所求通解為這是以為因變量,

y為

自變量的一階線性方程例.求方程的通解.解:注意x,y同號(hào),由一階線性4思考與練習(xí)判別下列方程類型:提示:可分離變量方程齊次方程線性方程線性方程伯努利方程思考與練習(xí)判別下列方程類型:提示:可分離變量方程齊次方5例.求解解:∴這是一個(gè)全微分方程.用湊微分法求通解.將方程改寫為即故原方程的通解為或例.求解解:∴這是一個(gè)全微分方程.用湊微分法求通解.將6思考:如何解方程這不是一個(gè)全微分方程,就化成上例的方程.但若在方程兩邊同乘思考:如何解方程這不是一個(gè)全微分方程,就化成上例的方7備用題解方程解法1積分因子法.原方程變形為取積分因子故通解為此外,y=0也是方程的解.備用題解方程解法1積分因子法.原方程變形為取積分8解法2化為齊次方程.原方程變形為積分得將代入,得通解此外,y=0也是方程的解.解法2化為齊次方程.原方程變形為積分得將代入,得通解9解法3化為線性方程.原方程變形為其通解為即此外,y=0也是方程的解.解法3化為線性方程.原方程變形為其通解為即此外,y10例.

解:

例.解:11例.求解解:代入方程得分離變量積分得利用于是有兩端再積分得利用因此所求特解為例.求解解:代入方程得分離變量積分得利用于是有兩端再積分12對(duì)于型方程(n≥2)，可以令得如果能求出其通解逐次積分n-1次，就可得到原方程的通解其中C1,C2...,Cn為任意常數(shù).對(duì)于型方程(n≥2)，可以令得如果能求出其通解逐次積分n-113例.解初值問題解:令代入方程得積分得利用初始條件,根據(jù)積分得故所求特解為得例.解初值問題解:令代入方程得積分得利用初始條件,根據(jù)積14例.的通解.解:特征方程特征根:因此原方程通解為例.解:特征方程:特征根:原方程通解:(不難看出,原方程有特解例.的通解.解:特征方程特征根:因此原方程通解為例.解15例.解:特征方程:即其根為方程通解:例.解:特征方程:即其根為方程通解:16備用題為特解的4階常系數(shù)線性齊次微分方程,并求其通解.解:根據(jù)給定的特解知特征方程有根:因此特征方程為即故所求方程為其通解為備用題為特解的4階常系數(shù)線性齊次微分方程,并求其通解.17常數(shù),則該方程的通解是().設(shè)線性無關(guān)函數(shù)都是二階非齊次線性方程的解,是任意例.提示:都是對(duì)應(yīng)齊次方程的解,二者線性無關(guān).(反證法可證)(89考研)常數(shù),則該方程的通解是().設(shè)線性無關(guān)18例.

已知微分方程個(gè)解求此方程滿足初始條件的特解.解:是對(duì)應(yīng)齊次方程的解,且常數(shù)因而線性無關(guān),故原方程通解為代入初始條件故所求特解為有三例.已知微分方程個(gè)解求此方程滿足初始條件的特解.解:是對(duì)19例.的通解為的通解.解:將所給方程化為:已知齊次方程求利用⑤,⑥建立方程組:積分得故所求通解為例.的通解為的通解.解:將所給方程化為:已知齊次方程求利20例.的通解.解:對(duì)應(yīng)齊次方程為由觀察可知它有特解:令代入非齊次方程后化簡得此題不需再作變換.特征根:設(shè)⑦的特解為于是得⑦的通解:故原方程通解為(二階常系數(shù)非齊次方程)⑦代入⑦可得:例.的通解.解:對(duì)應(yīng)齊次方程為由觀察可知它有特解:令代入非齊21例1.的一個(gè)特解.解:本題而特征方程為不是特征方程的根.設(shè)所求特解為代入方程:比較系數(shù),得于是所求特解為例1.的一個(gè)特解.解:本題而特征方程為不是特征方程的根.22例2.

求解定解問題解:本題特征方程為其根為設(shè)非齊次方程特解為代入方程得故故對(duì)應(yīng)齊次方程通解為原方程通解為由初始條件得例2.求解定解問題解:本題特征方程為其根為設(shè)非齊次方程特23于是所求解為解得于是所求解為解得24例4

的一個(gè)特解

.解:本題特征方程故設(shè)特解為不是特征方程的根,代入方程得比較系數(shù),得于是求得一個(gè)特解例4的一個(gè)特解.解:本題特征方程故設(shè)特解為不是特征方25例5.

的通解.

解:特征方程為其根為對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為比較系數(shù),得因此特解為代入方程:所求通解為為特征方程的單根,因此設(shè)非齊次方程特解為例5.的通解.解:特征方程為其根為對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為26例6.解:(1)特征方程有二重根所以設(shè)非齊次方程特解為(2)特征方程有根利用疊加原理,可設(shè)非齊次方程特解為設(shè)下列高階常系數(shù)線性非齊次方程的特解形式:例6.解:(1)特征方程有二重根所以設(shè)非齊次方程特解為27思考與練習(xí)時(shí)可設(shè)特解為時(shí)可設(shè)特解為提示:1.

(填空)

設(shè)思考與練習(xí)時(shí)可設(shè)特解為時(shí)可設(shè)特解為提示:1.(填空)282.已知二階常微分方程有特解求微分方程的通解.解:將特解代入方程得恒等式比較系數(shù)得故原方程為對(duì)應(yīng)齊次方程通解:原方程通解為2.已知二階常微分方程有特解求微分方程的通解.解:將特29例1.解:則原方程化為亦即其根則①對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為特征方程①例1.解:則原方程化為亦即其根則①對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為特30①的通解為換回原變量,得原方程通解為