函數(shù)的概念及表示（精講）（原卷版）

3.1函數(shù)的概念及表示（精講）一．函數(shù)的概念概念一般地，設(shè)A，B是非空的實(shí)數(shù)集，如果對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)三要素對(duì)應(yīng)關(guān)系y＝f(x)，x∈A定義域x的取值范圍值域與x對(duì)應(yīng)的y的值的集合{f(x)|x∈A}1.函數(shù)的概念抓住兩點(diǎn)①可以“多對(duì)一”、“不可一對(duì)多”②集合A中的元素?zé)o剩余，集合B中的元素可剩余.2.對(duì)于“f(x)”中的“x”，即可以是一個(gè)數(shù)，也可以是一個(gè)代數(shù)式.二.區(qū)間設(shè)a，b∈R，且a<b，規(guī)定如下：定義名稱符號(hào)數(shù)軸表示{x|a≤x≤b}閉區(qū)間[a，b]{x|a<x<b}開區(qū)間(a，b){x|a≤x<b}半開半閉區(qū)間[a，b){x|a<x≤b}半開半閉區(qū)間(a，b]{x|x≥a}[a，＋∞){x|x>a}(a，＋∞){x|x≤a}(－∞，a]{x|x<a}(－∞，a)R(－∞，＋∞)1.區(qū)間的左端點(diǎn)必小于右端點(diǎn)；2.區(qū)間符號(hào)里面的兩個(gè)字母(或數(shù)字)之間用“，”隔開；3.用數(shù)軸表示區(qū)間時(shí)，要特別注意屬于這個(gè)區(qū)間端點(diǎn)的實(shí)數(shù)用實(shí)心點(diǎn)表示，不屬于這個(gè)區(qū)間端點(diǎn)的實(shí)數(shù)用空心點(diǎn)表示；4.無窮大(∞)是一個(gè)符號(hào)，不是一個(gè)數(shù)，因此它不具備數(shù)的一些性質(zhì)和運(yùn)算法則；5.包含端點(diǎn)用閉區(qū)間，不包含端點(diǎn)用開區(qū)間，以“＋∞”或“－∞”為區(qū)間的一個(gè)端點(diǎn)時(shí)，這一端必須是小括號(hào)．三.同一個(gè)函數(shù)1.前提條件：①定義域相同；②對(duì)應(yīng)關(guān)系相同.(2)結(jié)論：這兩個(gè)函數(shù)為同一個(gè)函數(shù).四.常見函數(shù)的值域(1)一次函數(shù)f(x)＝ax＋b(a≠0)的定義域?yàn)镽，值域是R.(2)二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定義域是R，當(dāng)a>0時(shí)，值域?yàn)閑q\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))，當(dāng)a<0時(shí)，值域?yàn)閑q\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a))).五.函數(shù)的三種表示方法表示法定義解析法用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系圖象法用圖象表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系列表法列出表格來表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系六.分段函數(shù)分段函數(shù)在書寫時(shí)要用大括號(hào)，把各段函數(shù)合并寫成一個(gè)函數(shù)的形式，并寫出各段的定義域.1.一般地，分段函數(shù)就是在函數(shù)定義域內(nèi)，對(duì)于自變量x的不同取值范圍，有著不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系的函數(shù).2.分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，其定義域、值域分別是各段函數(shù)的定義域、值域的并集；各段函數(shù)的定義域的交集是空集.3.作分段函數(shù)圖象時(shí)，應(yīng)分別作出每一段的圖象.(1)分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)而不是幾個(gè)函數(shù)；(2)分段函數(shù)中各段自變量的取值范圍的交集是空集；(3)處理分段函數(shù)問題時(shí)，首先要確定自變量的取值屬于哪一個(gè)范圍，從而選擇相應(yīng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系.一.根據(jù)圖形判斷對(duì)應(yīng)關(guān)系是否為函數(shù)的方法1.任取一條垂直于x軸的直線l；2.在定義域內(nèi)平行移動(dòng)直線l；3.若l與圖形有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則是函數(shù)；若在定義域內(nèi)沒有交點(diǎn)或有兩個(gè)或兩個(gè)以上的交點(diǎn)，則不是函數(shù).二.判斷一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系是否為函數(shù)的方法三．求函數(shù)定義域1.如果f(x)是整式，那么函數(shù)的定義域是實(shí)數(shù)集R.2.如果f(x)是分式，那么函數(shù)的定義域是使分母不等于零的實(shí)數(shù)的集合.3.如果f(x)是偶次根式，那么函數(shù)的定義域是使根號(hào)內(nèi)的式子不小于零的實(shí)數(shù)的集合.4.如果f(x)是由幾部分構(gòu)成的，那么函數(shù)的定義域是使各部分都有意義的實(shí)數(shù)的集合，也就是使各部分有意義的實(shí)數(shù)的集合的交集.5.如果f(x)是根據(jù)實(shí)際問題列出的，那么函數(shù)的定義域是使解析式本身有意義且符合實(shí)際意義的實(shí)數(shù)的集合.四．判斷兩個(gè)函數(shù)為同一函數(shù)1.定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系兩者中只要有一個(gè)不相同就不是同一函數(shù)，即使定義域與值域都相同，也不一定是同一函數(shù).2.函數(shù)是兩個(gè)數(shù)集之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，所以用什么字母表示自變量、因變量是沒有限制的.3.在化簡(jiǎn)解析式時(shí)，必須是等價(jià)變形.五．求函數(shù)值1.方法：①已知f(x)的解析式時(shí)，只需用a替換解析式中的x即得f(a)的值；②求f(g(a))的值應(yīng)遵循由里往外的原則.2.關(guān)注點(diǎn)：用來替換解析式中x的數(shù)a必須是函數(shù)定義域內(nèi)的值，否則求值無意義.六．求函數(shù)值域的常用方法1.觀察法：通過對(duì)解析式的簡(jiǎn)單變形和觀察，利用熟知的基本函數(shù)的值域，求出函數(shù)的值域.2.配方法：若函數(shù)是二次函數(shù)形式，即可化為y＝ax2＋bx＋c(a≠0)型的函數(shù)，則可通過配方再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求值域，但要注意給定區(qū)間的二次函數(shù)最值的求法.3.換元法：通過對(duì)函數(shù)的解析式進(jìn)行適當(dāng)換元，可將復(fù)雜的函數(shù)化歸為簡(jiǎn)單的函數(shù)，從而利用基本函數(shù)自變量的取值范圍求函數(shù)的值域.4.分離常數(shù)法：此方法主要是針對(duì)分式函數(shù)，即將分式函數(shù)轉(zhuǎn)化為“反比例函數(shù)”的形式，便于求值域.七．求函數(shù)解析式f(g(x))＝h(x)求f(x)，常用的有兩種方法：(1)換元法：即令t＝g(x)解出x，代入h(x)中得到一個(gè)含t的解析式，即為函數(shù)解析式，注意換元后新元的范圍.(2)配湊法：即從f(g(x))的解析式中配湊出“g(x)”，即用g(x)來表示h(x)，然后將解析式中的g(x)用x代替即可.2.方程組法：當(dāng)同一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系中的含有自變量的兩個(gè)表達(dá)式之間有互為相反數(shù)或互為倒數(shù)關(guān)系時(shí)，可構(gòu)造方程組求解.3.待定系數(shù)法求函數(shù)解析式已知函數(shù)的類型，如是一次函數(shù)、二次函數(shù)等，即可設(shè)出f(x)的解析式，再根據(jù)條件列方程(或方程組)，通過解方程(組)求出待定系數(shù)，進(jìn)而求出函數(shù)解析式.八．分段函數(shù)1.函數(shù)值的方法(1)先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間；f(f(x0))的形式時(shí)，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值.2.已知分段函數(shù)的函數(shù)值求對(duì)應(yīng)的自變量的值，可分段利用函數(shù)解析式求得自變量的值，但應(yīng)注意檢驗(yàn)函數(shù)解析式的適用范圍，也可先判斷每一段上的函數(shù)值的范圍，確定解析式再求解.3.由分段函數(shù)的圖象確定函數(shù)解析式的步驟：(1)定類型：根據(jù)自變量在不同范圍內(nèi)圖象的特點(diǎn)，先確定函數(shù)的類型；(2)設(shè)函數(shù)式：設(shè)出函數(shù)的解析式；(3)列方程(組)：根據(jù)圖象中的已知點(diǎn)，列出方程或方程組，求出該段內(nèi)的解析式；(4)下結(jié)論：最后用“{”表示出各段解析式，注意自變量的取值范圍.4.作分段函數(shù)圖象的注意點(diǎn)作分段函數(shù)的圖象時(shí)，定義域內(nèi)各分界點(diǎn)處的取值情況決定著圖象在分界點(diǎn)處的斷開或連接，特別注意端點(diǎn)處是實(shí)心點(diǎn)還是空心點(diǎn).考點(diǎn)一函數(shù)關(guān)系的判斷【例1-1】（203·江蘇揚(yáng)州）下列對(duì)應(yīng)是集合到集合的函數(shù)的是（

）A．，B．，，C．，D．，【例1-2】（2023·內(nèi)蒙古赤峰）下面圖象中，不能表示函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【一隅三反】1．（2023·江蘇）（多選）下列對(duì)應(yīng)關(guān)系是實(shí)數(shù)集上的函數(shù)的是（）A．：把對(duì)應(yīng)到 B．：把對(duì)應(yīng)到C．：把對(duì)應(yīng)到 D．：把對(duì)應(yīng)到2．（2022·江西景德鎮(zhèn)）（多選）托馬斯說：“函數(shù)是近代數(shù)學(xué)思想之花”，根據(jù)函數(shù)的概念判斷：下列關(guān)系屬于集合到集合的函數(shù)關(guān)系的是（

）A． B．C． D．3．（2023·云南昆明）已知集合，集合，下列圖象能建立從集合A到集合B的函數(shù)關(guān)系的是（

）A．B．C．D．4．（2023·北京）（多選）下列是函數(shù)圖象的是（

）A．B．C．D．考點(diǎn)二區(qū)間的表示【例2】（2022廣東湛江）把下列數(shù)集用區(qū)間表示：(1){x|x≥－1}；(2){x|x<0}；(3){x|－1<x<1}；(4){x|0<x<1或2≤x≤4}.【一隅三反】1．（2023云南大理）集合可用區(qū)間表示為（）A． B． C． D．2．（2023廣州）若實(shí)數(shù)滿足，則用區(qū)間表示為（）A． B． C． D．考點(diǎn)三函數(shù)的定義域【例3-1】（1）（2023·湖南衡陽）函數(shù)的定義域?yàn)椋?）（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）求函數(shù)的定義域?yàn)開_______．【例3-2】（1）（2023·海南）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域是__________.（2）（2023·上海）已知函數(shù)的定義域?yàn)閇－2,2]，則函數(shù)的定義域?yàn)開_____.（3）（2022廣西）函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域是__________.【例3-3】（2023·河北衡水）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域是（

）A． B． C． D．【例3-4】（2023安徽）已知等腰三角形ABC的周長(zhǎng)為10,且底邊長(zhǎng)y關(guān)于腰長(zhǎng)x的函數(shù)關(guān)系為y=10-2x,則函數(shù)的定義域?yàn)?)A．{x|x∈R} B．{x|x>0}C．{x|0<x<5} D．【一隅三反】1．（2023·福建）函數(shù)的定義域?yàn)開_____．2．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)開_______.3．（2022秋·福建）已知函數(shù)的定義域?yàn)閯t的定義域?yàn)開________________4．（2023·湖南）函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t的定義域?yàn)開_______.5．（2022秋·山東煙臺(tái)·高一?？茧A段練習(xí)）如圖，某小區(qū)有一塊底邊和高均為40m的銳角三角形空地，現(xiàn)規(guī)劃在空地內(nèi)種植一邊長(zhǎng)為x（單位：m）的矩形草坪（陰影部分），要求草坪面積不小于，則x的取值范圍為______.考點(diǎn)四同一函數(shù)的判斷【例4】（2022秋·福建福州）下列函數(shù)表示同一個(gè)函數(shù)的是（

）.A．與 B．與

C．與 D．與【一隅三反】1．（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）下列各函數(shù)中，與函數(shù)表示同一函數(shù)的是（

）A． B．C． D．2．（2023·山東）下列每組中的函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)的是（

）A．， B．，C．， D．，3．（2023河南）下列各組函數(shù)為同一函數(shù)的是（）①與;②與;③與.A．①② B．① C．② D．③考點(diǎn)五三種函數(shù)的表示方法【例5】（2023新疆）某公共汽車，行進(jìn)的站數(shù)與票價(jià)關(guān)系如下表：行進(jìn)的站數(shù)123456789票價(jià)111222333此函數(shù)的關(guān)系除了圖表之外，能否用其他方法表示？【一隅三反】1．（2023內(nèi)蒙古）公司生產(chǎn)了10臺(tái)機(jī)器，每臺(tái)售價(jià)3000元，試求售出臺(tái)數(shù)x與收款數(shù)y之間的函數(shù)關(guān)系，分別用列表法、圖象法、解析法表示出來.2．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）某種筆記本的單價(jià)是5元，買個(gè)筆記本需要y元，試用函數(shù)的三種表示法表示函數(shù).3．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）已知完成某項(xiàng)任務(wù)的時(shí)間與參加完成此項(xiàng)任務(wù)的人數(shù)之間滿足關(guān)系式，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，且參加此項(xiàng)任務(wù)的人數(shù)不能超過8．（1）寫出關(guān)于的解析式；（2）用列表法表示此函數(shù)；（3）畫出此函數(shù)的圖象．考點(diǎn)六求函數(shù)值或值域【例6-1】（2023湖北）已知，，求：(1)；(2)；(3).【例6-2】（2023·江蘇）試求下列函數(shù)的定義域與值域．(1)，；(2)；(3)；(4).【一隅三反】1．（2023·江蘇連云港）（多選）下列函數(shù)與的值域相同的是（

）A． B．C． D．2．（2022秋·浙江杭州）求下列函數(shù)的值域.(1);(2);(3),.（4）考點(diǎn)七函數(shù)解析式【例7】（2023·江西南昌）根據(jù)下列條件，求的解析式.(1)已知(2)已知(3)已知是二次函數(shù)，且滿足【一隅三反】1．（2023·云南大理）根據(jù)下列條件，求的解析式(1)已知滿足(2)已知是一次函數(shù)，且滿足；(3)已知滿足2．（2023·全國(guó)·專題練習(xí)）根據(jù)下列條件，求函數(shù)的解析式．(1)已知，則的解析式為__________．(2)已知滿足，求的解析式．(3)已知，對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，y都有，求的解析式．考點(diǎn)八分段函數(shù)【例8-1】（2023·廣西梧州）已知函數(shù).(1)求的值；(2)若，求的值.【例8-2】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)．（1）求的值；（2）畫出函數(shù)的圖象．【例8-3】（2022秋·廣東深圳）已知.(1)用分段函數(shù)的形式表示該函數(shù).(2)畫出區(qū)間上的的圖象；(3)根據(jù)圖象寫出區(qū)間上的值域.【一隅三反】1．（2022秋·廣東汕頭·高一?？计?/p>