【解析】2023年浙教版數(shù)學八年級上冊1.5 三角形全等的判定 同步測試（提高版）

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2023年浙教版數(shù)學八年級上冊1.5三角形全等的判定同步測試（提高版）

一、選擇題（每題3分，共30分）

1．（2022八上·余姚期中）下列生活實例中，利用了“三角形穩(wěn)定性”的是（）

A．B．

C．D．

2．（2023八上·溫州期末）如圖，小亮進行以下操作：以點A為圓心，適當長為半徑作圓弧分別交AB，AC于點D，E；分別以點D，E為圓心，大于DE長為半徑作圓弧，兩條圓弧交于∠BAC內(nèi)一點F，作射線AF．若∠BDF=50°，∠EFD-∠BAC=24°，則∠BAC等于()

A．26°B．31°C．37°D．38°

3．（2023八上·溫州期末）如圖是某紙傘截面示意圖，傘柄AP平分兩條傘骨所成的角∠BAC．若支桿DF需要更換，則所換長度應與哪一段長度相等()

A．BEB．AEC．DED．DP

4．（2022八上·上城期中）如圖，點A、D、C、E在同一條直線上，，，則的長為（）

A．B．C．D．

5．（2022八上·青田月考）如圖所示，AB∥CD，AD∥BC，BE＝DF，則圖中全等三角形共有()對．

A．2B．3C．4D．1

6．（2022八上·義烏月考）有一張三角形紙片ABC，已知∠B＝∠C＝x°，BC＝5，按下列方案用剪刀沿著箭頭的方向剪開該紙片，得不到全等三角形紙片的是（）

A．B．

C．D．

7．（2022八上·長興月考）如圖，在△ABC中，點D為BC的中點，△AEF的邊EF過點C，且AE=EF，AB∥EF，AD平分∠BAE，CE=3，AB=13，則CF=()

A．10B．8C．7D．6

8．（2022八上·溫州期中）如圖，平分，于點，若，點是邊上一動點，關(guān)于線段敘述正確的是（）

A．B．C．D．

9．（2022八上·吳興期中）如圖，在△ABC中，按以下步驟作圖：①分別以B，C為圓心，以大于BC的長為半徑作弧，兩弧相交于兩點M，N；②作直線MN交AB于點D，連接CD．若CD=AC，∠A=50°，則∠ACB的度數(shù)為（）

A．B．C．D．

10．（2022八上·溫州期中）如圖，把兩根鋼條，的中點連在一起，可以做成一個測量工件內(nèi)槽寬的卡鉗，卡鉗的工作原理是全等三角形的判定定理，其依據(jù)是（）

A．B．C．D．

二、填空題（每題4分，共24分）

11．（2022八上·青田期中）如圖，在△ABC中，AB＝10，AC＝6，則BC邊上的中線AD的取值范圍是.

12．（2022八上·余姚期中）如圖，點D是等腰的邊BC上的一點，過點B作于點E，連接CE，若，則的值是．

13．（2023八上·武義期末）如圖，在中，是邊上的高，平分，交于點E，，若的面積為9，則的長為.

14．（2022八上·海曙期中）在中，的垂直平分線分別交，于點、，的垂直平分線分別交，于點、，若，，且的周長為16，求.

15．（2022八上·杭州期中）沛沛沿一段筆直的人行道行走，邊走邊欣賞風景，在由C走到D的過程中，通過隔離帶的空隙P，剛好瀏覽完對面人行道宣傳墻上的一條標語，具體信息如下：如圖，////，相鄰兩平行線間的距離相等，AC，BD相交于P，垂足為D.已知米.請根據(jù)上述信息求標語AB的長度.

16．（2023八上·長興月考）小明不慎將一塊三角形的玻璃摔碎成如圖所示的四塊(即圖中標有1、2、3、4的四塊)．你認為將其中的哪一塊帶去，就能配一塊與原來一樣大小的三角形？應該帶第塊。依據(jù)。

三、解答題（共8題，共66分）

17．根據(jù)要求回答下列問題：

（1）工程建筑中經(jīng)常采用三角形的結(jié)構(gòu)，如屋頂?shù)匿摷?，輸電線的支架等，這里運用的三角形的性質(zhì)是；

（2）下列圖形具有穩(wěn)定性的有個：

正方形、長方形、直角三角形、平行四邊形

（3）要使五邊形木架（用5根木條釘成）不變形，工人準備再釘上兩根木條，如圖的兩種釘法中正確的是：；

（4）要使四邊形木架（用4根木條釘成）不變形，至少需要加1根木條固定，要使五邊形木架不變形，至少需要加2根木條固定，要使六邊形木架不變形，至少需要加3根木條固定，…，如果要使一個n邊形木架不變形，至少需要加根

18．（2022八上·青田期中）如圖，點B，F(xiàn)，C，E在同一條直線上，點A，D在直線BC的異側(cè)，AB＝DE，AC＝DF，BF＝EC.

（1）求證：△ABC≌△DEF；

（2）若∠BFD＝130°，求∠ACB的度數(shù).

19．（2022八上·杭州期中）如圖，在△ABC中，D為AB上一點，E為AC中點，連接DE并延長至點F，使得EF＝ED，連CF.

（1）求證：CF∥AB

（2）若∠ABC＝50°，連接BE，BE平分∠ABC，AC平分∠BCF，求∠A的度數(shù).

20．（2023八上·余姚期末）如圖，在四邊形中，P為邊上的一點，.、分別是、的角平分線.

（1）若，則的度數(shù)為，的度數(shù)為；

（2）求證：；

（3）設(shè)，，過點P作一條直線，分別與，所在直線交于點E、F，若，直接寫出的長（用含a的代數(shù)式表示）

21．（2022八上·義烏月考）如圖：

（1）如圖1，∠MAN＝90°，射線AE在這個角的內(nèi)部，點B、C分別在∠MAN的邊AM、AN上，且AB＝AC，CF⊥AE于點F，BD⊥AE于點D．求證：△ABD≌△CAF；

（2）如圖2，點B、C分別在∠MAN的邊AM、AN上，點E、F都在∠MAN內(nèi)部的射線AD上，∠1、∠2分別是△ABE、△CAF的外角．已知AB＝AC，且∠1＝∠2＝∠BAC．

求證：△ABE≌△CAF；

（3）如圖3，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC．點D在邊BC上，CD＝2BD，點E、F在線段AD上，∠1＝∠2＝∠BAC．若△ABC的面積為21，求△ACF與△BDE的面積之和．

22．（2023八上·鹿城期中）問題情境：如圖1，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于點D，可知：∠BAD＝∠C（不需要證明）；

（1）特例探究：如圖2，∠MAN＝90°，射線AE在這個角的內(nèi)部，點B、C在∠MAN的邊AM、AN上，且AB＝AC，CF⊥AE于點F，BD⊥AE于點D.證明：△ABD≌△CAF；

（2）歸納證明：如圖3，點B，C在∠MAN的邊AM、AN上，點E，F(xiàn)在∠MAN內(nèi)部的射線AD上，∠1、∠2分別是△ABE、△CAF的外角.已知AB＝AC，∠1＝∠2＝∠BAC.求證：△ABE≌△CAF；

（3）拓展應用：如圖4，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC.點D在邊BC上，CD＝2BD，點E、F在線段AD上，∠1＝∠2＝∠BAC.若△ABC的面積為3，則△ACF與△BDE的面積之和為.

23．（2023八上·紹興開學考）已知：在△ABC中，BD是邊AC的高，BE為∠CBD的角平分線，且AD＝DE．AO為△ABC的中線，延長AO到點F．使得BF∥AC．連接EF．EF交BC于點G．AF交BE于點H．

（1）

求證：BF＝CD+DE；

（2）

求證：∠FBE＝∠BAC

（3）

若∠C＝45°．求證：BD＝BG．

24．（2022八上·東陽期末）以△ABC的AB，AC為邊作△ABD和△ACE，且AD＝AB，AE＝AC，∠DAB＝∠CAE＝α.CD與BE相交于O，連接AO，如圖①所示.

（1）求證：BE＝CD；

（2）判斷∠AOD與∠AOE的大小，并說明理由.

（3）在EB上取使F，使EF＝OC，如圖②，請直接寫出∠AFO與α的數(shù)量關(guān)系.

答案解析部分

1．【答案】B

【知識點】三角形的穩(wěn)定性

【解析】【解答】解：A、此圖形不具有三角形的穩(wěn)定性，故A不符合題意；

B、此圖形具有三角形的穩(wěn)定性，故B符合題意；

C、此圖形不具有三角形的穩(wěn)定性，故C不符合題意；

D、此圖形不具有三角形的穩(wěn)定性，故D不符合題意；

故答案為：B

【分析】觀察各個選項中的圖形，可得到利用了三角形的穩(wěn)定性的選項.

2．【答案】D

【知識點】三角形的外角性質(zhì)；三角形全等的判定（SSS）

【解析】【解答】解：由作圖過程可知：AE=AD，EF=DF，又AF=AF，

∴△AEF≌△ADF，

∴∠EAF=∠DAF，∠EFA=∠DFA，

∵∠BDF=50°，

∴∠DAF+∠DFA=50°，

∴∠EAF+∠FAD+∠EFA+∠DFA=∠BAC+∠EFD=100°①，

又∵∠EFD-∠BAC=24°②，

∴①-②得∠BAC=38°.

故答案為：D.

【分析】先利用SSS判斷出△AEF≌△ADF，得∠EAF=∠DAF，∠EFA=∠DFA，進而根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠DAF+∠DFA=50°，推出∠BAC+∠EFD=100°①，結(jié)合∠EFD-∠BAC=24°②，求解即可得出∠BAC的度數(shù).

3．【答案】C

【知識點】三角形全等的判定（SAS）

【解析】【解答】解：支桿DF需要更換，則所換長度應與ED的長度相等，理由如下：

如圖：連接DF，

∵AP平分∠BAC，

∴∠BAD=∠CAD，

在△AED與△AFD中，

∵AE=AF，∠BAD=∠CAD，AD=AD，

∴△AED≌△AFD（SAS），

∴DF=ED，

∴支桿DF需要更換，則所換長度應與ED的長度相等.

故答案為：C.

【分析】連接DF，根據(jù)角平分線的定義得∠BAD=∠CAD，從而利用SAS判斷△AED≌△AFD，根據(jù)全等三角形的對應邊相等得出DF=ED，據(jù)此即可得出答案.

4．【答案】B

【知識點】平行線的性質(zhì)；三角形全等的判定（ASA）

【解析】【解答】解：∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴；

故答案為：B.

【分析】由平行線的性質(zhì)可得∠A=∠E，根據(jù)ASA證明△ABC≌△EFD，可得AC=DE=6，根據(jù)AE=AC+DE-CD=10即可求解.

5．【答案】B

【知識點】平行線的性質(zhì)；三角形全等的判定（SAS）；三角形全等的判定（ASA）

【解析】【解答】解：∵AB∥CD，AD∥BC，

∴∠ABF=∠CDE，∠ADE=∠CBF，

∵BE=DF，

∴BF=DE，

在△ABD和△CDB中

∴△ABD≌△CDB（ASA）

∴AD=BC，AB=CD；

在△BCF和△DAE中

∴△BCF≌△DAE（SAS）

在△ABE和△CDF中

∴△ABE≌△CDF（SAS）

∴圖中全等三角形共有3對.

故答案為：B

【分析】利用平行線的性質(zhì)可證得∠ABF=∠CDE，∠ADE=∠CBF，由BE=DF可證得BF=DE；利用ASA證明△ABD≌△CDB，利用全等三角形的性質(zhì)可證得AD=BC，AB=CD；再利用SAS分別證明△BCF≌△DAE，△ABE≌△CDF，由此可得答案.

6．【答案】C

【知識點】三角形全等的判定（SAS）；三角形全等的判定（ASA）

【解析】【解答】解：A、符合全等三角形的判定定理SAS，能推出兩三角形全等，故本選項不符合題意；

B、符合全等三角形的判定定理SAS，能推出兩三角形全等，故本選項不符合題意；

C、如圖1，

∵∠B＝∠C＝x°，

∴∠BED+∠BDE＝180°﹣x°，∠BDE+∠CDF＝180°﹣x°，

∴∠BED＝∠CDF，

即BD和CF是對應邊，BE和CD是對應邊，不符合全等三角形的判定定理，不能推出兩三角形全等，故本選項符合題意；

D、由選項C可知：∠BED＝∠CDF，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出兩三角形全等，故本選項不符合題意；

故答案為：C．

【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理SAS可判斷出A、B選項中的兩個三角形全等；C選項中，△BDE中給出的三個條件是兩角及夾邊，而△CDF中給出的三個條件是兩角及其中一個角的對邊，故不能判斷兩個三角形全等；D選項中可以根據(jù)ASA判斷出兩個三角形全等.

7．【答案】C

【知識點】三角形全等的判定（AAS）

【解析】【解答】解：如圖：延長FE交AD的延長線于點H，

∵AD平分∠BAE，

∴∠BAD＝∠HAE，

∵FH∥AB，

∴∠H＝∠BAD，

∴∠H＝∠HAE，

∴EA＝EH＝EF，設(shè)CF＝x，則EF＝EA＝EH＝x＋3，

∵∠H＝∠BAD，∠HDC＝∠ADB，DC＝DB，

∴△HDC≌△ADB（AAS），

∴AB＝CH=13，

∴x＋3＋3＝13，

∴x＝7，

∴CF=7.

故答案為：C.

【分析】延長FE交AD的延長線于點H，根據(jù)角平分線的定義及平行線的性質(zhì)得∠H＝∠HAE，根據(jù)等角對等邊得EA＝EH＝EF，設(shè)CF＝x，則EF＝EA＝EH＝x＋3，利用AAS判斷出△HDC≌△ADB，根據(jù)全等三角形對應邊相等得AB＝CH=13，從而根據(jù)CH的長度建立方程，求解可得x的值，從而即可得出CF的長.

8．【答案】D

【知識點】垂線段最短；角平分線的性質(zhì)

【解析】【解答】解：過P點作PH⊥AB于H，如圖，

平分，，，

，

點E是邊AB上一動點，

.

故答案為：D.

【分析】過P點作PH⊥AB于H，根據(jù)角平分線上的點到角兩邊的距離相等得PH=PD=6，進而根據(jù)垂線段最短即可得出PE的取值范圍.

9．【答案】C

【知識點】三角形的外角性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)

【解析】【解答】解：由題意可知：直線MN垂直平分線段BC，

∴BD=CD，

∴∠B=∠BCD，

設(shè)∠B=∠BCD=x，

∵CD=AC，

∴∠A=∠CDA=2x，

∴∠ACD=180°-4x，

∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=180°-4x+x=180°-3x

又∵∠A=50°，

∴x=25°，

∴∠ACB=180°-3×25°=105°.

故答案為：C.

【分析】由題意得直線MN垂直平分線段BC，可得BD=CD，從而得∠B=∠BCD，設(shè)∠B=∠BCD=x，再利用外角性質(zhì)可得到∠ACB=180°-3x，求得x=25°，代入即可求解.

10．【答案】B

【知識點】全等三角形的應用

【解析】【解答】解：卡鉗的工作原理利用了三角形全等判定定理SAS，理由如下：

連接A'B'，

是，的中點，

，，

又與是對頂角，

，

在和中，

，

∴△AOB≌△A'OB'（SAS），

，

只要量出的長度，就可以知道工作的內(nèi)徑是否符合標準.

故答案為：B.

【分析】利用SAS判斷出△AOB≌△A'OB'，根據(jù)全等三角形的對應邊相等可得A'B'=AB，據(jù)此即可得出答案.

11．【答案】2＜AD＜8

【知識點】三角形三邊關(guān)系；三角形全等的判定（SAS）

【解析】【解答】解：延長AD至E，使DE＝AD，連接BE，如圖1所示

∵AD是BC邊上的中線，

∴BD＝CD，

在△BDE和△CDA中，

，

∴△BDE≌△CDA（SAS），

∴BE＝AC＝6，

在△ABE中，由三角形的三邊關(guān)系得：AB﹣BE＜AE＜AB+BE，

∴10﹣6＜AE＜10+6，即4＜AE＜16，

∴2＜AD＜8；

故答案為2＜AD＜8.

【分析】延長AD至E，使DE＝AD，連接BE，證明△BDE≌△CDA（SAS），可得BE＝AC＝6，在△ABE中，由三角形的三邊關(guān)系得AB﹣BE＜AE=2AD＜AB+BE，據(jù)此即可求解.

12．【答案】2

【知識點】三角形的面積；三角形全等的判定（AAS）

【解析】【解答】解：過點C作于點F，

∵是等腰直角三角形，

∴，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，，

∴，

在和中，，

∴，

∴，

∴．

故答案為：2．

【分析】過點C作CF⊥AD于點F，根據(jù)同角的余角相等得∠CAF=∠ABE，用AAS判斷△AEB≌△CFA，根據(jù)全等三角形的對應邊相等得CF=AE=2，進而根據(jù)三角形面積計算公式即可算出答案.

13．【答案】3

【知識點】三角形的面積；角平分線的性質(zhì)

【解析】【解答】解：過作于，

是邊上的高，平分，交于點，

，

，

，

，

故答案為：3.

【分析】過E作EF⊥BC于F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得DE=EF，然后根據(jù)三角形的面積公式進行計算.

14．【答案】4

【知識點】線段垂直平分線的性質(zhì)

【解析】【解答】解：∵DE是AB的垂直平分線，F(xiàn)G是AC的垂直平分線，

，，

的周長為16，

，

，

，

，，

，

故答案為：4.

【分析】根據(jù)垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等得AE=BE，AG=CG，根據(jù)三角形周長計算方法及等量代換可得BE+EG+CG=16，進而根據(jù)線段的和差即可得出答案.

15．【答案】16

【知識點】全等三角形的應用

【解析】【解答】解：∵AB∥CD，

∴∠ABP=∠CDP，

∵PD⊥CD，

∴∠CDP=，

∴∠ABP=，即PB⊥AB，

∵相鄰兩平行線間的距離相等，

∴PD=PB，

在△ABP與△CDP中，

，

∴△ABP≌△CDP（ASA），

∴CD=AB=16米.

故答案為：16

【分析】根據(jù)ASA證明△ABP≌△CDP，可得CD=AB=16米.

16．【答案】2；ASA

【知識點】全等三角形的應用

【解析】【解答】解：∵第二塊有完整的兩角和夾邊，可以利用角邊角定理找到和和原來三角形全等的三角形，符合題意，其他幾塊都沒有三角形全等完整的的三要素.

故答案為：2，ASA.

【分析】根據(jù)三角形全等的判定定理進行分析，三角形全等有邊角邊、角角邊、角邊角和邊邊邊等定理，逐一對照分析即可判斷.

17．【答案】（1）三角形的穩(wěn)定性

（2）一

（3）方法一

（4）（n﹣3）

【知識點】三角形的穩(wěn)定性

【解析】【解答】解：（1）工程建筑中經(jīng)常采用三角形的結(jié)構(gòu)，如屋頂?shù)匿摷?，輸電線的支架等，這里運用的三角形的性質(zhì)是三角形的穩(wěn)定性；

（2）下列圖形具有穩(wěn)定性的有直角三角形一個：

正方形、長方形、直角三角形、平行四邊形

（3）要使五邊形木架（用5根木條釘成）不變形，工人準備再釘上兩根木條，如圖的兩種釘法中正確的是：方法一；

（4）過n邊形的一個頂點可以作（n﹣3）條對角線，把多邊形分成（n﹣2）個三角形，

所以，要使一個n邊形木架不變形，至少需要（n﹣3）根木條固定．

故答案為：三角形的穩(wěn)定性；一；方法一；（n﹣3）．

【分析】（1）利用三角形的穩(wěn)定性進行解答；

（2）只有三角形具有穩(wěn)定性，其他圖形不具有穩(wěn)定性；

（3）根據(jù)三角形的穩(wěn)定性進行判斷即可；

（4）根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性，需要的木條數(shù)等于過多邊形的一個頂點的對角線的條數(shù)．

18．【答案】（1）證明：∵BF＝EC，

∴BF+FC＝EC+FC，

∴BC＝EF，

在△ABC和△DEF中，

，

∴△ABC≌△DEF（SSS）

（2）解：∵∠BFD＝130°，∠BFD+∠DFE＝180°，

∴∠DFE＝50°，

由（1）知，△ABC≌△DEF，

∴∠ACB＝∠DFE，

∴∠ACB＝50°.

【知識點】三角形全等的判定（SSS）

【解析】【分析】（1）由BF＝EC可得BF+FC＝EC+FC，即得BC＝EF，根據(jù)SSS證明△ABC≌△DEF；

（2）由鄰補角可求出∠DFE＝50°，再利用全等三角形的對應角相等可得∠ACB＝∠DFE=50°.

19．【答案】（1）證明：∵在△AED和△CEF中

∴△AED≌△CEF（SAS），

∴∠A＝∠ACF，

∴CF∥AB；

（2）解：∵AC平分∠BCF，

∴∠ACB＝∠ACF，

∵∠A＝∠ACF，

∴∠A＝∠ACB，

∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠ABC＝50°，

∴2∠A＝130°，

∴∠A＝65°.

【知識點】平行線的判定；三角形內(nèi)角和定理；三角形全等的判定（SAS）；角平分線的定義

【解析】【分析】（1）根據(jù)中點的概念可得AE=CE，由對頂角的性質(zhì)可得∠AED=∠CEF，由已知條件可知DE=EF，利用SAS證明△AED≌△CEF，得到∠A＝∠ACF，然后根據(jù)平行線的判定定理進行證明；

（2）根據(jù)角平分線的概念可得∠ACB＝∠ACF，由（1）可知∠A＝∠ACF，則∠A＝∠ACB，然后結(jié)合內(nèi)角和定理進行計算.

20．【答案】（1）55°；90°

（2）證明：如圖1，延長交的延長線于點，

由（1）得，

∴，

在和中，

，，，

∴，

∴，，

∵，

∴，

在和中，

，，，

∴，

∴，

∴

（3）解：或

【知識點】平行線的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理；角平分線的性質(zhì)；三角形全等的判定（ASA）；角平分線的定義

【解析】【解答】（1）解：∵，

∴，

∵、分別是、的角平分線，

∴，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

故答案為：55°，90°

（3）解：或，

分兩種情況討論，

①將沿向右平移到，且經(jīng)過點P，交于點E，交的延長線與點F，則，

由（2）的證明過程，同理可證，

∴，

∴，

∵，，，

∴在中，，

解得，，

由（2）可知，，

∴；

②如圖3，若點F在上，，過點P作與點N，與點M.

由角平分線性質(zhì)定理可得，

在中，，

∴，

則，

在和

∵，，，

由勾股定理可得出，，

∴.

【分析】（1）由平行線的性質(zhì)可得∠ABC+∠BAD=180°，根據(jù)角平分線的概念可得∠ABP=∠ABC，∠BAP=∠BAD=35°，則∠ABP+∠BAP=(∠ABC+∠BAD)=90°，由內(nèi)角和定理可得∠APB=90°，然后根據(jù)∠ABP=90°-∠BAP進行計算；

（2）延長BP交AD的延長線于點G，由（1）得∠APB=90°，利用ASA證明△ABP≌△AGP，得到BA=GA，BP=GP，由平行線的性質(zhì)可得∠CBP=∠DGP，證明△BCP≌△GDP，得到BC=GD，據(jù)此解答；

（3）①將AB沿AD向右平移到EF，且經(jīng)過點P，交AD于點E，交BC的延長線與點F，則BF=AE，由（2）可得AE=BF=EG，由勾股定理可得AB=5a，由（2）可知AG=AB=5a，據(jù)此求解；②若點F在BC上，EF=AB，過點P作PN⊥AD與點N，PM⊥AB與點M，由角平分線性質(zhì)定理可得PM=PN，根據(jù)等面積法可得PM，由勾股定理可得AN、EN，然后根據(jù)AE=AN+EN進行解答.

21．【答案】（1）證明：∵CF⊥AE，BD⊥AE，∠MAN＝90°，

∴∠BDA＝∠AFC＝90°，

∴∠ABD+∠BAD＝90°，∠ABD+∠CAF＝90°，

∴∠ABD＝∠CAF，

在△ABD和△CAF中，

，

∴△ABD≌△CAF（AAS）；

（2）證明：∵∠1＝∠BAE+∠ABE，∠BAC＝∠BAE+∠CAF，

∴∠ABE＝∠CAF，

同理：∠BAE＝∠ACF，在△ABE和△CAF中，

，

∴△ABE≌△CAF（ASA）；

（3）解：如圖，過點A作AH⊥BC于H，

∵CD＝2BD，∴BC＝3BD，

∵S△ABCBC×AH，S△ABDBD×AH，

∴S△ABDS△ABC21＝7

由（2）知，△ABE≌△CAF，

∴S△ABE＝S△CAF，

∴S△ACF+S△BDE＝S△ABE+S△BDE＝S△ABD＝7，

即：△ACF與△BDE的面積之和等于7．

【知識點】三角形的面積；三角形全等的判定（ASA）；三角形全等的判定（AAS）

【解析】【分析】（1）根據(jù)垂直的定義可得∠BDA=∠AFC=90°，根據(jù)等角的余角相等，得出∠ABD=∠ACF，利用AAS即可證出本題結(jié)論；

（2）根據(jù)題意先證出∠ABE=∠CAF，∠BAE=∠FCA，再利用ASA即可證出本題結(jié)論；

（3）過點A作AH⊥BC于H，利用三角形面積公式，根據(jù)CD與BD的數(shù)量關(guān)系，可得S△ABDS△ABC，再利用（2）中結(jié)論可得△ACF與△BDE的面積之和等于△ABE與△BDE的面積之和，即可求出△ACF與△BDE的面積之和.

22．【答案】（1）證明：如圖②，∵CF⊥AE，BD⊥AE，∠MAN＝90°，

∴∠BDA＝∠AFC＝90°，

∴∠ABD+∠BAD＝90°，∠BAD+∠CAF＝90°，

∴∠ABD＝∠CAF，

在△ABD和△CAF中，

∴△ABD≌△CAF（AAS）；

（2）證明：如圖③，

∵∠1＝∠BAC，∠1＝∠BAE+∠ABE，∠BAC＝∠BAE+∠CAF，

∴∠ABE＝∠CAF，

∵∠2＝∠FCA+∠CAF，∠BAC＝∠BAE+∠CAF，∠2＝∠BAC，

∴∠BAE＝∠FCA，

在△ABE和△CAF中，，

∴△ABE≌△CAF（ASA）

（3）1

【知識點】三角形的面積；三角形的外角性質(zhì)；三角形全等的判定

【解析】【解答】解：（3）如圖④，∵△ABC的面積為3，CD＝2BD，

∴△ABD的面積＝×3＝1，

由（2）可得△ABE≌△CAF，

即：S△ACF＝S△ABE，

∴S△ACF+S△BDE＝S△ABE+S△BDE＝S△ABD＝1

即△ACF與△BDE的面積之和等于△ABD的面積1.

故答案為：1.

【分析】（1）由垂直的概念可得∠BDA＝∠AFC＝90°，根據(jù)同角的余角相等可得∠ABD＝∠CAF，然后結(jié)合全等三角形的判定定理進行證明；

（2）由外角的性質(zhì)可得∠1＝∠BAE+∠ABE，∠2＝∠FCA+∠CAF，由角的和差關(guān)系可得∠BAC＝∠BAE+∠CAF，結(jié)合已知條件可得∠ABE＝∠CAF，∠BAE＝∠FCA，然后利用全等三角形的判定定理進行證明；

（3）由題意可得△ABD的面積＝1，由全等三角形的性質(zhì)可得S△ACF＝S△ABE，則S△ACF+S△BDE＝S△ABE+S△BDE＝S△ABD，據(jù)此解答.

23．【答案】（1）證明：∵BF∥AC，∴∠BFO＝∠CAO，∠FBO＝∠ACO，

又∵AO為△ABC的中線，∴BO＝CO，

在△BOF與△COA中，，

∴△BOF≌△COA（AAS），

∴BF＝CA＝CD+AD，

∵AD＝DE，

∴BF＝CD+DE

（2）證明：∵BD垂直平分AE，

∴BA＝BE，∠BAC＝∠BEA，

又∵BF∥AC，

∴∠BEA＝∠EBF＝∠BAC

（3）證明：在△BAC與△EBF中，，

∴△BAC≌△EBF（SAS），

∴∠BFE＝∠C＝45°，

∵BF∥AC，∴∠BFE＝∠FEC＝45°

又∵∠BGE＝∠C+∠FEC＝90°＝∠BDE，

在△BEG與△BED中，

，

∴△BEG≌△BED（AAS），

∴BG＝BD．

【知識點】線段垂直平分線的性質(zhì)；三角形全等的判定（SAS）；三角形全等的判定（AAS）

【解析】【分析】(1)根據(jù)中線的定義得出BO＝CO，再利用AAS證明△BOF≌△COA，得出BF=CA，結(jié)合AD＝DE，利用線段間的和差關(guān)系，即可解答；

(2)由題意得出BD垂直平分AE，則得BA=BE，可知∠BAC＝∠BEA，再結(jié)合平行線的性質(zhì)，即可解答；

(3)利用SAS證明△BAC≌△EBF，結(jié)合∠C=45°，推出∠BGE=∠BDE=90°，再利用AAS證明△BEG≌△BED，則可得出BG=BD.

24．【答案】（1）證明：∵∠DAB=∠CAE，

∴∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC，

∴∠DAC=∠BAE，

∵AD=AB，AC=AE，

∴△DAC≌△BAE(SAS)，

∴BE=CD，

（2）解：∠AOD=∠AOE，理由如下，

過點A作AM⊥CD于點M，作AN⊥BE于點N，如圖，

∵AM⊥CD，AN⊥BE，

∴∠AMD=∠ANB=90°，

∵△DAC≌△BAE，

∴∠ABE＝∠ADC，

又∵AD＝AB，

∴△ADM≌△ABN（AAS），

∴AM＝AN，

∵AM⊥OD，AN⊥OE，

∴AO平分∠AOE，

∴∠AOD＝∠AOE，

（3）2∠AFO=180°α

【知識點】三角形全等的判定；角平分線的定義

【解析】【解答】解：（3）∵△DAC≌△BAE，

∴∠AEF＝∠ACO，AE＝AC，

又∵EF＝CO，

∴△AEF≌△ACO（SAS），

∴∠AFE＝∠AOC，AF＝AO，

∴結(jié)合（2）的結(jié)論有：∠AFO＝∠AOF＝∠AOD.

∵∠ADC=∠ABE，∠DAB＝α，

∴∠DAB＝∠DOB＝α，

∴2∠AFO＝2∠AOF=∠AOF+∠AOD=180°-∠DOB，

∴2∠AFO=180°α.

【分析】（1）根據(jù)∠DAB=∠CAE結(jié)合角的和差關(guān)系可得∠DAC=∠BAE，由已知條件可知AD=AB，AC=AE，利用SAS證明△DAC≌△BAE，據(jù)此可得結(jié)論；

（2）過點A作AM⊥CD于點M，作AN⊥BE于點N，由垂直的概念可得∠AMD=∠ANB=90°，由全等三角形的性質(zhì)可得∠ABE＝∠ADC，證明△ADM≌△ABN，得到AM＝AN，推出AO平分∠AOE，然后根據(jù)角平分線的概念進行解答；

（3）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠AEF＝∠ACO，AE＝AC，證明△AEF≌△ACO，得到∠AFE＝∠AOC，AF＝AO，結(jié)合（2）的結(jié)論有：∠AFO＝∠AOF＝∠AOD，則2∠AFO=2∠AOF=∠AOF+∠AOD=180°-∠DOB，據(jù)此解答.

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2023年浙教版數(shù)學八年級上冊1.5三角形全等的判定同步測試（提高版）

一、選擇題（每題3分，共30分）

1．（2022八上·余姚期中）下列生活實例中，利用了“三角形穩(wěn)定性”的是（）

A．B．

C．D．

【答案】B

【知識點】三角形的穩(wěn)定性

【解析】【解答】解：A、此圖形不具有三角形的穩(wěn)定性，故A不符合題意；

B、此圖形具有三角形的穩(wěn)定性，故B符合題意；

C、此圖形不具有三角形的穩(wěn)定性，故C不符合題意；

D、此圖形不具有三角形的穩(wěn)定性，故D不符合題意；

故答案為：B

【分析】觀察各個選項中的圖形，可得到利用了三角形的穩(wěn)定性的選項.

2．（2023八上·溫州期末）如圖，小亮進行以下操作：以點A為圓心，適當長為半徑作圓弧分別交AB，AC于點D，E；分別以點D，E為圓心，大于DE長為半徑作圓弧，兩條圓弧交于∠BAC內(nèi)一點F，作射線AF．若∠BDF=50°，∠EFD-∠BAC=24°，則∠BAC等于()

A．26°B．31°C．37°D．38°

【答案】D

【知識點】三角形的外角性質(zhì)；三角形全等的判定（SSS）

【解析】【解答】解：由作圖過程可知：AE=AD，EF=DF，又AF=AF，

∴△AEF≌△ADF，

∴∠EAF=∠DAF，∠EFA=∠DFA，

∵∠BDF=50°，

∴∠DAF+∠DFA=50°，

∴∠EAF+∠FAD+∠EFA+∠DFA=∠BAC+∠EFD=100°①，

又∵∠EFD-∠BAC=24°②，

∴①-②得∠BAC=38°.

故答案為：D.

【分析】先利用SSS判斷出△AEF≌△ADF，得∠EAF=∠DAF，∠EFA=∠DFA，進而根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠DAF+∠DFA=50°，推出∠BAC+∠EFD=100°①，結(jié)合∠EFD-∠BAC=24°②，求解即可得出∠BAC的度數(shù).

3．（2023八上·溫州期末）如圖是某紙傘截面示意圖，傘柄AP平分兩條傘骨所成的角∠BAC．若支桿DF需要更換，則所換長度應與哪一段長度相等()

A．BEB．AEC．DED．DP

【答案】C

【知識點】三角形全等的判定（SAS）

【解析】【解答】解：支桿DF需要更換，則所換長度應與ED的長度相等，理由如下：

如圖：連接DF，

∵AP平分∠BAC，

∴∠BAD=∠CAD，

在△AED與△AFD中，

∵AE=AF，∠BAD=∠CAD，AD=AD，

∴△AED≌△AFD（SAS），

∴DF=ED，

∴支桿DF需要更換，則所換長度應與ED的長度相等.

故答案為：C.

【分析】連接DF，根據(jù)角平分線的定義得∠BAD=∠CAD，從而利用SAS判斷△AED≌△AFD，根據(jù)全等三角形的對應邊相等得出DF=ED，據(jù)此即可得出答案.

4．（2022八上·上城期中）如圖，點A、D、C、E在同一條直線上，，，則的長為（）

A．B．C．D．

【答案】B

【知識點】平行線的性質(zhì)；三角形全等的判定（ASA）

【解析】【解答】解：∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴；

故答案為：B.

【分析】由平行線的性質(zhì)可得∠A=∠E，根據(jù)ASA證明△ABC≌△EFD，可得AC=DE=6，根據(jù)AE=AC+DE-CD=10即可求解.

5．（2022八上·青田月考）如圖所示，AB∥CD，AD∥BC，BE＝DF，則圖中全等三角形共有()對．

A．2B．3C．4D．1

【答案】B

【知識點】平行線的性質(zhì)；三角形全等的判定（SAS）；三角形全等的判定（ASA）

【解析】【解答】解：∵AB∥CD，AD∥BC，

∴∠ABF=∠CDE，∠ADE=∠CBF，

∵BE=DF，

∴BF=DE，

在△ABD和△CDB中

∴△ABD≌△CDB（ASA）

∴AD=BC，AB=CD；

在△BCF和△DAE中

∴△BCF≌△DAE（SAS）

在△ABE和△CDF中

∴△ABE≌△CDF（SAS）

∴圖中全等三角形共有3對.

故答案為：B

【分析】利用平行線的性質(zhì)可證得∠ABF=∠CDE，∠ADE=∠CBF，由BE=DF可證得BF=DE；利用ASA證明△ABD≌△CDB，利用全等三角形的性質(zhì)可證得AD=BC，AB=CD；再利用SAS分別證明△BCF≌△DAE，△ABE≌△CDF，由此可得答案.

6．（2022八上·義烏月考）有一張三角形紙片ABC，已知∠B＝∠C＝x°，BC＝5，按下列方案用剪刀沿著箭頭的方向剪開該紙片，得不到全等三角形紙片的是（）

A．B．

C．D．

【答案】C

【知識點】三角形全等的判定（SAS）；三角形全等的判定（ASA）

【解析】【解答】解：A、符合全等三角形的判定定理SAS，能推出兩三角形全等，故本選項不符合題意；

B、符合全等三角形的判定定理SAS，能推出兩三角形全等，故本選項不符合題意；

C、如圖1，

∵∠B＝∠C＝x°，

∴∠BED+∠BDE＝180°﹣x°，∠BDE+∠CDF＝180°﹣x°，

∴∠BED＝∠CDF，

即BD和CF是對應邊，BE和CD是對應邊，不符合全等三角形的判定定理，不能推出兩三角形全等，故本選項符合題意；

D、由選項C可知：∠BED＝∠CDF，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出兩三角形全等，故本選項不符合題意；

故答案為：C．

【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理SAS可判斷出A、B選項中的兩個三角形全等；C選項中，△BDE中給出的三個條件是兩角及夾邊，而△CDF中給出的三個條件是兩角及其中一個角的對邊，故不能判斷兩個三角形全等；D選項中可以根據(jù)ASA判斷出兩個三角形全等.

7．（2022八上·長興月考）如圖，在△ABC中，點D為BC的中點，△AEF的邊EF過點C，且AE=EF，AB∥EF，AD平分∠BAE，CE=3，AB=13，則CF=()

A．10B．8C．7D．6

【答案】C

【知識點】三角形全等的判定（AAS）

【解析】【解答】解：如圖：延長FE交AD的延長線于點H，

∵AD平分∠BAE，

∴∠BAD＝∠HAE，

∵FH∥AB，

∴∠H＝∠BAD，

∴∠H＝∠HAE，

∴EA＝EH＝EF，設(shè)CF＝x，則EF＝EA＝EH＝x＋3，

∵∠H＝∠BAD，∠HDC＝∠ADB，DC＝DB，

∴△HDC≌△ADB（AAS），

∴AB＝CH=13，

∴x＋3＋3＝13，

∴x＝7，

∴CF=7.

故答案為：C.

【分析】延長FE交AD的延長線于點H，根據(jù)角平分線的定義及平行線的性質(zhì)得∠H＝∠HAE，根據(jù)等角對等邊得EA＝EH＝EF，設(shè)CF＝x，則EF＝EA＝EH＝x＋3，利用AAS判斷出△HDC≌△ADB，根據(jù)全等三角形對應邊相等得AB＝CH=13，從而根據(jù)CH的長度建立方程，求解可得x的值，從而即可得出CF的長.

8．（2022八上·溫州期中）如圖，平分，于點，若，點是邊上一動點，關(guān)于線段敘述正確的是（）

A．B．C．D．

【答案】D

【知識點】垂線段最短；角平分線的性質(zhì)

【解析】【解答】解：過P點作PH⊥AB于H，如圖，

平分，，，

，

點E是邊AB上一動點，

.

故答案為：D.

【分析】過P點作PH⊥AB于H，根據(jù)角平分線上的點到角兩邊的距離相等得PH=PD=6，進而根據(jù)垂線段最短即可得出PE的取值范圍.

9．（2022八上·吳興期中）如圖，在△ABC中，按以下步驟作圖：①分別以B，C為圓心，以大于BC的長為半徑作弧，兩弧相交于兩點M，N；②作直線MN交AB于點D，連接CD．若CD=AC，∠A=50°，則∠ACB的度數(shù)為（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知識點】三角形的外角性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)

【解析】【解答】解：由題意可知：直線MN垂直平分線段BC，

∴BD=CD，

∴∠B=∠BCD，

設(shè)∠B=∠BCD=x，

∵CD=AC，

∴∠A=∠CDA=2x，

∴∠ACD=180°-4x，

∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=180°-4x+x=180°-3x

又∵∠A=50°，

∴x=25°，

∴∠ACB=180°-3×25°=105°.

故答案為：C.

【分析】由題意得直線MN垂直平分線段BC，可得BD=CD，從而得∠B=∠BCD，設(shè)∠B=∠BCD=x，再利用外角性質(zhì)可得到∠ACB=180°-3x，求得x=25°，代入即可求解.

10．（2022八上·溫州期中）如圖，把兩根鋼條，的中點連在一起，可以做成一個測量工件內(nèi)槽寬的卡鉗，卡鉗的工作原理是全等三角形的判定定理，其依據(jù)是（）

A．B．C．D．

【答案】B

【知識點】全等三角形的應用

【解析】【解答】解：卡鉗的工作原理利用了三角形全等判定定理SAS，理由如下：

連接A'B'，

是，的中點，

，，

又與是對頂角，

，

在和中，

，

∴△AOB≌△A'OB'（SAS），

，

只要量出的長度，就可以知道工作的內(nèi)徑是否符合標準.

故答案為：B.

【分析】利用SAS判斷出△AOB≌△A'OB'，根據(jù)全等三角形的對應邊相等可得A'B'=AB，據(jù)此即可得出答案.

二、填空題（每題4分，共24分）

11．（2022八上·青田期中）如圖，在△ABC中，AB＝10，AC＝6，則BC邊上的中線AD的取值范圍是.

【答案】2＜AD＜8

【知識點】三角形三邊關(guān)系；三角形全等的判定（SAS）

【解析】【解答】解：延長AD至E，使DE＝AD，連接BE，如圖1所示

∵AD是BC邊上的中線，

∴BD＝CD，

在△BDE和△CDA中，

，

∴△BDE≌△CDA（SAS），

∴BE＝AC＝6，

在△ABE中，由三角形的三邊關(guān)系得：AB﹣BE＜AE＜AB+BE，

∴10﹣6＜AE＜10+6，即4＜AE＜16，

∴2＜AD＜8；

故答案為2＜AD＜8.

【分析】延長AD至E，使DE＝AD，連接BE，證明△BDE≌△CDA（SAS），可得BE＝AC＝6，在△ABE中，由三角形的三邊關(guān)系得AB﹣BE＜AE=2AD＜AB+BE，據(jù)此即可求解.

12．（2022八上·余姚期中）如圖，點D是等腰的邊BC上的一點，過點B作于點E，連接CE，若，則的值是．

【答案】2

【知識點】三角形的面積；三角形全等的判定（AAS）

【解析】【解答】解：過點C作于點F，

∵是等腰直角三角形，

∴，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，，

∴，

在和中，，

∴，

∴，

∴．

故答案為：2．

【分析】過點C作CF⊥AD于點F，根據(jù)同角的余角相等得∠CAF=∠ABE，用AAS判斷△AEB≌△CFA，根據(jù)全等三角形的對應邊相等得CF=AE=2，進而根據(jù)三角形面積計算公式即可算出答案.

13．（2023八上·武義期末）如圖，在中，是邊上的高，平分，交于點E，，若的面積為9，則的長為.

【答案】3

【知識點】三角形的面積；角平分線的性質(zhì)

【解析】【解答】解：過作于，

是邊上的高，平分，交于點，

，

，

，

，

故答案為：3.

【分析】過E作EF⊥BC于F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得DE=EF，然后根據(jù)三角形的面積公式進行計算.

14．（2022八上·海曙期中）在中，的垂直平分線分別交，于點、，的垂直平分線分別交，于點、，若，，且的周長為16，求.

【答案】4

【知識點】線段垂直平分線的性質(zhì)

【解析】【解答】解：∵DE是AB的垂直平分線，F(xiàn)G是AC的垂直平分線，

，，

的周長為16，

，

，

，

，，

，

故答案為：4.

【分析】根據(jù)垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等得AE=BE，AG=CG，根據(jù)三角形周長計算方法及等量代換可得BE+EG+CG=16，進而根據(jù)線段的和差即可得出答案.

15．（2022八上·杭州期中）沛沛沿一段筆直的人行道行走，邊走邊欣賞風景，在由C走到D的過程中，通過隔離帶的空隙P，剛好瀏覽完對面人行道宣傳墻上的一條標語，具體信息如下：如圖，////，相鄰兩平行線間的距離相等，AC，BD相交于P，垂足為D.已知米.請根據(jù)上述信息求標語AB的長度.

【答案】16

【知識點】全等三角形的應用

【解析】【解答】解：∵AB∥CD，

∴∠ABP=∠CDP，

∵PD⊥CD，

∴∠CDP=，

∴∠ABP=，即PB⊥AB，

∵相鄰兩平行線間的距離相等，

∴PD=PB，

在△ABP與△CDP中，

，

∴△ABP≌△CDP（ASA），

∴CD=AB=16米.

故答案為：16

【分析】根據(jù)ASA證明△ABP≌△CDP，可得CD=AB=16米.

16．（2023八上·長興月考）小明不慎將一塊三角形的玻璃摔碎成如圖所示的四塊(即圖中標有1、2、3、4的四塊)．你認為將其中的哪一塊帶去，就能配一塊與原來一樣大小的三角形？應該帶第塊。依據(jù)。

【答案】2；ASA

【知識點】全等三角形的應用

【解析】【解答】解：∵第二塊有完整的兩角和夾邊，可以利用角邊角定理找到和和原來三角形全等的三角形，符合題意，其他幾塊都沒有三角形全等完整的的三要素.

故答案為：2，ASA.

【分析】根據(jù)三角形全等的判定定理進行分析，三角形全等有邊角邊、角角邊、角邊角和邊邊邊等定理，逐一對照分析即可判斷.

三、解答題（共8題，共66分）

17．根據(jù)要求回答下列問題：

（1）工程建筑中經(jīng)常采用三角形的結(jié)構(gòu)，如屋頂?shù)匿摷?，輸電線的支架等，這里運用的三角形的性質(zhì)是；

（2）下列圖形具有穩(wěn)定性的有個：

正方形、長方形、直角三角形、平行四邊形

（3）要使五邊形木架（用5根木條釘成）不變形，工人準備再釘上兩根木條，如圖的兩種釘法中正確的是：；

（4）要使四邊形木架（用4根木條釘成）不變形，至少需要加1根木條固定，要使五邊形木架不變形，至少需要加2根木條固定，要使六邊形木架不變形，至少需要加3根木條固定，…，如果要使一個n邊形木架不變形，至少需要加根

【答案】（1）三角形的穩(wěn)定性

（2）一

（3）方法一

（4）（n﹣3）

【知識點】三角形的穩(wěn)定性

【解析】【解答】解：（1）工程建筑中經(jīng)常采用三角形的結(jié)構(gòu)，如屋頂?shù)匿摷?，輸電線的支架等，這里運用的三角形的性質(zhì)是三角形的穩(wěn)定性；

（2）下列圖形具有穩(wěn)定性的有直角三角形一個：

正方形、長方形、直角三角形、平行四邊形

（3）要使五邊形木架（用5根木條釘成）不變形，工人準備再釘上兩根木條，如圖的兩種釘法中正確的是：方法一；

（4）過n邊形的一個頂點可以作（n﹣3）條對角線，把多邊形分成（n﹣2）個三角形，

所以，要使一個n邊形木架不變形，至少需要（n﹣3）根木條固定．

故答案為：三角形的穩(wěn)定性；一；方法一；（n﹣3）．

【分析】（1）利用三角形的穩(wěn)定性進行解答；

（2）只有三角形具有穩(wěn)定性，其他圖形不具有穩(wěn)定性；

（3）根據(jù)三角形的穩(wěn)定性進行判斷即可；

（4）根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性，需要的木條數(shù)等于過多邊形的一個頂點的對角線的條數(shù)．

18．（2022八上·青田期中）如圖，點B，F(xiàn)，C，E在同一條直線上，點A，D在直線BC的異側(cè)，AB＝DE，AC＝DF，BF＝EC.

（1）求證：△ABC≌△DEF；

（2）若∠BFD＝130°，求∠ACB的度數(shù).

【答案】（1）證明：∵BF＝EC，

∴BF+FC＝EC+FC，

∴BC＝EF，

在△ABC和△DEF中，

，

∴△ABC≌△DEF（SSS）

（2）解：∵∠BFD＝130°，∠BFD+∠DFE＝180°，

∴∠DFE＝50°，

由（1）知，△ABC≌△DEF，

∴∠ACB＝∠DFE，

∴∠ACB＝50°.

【知識點】三角形全等的判定（SSS）

【解析】【分析】（1）由BF＝EC可得BF+FC＝EC+FC，即得BC＝EF，根據(jù)SSS證明△ABC≌△DEF；

（2）由鄰補角可求出∠DFE＝50°，再利用全等三角形的對應角相等可得∠ACB＝∠DFE=50°.

19．（2022八上·杭州期中）如圖，在△ABC中，D為AB上一點，E為AC中點，連接DE并延長至點F，使得EF＝ED，連CF.

（1）求證：CF∥AB

（2）若∠ABC＝50°，連接BE，BE平分∠ABC，AC平分∠BCF，求∠A的度數(shù).

【答案】（1）證明：∵在△AED和△CEF中

∴△AED≌△CEF（SAS），

∴∠A＝∠ACF，

∴CF∥AB；

（2）解：∵AC平分∠BCF，

∴∠ACB＝∠ACF，

∵∠A＝∠ACF，

∴∠A＝∠ACB，

∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠ABC＝50°，

∴2∠A＝130°，

∴∠A＝65°.

【知識點】平行線的判定；三角形內(nèi)角和定理；三角形全等的判定（SAS）；角平分線的定義

【解析】【分析】（1）根據(jù)中點的概念可得AE=CE，由對頂角的性質(zhì)可得∠AED=∠CEF，由已知條件可知DE=EF，利用SAS證明△AED≌△CEF，得到∠A＝∠ACF，然后根據(jù)平行線的判定定理進行證明；

（2）根據(jù)角平分線的概念可得∠ACB＝∠ACF，由（1）可知∠A＝∠ACF，則∠A＝∠ACB，然后結(jié)合內(nèi)角和定理進行計算.

20．（2023八上·余姚期末）如圖，在四邊形中，P為邊上的一點，.、分別是、的角平分線.

（1）若，則的度數(shù)為，的度數(shù)為；

（2）求證：；

（3）設(shè)，，過點P作一條直線，分別與，所在直線交于點E、F，若，直接寫出的長（用含a的代數(shù)式表示）

【答案】（1）55°；90°

（2）證明：如圖1，延長交的延長線于點，

由（1）得，

∴，

在和中，

，，，

∴，

∴，，

∵，

∴，

在和中，

，，，

∴，

∴，

∴

（3）解：或

【知識點】平行線的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理；角平分線的性質(zhì)；三角形全等的判定（ASA）；角平分線的定義

【解析】【解答】（1）解：∵，

∴，

∵、分別是、的角平分線，

∴，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

故答案為：55°，90°

（3）解：或，

分兩種情況討論，

①將沿向右平移到，且經(jīng)過點P，交于點E，交的延長線與點F，則，

由（2）的證明過程，同理可證，

∴，

∴，

∵，，，

∴在中，，

解得，，

由（2）可知，，

∴；

②如圖3，若點F在上，，過點P作與點N，與點M.

由角平分線性質(zhì)定理可得，

在中，，

∴，

則，

在和

∵，，，

由勾股定理可得出，，

∴.

【分析】（1）由平行線的性質(zhì)可得∠ABC+∠BAD=180°，根據(jù)角平分線的概念可得∠ABP=∠ABC，∠BAP=∠BAD=35°，則∠ABP+∠BAP=(∠ABC+∠BAD)=90°，由內(nèi)角和定理可得∠APB=90°，然后根據(jù)∠ABP=90°-∠BAP進行計算；

（2）延長BP交AD的延長線于點G，由（1）得∠APB=90°，利用ASA證明△ABP≌△AGP，得到BA=GA，BP=GP，由平行線的性質(zhì)可得∠CBP=∠DGP，證明△BCP≌△GDP，得到BC=GD，據(jù)此解答；

（3）①將AB沿AD向右平移到EF，且經(jīng)過點P，交AD于點E，交BC的延長線與點F，則BF=AE，由（2）可得AE=BF=EG，由勾股定理可得AB=5a，由（2）可知AG=AB=5a，據(jù)此求解；②若點F在BC上，EF=AB，過點P作PN⊥AD與點N，PM⊥AB與點M，由角平分線性質(zhì)定理可得PM=PN，根據(jù)等面積法可得PM，由勾股定理可得AN、EN，然后根據(jù)AE=AN+EN進行解答.

21．（2022八上·義烏月考）如圖：

（1）如圖1，∠MAN＝90°，射線AE在這個角的內(nèi)部，點B、C分別在∠MAN的邊AM、AN上，且AB＝AC，CF⊥AE于點F，BD⊥AE于點D．求證：△ABD≌△CAF；

（2）如圖2，點B、C分別在∠MAN的邊AM、AN上，點E、F都在∠MAN內(nèi)部的射線AD上，∠1、∠2分別是△ABE、△CAF的外角．已知AB＝AC，且∠1＝∠2＝∠BAC．

求證：△ABE≌△CAF；

（3）如圖3，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC．點D在邊BC上，CD＝2BD，點E、F在線段AD上，∠1＝∠2＝∠BAC．若△ABC的面積為21，求△ACF與△BDE的面積之和．

【答案】（1）證明：∵CF⊥AE，BD⊥AE，∠MAN＝90°，

∴∠BDA＝∠AFC＝90°，

∴∠ABD+∠BAD＝90°，∠ABD+∠CAF＝90°，

∴∠ABD＝∠CAF，

在△ABD和△CAF中，

，

∴△ABD≌△CAF（AAS）；

（2）證明：∵∠1＝∠BAE+∠ABE，∠BAC＝∠BAE+∠CAF，

∴∠ABE＝∠CAF，

同理：∠BAE＝∠ACF，在△ABE和△CAF中，

，

∴△ABE≌△CAF（ASA）；

（3）解：如圖，過點A作AH⊥BC于H，

∵CD＝2BD，∴BC＝3BD，

∵S△ABCBC×AH，S△ABDBD×AH，

∴S△ABDS△ABC21＝7

由（2）知，△ABE≌△CAF，

∴S△ABE＝S△CAF，

∴S△ACF+S△BDE＝S△ABE+S△BDE＝S△ABD＝7，

即：△ACF與△BDE的面積之和等于7．

【知識點】三角形的面積；三角形全等的判定（ASA）；三角形全等的判定（AAS）

【解析】【分析】（1）根據(jù)垂直的定義可得∠BDA=∠AFC=90°，根據(jù)等角的余角相等，得出∠ABD=∠ACF，利用AAS即可證出本題結(jié)論；

（2）根據(jù)題意先證出∠ABE=∠CAF，∠BAE=∠FCA，再利用ASA即可證出本題結(jié)論；

（3）過點A作AH⊥BC于H，利用三角形面積公式，根據(jù)CD與BD的數(shù)量關(guān)系，可得S△ABDS△ABC，再利用（2）中結(jié)論可得△ACF與△BDE的面積之和等于△ABE與△BDE的面積之和，即可求出△ACF與△BDE的面積之和.

22．（2023八上·鹿城期中）問題情境：如圖1，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于點D，可知：∠BAD＝∠C（不需要證明）；

（1）特例探究：如圖2，∠MAN＝90°，射線AE在這個角的內(nèi)部，點B、C在∠MAN的邊AM、AN上，且AB＝AC，CF⊥AE于點F，BD⊥AE于點D.證明：△ABD≌△CAF；

（2）歸納證明：如圖3，點B，C在∠MAN的邊AM、AN上，點E，F(xiàn)在∠MAN內(nèi)部的射線AD上，∠1、∠2分別是△ABE、△CAF的外角.已知AB＝AC，∠1＝∠2＝∠BAC.求證：△ABE≌△CAF；

（3）拓展應用：如圖4，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC.點D在邊BC上，CD＝2BD，點E、F在線段AD上，∠1＝∠2＝∠BAC.若△ABC的面積為3，則△ACF與△BDE的面積之和為.

【答案】（1）證明：如圖②，∵CF⊥AE，BD⊥AE，∠MAN＝90°，

∴∠BDA＝∠AFC＝90°，

∴∠ABD+∠BAD＝90°，∠BAD+∠CAF＝90°，

∴∠ABD＝∠CAF