理論力學(xué)課件二五

第十七章拉格朗日方程1

動(dòng)力學(xué)本章在達(dá)朗伯原理和虛位移原理的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步導(dǎo)出動(dòng)力學(xué)普遍方程和拉格朗日第二類方程（簡稱拉格朗日方程）。動(dòng)力學(xué)普遍方程和拉格朗日方程是研究動(dòng)力學(xué)問題的有力手段，在解決非自由質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)力學(xué)問題時(shí)，顯得十分簡捷、規(guī)范。2§17–1動(dòng)力學(xué)普遍方程§17–2拉格朗日第二類方程§17–3拉格朗日第二類方程的積分第十七章拉格朗日方程3

動(dòng)力學(xué)設(shè)質(zhì)點(diǎn)系有n個(gè)質(zhì)點(diǎn)，第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)

若質(zhì)點(diǎn)系受有理想約束，將作為主動(dòng)力處理，則：解析式：§17-1動(dòng)力學(xué)普遍方程動(dòng)力學(xué)普遍方程。4

動(dòng)力學(xué)

例1三棱柱B沿三棱柱A的光滑斜面滑動(dòng)，三棱柱A置于光滑水平面上，A和B的質(zhì)量分別為M和m，斜面傾角為

。試求三棱柱A的加速度。解：研究兩三棱柱組成的系統(tǒng)。該系統(tǒng)受理想約束，具有兩個(gè)自由度。

在理想約束的條件下，質(zhì)點(diǎn)系的各質(zhì)點(diǎn)在任一瞬時(shí)受到的主動(dòng)力與慣性力在任意虛位移上所作的虛功之和為零。5

動(dòng)力學(xué)由動(dòng)力學(xué)普遍方程：系統(tǒng)為二自由度，取互不相關(guān)的為獨(dú)立虛位移，且，所以解得：6動(dòng)力學(xué)§17-2拉格朗日第二類方程設(shè)質(zhì)點(diǎn)系有n個(gè)質(zhì)點(diǎn)，受s個(gè)完整約束且系統(tǒng)所受的約束是理想約束，自由度k=3n-s。下面推導(dǎo)以廣義坐標(biāo)表示的動(dòng)力學(xué)普遍方程的形式。質(zhì)點(diǎn)。若取系統(tǒng)的一組廣義坐標(biāo)為，則稱為廣義速度。7動(dòng)力邊學(xué)代入尿質(zhì)點(diǎn)槽系動(dòng)英力學(xué)鏈普遍噸方程順，得散：8動(dòng)力愁學(xué)稱 為廣義力

廣義慣性力9動(dòng)力須學(xué)廣義濫慣性擺力可扭改變蕉為用勉質(zhì)點(diǎn)步系的振動(dòng)能嶼表示,因此為簡巷化計(jì)催算,需要囑用到盤以下眠兩個(gè)規(guī)關(guān)系示式：下面來推導(dǎo)這兩個(gè)關(guān)系式：第一式只須將(b)式兩邊對求偏導(dǎo)數(shù)即可得到。10第二業(yè)式可球比較(a)式先鞏對ql求偏輪導(dǎo)數(shù)椅再惰對t求導(dǎo)厚數(shù)與(b)式對ql求偏素導(dǎo)數(shù)或的結(jié)燦論得礙出。動(dòng)力由學(xué)拉格全朗日珍第二元類動(dòng)云力學(xué)飾方程勾，簡籌稱拉蕉格朗重日方早程。11動(dòng)力而學(xué)如果保作用籍于質(zhì)很點(diǎn)系皆的力支是有鼓勢力乖，則虧廣義渣力糊可挽用質(zhì)槽點(diǎn)系懼的勢倘能來貪表達(dá)悠。而拉氏方程為：引入釘拉格奶朗日屢函數(shù)馬：L=T-U則：保守足系統(tǒng)永的拉歌格朗售日方才程。12動(dòng)力悶學(xué)應(yīng)用好拉氏您方程鍋解題肢的步愿驟：1.判定享質(zhì)點(diǎn)淡系的鋪?zhàn)杂裳囟萲，選取車適宜遠(yuǎn)的廣夫義坐義標(biāo)。裝必須妻注意提：不慎能遺鳳漏獨(dú)事立的順坐標(biāo)蹄，也先不能盼有多擋余的丘（不腿獨(dú)立宵）坐為標(biāo)。2.計(jì)算伯質(zhì)點(diǎn)辯系的屢動(dòng)能T，表示倆為廣語義速毒度和夕廣義晌坐標(biāo)筑的函上數(shù)。3.計(jì)算逝廣義乖力震，齒計(jì)算睛公式儀為：或若主勿動(dòng)力泄為有贏勢力逃，須累將勢捷能U表示術(shù)為廣使義坐像標(biāo)的珠函數(shù)手。4.建立都拉氏松方程傾并加債以整曲理，瓶得出k個(gè)二趣階常求微分潤方程地。5.求出肺上述黎一組夫微分遙方程玻的積非分。13動(dòng)力豆學(xué)[例1]水平優(yōu)面內(nèi)叫運(yùn)動(dòng)賓的行鎮(zhèn)星齒蜓輪機(jī)散構(gòu)。峰均質(zhì)賤桿OA：重P，可繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)寬動(dòng)；憂均質(zhì)宿小齒販輪：真重Q，半徑r，沿半皮徑為R的固菌定大蠻齒輪任滾動(dòng)埋。系逗統(tǒng)初罷始靜渠止，證系桿OA位于按圖示OA0位置錘。系姻桿OA受大啟小不熄變力雀偶M作用漸后，泛求系拾桿OA的運(yùn)誤動(dòng)方脫程。所受晶約束腦皆為扮完整嶺、理狂想、市定常揉的，狂可取OA桿轉(zhuǎn)駐角

為廣敢義坐分標(biāo)。解：圖缸示機(jī)貞構(gòu)只纖有一石個(gè)自課由度14動(dòng)力狡學(xué)15動(dòng)力慘學(xué)代入督拉氏面方程蔥：積分傾，得逆：故：代入初始條件，t=0時(shí)，得16動(dòng)力繞學(xué)[例2]與剛滾度為k的彈售簧相請連的蒸滑塊A，質(zhì)量鴨為m1,可在藏光滑館水平浴面上球滑動(dòng)古?；鼔KA上又搜連一拆單擺哄，擺咐長l，擺錘伏質(zhì)量俱為m2，試列沖出該啞系統(tǒng)志的運(yùn)增動(dòng)微夸分方柜程。解：將道彈簧控力計(jì)賣入主絹動(dòng)力掉，則維系統(tǒng)食成為榜具有或完整霜、理語想約稿束的什二自陪由度店系統(tǒng)術(shù)。保禾守系冬統(tǒng)。腹取x,

為廣僅義坐允標(biāo)，x軸原點(diǎn)象位于賄彈簧剃自然嚴(yán)長度棕位置墻，

逆時(shí)零針轉(zhuǎn)懇向?yàn)楣フ?7動(dòng)力老學(xué)系統(tǒng)動(dòng)能：18動(dòng)力魯學(xué)系統(tǒng)援勢能：（爺以彈敢簧原跌長為猴彈性結(jié)勢能概零點(diǎn)魯，滑喇塊A所在矩平面做為重助力勢翼能零芒點(diǎn)）拉格至朗日艦函數(shù)選：19動(dòng)力打?qū)W代入：并適當(dāng)化簡得：20動(dòng)力御學(xué)系統(tǒng)綿的運(yùn)秘動(dòng)微按分方捎程。上式雹為系派統(tǒng)在濾平衡喊位置(x=0屑,

=0飯)附近今微幅終運(yùn)動(dòng)物的微辜分方濾程。若系統(tǒng)在平衡位置附近作微幅運(yùn)動(dòng)，此時(shí)

<<1o,cos

1,sin

，略去二階以上無窮小量，則21動(dòng)力請學(xué)§1膜7-殃3拉格耀朗日逐第二年類方居程的磚積分對于運(yùn)保守葛系統(tǒng)危，可羽以得聾到拉程格朗瓣日方亂程的傷某些用統(tǒng)一晨形式趣的首含次積深分，遼從而謀使得役保守襖系統(tǒng)挽動(dòng)力著學(xué)問閣題的渡求解亮過程姿進(jìn)一餃步簡休化。保守禮系統(tǒng)娛拉格捉朗日付方程良的首收次積章分包賠括：戰(zhàn)能量耍積分去、循顆環(huán)積涉分。一、督能量農(nóng)積分設(shè)系絕統(tǒng)所尾受的驕主動(dòng)游力是齊有勢嶺力，粉且拉詢格朗悄日函療數(shù)L=T-U中不條顯含t，則22動(dòng)力熔學(xué)廣義鉗能量羊積分艷。保守奮系統(tǒng)議的拉車格朗漲日函和數(shù)不港顯含動(dòng)時(shí)間t時(shí)，筑保守芽系統(tǒng)拐的廣義忌能量果守恒。可篇以證茄明，假當(dāng)系睜統(tǒng)約額束為醫(yī)定常副時(shí)，搖上式篇為=023系統(tǒng)待的廣透義能撒量積為分式捧就是水系統(tǒng)贊的機(jī)匠械能抱守恒煎方程曬式。動(dòng)力畫學(xué)二、計(jì)循環(huán)撒積分如果棕拉格引朗日判函數(shù)L中不保顯含睛某一臉廣義決坐標(biāo)qr,則該譜坐標(biāo)典稱為成保守顫系統(tǒng)俱的循環(huán)賓坐標(biāo)瘋或可籠遺坐撕標(biāo)。當(dāng)為系統(tǒng)的循環(huán)坐標(biāo)時(shí)，必有于是頌拉氏兵方程翻成為24動(dòng)力飲學(xué)積分得：循環(huán)曾積分因L=T-U，而U中不顯含，故上式可寫成Pr稱為悠廣義臘動(dòng)量俯，因撞此循添環(huán)積魚分也之可稱軟為系鐵統(tǒng)的淚廣義良動(dòng)量拔積分出。保守祝系統(tǒng)溉對應(yīng)習(xí)于循衛(wèi)環(huán)坐或標(biāo)的雅廣義番動(dòng)量呀守恒買。一個(gè)霸系統(tǒng)側(cè)的能繪量積霞分只嫁可能綢有一域個(gè)；億而循蜜環(huán)積失分可膝能不籠止一利個(gè)，番有幾撓個(gè)循扣環(huán)坐襖標(biāo)，運(yùn)便有筆幾個(gè)剝相應(yīng)艇的循桶環(huán)積沾分。能量際積分顏和循權(quán)環(huán)積稻分都爭是由脂保守蚊系統(tǒng)僻拉格憐朗日癢方程喘積分愿一次眼得到霸的，捕它們蟻都是綠比拉仍格朗漢日方慶程低罩一階辮的微讀分方戴程。25動(dòng)力樹學(xué)[例3]楔形黑體重P，斜面勉傾角

，置跪于光筐滑水震平面栗上。影均質(zhì)班圓柱剖體重Q，半徑兄為r，在楔形襪體的興斜面碧上只既滾不己滑。踐初始英系統(tǒng)劃靜止叮，且股圓柱絨體位炒于斜柴面最都高點(diǎn)省。試?yán)p求：(1罰)系統(tǒng)道的運(yùn)戚動(dòng)微掉分方主程；(2盲)楔形寫體的景加速團(tuán)度；(3犧)系統(tǒng)蜻的能喘量積弟分與撓循環(huán)竹積分穴。解：研究灑楔形抓體與鋤圓柱繡體組敏成的疼系統(tǒng)尼。系鮮統(tǒng)受末理想夾、完責(zé)整、襪定常閱約束化，具離有兩捷個(gè)自弱由度戒。取飾廣義叔坐標(biāo)解為x,s；各坐挨標(biāo)原條點(diǎn)均雄在初蝕始位焰置。26動(dòng)力勿學(xué)系統(tǒng)鈴的動(dòng)彎能：系統(tǒng)遣的勢似能：取水匆平面樓為重歇力勢烤能零賄點(diǎn)。拉格魔朗日酷函數(shù)繡：27動(dòng)力量學(xué)代入拋保守殊系統(tǒng)朝拉氏河方程重，并饞適當(dāng)坡化簡根，得艘到系槽統(tǒng)的降運(yùn)動(dòng)針微分挺方程片。（d）解得撲楔形牙體的滅加速盡度為拉格地朗日飲函數(shù)L中不漆顯含t，故系統(tǒng)然存在損能量襯積分御。28動(dòng)力藥學(xué)當(dāng)t=0時(shí)，，x=

s=0,代入上式中，得

29動(dòng)力演學(xué)由于筑拉格烤朗日適函數(shù)L中不將顯含貝廣義鋼坐標(biāo)x