2022-2023學(xué)年江西省撫州市南城縣八年級（下）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）

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一、選擇題（本大題共6小題，共18.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.下列四個圖形中，中心對稱圖形是()

A.B.

C.D.

2.以下各組數(shù)為三角形的三條邊長，其中是直角三角形的三條邊長的是()

A.，，B.，，C.，，D.，，

3.不等式的正整數(shù)解有()

A.個B.個C.個D.個

4.如圖，中，，是角平分線，若，則線段的長()

A.

B.

C.

D.

5.如圖，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)角得到，若點恰好在的延長線上，則等于()

A.

B.

C.

D.

6.如圖，在第一個中，，，在上取一點，延長到，使得，得到第二個；在上取一點，延長到，使得；，按此做法進行下去，則第個三角形中，以點為頂點的等腰三角形的底角的度數(shù)為()

A.B.C.D.

二、填空題（本大題共6小題，共18.0分）

7.已知等腰三角形的頂角的度數(shù)為，則底角的度數(shù)為．

8.若點是第二象限的點，則的取值范圍是______．

9.如圖，將直角三角板繞頂點順時針旋轉(zhuǎn)到，點恰好落在的延長線上，，，則______

10.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點，的坐標(biāo)分別為，把沿軸向右平移得到，如果點的坐標(biāo)為，則點的坐標(biāo)為．

11.如圖，是等邊邊上的中線，的垂直平分線交于點，交于點，若，則的長為______．

12.如圖，中，，，，動點從點出發(fā)沿射線以的速度運動，設(shè)運動時間為，當(dāng)為等腰三角形時，的值為______．

三、解答題（本大題共12小題，共92.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

13.本小題分

解下列不等式：．

14.本小題分

如圖，點在的角平分線上，過點作，交于點，且，求點到的距離．

15.本小題分

解下列不等式組并把它的解集表示在數(shù)軸上．

16.本小題分

如圖，等邊和等邊的邊長相等，與在同一直線上，請根據(jù)如下要求，使用無刻度的直尺畫圖．

在圖中畫一個直角三角形；

在圖中畫出的平分線．

17.本小題分

如圖，已知中，，，求，度數(shù)．

18.本小題分

如圖，正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是一個單位長度，在平面直角坐標(biāo)系中，的三個頂點、、均在格點上．

將向下平移個單位得到，并寫出點的坐標(biāo)；

畫出繞點逆時針旋轉(zhuǎn)后得到的，并寫出點的坐標(biāo)．

19.本小題分

已知關(guān)于，的二元一次方程組的解滿足，其中是非負整數(shù)，求的值．

20.本小題分

“疫情就是命令、防控就是責(zé)任”撫州市南城縣某公司在疫情復(fù)工準(zhǔn)備工作中，計劃同時購買一定數(shù)量的甲、乙品牌消毒液，若購進甲品牌消毒液瓶和乙品牌消毒液瓶，共需資金元；若購進甲品牌消毒液瓶和乙品牌消毒液瓶，共需資金元．

甲、乙品牌消毒液的單價分別是多少元？

該公司計劃購進甲、乙品牌消毒液共瓶，而可用于購買這兩種商品的資金不超過元，且要求購買甲品牌消毒液的數(shù)量不少于乙品牌消毒液數(shù)量的一半試問：該公司有幾種購買方案？

21.本小題分

如圖，在和中，，，、相交于點．

試說明的理由；

若，，，求的長．

22.本小題分

如圖，已知函數(shù)的圖象與軸交于點，一次函數(shù)的圖象分別與軸、軸交于點，，且與的圖象交于點．

求，的值；

若，則的取值范圍是______；

求四邊形的面積．

23.本小題分

如圖，點是等邊三角形內(nèi)一點，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，，，．

求證：；

若，，，求的度數(shù)．

24.本小題分

閱讀情境：在綜合實踐課上，同學(xué)們探究“全等的等腰直角三角形圖形變化問題”．

如圖，≌，其中，，此時，點與點重合．

操作探究：小凡將圖中的兩個全等的和按圖方式擺放，點落在上，所在直線交所在直線于點，連結(jié)，求證：．

操作探究：小彬?qū)D中的繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角度，然后，分別延長、，它們相交于點如圖，在操作中，小彬提出如下問題，請你解答：

時，求證：為等邊三角形；

當(dāng)______時，直接回答即可

操作探究：小穎將圖中的繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)角度，線段和相交于點，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到點是邊的中點時可利用圖畫圖，直接寫出線段的長為______．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：、不是中心對稱圖形，不符合題意；

B、不是中心對稱圖形，不符合題意；

C、不是中心對稱圖形，不符合題意；

D、是中心對稱圖形，符合題意．

故選：．

根據(jù)中心對稱圖形的概念結(jié)合各圖形的特點求解．

本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念．判斷中心對稱圖形是要尋找對稱中心，圖形旋轉(zhuǎn)度后與原圖形重合．

2.【答案】

【解析】解：、，

以，，為三角形的三條邊長不能組成直角三角形，故此選項錯誤；

B、，

以，，為三角形的三條邊長能組成直角三角形，故此選項正確；

C、，

以，，為三角形的三條邊長不能組成直角三角形，故此選項錯誤；

D、，

以，，為三角形的三條邊長不能組成直角三角形，故此選項錯誤．

故選：．

根據(jù)勾股定理逆定理逐項判斷即可．

本題主要考查了勾股定理的逆定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理的逆定理，如果一個三角形的三邊、、滿足，那么這個三角形是直角三角形．

3.【答案】

【解析】解：，

移項得：，

合并同類項得：，

不等式的解集為，

不等式的正整數(shù)解有，，，一共個，

故選：．

先求出不等式的解集，然后求出其正整數(shù)解即可．

本題主要考查了求一元一次不等的整數(shù)解，正確求出不等式的解集是解題的關(guān)鍵．

4.【答案】

【解析】解：中，，，

，

是的角平分線，

，

．

在中，由勾股定理知：，即，

．

故選：．

首先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)推出的度數(shù)，然后由角平分線的性質(zhì)求出，最后根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值即可求出的長度．

本題主要考查了勾股定理，角平分線的性質(zhì)以及含度角的直角三角形．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．

5.【答案】

【解析】解：由旋轉(zhuǎn)得，，，，

，

，

故選：．

由旋轉(zhuǎn)得，，，，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，即可求出答案．

此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形等邊對等角求角度，正確理解旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

6.【答案】

【解析】解：在中，，，

，

，是的外角，

；

同理可得，，

，

以點為頂點的等腰三角形的底角為．

，

故選：．

先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出的度數(shù)，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)分別求出，及的度數(shù)，找出規(guī)律即可得出的度數(shù)．

本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，根據(jù)題意得出，及的度數(shù)，找出規(guī)律是解答此題的關(guān)鍵．

7.【答案】

【解析】解：等腰三角形的頂角的度數(shù)為，

等腰三角形的底角的度數(shù)為，

故答案為：．

在等腰三角形中，兩底角相等，在結(jié)合三角形內(nèi)角定理即可作答．

本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，掌握等腰三角形中，兩底角相等，是解答本題的關(guān)鍵．

8.【答案】

【解析】解：是第二象限內(nèi)的點，

，

解得：．

故答案為：．

已知點是第二象限內(nèi)的點，即可得到橫縱坐標(biāo)的符號，即可求解．

本題主要考查了平面直角坐標(biāo)系中第二象限的點的坐標(biāo)的符號特點，熟練掌握平面直角坐標(biāo)系中點的特點是解題關(guān)鍵．

9.【答案】

【解析】解：，，

，

將直角三角板繞頂點順時針旋轉(zhuǎn)到，

．

點恰好落在的延長線上，

．

故答案為：．

利用旋轉(zhuǎn)不變性，三角形內(nèi)角和定理和平角的意義解答即可．

本題主要考查了圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，平角的意義，利用旋轉(zhuǎn)不變性解答是解題的關(guān)鍵．

10.【答案】

【解析】

【分析】

本題考查坐標(biāo)與圖形變化平移，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．

利用平移的性質(zhì)解決問題即可．

【解答】

解：，，

點向右平移個單位得到，

，

點向右平移個單位得到，

故答案為．

11.【答案】

【解析】解：是等邊邊上的中線，

是上的高，是的平分線，

，，

如圖，連接，

是的垂直平分線，

，

在中，，

，

，

故答案為：．

根據(jù)三線合一得出，，連接，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得出，根據(jù)等邊對等角得出，即可得出，根據(jù)含度角的直角三角形的性質(zhì)，得出，進而即可求解．

本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，等邊對等角，含度角的直角三角形的性質(zhì)，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．

12.【答案】或或

【解析】解：，，，

．

當(dāng)時，；

當(dāng)時，，；

當(dāng)時，，，，

在中，，

即，

解得．

綜上，當(dāng)為等腰三角形時，或或．

故答案為：或或．

當(dāng)為等腰三角形時，分三種情況：當(dāng)時；當(dāng)時；當(dāng)時，分別求出的長度，繼而可求得的值．

本題考查勾股定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用分類討論的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．

13.【答案】解：，

，

，

，

，

．

【解析】按照解一元一次不等式的步驟，進行計算即可解答．

本題考查了解一元一次不等式，熟練掌握解一元一次不等式的步驟是解題的關(guān)鍵．

14.【答案】解：如圖，過點作于點，

點在的角平分線上，，，

，

，

，

即點到的距離為．

【解析】如圖，過點作于點，證明即可．

本題主要考查了解一元一次不等式，角平分線上的點到兩邊距離相等，解題的關(guān)鍵是熟練掌握解一元一次不等式的方法和步驟，掌握角平分線上的點到兩邊距離相等．

15.【答案】解：，

解不等式，得，

解不等式，得，

所以不等式組的解集是，

在數(shù)軸上表示為：

．

【解析】先求出兩個不等式的解集，再根據(jù)求不等式組解集的規(guī)律求出不等式組的解集，最后在數(shù)軸上表示出不等式組的解集即可．

本題考查了解一元一次不等式組和在數(shù)軸上表示不等式組的解集，能根據(jù)求不等式組解集的規(guī)律求出不等式組的解集是解此題的關(guān)鍵．

16.【答案】解：如圖所示：連接，

與全等且為等邊三角形，

四邊形為菱形，連接，則平分，

，

，

，

則為直角三角形，同理可知，也為直角三角形；

如圖所示：連接、、，則四邊形和四邊形為菱形，

則，，設(shè)，相交于，交于點，交于點，

則，，

由得：，，

則，

在和中

，

≌，

，

由到角兩邊距離相等的點在角平分線上，可知，連接，為所作的角平分線．

【解析】直接利用等邊三角形的性質(zhì)結(jié)合菱形的性質(zhì)得出為直角三角形，同理可知，也為直角三角形；

利用菱形的判定與性質(zhì)得出≌，得出，進而結(jié)合角平分線的判定得出答案．

此題主要考查了應(yīng)用設(shè)計與作圖，正確應(yīng)用菱形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．

17.【答案】解：，

，

，

，

設(shè)，

則，

，

，

解得：，所以，

即，．

【解析】由于，所以和都是等腰三角形，可設(shè)，則，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理的推論，可以求出，度數(shù)．

本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理；解題中運用了等腰三角形“等邊對等角”的性質(zhì)，并聯(lián)系三角形的內(nèi)角定理求解有關(guān)角的度數(shù)問題．

18.【答案】解：如圖所示，即為所求，點的坐標(biāo)為；

如圖所示，即為所求，點的坐標(biāo)為；

【解析】根據(jù)平移規(guī)律可得，向下平移個單位，即橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)減，即可得到坐標(biāo)．

根據(jù)旋轉(zhuǎn)規(guī)律，圖形旋轉(zhuǎn)，即對應(yīng)邊的旋轉(zhuǎn)角為，找到對應(yīng)點的位置即可得到答案，同時也可得到的坐標(biāo)．

本題考查平移和旋轉(zhuǎn)，熟練掌握平移和旋轉(zhuǎn)的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．

19.【答案】解：方程組

得：，

，

，

，

，

是非負整數(shù)，

或．

【解析】此題考查的是二元一次方程組和不等式的解法，解得，再根據(jù)列出關(guān)于的不等式，即可求出的取值范圍．

先把當(dāng)做已知數(shù)，求出，再根據(jù)列出關(guān)于的不等式，求出的取值范圍即可．

20.【答案】解：設(shè)甲、乙品牌的消毒液的單價分別為元，元，

由題意得：，

解得：，

甲品牌的消毒液的單價為元，乙品牌的消毒液的單價為元．

設(shè)購進甲品牌的消毒液瓶，則購進乙品牌的消毒液瓶，

由題意可得，，

解得：，

為正整數(shù)，

可取，，，，

共有種方案．

【解析】設(shè)甲、乙品牌的消毒液的單價分別為元，元，由“購進甲品牌消毒液瓶和乙品牌消毒液瓶，共需資金元；購進甲品牌消毒液瓶和乙品牌消毒液瓶，共需資金元”，可列出二元一次方程組，解方程組即可得答案；

設(shè)購進甲品牌的消毒液瓶，則購進乙品牌的消毒液瓶，根據(jù)資金不超過元，購買甲品牌消毒液的數(shù)量不少于乙品牌消毒液數(shù)量的一半可列出一元一次不等式組，求出的取值范圍，結(jié)合為正整數(shù)即可得答案．

本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一元一次不等式組的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是找準(zhǔn)等量關(guān)系和不等關(guān)系，正確列出二元一次方程組和一元一次不等式組．

21.【答案】證明：在與中，

，

≌，

，

．

，，，

，

，，

由得：，

．

【解析】先證明≌，再利用全等三角形的性質(zhì)可得；

再利用等腰直角三角形的性質(zhì)可以得出結(jié)果．

本題利用了三角形全等的判定和性質(zhì)，以及等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練運用三角形全等的判定和性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．

22.【答案】解：的圖象與的圖象交于點，

時，，解得，

．

將代入，

得，

解得，

故，；

；

函數(shù)的圖象與軸交于點，

．

一次函數(shù)的圖象分別與軸、軸交于點，，

，，

．

【解析】

【分析】

本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式，一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，三角形的面積，利用了數(shù)形結(jié)合思想．

先由函數(shù)，求出的值與點的坐標(biāo)；再將點坐標(biāo)代入，求出的值；

根據(jù)函數(shù)圖象，求出落在圖象上方的部分對應(yīng)的的取值范圍即可；

由函數(shù)求