第三章-平穩(wěn)時間序列分析3課件

三、ARMA模型1、定義具有如下結構的模型稱為自回歸移動平均模型，簡記為ARMA(p,q)特別當φ0=0時，稱為中心化ARMA(p,q)模型用過去的自己，并考慮到隨機干擾或誤差序列來預測自己三、ARMA模型1、定義具有如下結構的模型稱為自回歸移動1系數(shù)多項式引進延遲算子，中心化ARMA(p,q)模型可簡記為

其中p階自回歸系數(shù)多項式：q階移動平均系數(shù)多項式：系數(shù)多項式引進延遲算子，中心化ARMA(p,q)模型可簡記為22、平穩(wěn)條件與可逆條件ARMA(p,q)模型的平穩(wěn)條件P階自回歸系數(shù)多項式Φ(B)=0的根都在單位圓外,即ARMA(p,q)模型的平穩(wěn)性完全由其自回歸部分的平穩(wěn)性決定ARMA(p,q)模型的可逆條件q階移動平均系數(shù)多項式θ(B)=0的根都在單位圓外，即ARMA(p,q)模型的可逆性完全由其移動平滑部分的可逆性決定2、平穩(wěn)條件與可逆條件ARMA(p,q)模型的平穩(wěn)條件33、傳遞形式與逆轉形式傳遞形式逆轉形式Green函數(shù)：逆函數(shù)：可轉化為無窮階MA模型可轉化為無窮階AR模型3、傳遞形式與逆轉形式傳遞形式逆轉形式Green函數(shù)：逆函數(shù)44、ARMA(p,q)模型的統(tǒng)計性質均值自協(xié)方差自相關系數(shù)自相關系數(shù)和偏自相關系數(shù)都具有拖尾性4、ARMA(p,q)模型的統(tǒng)計性質均值5【例3.7】考察ARMA模型的自相關性ARMA(1,1):直觀地考察該模型自相關系數(shù)和偏自相關系數(shù)的性質。

【例3.7】考察ARMA模型的自相關性ARMA(1,1):6顯然，自相關系數(shù)和偏自相關系數(shù)拖尾樣本自相關圖樣本偏自相關圖顯然，自相關系數(shù)和偏自相關系數(shù)拖尾樣本自相關圖樣本偏自相關圖7ARMA模型相關性特征：模型自相關系數(shù)偏自相關系數(shù)AR(P)拖尾P階截尾MA(q)q階截尾拖尾ARMA(p,q)拖尾拖尾這也是直觀選擇擬合模型的常用方法之一ARMA模型相關性特征：模型自相關系數(shù)偏自相關系數(shù)AR(P)83.3平穩(wěn)序列的建模

建模步驟模型識別參數(shù)估計模型檢驗模型優(yōu)化3.3平穩(wěn)序列的建模建模步驟9一、建模步驟平穩(wěn)非白噪聲序列計算樣本相關系數(shù)模型識別參數(shù)估計模型檢驗模型優(yōu)化序列預測YesNo一、建模步驟平模型參數(shù)模型模序YesNo10二、計算樣本相關系數(shù)樣本自相關系數(shù)樣本偏自相關系數(shù)由克萊姆法則，解Yule-Walker方程組得到。二、計算樣本相關系數(shù)樣本自相關系數(shù)樣本偏自相關系數(shù)由克萊姆法11三、模型識別基本原則選擇模型拖尾P階截尾AR(P)q階截尾拖尾MA(q)拖尾拖尾ARMA(p,q)一般先通過時序圖直觀判斷序列平穩(wěn)性，再根據(jù)基本原則選擇模型。三、模型識別基本原則選擇模型拖尾P階截尾AR(P)q階截尾拖12模型定階的困惑：因樣本的隨機性，樣本的相關系數(shù)不會呈現(xiàn)出完全截尾，本應截尾的自相關或偏自相關系數(shù)仍會呈現(xiàn)出小值振蕩；因平穩(wěn)時間序列具有短期相關性，隨著延遲階數(shù)無窮大時，自相關或偏自相關系數(shù)都會衰減至0值附近作小值波動；沒有絕對的標準，主要靠經驗。有時也利用一下由兩種系數(shù)的近似分布推出的結論。何時可作為截尾？何時為拖尾？模型定階的困惑：因樣本的隨機性，樣本的相關系數(shù)不會呈現(xiàn)出完全13樣本相關系數(shù)的近似分布Barlett定理Quenouille定理樣本相關系數(shù)的近似分布Barlett定理14模型定階的經驗方法95％的置信區(qū)間（正態(tài)分布2?σ原則）模型定階的經驗方法：若樣本(偏)自相關系數(shù)在最初d階明顯大于2倍標準差，后面幾乎95％的值都落在2倍標準差范圍內，且衰減為小值波動的過程很突然。這時常視為截尾，截尾階數(shù)為d。何時可作為截尾？何時為拖尾？模型定階的經驗方法95％的置信區(qū)間（正態(tài)分布2?σ原則）何時15例2.5續(xù)選擇合適的ARMA模型擬合1950年—1998年北京市城鄉(xiāng)居民定期儲蓄比例序列。例2.5續(xù)選擇合適的ARMA模型擬合1950年—1998年北16序列自相關圖顯然，延遲3期后，雖自相關系數(shù)都落在2σ線內,但卻逐漸的衰減為小值波動，拖尾，平穩(wěn)。序列自相關圖顯然，延遲3期后，雖自相關系數(shù)都落在2σ線內,但17序列偏自相關圖顯然，除延遲1期的偏自相關系數(shù)顯著大于2σ線外,其它突然衰減為小值波動，可認為1階截尾。所以可考慮擬合模型AR(1)序列偏自相關圖顯然，除延遲1期的偏自相關系數(shù)顯著大于2σ線外18【例3.8】美國科羅拉多州某一加油站連續(xù)57天的OVERSHORT序列

由時序圖可見，無周期性和單調趨勢，序列平穩(wěn)【例3.8】美國科羅拉多州某一加油站連續(xù)57天的OVERSH19序列自相關圖除延遲1階在2倍標準差外，其它都在2倍標準差范圍內波動，平穩(wěn)，自相關系數(shù)1階截尾。序列自相關圖除延遲1階在2倍標準差外，其它都在2倍標準差范圍20序列偏自相關圖顯然，偏自相關系數(shù)拖尾。所以可考慮擬合模型MA(1)序列偏自相關圖顯然，偏自相關系數(shù)拖尾。所以可考慮擬合模型MA21【例3.9】1880-1985全球氣表平均溫度改變值差分序列

由時序圖可見，無周期性和單調趨勢，序列平穩(wěn)【例3.9】1880-1985全球氣表平均溫度改變值差分序列22序列自相關圖顯然，自相關系數(shù)拖尾。序列自相關圖顯然，自相關系數(shù)拖尾。23序列偏自相關圖顯然，偏自相關系數(shù)拖尾。所以可考慮擬合模型ARMA(1,1)序列偏自相關圖顯然，偏自相關系數(shù)拖尾。所以可考慮擬合模型AR24四、參數(shù)估計待估參數(shù)（也稱模型口徑）非中心化的ARMA(p,q)可轉化為有p+q+2個未知參數(shù)常用估計方法：矩估計極大似然估計最小二乘估計四、參數(shù)估計待估參數(shù)（也稱模型口徑）251、矩估計原理用相應階樣本自相關系數(shù)估計總體自相關系數(shù)樣本一階均值估計總體均值樣本方差估計總體方差1、矩估計原理26【例3.10】求AR(2)模型系數(shù)的矩估計AR(2)模型Yule-Walker方程矩估計（Yule-Walker方程的解）將偏自相關系數(shù)代入Y-W方程【例3.10】求AR(2)模型系數(shù)的矩估計AR(2)模型將偏27【例3.11】求MA(1)模型系數(shù)的矩估計MA(1)模型由MA(1)協(xié)方差函數(shù)公式矩估計【例3.11】求MA(1)模型系數(shù)的矩估計MA(1)模型28【例3.12】求ARMA(1,1)模型系數(shù)的矩估計ARMA(1,1)模型自相關系數(shù)與自協(xié)方差的關系方程矩估計【例3.12】求ARMA(1,1)模型系數(shù)的矩估計ARMA(29矩估計的特點：優(yōu)點估計思想簡單直觀不需要假設總體分布計算量?。ǖ碗A模型場合）缺點信息浪費嚴重只依賴p+q個樣本自相關系數(shù)信息，其他信息都被忽略估計精度較差通常矩估計方法被用作極大似然估計和最小二乘估計迭代計算的初始值

矩估計的特點：優(yōu)點302、極大似然估計原理極大似然準則：抽取的樣本出現(xiàn)概率最大。因此未知參數(shù)的極大似然估計就是使得似然函數(shù)（聯(lián)合密度函數(shù)）達到最大的參數(shù)值

2、極大似然估計原理31似然方程由于和都不是的顯式表達式。因而似然方程組實際上是由p+q+1個超越方程構成，通常需要經過復雜的迭代算法才能求出未知參數(shù)的極大似然估計值

似然方程由于和都不是的顯式表達式。因而似然方32極大似然估計的特點優(yōu)點極大似然估計充分應用了每一個觀察值所提供的信息，因而它的估計精度高同時還具有估計的一致性、漸近正態(tài)性和漸近有效性等許多優(yōu)良的統(tǒng)計性質缺點需要已知總體分布實際中，為便于計算，很多時候看作服從多元正態(tài)分布極大似然估計的特點優(yōu)點333、最小二乘估計原理使殘差平方和達到最小的那組參數(shù)值即為最小二乘估計值

實際中最常用的參數(shù)估計方法是條件最小二乘估計法3、最小二乘估計原理實際中最常用的參數(shù)估計方法是條件最小二乘34條件最小二乘估計假設條件：過去未觀測到的序列值為0，即殘差平方和方程用迭代法，求得使其達最小的參數(shù)值。條件最小二乘估計假設條件：過去未觀測到的序列值為0，即35

最小二乘估計的特點最小二乘估計充分應用了每一個觀察值所提供的信息，因而它的估計精度高；不需總體分布，便于實現(xiàn)，所以條件最小二乘估計方法使用率最高。

最小二乘估計的特點最小二乘估計充分應用了每一個觀察值所提供36例2.5續(xù)確定1950年—1998年北京市城鄉(xiāng)居民定期儲蓄比例序列擬合模型的口徑

擬合模型：AR(1)估計方法：極大似然估計模型口徑例2.5續(xù)確定1950年—1998年北京市城鄉(xiāng)居民定期儲蓄比37例3.8續(xù)確定美國科羅拉多州某一加油站連續(xù)57天的OVERSHORTS序列擬合模型的口徑

擬合模型：MA(1)估計方