空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示（市一等獎(jiǎng)）

3.1.5空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示[目標(biāo)導(dǎo)航]課標(biāo)要求1.理解空間向量坐標(biāo)的概念,會(huì)確定一些簡單幾何體的頂點(diǎn)坐標(biāo).2.掌握空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算規(guī)律,會(huì)判斷兩個(gè)向量的共線或垂直.3.掌握空間向量的模、夾角公式和兩點(diǎn)間距離公式,并能運(yùn)用這些知識(shí)解決一些相關(guān)問題.素養(yǎng)達(dá)成通過空間向量的概念、運(yùn)算和共線向量和共面向量定理及推論的學(xué)習(xí)應(yīng)用,逐步提升學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).新知導(dǎo)學(xué)課堂探究新知導(dǎo)學(xué)·素養(yǎng)養(yǎng)成1.空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示設(shè)a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),則a+b=

;a-b=

;λa=(λa1,λa2,λa3)(λ∈R);a·b=

;a∥b?a=λb?a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R);a⊥b?a·b=0?

;(a1+b1,a2+b2,a3+b3)(a1-b1,a2-b2,a3-b3)a1b1+a2b2+a3b3a1b1+a2b2+a3b3=02.空間向量夾角和距離的坐標(biāo)計(jì)算公式(1)夾角公式設(shè)a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),則cos<a,b>=

.思考:空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算與平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算類似嗎?答案:類似,空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算是平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的推廣,兩者實(shí)質(zhì)是一樣的,只是表達(dá)形式不同而已,空間向量多了個(gè)豎坐標(biāo).名師點(diǎn)津(1)空間向量坐標(biāo)運(yùn)算實(shí)質(zhì)上是平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的推廣(只是在平面向量坐標(biāo)的基礎(chǔ)上增加了一個(gè)豎坐標(biāo)),與平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算相比,空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算適用范圍更廣,它可以解決立體幾何中的相關(guān)問題.(2)空間向量的坐標(biāo)與坐標(biāo)原點(diǎn)的選取無關(guān),是由起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)決定的,因此求解時(shí)可先求其兩端點(diǎn)的坐標(biāo).題型一課堂探究·素養(yǎng)提升空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算[例1]已知a=(2,-1,3),b=(0,-1,2).求:(1)a+b;(2)2a-3b;(3)a·b;解:(1)因?yàn)閍=(2,-1,3),b=(0,-1,2),所以a+b=(2+0,-1-1,3+2)=(2,-2,5).(2)2a-3b=2(2,-1,3)-3(0,-1,2)=(4,-2,6)+(0,3,-6)=(4,1,0).(3)a·b=(2,-1,3)·(0,-1,2)=2×0+(-1)×(-1)+3×2=7.(4)(a+b)·(a-b).方法技巧空間向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算與平面向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算方法類似,向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)乘積的和.即時(shí)訓(xùn)練1-1:已知a=(1,-2,1),a-b=(-1,2,-1),則b等于(

)(A)(2,-4,2) (B)(-2,4,-2)(C)(-2,0,-2) (D)(2,1,-3)解析:b=a-(-1,2,-1)=(1,-2,1)-(-1,2,-1)=(2,-4,2).故選A.[備用例題]已知a=(1,2,2),b=(1,0,1).(1)求|a|,|b|;(2)求a·b;(3)求<a,b>.(2)a·b=1×1+2×0+2×1=3.題型二利用向量解決平行與垂直問題(2)若ka+b與ka-2b互相垂直,求k.一題多變:將本例(2)中“若ka+b與ka-2b互相垂直”改為“若ka+b與a+kb互相平行”,其他條件不變,求k的值.方法技巧向量平行與垂直問題的兩種類型(1)平行與垂直的判斷①應(yīng)用向量的方法判定兩直線平行,只需判斷兩直線的方向向量是否共線;②判斷兩直線是否垂直,關(guān)鍵是判斷兩直線的方向向量是否垂直,即判斷兩向量的數(shù)量積是否為0.(2)利用平行與垂直求參數(shù)或其他問題,即平行與垂直的應(yīng)用.解題時(shí)要注意:①適當(dāng)引入?yún)?shù)(比如向量a,b平行,可設(shè)a=λb),建立關(guān)于參數(shù)的方程;②選擇坐標(biāo)形式,以達(dá)到簡化運(yùn)算的目的.即時(shí)訓(xùn)練2-1:(1)已知向量a=(2,-1,3),b=(-4,2,x),使a⊥b成立的x與使a∥b成立的x分別為(

)題型三利用向量求夾角與距離(2)求FH的長.方法技巧(1)求空間中兩向量夾角的方法①基向量法:結(jié)合圖形,選取一組合適的基底,將兩向量用基向量表示出來,然后代入夾角公式求解;②坐標(biāo)法:在圖形中建立空間直角坐標(biāo)系,然后求出兩向量的坐標(biāo),代入向量的夾角坐標(biāo)公式求解.利用坐標(biāo)法要注意兩點(diǎn),一是坐標(biāo)系的選取,二是要注意夾角的取值范圍<a,b>∈[0,π],要特別關(guān)注向量共線的情況.(2)求空間中線段的長①建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系;②求出線段端點(diǎn)的坐標(biāo),并求出對(duì)應(yīng)向量的坐標(biāo);③利用向量的模的坐標(biāo)公式求向量的模,即線段的長.即時(shí)訓(xùn)練3-1:已知空間中三點(diǎn)A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4).(1)求cos∠BAC;(2)求△ABC中BC邊上中線的長度.經(jīng)驗(yàn)分享區(qū)課堂達(dá)標(biāo)D1.已知向量a=(4,-2,-4),b=(6,-3,2),則下列結(jié)論正確的是(

)(A)a+b=(10,-5,-6) (B)a-b=(-2,-1,-6)(C)a·b=10 (D)|a|=6D2.若△ABC中,∠C=90°,A(1,2,-3k),B(-2,1,0),C(4,0,-2k),則k的值為(

)3.已知向量a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=(-4,-6,2),則下列結(jié)論正確的是(

)(A)a∥b,a∥c (B)a∥b,a⊥c(C)a∥b,b∥c (D)a⊥b,a∥cD4.已知a=(cosα,1,sinα),b=(sinα,1,cosα),則向量a+b與a-b的夾角是

.

答案:90°5.已知向量a=(-2,0,1),b=(1,2,x),若a⊥b,則x=

,若2a+b=(-3,2,5),