【解析】2023-2024學(xué)年初中數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè) 25.4 解直角三角形的應(yīng)用 同步分層訓(xùn)練培優(yōu)卷(滬教版五四制)

第第頁(yè)【解析】2023-2024學(xué)年初中數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)25.4解直角三角形的應(yīng)用同步分層訓(xùn)練培優(yōu)卷(滬教版五四制)登錄二一教育在線(xiàn)組卷平臺(tái)助您教考全無(wú)憂(yōu)

2023-2024學(xué)年初中數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)25.4解直角三角形的應(yīng)用同步分層訓(xùn)練培優(yōu)卷(滬教版五四制)

一、選擇題

1．（2023七下·清新期中）如圖，為測(cè)量觀光塔的高度，冬冬在坡度：的斜坡的點(diǎn)測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?，斜坡長(zhǎng)為米，到塔底的水平距離為米圖中點(diǎn)，，，在同一平面內(nèi)，則觀光塔的高度約為米結(jié)果精確到米，參考數(shù)據(jù)：，，（）

A．米B．米C．米D．米

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問(wèn)題；解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題

【解析】【解答】解：延長(zhǎng)AB交過(guò)點(diǎn)D的水平面于點(diǎn)F，作CE⊥DF于點(diǎn)E，

由題意可得：CD=26，BC=EF=9，BF=CE.

∵在Rt△CDE中，i=1：2.4，CD=26，

設(shè)CE=x，則ED=2.4x，

∴x2+(2.4x)2=262，

解得x=10，

∴BF=CE=10，ED=24.

∵∠AFD=90°，F(xiàn)D=EF+ED=33，∠ADF=53°，

∴AF=FD·tan53°=33×=44，

∴AB=AF-BF=44-10=34.

故答案為：C.

【分析】延長(zhǎng)AB交過(guò)點(diǎn)D的水平面于點(diǎn)F，作CE⊥DF于點(diǎn)E，由題意可得：CD=26，BC=EF=9，BF=CE，設(shè)CE=x，則ED=2.4x，利用勾股定理可得x的值，然后求出ED、FD，利用三角函數(shù)的概念可得AF，然后根據(jù)AB=AF-BF進(jìn)行計(jì)算.

2．（2023·官渡）“兒童放學(xué)歸來(lái)早，忙趁東風(fēng)放紙鳶”，小明周末在龍?zhí)豆珗@草坪上放風(fēng)箏，已知風(fēng)箏拉線(xiàn)長(zhǎng)100米且拉線(xiàn)與地面夾角為（如圖所示，假設(shè)拉線(xiàn)是直的，小明身高忽略不計(jì)），則風(fēng)箏離地面的高度可以表示為（）

A．B．C．D．

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題

【解析】【解答】解：過(guò)點(diǎn)A作AC⊥CB于點(diǎn)C，如圖所示：

∴，

∵AB=100，

∴AC=，

故答案為：A.

【分析】過(guò)點(diǎn)A作AC⊥CB于點(diǎn)C，根據(jù)解直角三角形即可求解。

3．（2023·昆明模擬）河堤橫斷面如圖所示，米，迎水坡的坡度是1：2（坡度是坡面的鉛直高度與水平寬度之比），則的長(zhǎng)為（）

A．米B．米C．15米D．10米

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問(wèn)題

【解析】【解答】解：∵迎水坡的坡度是1：2，

∴，

∴AC=10米，

故答案為：D

【分析】直接運(yùn)用解直角三角形的知識(shí)即可求解。

4．（2023·雙柏模擬）如圖，一把梯子靠在垂直水平地面的墻上，梯子的長(zhǎng)是6米．若梯子與地面的夾角為，則梯子底端到墻面的距離的長(zhǎng)為（）米

A．B．C．D．

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】解直角三角形；解直角三角形的應(yīng)用

【解析】【解答】∵AB=6，∠A=∠α，∠C=90°

∴在Rt△ACB中cosα=

即：AC=AB·cosα=6·cosα

故答案為A

【分析】有直角三角形中余弦公式直接求解。

5．（2023八上·紹興月考）如圖，大壩橫截面的迎水坡AB的坡比為1：2，即BC：AC＝1：2，若坡面AB的水平寬度AC為12米，則斜坡AB的長(zhǎng)為（）

A．4米B．6米C．6米D．24米

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問(wèn)題

【解析】【解答】大壩橫截面的迎水坡AB的坡比為1：2，

AC=12m，

BC：AC=1：2=BC：12

BC=6m，

m.

故答案為：C.

【分析】根據(jù)迎水坡AB的坡比推出AC，得到BC，通過(guò)勾股定理得到AB的長(zhǎng).

6．（2023·雙陽(yáng)模擬）如圖，某研究性學(xué)習(xí)小組為測(cè)量學(xué)校A與河對(duì)岸涼亭B之間的距離，在學(xué)校附近選一點(diǎn)C，利用測(cè)量?jī)x器測(cè)得，，，則學(xué)校與涼亭之間的距離等于（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用

【解析】【解答】解：∵，

∴．

故答案為：C．

【分析】在中求AB的距離，可以利用已知的邊長(zhǎng)AC和合適的銳角三角函數(shù)求得．

7．（2023·九臺(tái)模擬）如圖，為了量取垂直于地面的樹(shù)高，測(cè)量員站在距樹(shù)6米的點(diǎn)C處，用傾角儀量得樹(shù)頂端A的仰角為α．若測(cè)傾角儀離地面高為2米，則樹(shù)高的高可表示為（）

A．米B．米

C．米D．米

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用

【解析】【解答】解：由題意得，

∵OD=BC=6，

∴OA=6tanα，

∴AB=米

故答案為：C

【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義解直角三角形，結(jié)合題意即可求解。

8．（2023·烈山模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，點(diǎn)C在x軸正半軸上，點(diǎn)D在y軸正半軸上，且，以為直徑的第一象限作半圓，交線(xiàn)段于點(diǎn)E、F，則線(xiàn)段的最大值為（）

A．B．C．D．

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)；勾股定理；解直角三角形的應(yīng)用

【解析】【解答】解：如圖所示：過(guò)CD的中點(diǎn)作EF的垂線(xiàn)與AB交于點(diǎn)M，連接GF，

∵GM⊥EF，

∴EF=2FM=，

∴當(dāng)GM的值最小時(shí)，EF的值最大，

∵A(6，0)，B(0，8)，

∴AB=10，

∴sin∠OAB=，

∴OM=4.8，

∵CD=6，

∴OG=3，

∴GM=OM-OG=1.8，

∴FM=2.4，

∴EF=2FM=4.8，

故答案為：B.

【分析】先作圖，再利用勾股定理求出EF=2FM=，最后利用銳角三角函數(shù)計(jì)算求解即可。

二、填空題

9．（2023九下·孝南月考）如圖，航拍無(wú)人機(jī)從A處測(cè)得一幢建筑物頂部B的仰角為45°，測(cè)得底部C的俯角為60°，此時(shí)航拍無(wú)人機(jī)與該建筑物的水平距離AD為120m，那么該建筑物的高度BC約為m（結(jié)果保留整數(shù)，）．

【答案】328

【知識(shí)點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題

【解析】【解答】解：∵∠BAD=45°，AD=120，

∴BD=120m.

∵∠CAD=60°，AD=120，

∴CD=AD·tan60°=，

∴BC=BD+CD=120+≈328.

故答案為：328.

【分析】在Rt△ABD、Rt△ACD中，根據(jù)三角函數(shù)的概念可得BD、CD，然后根據(jù)BC=BD+CD進(jìn)行計(jì)算.

10．（2023七下·光明期中）如圖，一航班沿北偏東方向從地飛往地，到達(dá)地上空時(shí)，由于天氣情況不適合著陸，準(zhǔn)備備降地，已知地在地的北偏西方向，則其改變航向時(shí)的度數(shù)為．

【答案】75°

【知識(shí)點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問(wèn)題

【解析】【解答】解：對(duì)圖形進(jìn)行點(diǎn)標(biāo)注：

由題意可得：∠EAC=60°，∠CBF=45°，AE∥BF，

∴∠AFB=∠EAC=60°.

∵∠α+∠CBF+∠CFB=180°，

∴∠α=180°-∠CBF-∠CFB=75°.

故答案為：75°.

【分析】對(duì)圖形進(jìn)行點(diǎn)標(biāo)注，由題意可得：∠EAC=60°，∠CBF=45°，AE∥BF，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)可得∠AFB=∠EAC=60°，然后利用內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算.

11．（2023八上·紹興月考）如(圖1)，某學(xué)校樓梯墻面上懸掛了四幅全等的正方形畫(huà)框，畫(huà)框下邊緣與水平地面平行．如(圖2)，畫(huà)框的左上角頂點(diǎn)，，，都在直線(xiàn)上，且，樓梯裝飾線(xiàn)條所在直線(xiàn)，延長(zhǎng)畫(huà)框的邊，得到平行四邊形ABCD．若直線(xiàn)恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，，，則正方形畫(huà)框的邊長(zhǎng)為

【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】平行四邊形的判定與性質(zhì)；解直角三角形的應(yīng)用

【解析】【解答】如圖，延長(zhǎng)EP，交CD于D點(diǎn)，

，

四邊形BCKE是平行四邊形，

BE=CK，BC=EK，

BH=EP，

，

，四邊形ABCD是平行四邊形，

，AB=CD=275cm，

，

，

，

，

，

，

.

故答案為：.

【分析】延長(zhǎng)EP，交CD于D點(diǎn)，推出，解，求出DK，進(jìn)而得到BE和AG，最后解得到GM的長(zhǎng).

12．（2023九下·衢江月考）衢州兒童公園有摩天輪，水上樂(lè)園等娛樂(lè)設(shè)施，其中的摩天輪半徑為20米，水上樂(lè)園的最高處到地面的距離為32米；如圖，當(dāng)摩天輪的座艙A旋轉(zhuǎn)至與水上樂(lè)園最高處高度相同時(shí)，地面某觀測(cè)點(diǎn)P與座艙A，摩天輪圓心O恰好在同一條直線(xiàn)上，此時(shí)測(cè)得，則的距離為米；此時(shí)另一座艙B位于摩天輪最低點(diǎn)，摩天輪旋轉(zhuǎn)一周要12分鐘，若摩天輪繼續(xù)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，當(dāng)從座艙A觀測(cè)座艙B的俯角為45°時(shí)，經(jīng)過(guò)了分鐘.

【答案】；或

【知識(shí)點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題

【解析】【解答】解：作AE⊥PC于E，作OF⊥AE于F，

易得四邊形OCEF是矩形，，

∴，，

∴，

∴，，

∴，

∴；

如圖，連接AC，

∵，，

∴，

∵，

∴，

當(dāng)從座艙A觀測(cè)座艙B的俯角為45°時(shí)，分兩種情況，

①當(dāng)A在B的左側(cè)時(shí)，如圖，MF為水平線(xiàn)，延長(zhǎng)PA交MF于F，A移動(dòng)到A1處，B移動(dòng)到了B1處，，

由旋轉(zhuǎn)不變性知，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴從A移動(dòng)到A1處，用了（周），

∴經(jīng)過(guò)了（分鐘）；

②當(dāng)A在B的右側(cè)時(shí)，如圖，MF為水平線(xiàn)，延長(zhǎng)PA交MF于G，A移動(dòng)到A2處，B移動(dòng)到了B2處，，

由旋轉(zhuǎn)不變性知，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴從A移動(dòng)到A2處，用了（周），

∴經(jīng)過(guò)了（分鐘）；

綜上，當(dāng)從座艙A觀測(cè)座艙B的俯角為45°時(shí)，經(jīng)過(guò)了或分鐘.

故答案為：；或.

【分析】過(guò)點(diǎn)A作AE⊥PC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)O作OF⊥AE于點(diǎn)F，易得四邊形OCEF是矩形，由矩形的性質(zhì)得OF∥CE，OF=CE，由二直線(xiàn)平行，同位角相等得∠AOF=∠APC=30°，進(jìn)而根據(jù)∠AOF的余弦函數(shù)可求出OF，由∠APC的正切函數(shù)可求出PE，進(jìn)而由PC=PE-CE計(jì)算即可；連接AC，由三角形的內(nèi)角和定理得∠POC=60°，由同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半及等邊對(duì)等角得∠OAB=∠OBA=30°；當(dāng)從座艙A觀測(cè)座艙B的俯角為45°時(shí)，分兩種情況，①當(dāng)A在B的左側(cè)時(shí)，如圖，MF為水平線(xiàn)，延長(zhǎng)PA交MF于F，A移動(dòng)到A1處，B移動(dòng)到了B1處，∠FA1B1=45°，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得∠OA1B1=45°，根據(jù)角的和差算出∠OA1F=75°，由平行線(xiàn)的性質(zhì)得∠MFP=30°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得∠AOA1=75°，從而即可求出從A移動(dòng)到A1處旋轉(zhuǎn)的時(shí)間；②當(dāng)A在B的右側(cè)時(shí)，如圖，MF為水平線(xiàn)，延長(zhǎng)PA交MF于G，A移動(dòng)到A2處，B移動(dòng)到了B2處，得∠MA2B2=45°，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得∠OA2B2=30°，由∠的和差算出∠MA2O的度數(shù)，進(jìn)而根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)得∠AGA2的度數(shù)，最后根據(jù)三角形外角性質(zhì)可算出∠AOA2的度數(shù)，從而即可求出從A移動(dòng)到A2處旋轉(zhuǎn)的時(shí)間，綜上即可得出答案.

13．（2023·鹿城模擬）一款閉門(mén)器按如圖1所示安裝，支點(diǎn)A，C分別固定在門(mén)框和門(mén)板上，門(mén)寬，搖臂，連桿，閉門(mén)器工作時(shí)，搖臂、連桿和長(zhǎng)度均固定不變.如圖2，當(dāng)門(mén)閉合時(shí)，，則的長(zhǎng)為cm.如圖3，門(mén)板繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)D到門(mén)框的距離，則的長(zhǎng)為cm.

【答案】18；8

【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理；解直角三角形的應(yīng)用

【解析】【解答】解：過(guò)A作AE⊥BC，E為垂足，

，

，

，

，

，

，

；

如圖，連接AC，作CF⊥AK，F(xiàn)為垂足，E為C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，

，

，

，

，

設(shè)，則，

，

由題空1得：，，

，

又

，

，

即：，

整理得：，

解得：，（舍去），

.

故答案為：18，8.

【分析】過(guò)A作AE⊥BC，E為垂足，由∠B的正弦函數(shù)的定義可求出AE的長(zhǎng)，進(jìn)而用勾股定理算出BE的長(zhǎng)，由線(xiàn)段的和差算出CE的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理算出AC的長(zhǎng)；連接AC，作CF⊥AK，F(xiàn)為垂足，E為C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，由平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理得，設(shè)OC=13x，則CF=12x，用勾股定理表示出OF，進(jìn)而表示出AF，再用勾股定理算出AC，最后根據(jù)勾股定理建立方程可求出x，從而即可得出OC的長(zhǎng).

三、解答題

14．（2023·通遼）如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東方向，距離燈塔的A處，它沿正南方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東方向上的B處．這時(shí)，B處距離燈塔P有多遠(yuǎn)（結(jié)果取整數(shù)）？（參考數(shù)據(jù)：．）

【答案】解：設(shè)與燈塔P的正東方向相交于點(diǎn)C，

根據(jù)題意，得，，；

在中，

∵，

∴；

在中，，

∵，

∴，

答：B處距離燈塔P大約有．

【知識(shí)點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問(wèn)題

【解析】【分析】設(shè)AB與燈塔P的正東方向相交于點(diǎn)C，根據(jù)題意得∠A=72°，∠B=40°，AP=100，利用三角函數(shù)的概念可得PC、PB，據(jù)此解答.

15．（2023·瀘州）如圖，某數(shù)學(xué)興趣小組為了測(cè)量古樹(shù)的高度，采用了如下的方法：先從與古樹(shù)底端在同一水平線(xiàn)上的點(diǎn)A出發(fā)，沿斜面坡度為的斜坡前進(jìn)到達(dá)點(diǎn)，再沿水平方向繼續(xù)前進(jìn)一段距離后到達(dá)點(diǎn)．在點(diǎn)處測(cè)得古樹(shù)的頂端的俯角為，底部的俯角為，求古樹(shù)的高度（參考數(shù)據(jù)：，，，計(jì)算結(jié)果用根號(hào)表示，不取近似值）．

【答案】解：延長(zhǎng)，交于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)F，如圖所示：

則，

∵斜面的坡度為，

∴設(shè)，則，

在中，根據(jù)勾股定理得：，

即，

解得：，負(fù)值舍去，

即，

∵為水平方向，為豎直方向，

∴，

∵，

∴四邊形為矩形，

∴，

∵，

∴在中，，

∵，

∴在中，，

∴．

答：古樹(shù)的高度為．

【知識(shí)點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題

【解析】【分析】根據(jù)題意利用勾股定理求出x=20，再求出四邊形為矩形，最后利用矩形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)計(jì)算求解即可。

四、綜合題

16．（2023·衡陽(yáng)）隨著科技的發(fā)展，無(wú)人機(jī)已廣泛應(yīng)用于生產(chǎn)生活，如代替人們?cè)诟呖諟y(cè)量距離和高度．圓圓要測(cè)量教學(xué)樓的高度，借助無(wú)人機(jī)設(shè)計(jì)了如下測(cè)量方案：如圖，圓圓在離教學(xué)樓底部米的C處，遙控?zé)o人機(jī)旋停在點(diǎn)C的正上方的點(diǎn)D處，測(cè)得教學(xué)樓的頂部B處的俯角為，長(zhǎng)為米．已知目高為米．

（1）求教學(xué)樓的高度．

（2）若無(wú)人機(jī)保持現(xiàn)有高度沿平行于的方向，以米/秒的速度繼續(xù)向前勻速飛行，求經(jīng)過(guò)多少秒時(shí)，無(wú)人機(jī)剛好離開(kāi)圓圓的視線(xiàn)．

【答案】（1）解：過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)G，

根據(jù)題意可得：，米，，

∵，，，

∴四邊形為矩形，

∴米，

∵，，

∴，

∴，

∴米，

∵長(zhǎng)為米，

∴（米），

答：教學(xué)樓的高度為米．

（2）解：連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)H，

∵米，米，

∴米，

∵米，，

∴，

∴，米，

∴（米），

∵無(wú)人機(jī)以米/秒的速度飛行，

∴離開(kāi)視線(xiàn)的時(shí)間為：（秒），

答：無(wú)人機(jī)剛好離開(kāi)視線(xiàn)的時(shí)間為12秒．

【知識(shí)點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題

【解析】【分析】（1）根據(jù)題意先求出四邊形為矩形，再利用矩形的性質(zhì)求出米，最后利用銳角三角函數(shù)計(jì)算求解即可；

（2）先求出EG=24米，再利用銳角三角函數(shù)求出DH的值，最后計(jì)算求解即可。

17．（2023·吉安模擬）小明家住在某小區(qū)一樓，購(gòu)房時(shí)開(kāi)發(fā)商贈(zèng)送了一個(gè)露天活動(dòng)場(chǎng)所，現(xiàn)小明在活動(dòng)場(chǎng)所正對(duì)的墻上安裝了一個(gè)遮陽(yáng)棚，經(jīng)測(cè)量，安裝遮陽(yáng)棚的那面墻高，安裝的遮陽(yáng)棚展開(kāi)后可以使正午時(shí)刻房前能有寬的陰影處以供納涼．已知正午時(shí)刻太陽(yáng)光與水平地面的夾角為，安裝好的遮陽(yáng)篷與水平面的夾角為，如下右圖為側(cè)面示意圖．

（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）

（1）據(jù)研究，當(dāng)一個(gè)人從遮陽(yáng)棚進(jìn)出時(shí)，如果遮陽(yáng)棚外端（即圖中點(diǎn)C）到地面的距離小于時(shí)，則人進(jìn)出時(shí)總會(huì)覺(jué)得沒(méi)有安全感，就會(huì)不自覺(jué)的低下頭或者用手護(hù)著頭，請(qǐng)你通過(guò)計(jì)算，判斷此遮陽(yáng)棚是否使得人進(jìn)出時(shí)具有安全感？

（2）請(qǐng)計(jì)算此遮陽(yáng)棚延展后的長(zhǎng)度（即的長(zhǎng)度）．（結(jié)果精確到）

【答案】（1）解：過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)F，

設(shè)，則，

∵，

∴，

∴四邊形為矩形，

∴，

在中，，即，

解得：，

∴，

在中，，即，

解得：，

∵米米，

∴此遮陽(yáng)棚使得人進(jìn)出時(shí)具有安全感．

（2）解：由（2）可得：，

∴，

在中，，即，

解得：，

答：此遮陽(yáng)棚延展后的長(zhǎng)度為．

【知識(shí)點(diǎn)】矩形的判定與性質(zhì)；解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問(wèn)題

【解析】【分析】（1）利用矩形的判定求出四邊形為矩形，再求出，最后利用銳角三角函數(shù)計(jì)算求解即可；

（2）根據(jù)題意先求出BE=0.6m，再利用銳角三角函數(shù)求出，最后計(jì)算求解即可。

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2023-2024學(xué)年初中數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)25.4解直角三角形的應(yīng)用同步分層訓(xùn)練培優(yōu)卷(滬教版五四制)

一、選擇題

1．（2023七下·清新期中）如圖，為測(cè)量觀光塔的高度，冬冬在坡度：的斜坡的點(diǎn)測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?，斜坡長(zhǎng)為米，到塔底的水平距離為米圖中點(diǎn)，，，在同一平面內(nèi)，則觀光塔的高度約為米結(jié)果精確到米，參考數(shù)據(jù)：，，（）

A．米B．米C．米D．米

2．（2023·官渡）“兒童放學(xué)歸來(lái)早，忙趁東風(fēng)放紙鳶”，小明周末在龍?zhí)豆珗@草坪上放風(fēng)箏，已知風(fēng)箏拉線(xiàn)長(zhǎng)100米且拉線(xiàn)與地面夾角為（如圖所示，假設(shè)拉線(xiàn)是直的，小明身高忽略不計(jì)），則風(fēng)箏離地面的高度可以表示為（）

A．B．C．D．

3．（2023·昆明模擬）河堤橫斷面如圖所示，米，迎水坡的坡度是1：2（坡度是坡面的鉛直高度與水平寬度之比），則的長(zhǎng)為（）

A．米B．米C．15米D．10米

4．（2023·雙柏模擬）如圖，一把梯子靠在垂直水平地面的墻上，梯子的長(zhǎng)是6米．若梯子與地面的夾角為，則梯子底端到墻面的距離的長(zhǎng)為（）米

A．B．C．D．

5．（2023八上·紹興月考）如圖，大壩橫截面的迎水坡AB的坡比為1：2，即BC：AC＝1：2，若坡面AB的水平寬度AC為12米，則斜坡AB的長(zhǎng)為（）

A．4米B．6米C．6米D．24米

6．（2023·雙陽(yáng)模擬）如圖，某研究性學(xué)習(xí)小組為測(cè)量學(xué)校A與河對(duì)岸涼亭B之間的距離，在學(xué)校附近選一點(diǎn)C，利用測(cè)量?jī)x器測(cè)得，，，則學(xué)校與涼亭之間的距離等于（）

A．B．C．D．

7．（2023·九臺(tái)模擬）如圖，為了量取垂直于地面的樹(shù)高，測(cè)量員站在距樹(shù)6米的點(diǎn)C處，用傾角儀量得樹(shù)頂端A的仰角為α．若測(cè)傾角儀離地面高為2米，則樹(shù)高的高可表示為（）

A．米B．米

C．米D．米

8．（2023·烈山模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，點(diǎn)C在x軸正半軸上，點(diǎn)D在y軸正半軸上，且，以為直徑的第一象限作半圓，交線(xiàn)段于點(diǎn)E、F，則線(xiàn)段的最大值為（）

A．B．C．D．

二、填空題

9．（2023九下·孝南月考）如圖，航拍無(wú)人機(jī)從A處測(cè)得一幢建筑物頂部B的仰角為45°，測(cè)得底部C的俯角為60°，此時(shí)航拍無(wú)人機(jī)與該建筑物的水平距離AD為120m，那么該建筑物的高度BC約為m（結(jié)果保留整數(shù)，）．

10．（2023七下·光明期中）如圖，一航班沿北偏東方向從地飛往地，到達(dá)地上空時(shí)，由于天氣情況不適合著陸，準(zhǔn)備備降地，已知地在地的北偏西方向，則其改變航向時(shí)的度數(shù)為．

11．（2023八上·紹興月考）如(圖1)，某學(xué)校樓梯墻面上懸掛了四幅全等的正方形畫(huà)框，畫(huà)框下邊緣與水平地面平行．如(圖2)，畫(huà)框的左上角頂點(diǎn)，，，都在直線(xiàn)上，且，樓梯裝飾線(xiàn)條所在直線(xiàn)，延長(zhǎng)畫(huà)框的邊，得到平行四邊形ABCD．若直線(xiàn)恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，，，則正方形畫(huà)框的邊長(zhǎng)為

12．（2023九下·衢江月考）衢州兒童公園有摩天輪，水上樂(lè)園等娛樂(lè)設(shè)施，其中的摩天輪半徑為20米，水上樂(lè)園的最高處到地面的距離為32米；如圖，當(dāng)摩天輪的座艙A旋轉(zhuǎn)至與水上樂(lè)園最高處高度相同時(shí)，地面某觀測(cè)點(diǎn)P與座艙A，摩天輪圓心O恰好在同一條直線(xiàn)上，此時(shí)測(cè)得，則的距離為米；此時(shí)另一座艙B位于摩天輪最低點(diǎn)，摩天輪旋轉(zhuǎn)一周要12分鐘，若摩天輪繼續(xù)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，當(dāng)從座艙A觀測(cè)座艙B的俯角為45°時(shí)，經(jīng)過(guò)了分鐘.

13．（2023·鹿城模擬）一款閉門(mén)器按如圖1所示安裝，支點(diǎn)A，C分別固定在門(mén)框和門(mén)板上，門(mén)寬，搖臂，連桿，閉門(mén)器工作時(shí)，搖臂、連桿和長(zhǎng)度均固定不變.如圖2，當(dāng)門(mén)閉合時(shí)，，則的長(zhǎng)為cm.如圖3，門(mén)板繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)D到門(mén)框的距離，則的長(zhǎng)為cm.

三、解答題

14．（2023·通遼）如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東方向，距離燈塔的A處，它沿正南方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東方向上的B處．這時(shí)，B處距離燈塔P有多遠(yuǎn)（結(jié)果取整數(shù)）？（參考數(shù)據(jù)：．）

15．（2023·瀘州）如圖，某數(shù)學(xué)興趣小組為了測(cè)量古樹(shù)的高度，采用了如下的方法：先從與古樹(shù)底端在同一水平線(xiàn)上的點(diǎn)A出發(fā)，沿斜面坡度為的斜坡前進(jìn)到達(dá)點(diǎn)，再沿水平方向繼續(xù)前進(jìn)一段距離后到達(dá)點(diǎn)．在點(diǎn)處測(cè)得古樹(shù)的頂端的俯角為，底部的俯角為，求古樹(shù)的高度（參考數(shù)據(jù)：，，，計(jì)算結(jié)果用根號(hào)表示，不取近似值）．

四、綜合題

16．（2023·衡陽(yáng)）隨著科技的發(fā)展，無(wú)人機(jī)已廣泛應(yīng)用于生產(chǎn)生活，如代替人們?cè)诟呖諟y(cè)量距離和高度．圓圓要測(cè)量教學(xué)樓的高度，借助無(wú)人機(jī)設(shè)計(jì)了如下測(cè)量方案：如圖，圓圓在離教學(xué)樓底部米的C處，遙控?zé)o人機(jī)旋停在點(diǎn)C的正上方的點(diǎn)D處，測(cè)得教學(xué)樓的頂部B處的俯角為，長(zhǎng)為米．已知目高為米．

（1）求教學(xué)樓的高度．

（2）若無(wú)人機(jī)保持現(xiàn)有高度沿平行于的方向，以米/秒的速度繼續(xù)向前勻速飛行，求經(jīng)過(guò)多少秒時(shí)，無(wú)人機(jī)剛好離開(kāi)圓圓的視線(xiàn)．

17．（2023·吉安模擬）小明家住在某小區(qū)一樓，購(gòu)房時(shí)開(kāi)發(fā)商贈(zèng)送了一個(gè)露天活動(dòng)場(chǎng)所，現(xiàn)小明在活動(dòng)場(chǎng)所正對(duì)的墻上安裝了一個(gè)遮陽(yáng)棚，經(jīng)測(cè)量，安裝遮陽(yáng)棚的那面墻高，安裝的遮陽(yáng)棚展開(kāi)后可以使正午時(shí)刻房前能有寬的陰影處以供納涼．已知正午時(shí)刻太陽(yáng)光與水平地面的夾角為，安裝好的遮陽(yáng)篷與水平面的夾角為，如下右圖為側(cè)面示意圖．

（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）

（1）據(jù)研究，當(dāng)一個(gè)人從遮陽(yáng)棚進(jìn)出時(shí)，如果遮陽(yáng)棚外端（即圖中點(diǎn)C）到地面的距離小于時(shí)，則人進(jìn)出時(shí)總會(huì)覺(jué)得沒(méi)有安全感，就會(huì)不自覺(jué)的低下頭或者用手護(hù)著頭，請(qǐng)你通過(guò)計(jì)算，判斷此遮陽(yáng)棚是否使得人進(jìn)出時(shí)具有安全感？

（2）請(qǐng)計(jì)算此遮陽(yáng)棚延展后的長(zhǎng)度（即的長(zhǎng)度）．（結(jié)果精確到）

答案解析部分

1．【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問(wèn)題；解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題

【解析】【解答】解：延長(zhǎng)AB交過(guò)點(diǎn)D的水平面于點(diǎn)F，作CE⊥DF于點(diǎn)E，

由題意可得：CD=26，BC=EF=9，BF=CE.

∵在Rt△CDE中，i=1：2.4，CD=26，

設(shè)CE=x，則ED=2.4x，

∴x2+(2.4x)2=262，

解得x=10，

∴BF=CE=10，ED=24.

∵∠AFD=90°，F(xiàn)D=EF+ED=33，∠ADF=53°，

∴AF=FD·tan53°=33×=44，

∴AB=AF-BF=44-10=34.

故答案為：C.

【分析】延長(zhǎng)AB交過(guò)點(diǎn)D的水平面于點(diǎn)F，作CE⊥DF于點(diǎn)E，由題意可得：CD=26，BC=EF=9，BF=CE，設(shè)CE=x，則ED=2.4x，利用勾股定理可得x的值，然后求出ED、FD，利用三角函數(shù)的概念可得AF，然后根據(jù)AB=AF-BF進(jìn)行計(jì)算.

2．【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題

【解析】【解答】解：過(guò)點(diǎn)A作AC⊥CB于點(diǎn)C，如圖所示：

∴，

∵AB=100，

∴AC=，

故答案為：A.

【分析】過(guò)點(diǎn)A作AC⊥CB于點(diǎn)C，根據(jù)解直角三角形即可求解。

3．【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問(wèn)題

【解析】【解答】解：∵迎水坡的坡度是1：2，

∴，

∴AC=10米，

故答案為：D

【分析】直接運(yùn)用解直角三角形的知識(shí)即可求解。

4．【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】解直角三角形；解直角三角形的應(yīng)用

【解析】【解答】∵AB=6，∠A=∠α，∠C=90°

∴在Rt△ACB中cosα=

即：AC=AB·cosα=6·cosα

故答案為A

【分析】有直角三角形中余弦公式直接求解。

5．【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問(wèn)題

【解析】【解答】大壩橫截面的迎水坡AB的坡比為1：2，

AC=12m，

BC：AC=1：2=BC：12

BC=6m，

m.

故答案為：C.

【分析】根據(jù)迎水坡AB的坡比推出AC，得到BC，通過(guò)勾股定理得到AB的長(zhǎng).

6．【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用

【解析】【解答】解：∵，

∴．

故答案為：C．

【分析】在中求AB的距離，可以利用已知的邊長(zhǎng)AC和合適的銳角三角函數(shù)求得．

7．【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用

【解析】【解答】解：由題意得，

∵OD=BC=6，

∴OA=6tanα，

∴AB=米

故答案為：C

【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義解直角三角形，結(jié)合題意即可求解。

8．【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)；勾股定理；解直角三角形的應(yīng)用

【解析】【解答】解：如圖所示：過(guò)CD的中點(diǎn)作EF的垂線(xiàn)與AB交于點(diǎn)M，連接GF，

∵GM⊥EF，

∴EF=2FM=，

∴當(dāng)GM的值最小時(shí)，EF的值最大，

∵A(6，0)，B(0，8)，

∴AB=10，

∴sin∠OAB=，

∴OM=4.8，

∵CD=6，

∴OG=3，

∴GM=OM-OG=1.8，

∴FM=2.4，

∴EF=2FM=4.8，

故答案為：B.

【分析】先作圖，再利用勾股定理求出EF=2FM=，最后利用銳角三角函數(shù)計(jì)算求解即可。

9．【答案】328

【知識(shí)點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題

【解析】【解答】解：∵∠BAD=45°，AD=120，

∴BD=120m.

∵∠CAD=60°，AD=120，

∴CD=AD·tan60°=，

∴BC=BD+CD=120+≈328.

故答案為：328.

【分析】在Rt△ABD、Rt△ACD中，根據(jù)三角函數(shù)的概念可得BD、CD，然后根據(jù)BC=BD+CD進(jìn)行計(jì)算.

10．【答案】75°

【知識(shí)點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問(wèn)題

【解析】【解答】解：對(duì)圖形進(jìn)行點(diǎn)標(biāo)注：

由題意可得：∠EAC=60°，∠CBF=45°，AE∥BF，

∴∠AFB=∠EAC=60°.

∵∠α+∠CBF+∠CFB=180°，

∴∠α=180°-∠CBF-∠CFB=75°.

故答案為：75°.

【分析】對(duì)圖形進(jìn)行點(diǎn)標(biāo)注，由題意可得：∠EAC=60°，∠CBF=45°，AE∥BF，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)可得∠AFB=∠EAC=60°，然后利用內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算.

11．【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】平行四邊形的判定與性質(zhì)；解直角三角形的應(yīng)用

【解析】【解答】如圖，延長(zhǎng)EP，交CD于D點(diǎn)，

，

四邊形BCKE是平行四邊形，

BE=CK，BC=EK，

BH=EP，

，

，四邊形ABCD是平行四邊形，

，AB=CD=275cm，

，

，

，

，

，

，

.

故答案為：.

【分析】延長(zhǎng)EP，交CD于D點(diǎn)，推出，解，求出DK，進(jìn)而得到BE和AG，最后解得到GM的長(zhǎng).

12．【答案】；或

【知識(shí)點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題

【解析】【解答】解：作AE⊥PC于E，作OF⊥AE于F，

易得四邊形OCEF是矩形，，

∴，，

∴，

∴，，

∴，

∴；

如圖，連接AC，

∵，，

∴，

∵，

∴，

當(dāng)從座艙A觀測(cè)座艙B的俯角為45°時(shí)，分兩種情況，

①當(dāng)A在B的左側(cè)時(shí)，如圖，MF為水平線(xiàn)，延長(zhǎng)PA交MF于F，A移動(dòng)到A1處，B移動(dòng)到了B1處，，

由旋轉(zhuǎn)不變性知，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴從A移動(dòng)到A1處，用了（周），

∴經(jīng)過(guò)了（分鐘）；

②當(dāng)A在B的右側(cè)時(shí)，如圖，MF為水平線(xiàn)，延長(zhǎng)PA交MF于G，A移動(dòng)到A2處，B移動(dòng)到了B2處，，

由旋轉(zhuǎn)不變性知，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴從A移動(dòng)到A2處，用了（周），

∴經(jīng)過(guò)了（分鐘）；

綜上，當(dāng)從座艙A觀測(cè)座艙B的俯角為45°時(shí)，經(jīng)過(guò)了或分鐘.

故答案為：；或.

【分析】過(guò)點(diǎn)A作AE⊥PC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)O作OF⊥AE于點(diǎn)F，易得四邊形OCEF是矩形，由矩形的性質(zhì)得OF∥CE，OF=CE，由二直線(xiàn)平行，同位角相等得∠AOF=∠APC=30°，進(jìn)而根據(jù)∠AOF的余弦函數(shù)可求出OF，由∠APC的正切函數(shù)可求出PE，進(jìn)而由PC=PE-CE計(jì)算即可；連接AC，由三角形的內(nèi)角和定理得∠POC=60°，由同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半及等邊對(duì)等角得∠OAB=∠OBA=30°；當(dāng)從座艙A觀測(cè)座艙B的俯角為45°時(shí)，分兩種情況，①當(dāng)A在B的左側(cè)時(shí)，如圖，MF為水平線(xiàn)，延長(zhǎng)PA交MF于F，A移動(dòng)到A1處，B移動(dòng)到了B1處，∠FA1B1=45°，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得∠OA1B1=45°，根據(jù)角的和差算出∠OA1F=75°，由平行線(xiàn)的性質(zhì)得∠MFP=30°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得∠AOA1=75°，從而即可求出從A移動(dòng)到A1處旋轉(zhuǎn)的時(shí)間；②當(dāng)A在B的右側(cè)時(shí)，如圖，MF為水平線(xiàn)，延長(zhǎng)PA交MF于G，A移動(dòng)到A2處，B移動(dòng)到了B2處，得∠MA2B2=45°，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得∠OA2B2=30°，由∠的和差算出∠MA2O的度數(shù)，進(jìn)而根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)得∠AGA2的度數(shù)，最后根據(jù)三角形外角性質(zhì)可算出∠AOA2的度數(shù)，從而即可求出從A移動(dòng)到A2處旋轉(zhuǎn)的時(shí)間，綜上即可得出答案.

13．【答案】18；8

【知