帶電粒子在交變電場中的運動

帶電粒子在交變電場中的運動一、選擇題（每小題5分，共25分）1.在兩個平行金屬板上加上如圖2-7-1所示的電壓，使原本靜止在金屬板中央的電子有可能振動，此時電壓圖像應為（設兩板距離足夠大）：（圖2-7-1）2.一個電子原本靜止在平行板電容器的中間，設兩板距離足夠大，在t=0時刻開始在兩板間加上一個交變電壓，使得電子在開始一段時間內(nèi)的運動的v-t圖線如圖2-7-2（甲）所示，則該交變電壓可能是圖2-7-2（乙）中的哪些？（圖2-7-2（甲））（圖2-7-2（乙））3.一個勻強電場的電場強度隨時間變化的圖像如圖2-7-3所示，其中有一個帶電粒子在t=0時刻由靜止釋放，若帶電粒子只受電場力的作用，則電場力的作用和帶電粒子的運動情況是：（圖2-7-3）A.帶電粒子將向一個方向運動。B.在0~3秒內(nèi)，電場力的沖量和功都相等。C.在3秒末，帶電粒子回到原出發(fā)點。D.在2~4秒內(nèi)，電場力的沖量和功不相等。4.一束電子射線以很大的恒定速度v射入平行板電容器的兩極板間，入射位置與兩極板等距離，v的方向與極板平面平行?，F(xiàn)在在這個平行板電容器上加上交變電壓U=Umsinωt，則射入的電子將在兩極板間的某一區(qū)域內(nèi)出現(xiàn)。圖2-7-4中的各圖以陰影區(qū)表示這一區(qū)域，其中肯定不對的是：（圖2-7-4）5.圖2-7-5中，A、B是一對中間開有小孔的平行金屬板，兩小孔的連線與金屬板面相垂直，兩極板的距離為l，兩極板間加上低頻交變電流。A板電勢為零，B板電勢U=Ucosωt，現(xiàn)有一電子在t=0時穿過A板上的小孔射入電場，設初速度和重力的影響均可忽略，則電子在兩極板間可能：（圖2-7-5）A.以AB間的某一點為平衡位置來回振動。B.時而向B板運動，時而向A板運動，但最后穿出B板。C.如果ω小于某個值ω，l小于某個值l，電子一直向B板運動，最后穿出B板。D.一直向B板運動，最后穿出B板，而不論ω、l為任何值。二、填空題（每小題6分，共12分）6.在圖2—7—6中，兩塊平行金屬板A、B相距d=50cm，加上U=100V的矩形交變電壓。在t=0時刻，A板電壓為正，此時有一帶正電微粒，質(zhì)量m=10-17kg，電量q=10-16C，從A板靜止開始向B板運動。不考慮微粒重力，在t=0.04s時，微粒離A板的水平距離是多少？7.如圖2—7—7所示，水平放置的平行金屬板下板小孔處有一靜止的帶電微粒，質(zhì)量m，電量-q，兩板間距6mm，所加變化電場如圖所示。若微粒所受電場力大小是其重力的2倍，要使它能到達上極板，則交變電場周期T至少為多少？8.在圖2—7—8中，N個長度逐個增大的金屬圓筒和一個靶沿軸線排成一串，各筒和靶相間的接到頻率為f，最大電壓為U的正弦交流電源的兩端。整個裝置放在真空容器中，圓筒的兩底面中心開有小孔，有一質(zhì)量為m，帶電量為q的正離子沿軸線射入圓筒，并將在圓筒間及圓筒與靶間的縫隙處受到電場力的作用而加速。已知離子進入第一個圓筒左端的速度為v1，且此時第一、二兩個圓筒間的電勢差φ1-φ2=-φ。為使打到靶上的離子獲得最大能量，各個圓筒的長度應滿足什么條件？并求出在這種情況下打到靶上的離子動能。9.如圖2—7—9所示，有一個平行板電容器，板長l=0.1m，板距d=0.02m。板間電壓如圖所示，電子以v=1×107m/s的速度，從兩板中央與兩板平行的方向射入兩板間的勻強電場。為使電子從板邊緣平行于板的方向射出，電子應從什么時刻打入板間？并求此交變電壓的頻率。（電子質(zhì)量m=9.1×10-31kg，電量e=1.6×10-19C）10.在圖2—7—10中，A、B為兩塊距離很近的平行金屬板，板中央均有小孔。一電子以初動能Ek0=120eV，從A板上的小孔O不斷地垂直于板射入A、B之間，在B板的右側(cè)，偏轉(zhuǎn)板M、N組成一勻強電場，板長L=2×10-2m，板間距離d=4×10-3m；偏轉(zhuǎn)板加電壓為U2=20V。現(xiàn)在A、B間加一個如圖所示的變化電壓U1，在t=2s時間內(nèi)，A板電勢高于B板。求在U1隨時間變化的第一周期內(nèi)，電子通過B板的位置。示波器是一種多功能電學儀器，可以在熒光屏上顯示被檢測的電壓波形。其工作原理等效于圖2-7-11所示。在真空室中，電極K發(fā)射電子，經(jīng)過電壓為U1的加速電場后，由小孔S沿水平金屬板進入A、B板中間。A、B板相距d，長度為L。在每個電子通過極板的極短時間內(nèi)，電場視作恒定的。在兩極板右側(cè)且與極板右端相距D處有一個與兩板中心線垂直的熒光屏，中心線正好與屏上坐標原點相交。當?shù)谝粋€電子到達坐標原點O時，使屏以速度v沿-x方向運動，每經(jīng)過一定的時間后，在一個極短時間內(nèi)它又跳回到初始位置，然后重新做同樣的勻速運動。已知電子的質(zhì)量為m，帶電量為e，不計電子重力。求以下內(nèi)容：1.電子進入AB板時的初速度；2.要使所有的電子都能打在熒光屏上，圖乙中電壓的最大值U需滿足什么條件？3.要使熒光屏上始終顯示一個完整的波形，熒光屏必須每隔多長時間回到初始位置？計算這個波形的最大峰值和長度。在如圖2-7-11丙所示的x-y坐標系中畫出這個波形。解答：1.電子進入AB板時的初速度為0，因為題目中已經(jīng)說明“初速不計”。2.為了使所有的電子都能打在熒光屏上，需要滿足以下條件：電子從A、B板間射出的最高點（即電壓最低點）能夠到達熒光屏，即電子在板間出現(xiàn)的區(qū)域邊界應為開口沿縱坐標方向的拋物線。電子從A、B板間射出的最高點到達熒光屏的時間應小于一個周期T，否則電子將無法打在熒光屏上。因此，我們可以先求出電子從A、B板間射出的最高點的坐標（x0，y0），然后根據(jù)電子在豎直方向上的運動軌跡，求出電子從A、B板間射出的最高點到達熒光屏的時間t0。最后，根據(jù)t0和周期T的關(guān)系，可以得到U的最大值。具體計算過程如下：電子從A、B板間射出的最高點的坐標為(x0，y0)，其中x0=0，y0=eU1/(md^2)。電子在豎直方向上的運動軌跡符合方程y=-(eU1/(2md^2))x^2，其中x軸正向為初速度v方向，y軸的正方向垂直于初速度v向上或向下。電子從A、B板間射出的最高點到達熒光屏的時間為t0=2D/v，其中D為熒光屏與AB板間的距離，v為電子在豎直方向上的速度。根據(jù)周期T和t0的關(guān)系，可以得到U的最大值為Umax=(md^2v^2)/(2eT)。3.要使熒光屏上始終顯示一個完整的波形，熒光屏必須每隔一個周期T回到初始位置。此時，波形的最大峰值為eU1/(md^2)，長度為L。在如圖2-7-11丙所示的x-y坐標系中，波形的形狀為正弦波，峰值為eU1/(md^2)，長度為L。聯(lián)立得L=1/2fv+2qU(n-1)/mEkn=1/2mvn^2=mv1^2/2+(n-1)qU令n=N，則得到打到靶上離子的最大動能mvN^2=mv1^2/2+(N-1)qU電子水平方向勻速直線運動，豎直方向做變加速運動。為了使電子從板邊平行于板方向飛出，要求電子在離開板時豎直方向分速度為0，并且電子在豎直方向應做單向直線運動向極板靠近。此時電子水平方向（x方向）和豎直方向（y方向）的速度圖線分別如圖所示。電子需要在t=nT（n=0,1，2，…）時刻射入板間，且穿越電場時間t=kT（k=1,2…）。因此，電子的水平位移為l=vt，豎直位移為11eUT2()·2kd/22md2。三式聯(lián)立得到T=2.5×10^-9s，k=4，因此f=1/T=4×10^8Hz，且k=4。(1)0~2秒內(nèi)，電子能從O′射出，動能必須足夠大，由功能關(guān)系得U1e＜Ek0，因此U1＜120V。因此，當t＜0.6或t＞1.4時，粒子可由B板小孔O′射出。(2)電子進入偏轉(zhuǎn)極板時的水平速度為v，在通過偏轉(zhuǎn)電極時，側(cè)向偏移是y，因此能從偏轉(zhuǎn)電場右側(cè)飛出的條件是y＜mv^2/2d^2。代入數(shù)字得到U2＞250eV，即AB間必須有130V的加速電壓。因此，當2.65秒＜t＜3.35秒時，電子能從偏轉(zhuǎn)電場右側(cè)飛出，如圖所示。(1)電子在加速電場中運動，根據(jù)動能定理，有eU1=mv1^2/2，因此v1=√(2eU1/m)。(2)因為每個電子在板A、B間運動時，電場均勻、恒定，所以電子在板A、B間做類平拋運動，在兩板之外做勻速直線運動打在屏上。在板A、B間沿水平方向運動時，有L=v1t，豎直方向，有y′=eUat/2md，且a=eU/dmd。聯(lián)立解得y′=eUL