2021-2022學(xué)年初中數(shù)學(xué)講義-全等三角形方法課之截長(zhǎng)補(bǔ)短法

2021-2022學(xué)年初中數(shù)學(xué)精品講義-全等三角形方法課之截長(zhǎng)

補(bǔ)短法（解析版）

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.如圖，AABC中，N8=2NA,NAC5的平分線CZ）交4B于點(diǎn)〃，已知AC=16,

BC=9,則BD的長(zhǎng)為（）

A.6B.7C.8D.9

【答案】B

【分析】

如圖，在C4上截取CN=CB,連接DN,證明ACBD且KND,利用全等三角形的性質(zhì)證明

BD=ND,求解CN=9,AN=7,再證明ON=AN,從而可得答案.

【詳解】

解：如圖，在C4上截取CN=CB,連接。N,

CD平分ZACB,

NBCD=NNCD,

.CD=CD,

：qCBD^CND（SAS）,

BD=ND,ZB=NCND,CB=CN,

8C=9,AC=16,

:.CN=9,AN=AC-CN=1,

NCND=ZNDA+AA,

ZB=ZNDA+ZA,

?.-NB=2NA,

ZA=ANDA,

:.ND=NA,

:.BD=AN=1.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)

鍵.

2.如圖，已知四邊形ABCD中，AD/7BC,若NDAB的平分線AE交CD于E,連接

BE,且BE恰好平分NABC,則AB的長(zhǎng)與AD+BC的大小關(guān)系是（）

A.AB>AD+BCB.AB<AD+BCC.AB=AD+BCD.無(wú)法確定

【答案】C

【分析】

在AB上截取AF=AD,連接EF,易得NAEB=90°和△ADE絲4AFE,再證明

△BCE絲ZXBFE,利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可得出三條線段之間的關(guān)系.

【詳解】

解：如圖所示，在AB上截取AF=AD,連接EF,

：AD〃BC,

.".ZABC+ZDAB=180°,

又：BE平分NABC,AE平分NDAB

ZABE+NEAB=g(NABC+NDAB)=90°,

ZAEB=90°BPZ2+Z4=90°,

在4ADE和4AFE中，

AD=AF

<ZDAE=ZFAE

AE=AE

.".△ADE^AAFE(SAS),

所以N1=N2,

又N2+N4=90°,Nl+/3=90°,

所以N3=/4,

在4BCE^ABFE中，

ZCBE=ZFBE

<BE=BE

Z3=Z4

.,.△BCE^ABFE(ASA),

所以BC=BF,

所以AB=AF+BF=AD+BC；

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，截長(zhǎng)補(bǔ)短是證明線段和差關(guān)系的常用方法.

3.如圖，在A4BC中，ZBAC=68°,ZC=36°,AO平分々AC,M、N分別是A。、

A8上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)BM+MN最小時(shí)，ZBMV的度數(shù)為()

【答案】B

【分析】

在AC上截取AE=AN,先證明AAME絲Z\AMN(SAS),推出ME=MN.當(dāng)B、M、E

共線，BELAC時(shí)，BM+ME最小，可求出/NME的度數(shù)，從而求出/BMN的度數(shù).

【詳解】

如圖，在AC上截取AE=AN,

VZBAC的平分線交BC于點(diǎn)D,

二NEAM=NNAM,

在4AMN中,

AE=AN

-ZEAM=ZNAM,

AM=AM

.,.△AME^AAMN(SAS),

，ME=MN.

.?.BM+MN=BM+ME,

當(dāng)B、M、E共線，BEJ_AC時(shí)，BM+ME最小，

；.MN_LAB

ZBAC=68°

ZNME=360o-ZBAC-ZMEA-ZMNA=360o-68o-90o-90o=112°,

.*.ZBMN=180°-112o=68°.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了軸對(duì)稱(chēng)-最短問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是能夠通過(guò)構(gòu)造全等三角形，把BM+MN進(jìn)

行轉(zhuǎn)化，利用垂線段最短解決問(wèn)題.

4.如圖，在中，ZACB=90°,AC=3,BC=4,AO平分NC4B交BC于。

點(diǎn)，E,尸分別是AD,4c上的動(dòng)點(diǎn)，則CE+所的最小值為()

【答案】D

【分析】

利用角平分線構(gòu)造全等，使兩線段可以合二為一，則EC+EF的最小值即為點(diǎn)C到AB

的垂線段長(zhǎng)度.

【詳解】

在AB上取一點(diǎn)G,使AG=AF

?.,在RtZkABC中，ZACB=90°,AC=3,BC=4

；.AB=5,

VZCAD=ZBAD,AE=AE,

AAAEF^AAEG(SAS)

；.FE=GE,

要求CE+EF的最小值即為求CE+EG的最小值,

故當(dāng)C、E、G三點(diǎn)共線時(shí)，符合要求,

此時(shí),作CHLAB于H點(diǎn)，則CH的長(zhǎng)即為CE+EG的最小值,

此時(shí)，AC?BC=AB?CH,

ACAB12

BC5

12

即：CE+EF的最小值為w，

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了角平分線構(gòu)造全等以及線段和差極值問(wèn)題，靈活構(gòu)造輔助線是解題關(guān)鍵.

5.如圖，在AA8C中，AD平分ZR4C,ZB=2ZADB,AB=5,CD=6,則AC的長(zhǎng)

為（）

【答案】C

【分析】

在AC上截取AE=AB,連接DE,證明△ABD絲AAED,得到/B=NAED,AB=AE,

再證明CD=CE,進(jìn)而代入數(shù)值解答即可.

【詳解】

在AC上截取AE=AB,連接DE,

B

D

E

VAD平分NBAC,

AZBAD=ZDAC,

在^ABD和仆AED中，

AE=AB

<ZBAD=ZDAC,

AD=AD

AAABD^AAED(SAS),

，ZB=ZAED,ZADB=ZADE,AB=AE,

又NB=2NADB

AZAED=2ZADB,ZBDE=2ZADB,

ZAED=ZC+ZEDC=2ZADB,ZBDE=ZC+ZDEC=2ZADB,

AZDEC=ZEDC,

ACD=CE,

AB=5,8=6,

AAC=AE+CE=AB+CD=5+6=11.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)；利用了全等三角形中常用輔助線?截長(zhǎng)補(bǔ)短法構(gòu)造

全等三角形，然后利用全等三角形解題，這是解決線段和差問(wèn)題最常用的方法，注意掌

握.

二、填空題

6.(1)如圖(1),在四邊形43C。中，AB=AD,ZB+ZD=180\E,尸分別是8C,C。

上的動(dòng)點(diǎn)，且=求證：EF=BE+DF.

(2)如圖⑵,在(1)的條件下，當(dāng)點(diǎn)E,F分別運(yùn)動(dòng)到BC,CD的延長(zhǎng)線上時(shí)，EF,BE,DF

之間的數(shù)量關(guān)系是.

n

77

“~E'c"cE

圖⑴圖(2)

【答案】(1)詳見(jiàn)解析；(2)EF=BE-DF

【分析】

(1)延長(zhǎng)尸。到點(diǎn)G,使DG=BE,連接AG,先證明AABE烏AWG(SAS),得到

AE=AG,NBAE=ZDAG,然后證明A4￡F絲AAGb,得到斯=FG,根據(jù)

FG=DG+DF=BE+DF,可得EF=BE+DF；

(2)在8C上截取8G=￡>尸，連接AG,先證明△ABG四△ADF(SAS),得到AG=AF,

NBAG二NDAF,再證明△EAG0ZMEAF(SAS),得至ijEG=EF,根據(jù)BG二DF,即可得

EF二BE-BG=BE-DF.

【詳解】

(1)如圖，延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G,使DG=BE,連接AG.

?/ZB+ZADF=NADG+ZADF=180°，

:"B=ZADG,

又?.?43=AT>,BE=DG,

：.MBE^AAZ)G(SAS),

/.AE=AG,/BAE=ZDAG,

VZEAF=-ZBAD,.\ZGAF=ZDAG-^-^DAF=ZDAF=ZBAD-^EAF=ZEAF.

2

-AE=AG,ZEAF=NGAF,AF=AF,

：.MEF^MGF,

:.EF=FG.

?.FG=DG+DF=BE+DF,

:.EF=BE+DF；

(2)EF=BE—DF.

如圖，在3C上截取4G=OE,連接AG,

G

???N8+ZADC=ZADC+ZADF=180°，

.?.ZB=ZADF,

AB=AD

在^ABG和^ADF中,N8=ZADF,

BG=DF

.,.△ABG^AADF(SAS),

AAG=AF,ZBAG=ZDAF,

ZBAD=2ZEAF,

???NBAG+NGAE+NEAD=NEAD+NDAF+NEAD+NDAF,

AZGAE=ZEAF,

AG=AF

在小EAG和^EAF中/EAG=ZEAF,

AE=AE

AAEAG^AEAF(SAS),

AEG=EF,

VBG=DF,

，EF=BE-BG=BE-DF.

【點(diǎn)睛】

本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握判定定理是解題關(guān)鍵.

7.如圖，△ABC中，AB=AC,D、E分別在CA、BA的延長(zhǎng)線上，連接BD、CE,

且ND+NE=180。，若BD=6,則CE的長(zhǎng)為

【答案】6

【分析】

在AD上截取AF二AE,連接BF,易得△ABF之Z^ACE,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得

ZBFA=ZE,CE=BF,則有ND=NDFB,然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可求解.

【詳解】

在AD上截取AF=AE,連接BF,如圖所示：

vAB=AC,ZFAB=ZEAC,

AABF^AACE,

/.BF=EC,ZBFA=ZE,

vZD+ZE=180°,ZBFA+ZDFB=180°,

NDFB=ND,

?.BF=BD,

???BD=6,

CE=6.

故答案為6.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定及等腰三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握全等三角

形的判定方法及等腰三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

8.如圖，在AABC中，ZACB=ZABC=40°,BD是NABC的角平分線，延長(zhǎng)BD至

點(diǎn)E,使得DE=DA,貝!|NECA=.

【答案】40°

【分析】

在BC上截取BF=AB,連接DF,由題意易得NA=100。，ZABD=ZDBC=20°,易得

△ABD^AFBD,進(jìn)而可得DF=AD=DE,由此可證△DECWz^DFC,然后根據(jù)全等三

角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和及外角的性質(zhì)可求解.

【詳解】

解：在BC上截取BF=AB,連接DF,

E

D

B

----------；------c

VZACB=ZABC=40°,BD是NABC的角平分線，

/.ZA=100°,ZABD=ZDBC=20°,

/.ZADB=60°,ZBDC=120°,

vBD=BD,

?.△ABD^AFBD,

???DE=DA,

.?.DF=AD=DE,ZBDF=ZFDC=ZEDC=60°,ZA=ZDFB=100°,

???DC=DC,

/.△DEC^ADFC,

ZDCB=ZDCE=ZDFC-ZFDC=100°-60°=40°；

故答案為40°.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和及外角的性質(zhì)，熟練掌握三角形

全等的判定條件及外角性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

9.如圖，四邊形ABC。中，ZBAD=120°,ZB=ZD=90°,在8C、CD上分別找一

點(diǎn)M、N,使AAMN周長(zhǎng)最小時(shí)，則NAMN+NAMW的度數(shù)是.

【答案】120°

【分析】

延長(zhǎng)AB,使得AB=BE,延長(zhǎng)AD,使得AD=DF,連接EF,與BC,DC相較于M,N,

要使得△AMN的周長(zhǎng)最小，則三角形的三邊要共線，根據(jù)/8人口=120。和4人乂?4的內(nèi)

角和是180。即可列出方程求解.

【詳解】

解：延長(zhǎng)AB,使得AB=BE,延長(zhǎng)AD,使得AD=DF,連接EF,與BC,DC相較于M,

N

如圖所示，此時(shí)△AMN的周長(zhǎng)最小

VZABM=90°

???ZEBM=90°

在^AMB和^EMB中

AB=BE

<Z.ABM=NEBM

MB=MB

AAAMB^AEMB

AZBEM=ZBAM

AZAMN=2ZBAM

同理可得：△AND^AFDN

???NNAD=NNFD

AZANM=2ZNAD

設(shè)NBAM=x,ZMAN=z,ZNAD=y

VZBAD=120°

.y+z=120°

"[2x+2y+z=180°

解得：％+y=60°

即ZAMN+ZANM=2x60°=120°.

故答案為：120。.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查的是三角形周長(zhǎng)最小的條件，涉及到的知識(shí)點(diǎn)為全等三角形的判定及性質(zhì)、

三角形內(nèi)角和的應(yīng)用，正確添加合適的輔助線是解題的關(guān)鍵.

10.如圖，？42?C,80平分NA5C,BC=10,AB=6,貝！|AQ=.

D

【答案】4

【分析】

在BC上截取8E=A8,利用“邊角邊”證明△△歐D,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相

等可得OE=A。，由全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得NBEO=N4,然后求出/C=NC￡>E,

根據(jù)等角對(duì)等邊可得CE=￡）E,等量代換得到EC=4O,貝lj5C=5E+EC=AB+AO即可

求出AO長(zhǎng).

【詳解】

解：（1）在8C上截取8E=8A,如圖，

,.?8。平分NA8C,

,NABD=NEBD,

在和中，

BE=BA

</ABD=/EBD,

BD=BD

:.AABD妥AEBD(SAS),

：.DE=AD,NBED=NA,

又「NA=2NC,

：.ZBED=ZC+ZEDC=2ZCf

：.ZEDC=ZCf

:?ED=EC,

：.EC=ADr

：.BC=BE+EC=AB+ADf

VBC=10,48=6,

AAD=10-6=4；

故答案為：4.

【點(diǎn)睛】

本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的

和的性質(zhì)，等角對(duì)等邊的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出全等三角形和等腰三角形是解題的關(guān)鍵.

11.如圖，AABC與AAOC有一條公共邊AC,且AB=AD,ZACB=ZACD=x,貝！I

NBAD=.（用含有x的代數(shù)式表示）

【答案】180°-2x

【分析】

在CD上截取CE=CB,證明△ABC^AAEC得AE=AB,/B=/AEC,可進(jìn)一步證明

ZD+/B=180。,再根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理可得結(jié)論.

【詳解】

解：在CD上截取CE=CB,如圖所示，

在4ABCAEC中，

CE=CB

<ZACE=ZACB

AC=AC

.1△ABC絲△AEC(SAS)

，AE=AB,ZB=ZAEC,

VAB=AD,

；.AD=AE,

/D=/AED,

VZAED+ZAEC=180°,

.\ZD+ZB=180°,

ZDAB+ZABC+ZBCD+ZCDA=360°

，ZDAB+ZBCD=3600-ZABC-ZCDA-3600-180°-180°,

ZBCD=ZACB+ZACD=x+x=2x

/DAB=180°-ZBCD=180°-2x

故答案為：180"2x

【點(diǎn)睛】

本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)以及四邊形的內(nèi)角和等知識(shí),

作輔助線構(gòu)造全等三角形是解答此題的難點(diǎn).

12.如圖，AABC是等邊三角形，ZBAD+ZBCD=i80°,BD=8,CD=2,則AD=

【答案】6

【分析】

在線段BD上取一點(diǎn)E,使得BE=CD,連接AE,由A,3,C,O四點(diǎn)共圓得Z43￡=NACD,

再證明ABE三AACD,△ADE是等邊三角形，得AD=DE=AE,再由線段的和差關(guān)系

可得結(jié)論.

【詳解】

解：在線段BD上取一點(diǎn)E,使得BE=CD,連接AE,

ZBAD+ZBCD=180°

：.AB,C,C四點(diǎn)共圓,

：.ZABD=ZACD

：.ZABE=ZACD

ABC是等邊三角形，

AAB=AC=BC,ZDAE=6O°,

：./\ABE^MCD,NBAE+NC4f'=60°,

?/BAE=NOW,ZBAF=ACAD,

.,.ZC4D+ZC4￡=60°,即ND4￡=60。，

△ADE是等邊三角形，

?**AD=DE=AE，

?:BD=8,8=2,

:.DE=BD—BE=BD—CD=6,

AD=DE=6.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，以及四點(diǎn)共圓的判定，證明NABE=NA8

是解答此題的關(guān)鍵.

13.如圖，已知AABC中，ZA=60o,D為AB上一點(diǎn)，且AC=24)+3D,ZB=4ZA8,

則NDCB的度數(shù)是.

【分析】

通過(guò)作輔助線構(gòu)造直角三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)，得到角相等，邊相等，根據(jù)三

角形全等，得到角相等，利用外角的性質(zhì)列方程求解；

【詳解】

解：如圖，延長(zhǎng)AB至點(diǎn)E使8￡=">,連接CE.

；?AE^AD+DB+BE^2AD+BD.

AC=2AD+BD,

：.AE^AC.

ZA=60°,

...AAEC是等邊三角形，

ZE=ZACE=60°.

ZABC=4ZACD,

...設(shè)ZA8=x,則ZABC=4x.在AAOC與AEBC中,

AD=BE,

(ZA=ZE,A△ADC且AEBC(SAS),

AC=EC,

：.ZACD=/ECB=x.

*/ZABC=NE+NBCE,

4x=60°+x,

/.x=20°,

JZBCD=60°-20°-20°=20°.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)，準(zhǔn)確分析是解題

的關(guān)鍵.

14.如圖，△ABC中，E在BC上，D在BA上，過(guò)E作EF_LAB于F,ZB=Z1+Z2,

4

AB=CD,BF=j,則AD的長(zhǎng)為.

【答案】g

【分析】

在FA上取一點(diǎn)T,使得FT=BF,連接ET,在CB上取一點(diǎn)K,使得CK=ET,連接DK.想

辦法證明AT=DK,DK=BD,推出BD=AT,推出BT=AD即可解決問(wèn)題.

【詳解】

在FA上取一點(diǎn)T,使得FT=BFf連接ET,在CB上取一點(diǎn)K,使得CK=ET,連接DK.

?:EB=ET,

:./B=/ETB,

YNETB=Nl+NAET,ZB=Z14-Z2,

???NAET=N2,

?：AE=CD,ET=CK,

：./\AET^△QCK(SAS),

:.DK=AT9ZATE=ZDKC9

：.NETB=/DKB,

:?/B=/DKB,

:.DB=DK,

BD=AT,

.\AD=BTf

8

?：BT=2BF=一,

3

".AD=—,

3

故答案為：—.

【點(diǎn)睛】

本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，解題關(guān)鍵在于

學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造出全等三角形.

15.如圖，在等腰△A8C中,A5=AC,NBAC=120。,點(diǎn)。是線段3c上一點(diǎn)，NWC=90。，

點(diǎn)尸是A4延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)。是線段4。上一點(diǎn)，OP=OC,下面的結(jié)論：

?^AP0=^AC0；@^AP0+^DCO=30°；@AC=AO+AP；?P0=PC,其中正確的有

【答案】①②③④

【分析】

連接80,由線段垂直平分線的性質(zhì)定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和

定理，角的和差求出N4P0=NAC0,ZAPO+ZDCO=30°9由三角形的內(nèi)角和定理，角

的和差求出/尸。。=60。,再由等邊三角的判定證明△0PC是等邊三角形，得出PC=P0,

NPCCH60。，由角的和差，等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，線段

的和差和等量代換求出A0+4P=AC即可得出結(jié)果.

【詳解】

解：連接80,如圖1所示：

圖1

9：AB=AC,ADVBC,

：.B0=C0,

：,/0BC=/0CB,

又丁0P=0C,

；.OP=OB,

：./OBP=/OPB,

又???在等腰4ABC中NH4C=120°,

??.ZABC=ZACB=30°,

???ZOBC+ZOBP=ZOCB+ZACO,

；?NOBP=NACO,

AZAPO=ZACO,故①正確；

又丁ZABC=ZPBO+ZCBO=30°,

???N4PO+NQCO=30。，故②正確；

VZPBC+ZBPC+ZBCP=]SO°fZPBC=30°,

：.ZBPC+ZBCP=\50°9

XVNBPC=NAPO+NCPO,

ZBCP=ZBCO+ZPCOf

/APO+NOCgO。，

：.ZOPC+ZOCP=\20°f

又ZPOC+ZOPC+ZOCP=180°,

NPOC=60°,

y."：OP=OC,

...△OPC是等邊三角形，

：.PC=PO,ZPCO=60°,故④正確；

在線段AC上截取AE=AP,連接PE,如圖2所示:

'：ZBAC+ZCAP=\SQ°,NBAC=120°,

ZCAP=60°,

/\APE是等邊三角形，

：.AP=EP,

又?.?△OPC是等邊三角形，

：.OP=CP,

又VZAPE=ZAPO+ZOPE=60°,

ZCPO=ZCPE+ZOPE=60°,

ZAPO^ZEPC,

在△4P。和4EPC中，

AP=EP

AAPO=ZEPC,

OP=CP

.?.△4P。畛△EPC(SAS),

：.AO=EC,

又；AC=AE+EC,AE=AP,

：.AO+AP=AC,故③正確；

故答案為：①②③④.

【點(diǎn)睛】

本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)定理、等腰三角形的判定

與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、角的和差、線段的和差、等量代換等相關(guān)知識(shí)點(diǎn);

作輔助線構(gòu)建等腰三角形、等邊三角形、全等三角形是解題的關(guān)鍵.

三、解答題

16.如圖，四邊形A3CD中，ZB+ZD=180°,ZBCD=150°,CB=CD,M.N分別

為A3、AD上的動(dòng)點(diǎn)，且NMCN=75。.求證：MN=BM+DN.

【答案】見(jiàn)解析

【分析】

延長(zhǎng)A8至點(diǎn)E,4更得BE=DN,連接CE,根據(jù)同角的補(bǔ)角相等得NC8E=NCDN,

根據(jù)SAS證明ACBE=ACDN,則/BCE=NOCN,進(jìn)而證明ZECM=ZMCN=75°,根據(jù)SAS

證明△ECMM&VCM,得至ljMV=ME,H*MN=BM+BE=BM+DN.

【詳解】

證明：延長(zhǎng)A3至點(diǎn)E,使得BE=DN,連接CE,

???四邊形ABC。中，Zfi+ZD=180°,ZABC+ZCBE=180%

:"CBE=4JDN,

在△CBf和MJDN中,

CB=CD

<ZCBE=ZCDN,

BE=DN

:.ACBE=ACDN(SAS)f

:.ZBCE=ZDCN,CN=CE,

vZBCD=150°,NMCN=75。，

AMCE=ZMCB+^BCE=ZMCB+Z.DCN=75°,

:.ZMCN=ZMCE,

在AECM和&VCM中，

MC=MC

<4MCN=NMCE,

CN=CE

\ECM=ANCM(SAS),

：.MN=ME=BM+BE=BM+DN.

A

IN

乙1"C

E”

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造全等三角形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

17.本學(xué)期，我們學(xué)習(xí)了三角形相關(guān)知識(shí)，而四邊形的學(xué)習(xí)，我們一般通過(guò)輔助線把四

邊形轉(zhuǎn)化為三角形，通過(guò)三角形的基本性質(zhì)和全等來(lái)解決一些問(wèn)題.

(1)如圖1,在四邊形A8C￡>中，AB^AD,ZB+ZD=180°,連接AC.

①小明發(fā)現(xiàn)，此時(shí)AC平分ZBCD.他通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)，提出以下想法：延長(zhǎng)CB到點(diǎn)E,

使得BE=CD,連接AE,證明△A8E絲△A￡>C,從而利用全等和等腰三角形的性質(zhì)可

以證明4C平分NBCD.請(qǐng)你參考小明的想法，寫(xiě)出完整的證明過(guò)程.

②如圖2,當(dāng)/84￡)=90。時(shí)，請(qǐng)你判斷線段AC,BC,8之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

(2)如圖3,等腰△C0E、等腰△43。的頂點(diǎn)分別為A、C,點(diǎn)B在線段CE上，且

ZABC+ZADC=180。，請(qǐng)你判斷ND4E與NZ)8E的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【答案】(1)①見(jiàn)解析；②CD+BC=6AC，證明見(jiàn)解析；(2)ZDAE=2ZDBE,證

明見(jiàn)解析

【分析】

(1)①參考小明的想法,延長(zhǎng)CB到點(diǎn)E，使得BE=CD,連接AE,證明也△4X',

從而利用全等和等腰三角形的性質(zhì)可以證明4c平分；

②沿用①中輔助線，延長(zhǎng)C8到點(diǎn)E,使得BE=CD,連接AE,證得直角三角形C4E,

再利用勾股定理可求得AC,BC,C。之間的數(shù)量關(guān)系；

(2)類(lèi)比(1)中證明的思路，延長(zhǎng)C。至尸，使得。尸=C8,連A尸，證明△AfiC也△4)尸、

^ACD^^ACE,再利用全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等和等腰三角形等邊對(duì)等角的性質(zhì)，找

到ZDAE與NDBE的數(shù)量關(guān)系.

【詳解】

(1)如圖，延長(zhǎng)CB到點(diǎn)E,使得BE=CD,連接AE.

ZADC+ZABC^180°,ZAB￡+ZABC=180。，

:.ZADC=ZABE

在AAOC與ZM8E中，

AD=AB

ZADC=NABE

CD=EB

/\ADC^/\ABE(SAS)

ZACD=ZAEB,AC^AE

：.ZACB=ZAEB

.-.ZACD=ZACB.

；.4C平分N8CQ

(2)CD+BC=y/2AC

證明：如圖，延長(zhǎng)CB到點(diǎn)E,使得BE=C￡),連接AE.

/.ZDAC=ZBAE,AC=AE

???/BAD=ZDAC+ZCAB=90°

/.ZC4￡=ABAE+ACAB=ZDAC+ZCAB=/BAD=90°

在直角三角形CAE中，ZC4E=90°

:.CE=^AC2+AE2=y[2AC

:.CD+BC=y/2AC

⑶ZDAE=2/DBE

證明：如圖，延長(zhǎng)CO至尸，使得。尸=C8,連AF,

FF

由(1)知，/\ABC^/\ADF(SAS)

：.AF=ACfZACB=ZF

:.ZACD=ZF

/.ZACD=ZACE

在八48與4AC石中，

CD=CE

\<ZACD=ZACE

AC=AC

AACD^^ACE(SAS)

:.AD=AE

:.AD=AE=AB

:.ZADB=ZABD,ZAEB=ZABE

：.ZBAD=18O0-2ZADB,ZBAE=180°-2ZABE,

???ZDAE=360°-ABAD-ZBAE

ZDAE=360°-(180°-2ZA￡>B)-(180°-2ZABE)

=2ZADB+2ZABE

=2ZDBE

【點(diǎn)睛】

本題考查三角形的基本知識(shí)、全等三角形的性質(zhì)和判定以及等腰三角形的性質(zhì)與判

定.綜合性較強(qiáng).

18.如圖1,在等邊三角形ABC中，AD_L8C于于瓦43與CE相交于點(diǎn)。.

(1)求證：OA=2DO；

(2)如圖2,若點(diǎn)G是線段AO上一點(diǎn)，CG平分NBCE,NBGF=60。,GF交CE所在宜

線于點(diǎn)F.求證：GB=GF.

(3)如圖3,若點(diǎn)G是線段OA上一點(diǎn)(不與點(diǎn)。重合)，連接BG,在BG下方作

NBG尸=60。,邊GF交CE所在直線于點(diǎn)F.猜想：OGQF、。4三條線段之間的數(shù)量關(guān)

系，并證明.

【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)見(jiàn)解析；(3)OF=OG+OA,理由見(jiàn)解析

【分析】

(1)由等邊三角形的可求得NOAC=NOAB=/OCA=NOCB=30。，理由含30。角的直角

三角形的性質(zhì)可得OC=2OD,進(jìn)而可證明結(jié)論；

(2)理由ASA證明ACG8WZ\CG尸即可證明結(jié)論；

(3)連接。8,在。尸上截取。例=OG,連接GM,可證得△OMG是等邊三角形，進(jìn)而

可利用ASA證明△GMF名△GOB,得至UMF=OB=OA,由。F=0M+M尸可說(shuō)明猜想的正

確性.

【詳解】

解：(1)證明：；ZVIBC為等邊三角形，

：.AB=BC=AC,N8AC=NACB=60°,

,：ADLBC,CELAB,

平分/B4C,CE平分/ACS,

NO4C=NOAB=NOCA=NOCB=30。,

：?OA=OC,

在放△0C￡>中，ZODC=90°,N。。=30。，

：.OC=2OD,

???OA=2OD；

(2)證明：*：AB=AC=BC,ADLBC,

:?BD=CD,

：.BG=CGf

:?/GCB=/GBC,

VCG平分NBCE,

???NFCG=NBCG=；NBC尸=15。，

.?.ZBGC=150°,

??ZBGF=60°,

???ZFGC=360°-ZBGC-ZBGF=150°,

???NBGC=NFGC,

在^CGB和4CGF中，

ZGCB=ZGCF

<CG=CG,

ZBGC=4FGC

:?△CGB"/\CGF(ASA),

:?GB=GF；

(3)解：。/=OG+OA.理由如下：

連接03,在。尸上截取OM=OG,連接GM,

圖3

VCA=CB,CELAB,

：.AE=BEf

：.OA=OBf

：.ZOAB=ZOBA=30°,

：.ZAOB=nO°9NAOM=N8OM=60。，

?：OM=OG,

???△OMG是等邊三角形，

???GM=GO=OM,ZMGO=ZOMG=60°,

丁ZBGF=60°,

??./BGF=/MGO,

：.NMGF=/OGB,

VZGMF=120°,

:./GMF=NGOB,

在小GM尸和△GOB中，

NMGF=NOGB

GM=GO,

/GMF=NGOB

:?/\GMFQAGOB(ASA),

:?MF=OB,

：.MF=OA,

OF=OM+MF,

：.OF=OG+OA.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定的與性質(zhì)，含30。角的直角

三角形，角平分線的定義等知識(shí)的綜合運(yùn)用，屬于三角形的綜合題，證明相關(guān)三角形全

等是解題的關(guān)鍵.

19.在平行四邊形A5CQ中，43LCZ)于E,。/，4)于尸，”為A。上一動(dòng)點(diǎn)，連

接07,CH交AE于G,且AE=8=4.

圖1圖3

(1)如圖1,若/3=60。，求CF、4尸的長(zhǎng)；

(2)如圖2,當(dāng)m=電>時(shí)，求證：CG=E￡>+AG；

(3)如圖3,若4=60。，點(diǎn)〃是直線AD上任一點(diǎn),將線段CH繞C點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，

得到線段C/T,請(qǐng)直接寫(xiě)出A/T的最小值____.

【答案】(1)CF=26,AF=--2；(2)見(jiàn)解析；(3)4-26.

3

【分析】

(1)由平行四邊形性質(zhì)可得N8=N3=60。，利用30。直角三角形性質(zhì)開(kāi)得

DF=^DC=2,根據(jù)勾股定理CF=2石，設(shè)。E=a,則AP=2a,根據(jù)勾股定理

42+a2=(2a)2,解得〃=理即可；

(2)方法1補(bǔ)短：如圖3,延長(zhǎng)GA到"使4版=?！?連接A?、MC,由平行四邊形

48CO性質(zhì)，可得AB〃CD,AB=CD,可證△/IDE絲△5M4(SAS),可得BM=AD,

ND=NBMA,由CF垂直平分OH,CH=CD,可證8M=8C,再證GM=GC即可；

方法2截長(zhǎng):如圖4,過(guò)點(diǎn)8作BN，于點(diǎn)N,連接BG,先證△CFH9ACFD(SAS),

再證△BNC也(44S),最后證RtZXAfiG絲RtzXNBG(HL),可得AG=GN即可，

(3)在D4上截取DP=DC,連接CP、PH',先證ACD尸是等邊三角形，可得

NDCP=/""'=60°,CD=CP,可證△CEW四△CP"'(SAS),可證WLAE,設(shè)

PH，交AE與Q,點(diǎn)”在射線PQ上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)”運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)。是A/T最短由ZDAE=30°,

先求QP=；AP=^-2,由勾股定理AQ=4-26即可.

【詳解】

(1)由平行四邊形性質(zhì)可得N3=ND=60。，

在RtACFD中，Z￡>=60°,ZFCD=30°,8=4,

DF=-DC=2,

2

根據(jù)勾股定理CF=y/CDr-DF2=V42-22=2A/3，

在RtAAEO中，ZD=60°,ADAE=3Q°,AE=4,

設(shè)OE=a,則AZ)=2o,

根據(jù)勾股定理A^+OE?=A￡>2，BP42+a2=(2a)2,

解得。=拽，

3

?An8石人匯8百n

??AD=---,AF=ADAn—DnFr=--------2;

33

(2)方法1補(bǔ)短：如圖3,延長(zhǎng)G4到"使=連接MB、MC,

???四邊形ABCD為平行四邊形，

:?AB〃CD,AB=CD,

■:AE1CD

：.AELABf

：.ZAED=ZBAM=90°,

在△4?！旰?BMA中，

AE=AB

,ZAED=NBAM,

DE=MA

：./\ADE^/\BMA(SAS),

:.BM=AD,ND"BMA,

■:CF工DH,DF=HF,

???。/垂直平分?！ǎ?/p>

:?CH=CD,

???ZD=ZDHC,

?：ZD=NBMA,ZDHC=ZBCHf

:./BMA=/BCH,

,:AD=BC,

：.BM=BC,

：.ZBMC=ZBCMf

：./GMC=/GCM,

：.GM=GC,

：.GC=GM=AG+AM=AG-^DE.

圖3

方法2截長(zhǎng)：如圖4,過(guò)點(diǎn)B作BN_LC/7于點(diǎn)N,連接3G,

VCF1AD,

:.ZCFH=ZCFD,

在△。尸”和4CFO中，

FH=FD

<NCFH=NCFD

CF=CF

：.ACFW^ACFD(SAS),

???/CHF=/D,

■:ADIIBC,

???/CHF=/HCB,

在^BNCfllAAED中，

ZNCB=ZD

</BNC=ZAED

BC=AD

:.△BNgAAED(44S),

:.CN=DE,BN=AE,

,:AE=CD=AB,

：.BN=AB,

VABIICD,A￡_LC￡>于E,

???ABAG=9QP=/BNG,

在RtAABG和RtANBG中

)BG=BG

\AB=NB

；?R3ABG鄴3NBG(HL),

：.AG=GN,

CG=GN+NC=AG+DE.

圖4

(3)在D4上截取Z)P=OC,連接CP、PH',

"?ZB=ZD=60°,

...ACDP是等邊三角形，

...ZDCP=AHCH'=60°,CD=CP,

：.ZDCH=ZPCH',

在公。￡)”和4CPH'^,

CD=CH'

-NDCH=NPCH'

CH=CH'

:.ACDH冬ACPH'(SAS),

NCP〃'=Z￡>=60°,

:.NCPH'=4PCD,

：.PH'HCD,

,/AEVCD,

PH'±AE,

設(shè)PfT交AE與。，點(diǎn)H在射線P。上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)，‘運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)Q是最短

?；ZDAE=30°

由(1)得：AD=心,CD=DP=4,AP=—-4,

33

/.QP=-AP=--2,

23

AQ=jApi_Qp2=4一2g,

W的最小值為4-2石.

故答案為：4-2后.

本題考查平行四邊形性質(zhì)，30度直角三角形性質(zhì)，勾股定理，三角形全等判定與性質(zhì)，

線段垂直平分線性質(zhì)，等邊三角形判定與性質(zhì)，垂線段最短，掌握平行四邊形性質(zhì)，30

度直角三角形性質(zhì)，勾股定理，三角形全等判定與性質(zhì)，線段垂直平分線性質(zhì)，等邊三

角形判定與性質(zhì)，垂線段最短是解題關(guān)鍵.

20.如圖1,在R3A8C中，ZACB=90°,AC=BC,將點(diǎn)C繞點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)105。

得到點(diǎn)O,連接皿，過(guò)點(diǎn)。作OE_L5c交C3延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,點(diǎn)尸為線段OE上的一

點(diǎn)，且NOB/=45。，作N8FO的角平分線尸G交48于點(diǎn)G.

(1)求N3尸。的度數(shù)；

(2)求3尸，DF,GF三條線段之間的等量關(guān)系式；

(3)如圖2,設(shè)”是直線OE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接HG,HC,若AB=五,求線段

HG+4C的最小值(結(jié)果保留根號(hào)).

【答案】(1)120°；(2)BF+DF=GF,理由見(jiàn)解析；(3)[+案

【分析】

(1)由平角的性質(zhì)可求NFBE=30。，再由直角三角形的性質(zhì)和平角的性質(zhì)可求解；

(2)由“ASA”可證△8MGg△8尸￡>,可得GM=DF,即可求解；

(3)作點(diǎn)G關(guān)于。E的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)G',連接HG',CG',FG',作交CB的延長(zhǎng)

線于I,由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可得GF=GF,HG=HG',ZDFG=ZDFG'=60°,則HG+HC

=HC+HG'>CG',由等邊三角形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)可求8G'的長(zhǎng)，由勾

股定理可求解.

【詳解】

解：(1)VZCBD=105°,NFBD=45°,

：.ZFBE=30°,

V￡)E±BC,

AZDEB=90°,

：.ZBFE=60°f

：.ZBFD=nO°；

(2)BF+DF=GF,

理由如下：如圖1,在線段FG上截取連接

圖1

VZBFD=120°,FG平分/DFB,

：.ZGFD=ZGFB=6Q°f

是等邊三角形，

:.BF=BM,N8MF=60。，

.??ZGMB=ZBFD=120°,

VZACB=90°,AC=BC9

：.ZCBA=45°f

VZCB￡>=105°,

???NABD=600=NMBF,

：?/GBM=NDBF,

???在aBMG與△8F￡>中，

NGMB=NBFD

<BF=BM

/GBM=/DBF

:?△BMGQ4BFD(ASA),

:.GM=DF,GB=DB,

VMF+GA1=GF,

：?BF+DF=GF；

(3)如圖3,設(shè)BD與GF交于點(diǎn)O,作點(diǎn)G關(guān)于OE的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)G',連接"G',CG',

FG,作交CB的延長(zhǎng)線于/,

:點(diǎn)G與點(diǎn)G'關(guān)于OE對(duì)稱(chēng)，

:.GF=GF,HG=HG',NDFG=/DFG=60。,

：.HG+HC=HC+HG'>CG',

即HG+HC的最小值為CG',

ZBFD+/OFG'=180°,

.?.點(diǎn)B,點(diǎn)尸，點(diǎn)G'三點(diǎn)共線，

'：GB=DB,ZGBD=60°,

.?.△GOB是等邊三角形，

：.GD=DB=GB,

：.DB=DG',

VZDBE=15°,NDEB=90。,

：.ZBDE=15°,

：.ZGDF=75°,

NGDF=NGDF=75。,

:.NBDG'=90。,

又,：DB=DG',

：.BG'=72BD=V2BC=AB=夜，

：NEB尸=30°,G71CB,

：.IG'=^BG'=—,=—,

222

:.CI=BC+BI=l+顯,

2

-'-CG'=A/C/2+G72=J(l+^)2+|=,3+/，

：.HG+HC的最小值為，3+小.

【點(diǎn)睛】

本題是幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性

質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問(wèn)題是本題的關(guān)

鍵.

21.數(shù)學(xué)課上，李老師提出問(wèn)題：如圖1,在正方形A8C。中，點(diǎn)E是邊3c的中點(diǎn),

NAEf=90。，且E尸交正方形外角的平分線Cf于點(diǎn)凡求證：AE=EF.

經(jīng)過(guò)思考，小聰展示了一種正確的解題思路.取A8的中點(diǎn)”，連接HE,則為

等腰直角三角形，這時(shí)只需證AAHE與△￡（7廣全等即可.

在此基礎(chǔ)上，同學(xué)們進(jìn)行了進(jìn)一步的探究：

（1）小穎提出：如圖2,如果把“點(diǎn)E是邊8c的中點(diǎn)”改為“點(diǎn)E是邊8c上（不含點(diǎn)

B,O的任意一點(diǎn)”，其他條件不變，那么結(jié)論”E="1"仍然成立，你認(rèn)為小穎的觀

（2）小華提出：如圖3,如果點(diǎn)￡是邊8c延長(zhǎng)線上的任意一點(diǎn)，其他條件不變，那

么結(jié)論"AE=E『是否成立？____（填“是”或“否”）；

（3）小麗提出：如圖4,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)。與點(diǎn)B重合，正方形的邊長(zhǎng)

為1,當(dāng)E為BC邊上（不含點(diǎn)B,C）的某一點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)F恰好落在直線y=-2x+3上，

請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo).

【答案】（1）正確，結(jié)論'NE=EF，仍然成立，證明過(guò)程見(jiàn)解析；（2）是；（3）點(diǎn)

0).

【分析】

(1)在AB上截取8”=BE,連接”E,由“4SA”可證△AHEgZ\ECF,繼而根據(jù)全等三

角形的性質(zhì)求得結(jié)論；

(2)在8A的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)N,使AN=CE,連接NE,由“ASA”可證△AHE冬AECF,

繼而根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求得結(jié)論；

(3)在BA上截取8"=8E,連接”E,過(guò)點(diǎn)尸作軸于M,設(shè)點(diǎn)E(“，0),由

等腰直角三角形的性質(zhì)可得HE=V2a,由全等三角形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)

可得點(diǎn)尸坐標(biāo)，代入解析式求得〃的值，即可求解.

【詳解】

(1)仍然成立，

如圖2,在A8上截取連接

圖2

:四邊形A8CD是正方形，

：.AB=BC,NABC=90°=NBCD,

：.ZDCF=45°,

：.ZECF=\35°,

,:BH=BE,AB=BC,

：.NBHE=NBEH=45°,AH=CE,

：.ZAHE=ZECF=135°,

"：AELEF,

：.乙4E8+/fEC=90。，

NAEB+NBAE=90。，

NFEC=ABAE,

：./XAHE^^ECF(ASA),

：.AE=EF；

(2)如圖3,在BA的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)N,使AN=CE,連接NE.

圖3

?；AB=BC,AN=CEf

:?BN=BE,

:./N=/FCE=45。,

???四邊形ABC。是正方形，

C.AD//BE,

???NDAE=NBEA,

：./NAE=/CEF,

在△47￡1和4ECF中，

"N=4FCE

<AN=CE,

ZNAE=/CEF

???△AN￡^AECF(ASA)

：.AE=EFf

故答案是：是；

(3)如圖4,在A4上截取連接狼，過(guò)點(diǎn)F作FMLx軸于M,

；?BE=a=BH,

:?HE=母。,

由(1)可得絲△ECF,

：.CF=HE=j2a,

TC/平分NOCM,

工ZDCF=ZFCM=45°,

VFM±CM,

；?NCFM=NFCM=45。,

CM=FM==a,

V2

BM=l+a,

??點(diǎn)尸（1+、,a）,

?:點(diǎn)尸恰好落在直線y=-2x+3上，

：.a=-2（1+。）+3,

.1

??a=-,

3

.?.點(diǎn)E（；,0）.

【點(diǎn)睛】

本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)的應(yīng)用，一

次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，正確添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.

22.我們把有一個(gè)直角，而且其中一條對(duì)角線平分一個(gè)內(nèi)角的四邊形叫做直分四邊形.

（1）如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，矩形A8CD的四個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，

請(qǐng)僅用無(wú)刻度的直尺分別在圖1和圖2的邊AO上找出不同的點(diǎn)E,使得四邊形4JCE

是一個(gè)直分四邊形.

rr

iAi\DiAiiD

L--i--------

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B?iCB'C

L

圖2

（2）如圖3,在直分四邊形ABC。中，