2022-2023學(xué)年云南省曲靖市富源八中高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）

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一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.已知集合，，則下列說法正確的是()

A.B.C.D.

2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.展開式中項(xiàng)的系數(shù)為()

A.B.C.D.

4.設(shè)向量的模長為，則()

A.B.C.D.

5.若曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行，則實(shí)數(shù)的值()

A.B.C.D.

6.若直線與圓相切，則的值是()

A.或B.或C.或D.或

7.從，，，，，，這七個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)奇數(shù)和兩個(gè)偶數(shù)，組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為()

A.B.C.D.

8.已知定義在上的函數(shù)滿足，，且，，則()

A.B.C.D.

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）

9.關(guān)于雙曲線：與雙曲線：，下列說法正確的是()

A.它們的實(shí)軸長相等B.它們的漸近線相同C.它們的離心率相等D.它們的焦距相等

10.將函數(shù)圖象向左平移個(gè)單位后，所得圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，則的值可能為()

A.B.C.D.

11.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差為，已知，，，則下列結(jié)論正確的有()

A.B.

C.可以取負(fù)整數(shù)D.對任意，有

12.下列選項(xiàng)正確的是()

A.B.C.D.

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.五名應(yīng)屆高中畢業(yè)生報(bào)考三所高校，每人報(bào)且僅報(bào)一所高校，則不同的報(bào)名方法共有______種

14.若“”是“”的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)能取的最大整數(shù)為______．

15.過拋物線：焦點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)到的準(zhǔn)線的距離等于，則______．

16.如圖，在直三棱柱的側(cè)面展開圖中，，是線段的三等分點(diǎn)，且若該三棱柱的外接球的表面積為，則______．

四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.本小題分

在中，，，的對邊分別是，，，已知．

求；

若，且的面積為，求的周長．

18.本小題分

已知正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，，且．

求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

求數(shù)列的前項(xiàng)和．

19.本小題分

某企業(yè)為了解下屬某部門對本企業(yè)職工的服務(wù)情況，隨機(jī)訪問名職工，根據(jù)這名職工對該部門的評分，繪制頻率分布直方圖如圖所示，其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為，，，，．

求頻率分布直方圖中的值；

估計(jì)該企業(yè)的職工對該部門評分的分位數(shù)保留一位小數(shù)；

從評分在的受訪職工中，隨機(jī)抽取人，求此人評分都在的概率．

20.本小題分

如圖，四棱錐中，底面是平行四邊形，，，且底面．

證明：平面平面；

若二面角為，求與平面所成角的正弦值．

21.本小題分

設(shè)橢圓：的離心率為，且短軸長為．

求橢圓的方程；

若在軸上的截距為的直線與橢圓分別交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且直線，的斜率之和等于，求直線的方程．

22.本小題分

已知函數(shù)．

證明：；

若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：集合，，

，

故選：．

由集合，可知．

本題主要考查了集合間的基本關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．

2.【答案】

【解析】解：復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)為，

故選：．

利用兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法，虛數(shù)單位的冪運(yùn)算性質(zhì)化簡復(fù)數(shù)，找出它在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)．

本題考查兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法，虛數(shù)單位的冪運(yùn)算性質(zhì)，兩個(gè)復(fù)數(shù)相除，

分子和分母同時(shí)乘以分母的共軛復(fù)數(shù)；復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)之間的關(guān)系．

3.【答案】

【解析】解：，，，，，

令得的系數(shù)為：，

故選：．

利用二項(xiàng)式定理展開式的通項(xiàng)公式，即可解出．

本題考查了二項(xiàng)式定理展開式，學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．

4.【答案】

【解析】解：由題意可知，

則，

可得．

故選：．

根據(jù)向量的模長公式，結(jié)合余弦的二倍角公式，可得答案．

本題考查了向量的模長公式，余弦的二倍角公式的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．

5.【答案】

【解析】解：由于，則，

若曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行，

則，故，

故選：．

若曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行，則在處函數(shù)值為直線的斜率，由此可解得．

本題考查切線的斜率與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．

6.【答案】

【解析】解：由，

得圓心坐標(biāo)為，半徑為，

直線與圓相切，

圓心到直線的距離等于圓的半徑，

即，解得：或．

故選：．

由圓的方程求出圓心坐標(biāo)和半徑，由圓心到直線的距離等于圓的半徑列式求得值．

本題考查圓的切線方程，考查了點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．

7.【答案】

【解析】

【分析】

本題考查分步計(jì)數(shù)原理，排列組合的綜合應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

先從個(gè)奇數(shù)中取個(gè)再從個(gè)偶數(shù)中取個(gè)共種，再把個(gè)數(shù)排列，其中是奇數(shù)的共種，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理得到結(jié)果．

【解答】

解：第一步先從個(gè)奇數(shù)中取個(gè)再從個(gè)偶數(shù)中取個(gè)共種，

第二步再把個(gè)數(shù)排列，其中是奇數(shù)的共種，

所求奇數(shù)的個(gè)數(shù)共有種．

故選C．

8.【答案】

【解析】解：因?yàn)椋詾槠婧瘮?shù)，即，

又因?yàn)?，所以，即?/p>

所以，所以函數(shù)的周期為，

因?yàn)椋瑒t．

故選：．

利用函數(shù)的奇偶性和周期性即可求解．

本題主要考查了奇函數(shù)及對稱性轉(zhuǎn)化為周期性，還考查了奇函數(shù)的性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．

9.【答案】

【解析】

【分析】

本題考查雙曲線的離心率，漸近線，焦距，屬于基礎(chǔ)題．

由雙曲線的方程可得實(shí)軸長，焦距，漸近線方程，離心率，進(jìn)而選出結(jié)果．

【解答】

解：雙曲線的，，，，，，

漸近線的方程為，

實(shí)軸長為，離心率；

中的，，，

漸近線方程為：，離心率，

所以它們的焦距相同，漸近線的方程相同，

故選：．

10.【答案】

【解析】解：函數(shù)圖象向左平移個(gè)單位后，得到函數(shù)，

由于所得圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，

故，，

整理得：，，

當(dāng)和時(shí)，的值為或．

故選：．

首先利用函數(shù)的圖象的平移變換求出函數(shù)的關(guān)系式，進(jìn)一步利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用求出的值．

本題考查的知識要點(diǎn)：三角函數(shù)的關(guān)系式的平移變換，正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于中檔題．

11.【答案】

【解析】解：，，

，即，

，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，、D正確；

又由可得：，解得：，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，

故選：．

先由題設(shè)，然后根據(jù)求得的取值范圍，再逐個(gè)選項(xiàng)判斷正誤即可．

本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)及前項(xiàng)和公式的應(yīng)用，屬于中檔題．

12.【答案】

【解析】解：令，，則，

由得，由得，由得，

在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

對于：，

，即，

，故A正確；

對于：，

，即，

，故B錯(cuò)誤；

對于：，

，即，

，即，即，故C正確；

對于：，

，即，

，即，故D錯(cuò)誤．

故選：．

構(gòu)造函數(shù)，，則，可得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，逐一分析選項(xiàng)，即可得出答案．

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查轉(zhuǎn)化思想和函數(shù)思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．

13.【答案】

【解析】解：五名應(yīng)屆生每人有種報(bào)考方式，所以不同的報(bào)名方法有種．

故答案為：．

五名應(yīng)屆生每人有種報(bào)考方式，再由分步乘法計(jì)數(shù)原理，得解．

本題考查計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，熟練掌握分步乘法計(jì)數(shù)原理是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．

14.【答案】

【解析】解：因?yàn)椤啊笔恰啊钡谋匾怀浞謼l件，

所以是的真子集，

因?yàn)榈葍r(jià)于，

所以是的真子集，

所以，

所以實(shí)數(shù)能取的最大整數(shù)為．

故答案為：．

先由集合與充分必要的關(guān)系得到是的真子集，從而利用數(shù)軸法得到，由此得解．

本題主要考查了充分條件和必要條件的定義，屬于基礎(chǔ)題．

15.【答案】

【解析】解：因?yàn)閽佄锞€：，所以記拋物線的焦點(diǎn)為，拋物線準(zhǔn)線方程為，

設(shè)，，，，

則的中點(diǎn)，

所以點(diǎn)到的準(zhǔn)線的距離為，

所以，

由拋物線定義知：，，

則．

故答案為：．

利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式與點(diǎn)線距離公式求得，再利用拋物線的焦半徑公式求解即可．

本題考查拋物線的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．

16.【答案】

【解析】解：設(shè)外接球得半徑為，由該三棱柱的外接球的表面積為，得，解得，

取上下底面三角形得中心分別為，，則的中點(diǎn)即為外接圓圓心，

則，平面，，

平面，，

在等邊中，可得，

在中，有，．

故答案為：．

根據(jù)正三棱柱的性質(zhì)，確定外接球的球心，利用球的表面積公式以及勾股定理，可得答案．

本題考查多面體的外接球，考查空間想象能力與思維能力，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．

17.【答案】解：因?yàn)椋海?/p>

由正弦定理可知：，可得：，

因?yàn)椋傻茫?，?/p>

可得：．

，，且的面積為，

可得：，

，

由余弦定理，可得：．

的周長．

【解析】通過正弦定理以及兩角和的正弦函數(shù)化簡表達(dá)式，求出的大小，通過同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可計(jì)算得解．

通過三角形面積公式可求的值，利用余弦定理可求的值，即可得解．

本題考查正弦定理與余弦定理的應(yīng)用，考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．

18.【答案】解：設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列得公比為，

，，解得，

，

，且，

；

由得，則，

．

【解析】由題設(shè)求得數(shù)列的公比，可得與，結(jié)合題意，即可得出答案；

由得，再利用裂項(xiàng)相消法求和，即可得出答案．

本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)和裂項(xiàng)相消法求和，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．

19.【答案】解：因?yàn)?，所以?/p>

由頻率分布直方圖得：

的頻率為：，

的頻率為：，

估計(jì)該單位其他部門的員工對后勤部門的評分的分位數(shù)為，分位數(shù)介于和之間，

即有，

解得．

即該企業(yè)的職工對該部門評分的分位數(shù)約為；

受訪職工中評分在的有：人，記為，，；

受訪職工中評分在的有：人，記為，，

從這名受訪職工中隨機(jī)抽取人，所有可能的結(jié)果共有種，

它們是，，，，，，，，，．

又因?yàn)樗槿∪说脑u分都在的結(jié)果有種，

故所求的概率為．

【解析】利用頻率分布直方圖中的信息，所有矩形的面積和為，得到；

由頻率分布直方圖求出的頻率為，的頻率為，由此能估計(jì)該單位其他部門的員工對后勤部門的評分的分位數(shù)．

求出評分在的受訪職工和評分都在的人數(shù)，隨機(jī)抽取人，列舉法求出所有可能，利用古典概型公式解答．

本題考查了頻率分布直方圖的認(rèn)識，分位數(shù)的求法，利用圖中信息求參數(shù)以及由頻率估計(jì)概率，考查了利用列舉法求滿足條件的事件，并求概率．

20.【答案】解：證明：四棱錐中，底面是平行四邊形，

，，且底面，平面，

，，

，，平面，

平面，

平面，

平面平面；

如圖所示，以為原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)，，

則，，，，

，，

設(shè)平面的法向量，

則，取，得，

平面的一個(gè)法向量為，

又二面角為，

，

解得，

點(diǎn)坐標(biāo)，平面的法向量，

，

設(shè)與平面所成角為，

則與平面所成角的正弦值為

．

【解析】本題考查面面垂直的證明，考查線面角的正弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，屬于中檔題．

推導(dǎo)出，，從而平面，由此能證明平面平面．

以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出與平面所成角的正弦值．

21.【答案】解：：由題可得，由有，，

解得，．

故所求橢圓方程為：．

設(shè)：，，，

聯(lián)立，整理可得：，

，解得或，

，，

所以，解得，

故直線的方程為．

【解析】根據(jù)已知條件，結(jié)合離心率公式，以及橢圓的性質(zhì)，即可求解．

設(shè)直線的方程，與橢圓的方程聯(lián)立，求出兩根之和及兩根之積，求出直線，的斜率之和，由題意可得直線的斜率，進(jìn)而求出直線的方程．

本題考查橢圓方程的求法及直線與橢圓的綜合應(yīng)用，直線與橢圓相切的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．

22.【答案】證明：令，有，

令可得，令可得，