證明或判斷等差(等比)數(shù)列的常用方法

證明或判斷等差（等比）數(shù)列的常用方法湖北省王衛(wèi)華玉芳翻看近幾年的高考題，有關(guān)證明、判斷數(shù)列是等差（等比）數(shù)列的題型比比皆是，如何處理這些題目呢？且聽筆者一一道來．利用等差（等比）數(shù)列的定義在數(shù)列中，若（為常數(shù)）或（為常數(shù)），則數(shù)列為等差（等比）數(shù)列．這是證明數(shù)列為等差（等比）數(shù)更最主要的方法．如：例1．（2005北京卷）設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)，且，記．（Ⅰ）求；（Ⅱ）判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論．解：（Ⅰ）；（Ⅱ），所以，所以，猜想：是公比為的等比數(shù)列．證明如下：因?yàn)樗允鞘醉?xiàng)為，公比為的等比數(shù)列．評(píng)析：此題并不知道數(shù)列的通項(xiàng)，先寫出幾項(xiàng)然后猜測(cè)出結(jié)論，再用定義證明，這是常規(guī)做法。 例2．（2005山東卷）已知數(shù)列的首項(xiàng)，前項(xiàng)和為，且（Ⅰ）證明數(shù)列是等比數(shù)列；（Ⅱ）略． 解：由已知可得時(shí)兩式相減得:，即，從而，當(dāng)時(shí)，，所以，又，所以，從而．故總有，又，從而．所以數(shù)列是等比數(shù)列．評(píng)析：這是常見題型，由依照含的式子再類似寫出含的式子，得到的形式，再利用構(gòu)造的方法得到所要證明的結(jié)論．本題若是先求出通項(xiàng)的表達(dá)式，則較繁．注意事項(xiàng)：用定義法時(shí)常采用的兩個(gè)式子和有差別，前者必須加上“”，否則時(shí)無意義，等比中一樣有：時(shí)，有（常數(shù)）；②時(shí)，有（常數(shù)）． 二．運(yùn)用等差或等比中項(xiàng)性質(zhì) 是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，這是證明數(shù)列為等差（等比）數(shù)列的另一種主要方法． 例3．（2005江蘇卷）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)為，已知，且其中為常數(shù)．（1）求與的值；（2）證明數(shù)列為等差數(shù)列；（3）略．解：（1）由，得． 把分別代入，得解得，，．(Ⅱ)由(Ⅰ)知，，即由題意得g，即又即（*）下面用數(shù)學(xué)歸納法證明①當(dāng)時(shí)，等式成立．②假設(shè)當(dāng)時(shí)，等式成立，即則當(dāng)時(shí)，由（*）知又即當(dāng)時(shí)，等式成立．由①②知，等式對(duì)成立．是等差數(shù)列．評(píng)析：例5是常規(guī)的猜想證明題，考查學(xué)生掌握猜想證明題的基本技能、掌握數(shù)列前項(xiàng)和這個(gè)概念、用數(shù)學(xué)歸納法證明等差數(shù)列的方法；例6是個(gè)綜合性比較強(qiáng)的題目，通過求二次函數(shù)的最值得到遞推關(guān)系式，再直接猜想然后用歸納法證明，解法顯得簡(jiǎn)潔明了，如果直接利用遞推關(guān)系式找通項(xiàng)，反而不好作．四．反證法解決數(shù)學(xué)問題的思維過程，一般總是從正面入手，即從已知條件出發(fā)，經(jīng)過一系列的推理和運(yùn)算，最后得到所要求的結(jié)論，但有時(shí)會(huì)遇到從正面不易入手的情況，這時(shí)可從反面去考慮．如： 例7．（2000年全國(guó)高考（理））設(shè)是公比不相等的兩等比數(shù)列，．證明數(shù)列不是等比數(shù)列． 證明：設(shè)的公比分別為，，，為證不是等比數(shù)列只需證．事實(shí)上， ，又不為零，，故不是等比數(shù)列．評(píng)析：本題主要考查等比數(shù)列的概念和基本性質(zhì)、推理和運(yùn)算能力，對(duì)邏輯思維能力有較高要求．要證不是等比數(shù)列，只要由特殊項(xiàng)（如）就可否定．一般地講，否定性的命題常用反證法證明，其思路充分說明特殊化的思想方法與正難則反的思維策略的重要性

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五．看通項(xiàng)與前項(xiàng)和法若數(shù)列通項(xiàng)能表示成（為常數(shù)）的形式，則數(shù)列是等差數(shù)列；若通項(xiàng)能表示成(均為不為0的常數(shù)，)的形式，則數(shù)列是等比數(shù)列．若數(shù)列的前項(xiàng)和Sn能表示成(a，b為常數(shù))的形式，則數(shù)列等差數(shù)列；若Sn能表示成(均為不等于0的常數(shù)且q≠1)的形式，則數(shù)列是公比不為1的等比數(shù)列．這些結(jié)論用在選擇填空題上可大大節(jié)約時(shí)間．例8．(2001年全國(guó)題)若S是數(shù)列的前項(xiàng)和，,則是().Ａ．等比數(shù)列，但不是等差數(shù)列 Ｂ.等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列Ｃ．等差數(shù)列，而且也是等比數(shù)列 Ｄ.既非等比數(shù)列又非等差數(shù)列解析：用到上述方法，一下子就知道答案為B，大大節(jié)約了時(shí)間，同時(shí)大大提高了命中率．六．熟記一些常規(guī)結(jié)論，有助于解題 若數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，則（1）數(shù)列（為不等于零的常數(shù)）仍是公比為的等比數(shù)列；（2）若是公比為的等比數(shù)列，則數(shù)列是公比為的等比數(shù)列；（3）數(shù)列是公比為的等比數(shù)列；（4）是公比為的等比數(shù)列；（5）在數(shù)列中，每隔項(xiàng)取出一項(xiàng)，按原來順序排列，所得新數(shù)列仍為等比數(shù)列且公比為；（6），，等都是等比數(shù)列；（7）若成等差數(shù)列時(shí)，成等比數(shù)列；（8）均不為零時(shí)，則成等比數(shù)列；（9）若是一個(gè)等差數(shù)列，則正項(xiàng)數(shù)列是一個(gè)等比數(shù)列． 若數(shù)列是公差為等差數(shù)列，則（1）成等差數(shù)列，公差為（其中是實(shí)常數(shù)）；（2），（為常數(shù)），仍成等差數(shù)列，其公差為；（3）若都是等差數(shù)列，公差分別為，則是等差數(shù)列，公差為；（4）當(dāng)數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列時(shí)，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列；（5）成等差數(shù)列時(shí)，成等差數(shù)列． 例9．（96年全國(guó)高考題）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為30，前項(xiàng)和為100則它的前項(xiàng)和為（）Ａ．130 Ｂ．170 Ｃ．210 Ｄ．260解：由上面的性質(zhì)得：成等比數(shù)列，故，，．故選Ｃ．評(píng)析：此題若用其它方法，解決起來要花比較多的時(shí)間，對(duì)于選擇題來說得不斷嘗試．記住上面這些結(jié)論，在做選擇填空題時(shí)可大大節(jié)約時(shí)間，并且能提高命中率．從上面可以看出：證明或判斷等