押第14題 導(dǎo)數(shù)及其切線方程（新高考）（解析版）

押新高考卷14題導(dǎo)數(shù)及其切線方程考點3年考題考情分析導(dǎo)數(shù)及其切線方程2022年新高考Ⅰ卷第15題2022年新高考Ⅱ卷第14題2021年新高考Ⅰ卷第15題2021年新高考Ⅱ卷第16題導(dǎo)數(shù)及其切線方程，難度較易或一般，縱觀近幾年的新高考試題，分別考查以切線為背景求參數(shù)范圍、求切線方程、求最值等知識點，同時也是高考沖刺復(fù)習(xí)的重點復(fù)習(xí)內(nèi)容?？梢灶A(yù)測2023年新高考命題方向?qū)⒗^續(xù)以切線為背景展開命題．八大常用函數(shù)的求導(dǎo)公式（為常數(shù)）；例：，，，，，，，導(dǎo)數(shù)的四則運算和的導(dǎo)數(shù)：差的導(dǎo)數(shù)：積的導(dǎo)數(shù)：（前導(dǎo)后不導(dǎo)前不導(dǎo)后導(dǎo)）商的導(dǎo)數(shù)：，復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式函數(shù)中，設(shè)（內(nèi)函數(shù)），則（外函數(shù)）導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線在某點處切線的斜率直線的點斜式方程直線的點斜式方程：已知直線過點，斜率為，則直線的點斜式方程為：1．（2022·新高考Ⅰ卷高考真題）若曲線有兩條過坐標(biāo)原點的切線，則a的取值范圍是________________．【答案】【分析】設(shè)出切點橫坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線方程，根據(jù)切線經(jīng)過原點得到關(guān)于的方程，根據(jù)此方程應(yīng)有兩個不同的實數(shù)根，求得的取值范圍.【詳解】∵，∴，設(shè)切點為,則,切線斜率,切線方程為：,∵切線過原點，∴,整理得：,∵切線有兩條，∴,解得或,∴的取值范圍是,故答案為：2．（2022·新高考Ⅱ卷高考真題）曲線過坐標(biāo)原點的兩條切線的方程為____________，____________．【答案】【分析】分和兩種情況，當(dāng)時設(shè)切點為，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線的斜率，從而表示出切線方程，再根據(jù)切線過坐標(biāo)原點求出，即可求出切線方程，當(dāng)時同理可得；【詳解】[方法一]：化為分段函數(shù)，分段求分和兩種情況，當(dāng)時設(shè)切點為，求出函數(shù)導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線的斜率，從而表示出切線方程，再根據(jù)切線過坐標(biāo)原點求出，即可求出切線方程，當(dāng)時同理可得；解：因為，當(dāng)時，設(shè)切點為，由，所以，所以切線方程為，又切線過坐標(biāo)原點，所以，解得，所以切線方程為，即；當(dāng)時，設(shè)切點為，由，所以，所以切線方程為，又切線過坐標(biāo)原點，所以，解得，所以切線方程為，即；故答案為：；[方法二]：根據(jù)函數(shù)的對稱性，數(shù)形結(jié)合當(dāng)時，設(shè)切點為，由，所以，所以切線方程為，又切線過坐標(biāo)原點，所以，解得，所以切線方程為，即；因為是偶函數(shù)，圖象為：所以當(dāng)時的切線，只需找到關(guān)于y軸的對稱直線即可.[方法三]：因為，當(dāng)時，設(shè)切點為，由，所以，所以切線方程為，又切線過坐標(biāo)原點，所以，解得，所以切線方程為，即；當(dāng)時，設(shè)切點為，由，所以，所以切線方程為，又切線過坐標(biāo)原點，所以，解得，所以切線方程為，即；故答案為：；.3．（2021·新高考Ⅰ卷高考真題）函數(shù)的最小值為______.【答案】1【分析】由解析式知定義域為，討論、、，并結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，即可求最小值.【詳解】由題設(shè)知：定義域為，∴當(dāng)時，，此時單調(diào)遞減；當(dāng)時，，有，此時單調(diào)遞減；當(dāng)時，，有，此時單調(diào)遞增；又在各分段的界點處連續(xù)，∴綜上有：時，單調(diào)遞減，時，單調(diào)遞增；∴故答案為：1.4．（2021·新高考Ⅱ卷高考真題）已知函數(shù)，函數(shù)的圖象在點和點的兩條切線互相垂直，且分別交y軸于M，N兩點，則取值范圍是_______．【答案】【分析】結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，結(jié)合直線方程及兩點間距離公式可得，，化簡即可得解.【詳解】由題意，，則，所以點和點，,所以，所以，所以，同理,所以.故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決本題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義轉(zhuǎn)化條件，消去一個變量后，運算即可得解.1．（2023·江蘇·二模）已知曲線與在處的切線互相垂直，則__________【答案】【分析】求導(dǎo)得切線斜率，根據(jù)切線垂直的斜率關(guān)系建立方程即可得解．【詳解】由，得，則曲線在處的切線斜率為，由，得，則曲線在處的切線斜率為，則根據(jù)題意有，即，得．故答案為：.2．（2023·江蘇南通·二模）過點作曲線的切線，寫出一條切線的方程_______．【答案】（答案不唯一）【分析】設(shè)切點坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)求切線斜率，代入點求出未知數(shù)即可得到切線方程.【詳解】，，設(shè)切點坐標(biāo)為，則切線斜率為，得方程，代入點，得，即，解得或，當(dāng)時，切線方程為；當(dāng)時，切線方程為.故答案為：（或）.3．（2023·廣東梅州·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)的圖象在處的切線在y軸上的截距為2，則實數(shù)____________．【答案】【分析】根據(jù)給定條件，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程作答.【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得：，，而，因此函數(shù)的圖象在處的切線方程為：，令，得，于是，解得，所以.故答案為：4．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知曲線在點處的切線與曲線在點處的切線互相垂直，則________．【答案】【分析】先利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出曲線在點處的切線斜率，進而可對函數(shù)求導(dǎo)，然后根據(jù)條件列方程求.【詳解】由曲線得，，曲線在點處的切線斜率為，曲線得，由已知可得，解得.故答案為：.5．（2023·遼寧鞍山·校聯(lián)考一模）若函數(shù)的圖像在點處的切線方程為，則實數(shù)______．【答案】【分析】利用導(dǎo)數(shù)和切線斜率間的關(guān)系求實數(shù)的值.【詳解】，則，依題意有，則實數(shù).故答案為：-26．（2023·浙江·統(tǒng)考二模）與曲線和都相切的直線方程為__________.【答案】【分析】分別設(shè)出直線與兩曲線相切的切點，然后表示出直線的方程，再根據(jù)切線是同一條直線建立方程求解.【詳解】設(shè)直線與曲線相切于點，因為，所以該直線的方程為，即，設(shè)直線與曲線相切于點，因為，所以該直線的方程為，即，所以，解得，所以該直線的方程為，故答案為：.7．（2023·廣東汕頭·統(tǒng)考一模）已知是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時，，則曲線在點處的切線方程為______．【答案】【分析】根據(jù)是定義在上的偶函數(shù)，以及當(dāng)時，等條件求出時，的導(dǎo)數(shù)為,進而求出時，,代入即可求出答案.【詳解】解：由是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時，，可得時，，所以當(dāng)時，的導(dǎo)數(shù)為，則曲線在點處的切線的斜率為，切點為，則切線的方程為，所以8．（2023·福建莆田·統(tǒng)考二模）直線l經(jīng)過點，且與曲線相切，寫出l的一個方程_______．【答案】（答案不唯一）【分析】先對求導(dǎo)，再假設(shè)直線l與的切點為，斜率為，從而得到關(guān)于的方程組，解之即可求得直線l的方程.【詳解】因為，所以，不妨設(shè)直線l與的切點為，斜率為，則，解得或或，當(dāng)時，直線l為；當(dāng)時，直線l為，即；當(dāng)時，直線l為，即；綜上：直線l的方程為或或.故答案為：（答案不唯一）.9．（2023·山東德州·統(tǒng)考一模）過點與曲線相切的直線方程為______．【答案】【分析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得出切線方程，進而由切點的位置得出，從而得出切線方程.【詳解】設(shè)切點坐標(biāo)為，，.則切線方程為，因為在切線上，所以，即又，所以，令，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，所以方程只有唯一解為.即切點坐標(biāo)為，故所求切線方程為，即.故答案為：10．（2023·湖北·荊州中學(xué)校聯(lián)考二模）已知定義在上的函數(shù)，，設(shè)曲線與在公共點處的切線相同，則實數(shù)______．【答案】5【分析】由于兩曲線與在公共點處的切線相同，設(shè)公共點，則，列方程組可求出的值【詳解】解：依題意設(shè)曲線與在公共點處的切線相同.∵，∴，∴，即，即∵，∴，故答案為：11．（2023·湖南邵陽·統(tǒng)考二模）已知直線是曲線與的公切線，則直線與軸的交點坐標(biāo)為______．【答案】【分析】利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的切線方程，由題意，建立方程組，可得答案.【詳解】設(shè)直線與曲線和分別相切于，兩點，分別求導(dǎo)，得，，故，整理可得．同理得，整理可得．因為直線為兩曲線的公切線，所以，解得，所以直線的方程為，令，則．則直線與軸的交點坐標(biāo)為．故答案為：.12．（2023·浙江·統(tǒng)考一模）若曲線存在兩條互相垂直的切線，則a的取值范圍是________．【答案】【分析】先求導(dǎo)函數(shù)，由題可得，分類討論和時，是否存在符合的值即可判斷.【詳解】由題知，令，則．若函數(shù)曲線存在兩條互相垂直的切線則可得，，．當(dāng)時，，，與題目矛盾；當(dāng)時，由，可得的值域是故，使得，，．故答案為：．13．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知拋物線，直線與拋物線交于，兩點，過，分別作拋物線的切線，若，且與交于點M，則的面積的最小值為________.【答案】1【分析】由直線垂直可構(gòu)造出斜率關(guān)系，得到，通過直線與拋物線方程聯(lián)立，根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系求得；聯(lián)立兩切線方程，可用表示出，代入點到直線距離公式，從而得到關(guān)于的面積的函數(shù)關(guān)系式，求得所求最值．【詳解】解：拋物線的方程為，即，所以，設(shè),，,，則，所以切線方程，，由于，所以，由題意可設(shè)直線方程為，拋物線方程聯(lián)立，得，所以，則，，即即，聯(lián)立方程得，即，點到直線的距離，，所以．當(dāng)時，面積取得最小值1．故答案為：1.14．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考二模）已知直線與曲線和均相切，則該直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為___________.【答案】2【分析】由基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其的幾何意義解得直線的解析式即可求得結(jié)果.【詳解】由已知得的導(dǎo)函數(shù)分別為：，設(shè)上的切點分別為，則有：，解之得：，故：，與坐標(biāo)軸交點分別為，圍成的三角形面積為：.故答案為：2.15．（2023·江蘇常州·校考二模）已知函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，且時，，則曲線在點處的切線方程為___________.【答案】【分析】先求出當(dāng)時，，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率，寫出切線方程.【詳解】設(shè)分別為函數(shù)的圖像上關(guān)于直線對稱的兩點，不妨設(shè)，則.所以，所以所以.所以當(dāng)時，.所以.而，所以.所以曲線在點處的切線方程為，即.故答案為：.16．（2023·廣東佛山·佛山一中校考一模）已知函數(shù)，，函數(shù)的圖象在點和點的兩條切線互相垂直，且分別與軸交于兩點，則的取值范圍是________．【答案】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得在處的切線方程，并得到；根據(jù)切線互相垂直可得，由此得到，令，可得，利用分離常數(shù)法可求得的范圍，即為的范圍.【詳解】當(dāng)，時，，，在處的切線方程為，即，；當(dāng)，，，同理可求得：在處的切線方程為：，，兩條切線互相垂直，，，，令，設(shè)，，則在上單調(diào)遞增，，即．故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解題關(guān)鍵是能夠利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得，將表示為關(guān)于變量的函數(shù)的形式，從而利用函數(shù)值域的求解方法求得結(jié)果.17．（2023·江蘇·統(tǒng)考一模）直線與曲線：及曲線：分別交于點A，B.曲線在A處的切線為，曲線在B處的切線為.若，相交于點C，則面積的最小值為____________.【答案】2【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，設(shè)出直線，求出交點的橫坐標(biāo)，從而求出，再利用基本不等式即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)，由，得到，由，得到所以由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得：，，聯(lián)立方程解得：的面積，令，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號.故答案為：218．（2023·安徽安慶·安慶市第二中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知F為拋物線的焦點，由直線上的動點P作拋物線的切線，切點分別是A，B，則與（為坐標(biāo)原點）的面積之和的最小值是_________.【答案】【分析】根據(jù)題意直線AB斜率存在，設(shè)其方程為，利用導(dǎo)數(shù)可得出拋物線在點A、B處的切線方程，聯(lián)立即可得出點P的坐標(biāo)，聯(lián)立直線AB的方程與拋物線的方程，根據(jù)韋達定理及點P在直線上，即可求出的值，再利用面積公式結(jié)合基本不等式得出最小值.【詳解】根據(jù)題意直線AB斜率存在，設(shè)其方程為，設(shè)，，由，得，求導(dǎo)得，則拋物線在點A處的切線方程為，整理得：，同理得拋物線在點B處的切線方程為，則由，解得，即兩切線的交點，由消去y整理得，則，，則，點P在直線上，則，則直線AB的方程為，過定點，且，設(shè)，則，則，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，則與的面積之和的最小值為.故答案為：.19．（2023·湖南長沙·湖南師大附中?？家荒＃┮阎头謩e是函數(shù)（且）的極小值點和極大值點．若，則a的取值范圍是____________．【答案】【分析】法一：依題可知，方程的兩個根為，即函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，構(gòu)造函數(shù)，利用指數(shù)函數(shù)的圖象和圖象變換得到的圖象，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得過原點的切線的斜率，根據(jù)幾何意義可得出答案.【詳解】[方法一]：【最優(yōu)解】轉(zhuǎn)化法，零點的問題轉(zhuǎn)為函數(shù)圖象的交點因為，所以方程的兩個根為，即方程的兩個根為，即函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，因為分別是函數(shù)的極小值點和極大值點，所以函數(shù)在和上遞減，在上遞增，所以當(dāng)時，，即圖象在上方當(dāng)時，，即圖象在下方，圖象顯然不符合題意，所以．令，則，設(shè)過原點且與函數(shù)的圖象相切的直線的切點為，則切線的斜率為，故切線方程為，則有，解得，則切線的斜率為，因為函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，所以，解得，又，所以，綜上所述，的取值范圍為．[方法二]：【通性通法】構(gòu)造新函數(shù)，二次求導(dǎo)=0的兩個根為因為分別是函數(shù)的極小值點和極大值點，所以函數(shù)在和上遞減，在上遞增，設(shè)函數(shù)，則，若，則在上單調(diào)遞增，此時若，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時若有和分別是函數(shù)且的極小值點和極大值點，則，不符合題意；若，則在上單調(diào)遞減，此時若，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，令，則，此時若有和分別是函數(shù)且的極小值點和極大值點，且，則需滿足，，即故，所以.【整體點評】法一：利用函數(shù)的零點與兩函數(shù)圖象交點的關(guān)系，由數(shù)形結(jié)合解出，突出“小題小做”，是該題的最優(yōu)解；法二：通過構(gòu)造新函數(shù)，多次求導(dǎo)判斷單調(diào)性，根據(jù)極值點的大小關(guān)系得出不等式，解出即可，該法屬于通性通法．20．（2023·廣東·校聯(lián)考