數(shù)學人教A版高中選擇性必修一（2019新編）2-3-1直線的交點坐標與距離公式（教案）

直線的交點坐標與距離公式要點一、直線的交點求兩直線與的交點坐標，只需求兩直線方程聯(lián)立所得方程組的解即可.若有，則方程組有無窮多個解，此時兩直線重合；若有，則方程組無解，此時兩直線平行；若有，則方程組有唯一解，此時兩直線相交，此解即兩直線交點的坐標.要點二、過兩條直線交點的直線系方程過兩直線的交點的直線系方程：經(jīng)過兩直線，交點的直線方程為，其中是待定系數(shù)．在這個方程中，無論取什么實數(shù)，都得不到，因此它不能表示直線．要點三、距離公式兩點間的距離公式為：.要點四、點到直線的距離公式點到直線的距離為：.要點五、兩平行線間的距離兩平行線間的距離為：.【典型例題】類型一、判斷兩直線的位置關(guān)系例1．是否存在實數(shù)a，使三條直線，，能圍成一個三角形？請說明理由．【解析】要使三條直線能圍成一個三角形，則它們中任意兩條都不平行，且三條直線不相交于同一點．（1）當時，，即a=±1．（2）當時，―a=―1，即a=1．（3）當時，，即a=1．（4）當與、相交于同一點時，由得交點（―1―a，1），將其代入ax+y+1=0中，得a=―2或a=1．故當a≠1且a≠－1且a≠―2時，這三條直線能圍成一個三角形．舉一反三：【變式1】直線5x+4y―2m―1=0與直線2x+3y―m=0的交點在第四象限，求m的取值范圍．【解析】解得，所以，解得．類型二、過兩條直線交點的直線系方程例2．求經(jīng)過兩直線2x―3y―3=0和x+y+2=0的交點且與直線3x+y―1=0平行的直線方程．【解析】設所求的直線為，由方程組得．∵直線和直線3x+y―1=0平行，∴直線的斜率k=―3．∴根據(jù)點斜式有，即所求直線方程為15x+5y+16=0．舉一反三：【變式1】求證：無論m取什么實數(shù)，直線(2m―1)x+(m+3)y―(m―11)=0都經(jīng)過一個定點，并求出這個定點的坐標．證法一：對于方程(2m―1)x+(m+3)y―(m―11)=0，令m=0，得x―3y―11=0；令m=1，得x+4y+10=0．解方程組，得兩直線的交點為（2，―3）．將點（2，―3）代入已知直線方程左邊，得(2m―1)×2+(m+3)×(―3)―(m―11)=4m―2―3m―9―m+11=0．這表明不論m取什么實數(shù)，所給直線均經(jīng)過定點（2，―3）．證法二：將已知方程以m為未知數(shù)，整理為(2x+y―1)m+(―x+3y+11)=0．由于m取值的任意性，有，解得．所以所給的直線不論m取什么實數(shù)，都經(jīng)過一個定點（2，―3）．類型三、對稱問題例3．已知直線1：2x+y―4=0，求1關(guān)于直線：3x+4y―1=0對稱的直線2的方程．【解析】解法一：由，得直線1與的交點為P（3，―2），顯然P也在直線2上．在直線1上取一點A（2，0），又設點A關(guān)于直線的對稱點為B（x0，y0），則，解得．故由兩點式可求得直線2的方程為2x+11y+16=0．解法二：設直線2上一動點M（x，y）關(guān)于直線的對稱點為，則：，解得．顯然在1上，故，即2x+11y+16=0，這便是所求的直線2的方程．舉一反三：【變式1】點P（―1，1）關(guān)于直線ax―y+b=0的對稱點是Q（3，―1），則a、b的值依次是（）A．―2，2B．2，―2C．D．【答案】B【解析】點P（―1，1），關(guān)于直線ax―y+b=0的對稱點是Q（3，―1），∴PQ的中點為（1，0），．∴，解得：a=2，b=－2．例4．在直線：3x―y―1=0上求一點P，使得：（1）P到A（4，1）和B（0，4）的距離之差最大；（2）P到A（4，1）和C（3，4）的距離之和最?。窘馕觥浚?）如圖1所示，設點B關(guān)于的對稱點B＇的坐標為（a，b），，即，∴a+3b－12=0．①又由于BB＇的中點坐標為，且在直線上，∴，即3a―b―6=0．②解①②得a=3，b=3，∴B＇（3，3）．于是直線AB＇的方程為，即2x+y－9=0．解由的直線方程與AB＇的直線方程組成的方程組得x=2，y=5，即與AB＇的交點坐標為（2，5），所以P（2，5）．（2）如圖2所示，設C關(guān)于的對稱點為C＇，求出C＇的坐標為．∴AC＇所在直線的方程為19x+17y―93=0．AC＇和交點坐標為．故P點坐標為．舉一反三：【變式1】已知點M（3，5），在直線：x―2y+2=0和y軸上各找一點P和Q，使△MPQ周長最?。窘馕觥坑牲c及直線，可求得點關(guān)于的對稱點．同樣容易求得點關(guān)于軸的對稱點．據(jù)及兩點可得到直線的方程為，解方程組，得交點，令，得到與軸的交點．類型四、兩點間的距離例5．已知直線過點P（3，1），且被兩平行直線1：x+y+1=0，2：x+y+6=0截得的線段長為5，求直線的方程．【解析】設直線與直線1、2分別交于點A（x1，y1）、B（x2、y2），則，兩方程相減，得(x1―x2)+(y1―y2)=5，①由已知及兩點間距離公式，得(x1―x2)2+(y1―y2)2=25，②由①②解得或，又點A（x1，y1）、B（x2，y2）在直線上，因此直線的斜率為0或不存在，又直線過點P（3，1），所以直線的方程為y=1或x=3．舉一反三：【變式1】如圖，直線上有兩點A、B，A點和B點的橫坐標分別為x1，x2，直線方程為y=kx+b，求A、B兩點的距離．【答案】例6．已知函數(shù)，求的最小值，并求取得最小值時x的值．【解析】將函數(shù)表達式變形為：，可以看作P（x，0）到點A（1，1）與到點B（2，2）的距離之和，即在x軸上求一點P，使|PA|+|PB|最小．∵．它表示點P（x，0）到點A（1，1）的距離加上點P（x，0）到點B（2，2）的距離之和，即在x軸上求一點P（x，0）與點A（1，1）、B（2，2）的距離之和的最小值．由下圖可知，可轉(zhuǎn)化為求兩點A＇（1，―1）和B（2，2）間的距離，其距離為函數(shù)的最小值．∴的最小值為．再由直線方程的兩點式得的方程為3x―y―4=0．令y=0，得．∴當時，的最小值為．舉一反三：【變式1】試求的最小值．【解析】，它表示點P（x，0）到點A（―1，1）的距離加上點P（x，0）到點B（2，2）的距離之和，即在x軸上求一點P（x，0）與點A（―1，1）、B（2，2）的距離之和的最小值．可轉(zhuǎn)化為求兩點A＇（―1，―1）和B（2，2）間的距離，其距離為函數(shù)的最小值．∴的最小值為．類型五、點到直線的距離例7．已知直線：和直線：相交于點P（m∈R）．（1）用m表示直線與的交點P的坐標；（2）當m為何值時，點P到直線x+y+3=0的距離最短？并求出最短距離．【解析】（1）解方程組，得x=3m，，∴直線與的交點P的坐標為．（2）設點P到直線x+y+3=0的距離為d，，∴當m=―1時，即P點坐標為（―3，2）時，點P到直線x+y+3=0的距離最短，最短距離為．舉一反三：【變式1】過點M(-2,1)，且與點A(-1,2)，B(3,0)的距離相等，求直線的方程．【答案】【解析】法一：直線過AB的中點（1，1），所以的方程為．直線，則設的方程為則，所以的方程為：法二：由題意知直線的斜率存在，設的方程為，則A、B兩點到直線的距離解得：所以的方程為：和【變式2】已知動點P（x，y）滿足方程xy=1（x＞0）．（1）求動點P到直線距離的最小值；（2）設定點A（a，a），若點P，A之間的最短距離為，求滿足條件的實數(shù)a的取值．【解析】（1）由點到直線的距離公式可得：，當且僅當時距離取得最小值．（2）設點，則，設，則，設f（t）=(t―a)2+a2―2（t≥2），對稱軸為t=a分兩種情況：（1）a≤2時，f（t）在區(qū)間[2，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，故t=2時，f（t）取最小值∴，∴a2―2a―3=0，∴a=―1（a=3舍）．（2）a＞2時，∵f（t）在區(qū)間[2，a]上是單調(diào)減，在區(qū)間[a，+∞）上是單調(diào)增，∴t=a時，f（t）取最小值，∴，∴（舍）．綜上所述，a=―1或．類型六、兩平行直線間的距離例8．兩條互相平行的直線分別過點A（6，2）和B（―3，―1），并且各自繞著A、B旋轉(zhuǎn)，如果兩條平行直線間的距離為d．（1）求d的變化范圍；（2）當d取最大值時，求兩條直線的方程．【解析】（1）①當兩條直線的斜率不存在時，即兩直線分別為x=6和x=－3，則它們之間的距離為9．②當兩條直線的斜率存在時，設這兩條直線方程為1：y―2=k(x―6)，2：y+1=k(x+3)，即1：kx―y―6k+2=0，2：kx―y+3k―1=0．∴，即(81―d2)k2―54k+9―d2=0．∵k∈R，且d≠0，d＞0，∴Δ=542―4(81―d2)(9―d2)≥0，即且d≠9．綜合①②可知，所求的d的變化范圍為．（2）由右圖可知，當d取最大值時，兩直線垂直于AB．而，∴所求的直線的斜率為―3．故所求的直線方程分別為y―2=―3(x―6)和y+1=―3(x+3)，即3x+y―20=0和3x+y+10=0．舉一反三：【變式1】已知直線1：2x―y+a=0（a＞0），直線2：―4x+2y+1=0和直線3：x+y―1=0，且1與2的距離是．（1）求a的值；（2）能否找到一點P，使得P點同時滿足下列三個條件：①P是第一象限的點