小學數(shù)學小升初競賽輔導材料-高斯取整

小學數(shù)學小升初競賽輔導材料--高斯取整2019年小學數(shù)學競賽輔導材料-高斯取整1.已知對于數(shù)a，有[5a]+5a=2018.16，求[[25a]+25a]的值。解析：設(shè)5a的小數(shù)部分為x，則5a=[5a]+x。因為[5a]+5a=2018.16，可以求出x=0.16和[5a]=1009。因此，25a=[5a]×5，[[25a]+25a]=[[1009×5]+1009]=[[5045]+1009]=6054。2.用[x]表示不超過x的最大整數(shù)，求[1]+[2]+[3]+[4]+[5]+[6]的值。解析：[1]+[2]+[3]+[4]+[5]+[6]=[1]+[2]+[3]+[4]+[5]+[5]=[1]+[2]+[3]+[4]+[4]+[5]=[1]+[2]+[3]+[3]+[4]+[5]=[1]+[2]+[2]+[3]+[4]+[5]=[1]+[1]+[2]+[3]+[4]+[5]=[1]+[1]+[1]+[2]+[3]+[4]+[5]=[1]+[1]+[1]+[1]+[2]+[3]+[4]+[5]=[1]+[1]+[1]+[1]+[1]+[2]+[3]+[4]+[5]=[1]+[1]+[1]+[1]+[1]+[1]+[3]+[4]+[5]=[1]+[1]+[1]+[1]+[1]+[1]+[2]+[4]+[5]=[1]+[1]+[1]+[1]+[1]+[1]+[2]+[3]+[5]=[1]+[1]+[1]+[1]+[1]+[1]+[2]+[3]+[4]+[4]+[5]=[1]+[1]+[1]+[1]+[1]+[1]+[2]+[2]+[4]+[5]=[1]+[1]+[1]+[1]+[1]+[1]+[2]+[2]+[3]+[5]=[1]+[1]+[1]+[1]+[1]+[1]+[2]+[2]+[3]+[4]+[4]=[1]+[1]+[1]+[1]+[1]+[1]+[2]+[2]+[3]+[3]+[4]+[4]=[1]+[1]+[1]+[1]+[1]+[1]+[2]+[2]+[2]+[4]+[4]=[1]+[1]+[1]+[1]+[1]+[1]+[2]+[2]+[2]+[3]+[5]=[1]+[1]+[1]+[1]+[1]+[1]+[2]+[2]+[2]+[3]+[4]+[4]=[1]+[1]+[1]+[1]+[1]+[1]+[2]+[2]+[2]+[3]+[3]+[5]=[1]+[1]+[1]+[1]+[1]+[1]+[2]+[2]+[2]+[3]+[3]+[4]+[4]=[1]+[1]+[1]+[1]+[1]+[1]+[2]+[2]+[2]+[3]+[3]+[4]+[5]=[1]+[1]+[1]+[1]+[1]+[1]+[2]+[2]+[2]+[3]+[3]+[4]+[4]+[4]=[1]+[1]+[1]+[1]+[1]+[1]+[2]+[2]+[2]+[3]+[3]+[4]+[4]+[4]+[5]=30。3.設(shè)[x]表示不超過x的最大整數(shù)，方程[x]+2x=4的解為x=1。4.以[x]表示不大于x的最大整數(shù)，滿足[1.9x]+[8.8y]=36的自然數(shù)x，y的值共有7組。5.已知S=[1]+[2]+[3]+...+[n]，其中[x]表示不超過x的最大整數(shù)，S的值為S=[1]+[2]+[3]+...+[n]=[1]+[2]+[2]+[3]+3+...+n=[1×1]+[2×2]+[3×2]+[4×3]+[5×3]+...+[n×(n-1)/2]=1×1+2×2+3×2+4×3+5×3+...+n×(n-1)/2=[1+2+3+...+n-1]+[2+3+...+n-1]+[3+...+n-1]+...+[n-1]=[n-1]+2×[n-2]+3×[n-3]+...+(n-1)×[1]。6.[x]表示不超過x的最大整數(shù)，則[1]+[2]+[3]+...+[n]=n×[n/2]。7.計算：[1.5]+[2.5]+[3.5]+...+[99.5]=4950。8.求[1.5]+[2.5]+[3.5]+...+[99.5]+[100.5]的值。由于[100.5]=[100]=100，所以[1.5]+[2.5]+[3.5]+...+[99.5]+[100.5]=[1]+[2]+[3]+...+[99]+100=4950+100=5050。9.已知S=[1]+[2]+[3]+...+[n]，其中[x]表示不超過x的最大整數(shù)，S的值為S=[1]+[2]+[3]+...+[n]=[n×(n+1)/2]。10.解方程[x]+[2x]=19，得到x=8.5。11.解方程：(1)x+2{x}=3[x]，得到x=[x]+2{x}，代入得到[x]+[2{x}]=2[x]，即[2{x}]=[x]，因此{x}<[1/2]，代入得到x=[x]；(2)3x+5[x]-49=[x]+2，化簡得到3x-3[x]=51，因此x=[x]+17。12.求方程2[x]-9{x}=0的解的個數(shù)。由于{x}<1，因此2[x]=9{x}的解為[x]=0，0≤{x}<1/9，共有9個解，因此方程的解的個數(shù)為9。13.如果[x]=3，[y]=4，[z]=1，求：(1)[x-y]的所有可能值；(2)[x+y-z]的所有可能值。(1)[x-y]的所有可能值為-1，0，1，2，3。(2)[x+y-z]的所有可能值為6，7，8，9，10，11。14.解方程[]+[]+[]+[x]=2019，其中[x]表示不超過x的最大整數(shù)。由于[]+[]+[]≤[x]+[x]+[x]=3x，因此[x]≥2019/3=673。又因為[]+[]+[]+[x]≤3[x]+[x]=4x，因此[x]≤2019/4<505，因此[x]=504，[1]+[2]+[3]+504=1+2+3+504=510。15.(1)在[1,100]范圍內(nèi)，數(shù)字中含有數(shù)字9的整數(shù)共有20個。(2)在[1,100]范圍內(nèi)，共有19個互不相同的數(shù)字，其中沒有數(shù)字9的整數(shù)有80個，數(shù)字中含有數(shù)字9的整數(shù)有20個。在[1,100]范圍內(nèi)，共有10個互不相同的數(shù)字，其中沒有數(shù)字9的整數(shù)有90個，數(shù)字中含有數(shù)字9的整數(shù)有10個。因此，在[1,100]范圍內(nèi)，共有29個互不相同的數(shù)字。1.原文已經(jīng)沒有明顯的格式錯誤和有問題的段落，只需要進行小幅度的改寫即可。例如，將“故答案為：10090”改為“因此，答案是10090”。2.本題考察高斯取整。觀察式子可知，首位兩項，[]內(nèi)的數(shù)相加等于2017。又因為當x不是整數(shù)時，[x]+[2017-x]=2016，故兩兩相加可以得到答案。因為2017和11是質(zhì)數(shù)，所以[]內(nèi)的數(shù)據(jù)都不是整數(shù)。因此，[]+[]+[]+[]=[2017-1]=2016。所以原式=2016+2016+2016=6048。因此，答案是6048。3.設(shè)n≤x<n+1（n是整數(shù)），則[x]=n。根據(jù)方程[x]+2x=4，求出n，即可得出結(jié)論。設(shè)n≤x<n+1（n是整數(shù)），則[x]=n。因為[x]+2x=4，所以2x=4-[x]。因此，2n≤4-[x]≤2n+1。所以，[x]=2，x=1.5。因此，答案是1.5。4.顯然0≤y≤4（否則等式左邊>36）。當y=0時，有x=19。當y=1時，有x=15；當y=2時，x=10；當y=3時，x不存在；當y=4時，x=1。因此，滿足[1.9x]+[8.8y]=36的自然數(shù)x，y的值共有4組。因此，答案是4。5.本題考察高斯取整，解題關(guān)鍵在于求出每個分數(shù)計算結(jié)果的整數(shù)部分。對每個分數(shù)進行變形，S=[2-]+[]+[4-]+[6-]+[]+…+[]+…+[200-].因此，S=1+3+5+…+199=(1+199)×100÷2=10000。6.從[]到[]表示的不超過x最大整數(shù)都是1，從[]到[]到[]表示的不超過x最大整數(shù)都是2，從[]到[]表示的不超過x最大整數(shù)都是3。因此，[x]+[2x]+[3x]=1+2+3=6。因此，答案是6。1.根據(jù)題干得知，這個數(shù)列的最大整數(shù)是3、126、2011，分別對應了三個方括號。因為這個數(shù)列是遞增排列的，所以共有2012個不同的整數(shù)。因此，答案為2012個不同的整數(shù)。2.這道題考察高斯取整。將22乘以40再除以2可以得到440。因此，答案為440。3.這道題也考察高斯取整。因為[]+[]+1=[]+[]，所以[]=[]+1。因此，[]+[]+[]+1=42，所以[]=21。將所有括號里的數(shù)加起來，可以得到2010。4.這道題需要根據(jù)高斯求和公式和x=[x]+{x}找規(guī)律解答。因為{x}小于1，所以[2x]等于2[x]+[2{x}]。因為0≤{x}＜1，所以0≤2{x}＜2。因此，需要分段討論{x}。當0≤{x}＜0.5時，[2x]=2[x]；當0.5≤{x}＜1時，[2x]=2[x]+1。根據(jù)方程[x]+[2x]=19，可以得到[x]的取值范圍是6≤[x]＜7。因此，滿足方程的x的取值范圍是6≤x＜7。5.這道題需要用到排列組合的知識。因為需要選出5個數(shù)，每個數(shù)的取值范圍是1到10，所以總共的情況數(shù)是10的5次方，即100000種。因為不能有重復的數(shù)，所以要減去選出5個相同的數(shù)的情況，即10種情況。因此，最終的答案是99990。6.這道題需要找到最小的正整數(shù)n，使得n的平方大于2000?？梢酝ㄟ^試除法得到44的平方是1936，45的平方是2025，因此最小的n是45。因此，答案是45。7.這道題考察高斯取整。將22乘以40再除以2可以得到440。因此，答案為440。8.這道題考察高斯取整。因為[]+[]+1=[]+[]，所以[]=[]+1。因此，[]+[]+[]+1=42，所以[]=21。將所有括號里的數(shù)加起來，可以得到2010。9.這道題需要根據(jù)高斯求和公式和x=[x]+{x}找規(guī)律解答。因為{x}小于1，所以[2x]等于2[x]+[2{x}]。因為0≤{x}＜1，所以0≤2{x}＜2。因此，需要分段討論{x}。當0≤{x}＜0.5時，[2x]=2[x]；當0.5≤{x}＜1時，[2x]=2[x]+1。根據(jù)方程[x]+[2x]=19，可以得到[x]的取值范圍是6≤[x]＜7。因此，滿足方程的x的取值范圍是6≤x＜7。將所有括號里的數(shù)加起來，可以得到9504。10.這道題需要根據(jù)x=[x]+{x}求解2x的整數(shù)部分和小數(shù)部分。因為{x}小于1，所以2{x}小于2。因此，需要分段討論{x}。當0≤{x}＜0.5時，[2x]=2[x]；當0.5≤{x}＜1時，[2x]=2[x]+1。根據(jù)方程[x]+2[x]=19，可以得到[x]=6。因此，2x的整數(shù)部分是12，小數(shù)部分是0。【分析】本題考察高斯取整。如果$x$為實數(shù)，$[x]$表示不超過$x$的最大整數(shù)，$\{x\}=x-[x]$表示$x$的小數(shù)部分，則可以利用這些概念來解決問題?！窘獯稹浚?）由$\{x\}=x-[x]$，$x+2\{x\}=3[x]$可得：$$x+2(x-[x])=3[x]\Rightarrow5[x]=3x\Rightarrow[x]=\lfloor\frac{3x}{5}\rfloor$$因為$[x]$是整數(shù)，所以$\frac{3x}{5}$也必須是整數(shù)，即$x$必須是$5$的倍數(shù)。又因為$x$不等于$[x]$，所以$x$只能是$5$或$10$。代入原方程檢驗，發(fā)現(xiàn)$x=5$時不符合，$x=10$時符合。因此方程的解為$x=10$。（2）由$2[x]$為偶數(shù)，可知$[x]$為整數(shù)且為偶數(shù)。因為$0\leq\{x\}<1$，所以$0\leq9\{x\}<9$，即$9\{x\}$的可能取值為$0,2,4,6,8$。將這五個值代入$2[x]=9\{x}$，解得$x=1+\frac{k}{5}$，其中$k$為$0,2,4,6,8$中的一個。代入原方程檢驗，可得方程的解為$x=1.4,1.6,2.4,2.6,3.4,3.6,4.4,4.6$。（3）由$[x]=3$可知$3\leqx<4$，$[y]=0$可知$0\leqy<1$，$[z]=1$