2021屆高考-構(gòu)造法巧解題

構(gòu)造法巧解題

—用構(gòu)造法解f(X)與F(X)均存在的問題

高考中有一難點(diǎn)，即不給出具體的函數(shù)解析式,而是給出函數(shù)f(x)及其導(dǎo)數(shù)滿

足的條件，需要據(jù)此條件構(gòu)造抽象函數(shù),再根據(jù)條件得出構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性，應(yīng)用

單調(diào)性解決問題的題目，該類題目具有一定的難度，下面總結(jié)其基本類型及其處理

方法.

類型一F(x)g(x)±f(x)g,(x)型

典例1⑴設(shè)f'(X)是奇函數(shù)f(x)(x￡R)的導(dǎo)函數(shù)f(-l)=O,當(dāng)x>0時(shí),xf'(x)-f(x)<0,

則使得f(x)>0成立的x的取值范圍是()

A.(-oo,-l)U(0,l)B.(-l,O)U(l,+a>)

C.(-oo,-l)U(-l,0)D,(0,l)U(l,+oo)

⑵設(shè)f(x),g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，

f'(x)g(x)+f(x)g'(x)>0,且g(-3)=0,則不等式f(x)g(x)<0的解集是.

答案(1)A(2)(-OO,-3)U(0,3)

解析(1)令g(x)="，則㈤由題意知當(dāng)x>o時(shí)0僅)<0,「普岡在

(0,+8)上是減函數(shù).

?」f(x)是奇函數(shù)f(-l)=O,，f(l)=-f(-l)=O,

.,必1)=魯0，

???當(dāng)x￡(O,l)時(shí),g(x)>0,從而f(x)>0;

當(dāng)x￡Q,+8)時(shí),g(x)<0,從而f(x)<0.

又；f(x)是奇函數(shù),

???當(dāng)x￡(-8「i)時(shí),f(x)>0；

當(dāng)xG(-lQ)時(shí),f(x)＜。

綜上，所求x的取值范圍是(-8「1)u(0,1).

(2)借助導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則,f'(x)g(x)+f(x)g，(x)>0o[f(x)g(x)『>0,所以函數(shù)y=f(x)g(x)在

(一8,0)上單調(diào)遞增,又由分析知函數(shù)丫=耿用岡為奇函數(shù),所以其圖象關(guān)于原點(diǎn)對

稱,且過點(diǎn)(-3Q),(0,0),(3,0).數(shù)形結(jié)合可求得不等式f(x)g(x)<0的解集是(-?>,-

3)U(0,3).

點(diǎn)撥:

(1)對于不等式f'(x)+g'(x)>0(或<0),構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)+g(x);

⑵對于不等式f'(x)-g'(x)>0(或〈0),構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)-g(x);

特別地，對于不等式f'(x)>k(或干)(kX0),構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)-kx.

⑶對于不等式f'(x)g(x)+f(x)g'(x)>0(或<0),構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)g(x);

⑷對于不等式f'(x)g(x)-f(x)g'(x)>0(或<0)構(gòu)造函數(shù)F(x)=^(g(x)0O);

(5)對于不等式xf'(x)+f(x)>0域<0),構(gòu)造函數(shù)F(x)=xf(x);

⑹對于不等式xf'(x)-f(x)>0(或<0),構(gòu)造函數(shù)F(x)=,(xR0).

對點(diǎn)練

1.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足且對任意的xGR都有f(x)</則不等式

心2)>學(xué)的解集為()

A.(l,2)B,(0,l)C.(l,+8)D.(-l,l)

2.f(x)是定義在(0,+8)上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù)且滿足xf'(x)+f(x)W0.對任意正數(shù)a,b,若

a<b,則必有()

A.af(b)Wbf(a)B.bf(a)Waf(b)C.af(a)Wf(b)D.bf(b)Wf(a)

3.已知Rx)為定義在。+8)上的可導(dǎo)函數(shù)，且f(x)>xf'(x)恒成立，則x2fQ-f(x)>0的

解集為.

類型二xf'(x)士nf(x)型

典例2設(shè)函數(shù)f(x)在R上的導(dǎo)函數(shù)為f'(x),且2f(x)+xf'(x)>x2,則下列不等式在R

上恒成立的是()

A.f(x)>0B.f(x)<0C,f(x)>xD.f(x)<x

答案A

解析解法一：令g(x)=x2f(x)-；x：貝ijg'(x)=2xf(x)+x2f,(x)-x3=x[2f(x)+xf,(x)-x2],

當(dāng)x>0時(shí),g1(x)>O,；.g(x)>g(O),

即x2f(x)-[x4>0,從而f(x)>X>0；

當(dāng)x<0時(shí),g'(x)<O,，g(x)>g(O),

即x2f(X)-[x4>0,從而f(X)>，2>0;

當(dāng)x=0時(shí)，由題意可得2f(0)>0,，f(0)>0.

綜上可知,f(x)>0.

解法二：；2f(x)+xf,(x)>x2,

令x=0貝Jf(0)>0,故可排除B.D,

不妨令f(x)=x2+0.1，則已知條件2%x)+xf成立，但f(x)>x不一定成立，故C也

是錯(cuò)誤的，故選A.

點(diǎn)撥(1)對于xf'(x)+nf(x)>0型，構(gòu)造F(x)=x￥(x),則F(x)=x”txf'(x)+nf(x)](注意對

的符號進(jìn)行討論),特別地，當(dāng)n=l時(shí),xf'(x)+f(x)>0,構(gòu)造F(x)=xf(x),則F1(x)=xf

1(x)+f(x)>0;

(2)對于xf'(x)-nf(x)>O(x關(guān)0)型構(gòu)造F(x)=^，則F'(x)=g黯?(注意對xn+1的符號

進(jìn)行討論),特別地，當(dāng)n=l時(shí),xf[x)-f(x)>0,構(gòu)造F(x)=W，則F1(x)=%r^/W>0.

對點(diǎn)練

1.已知定義域?yàn)椋鹸|xW0｝的偶函數(shù)f(x),其導(dǎo)函數(shù)為f'(x),對任意正實(shí)數(shù)x滿足

xf'(x)>-2f(x),若g(x)=x?f(x),則不等式g(x)<g⑴的解集是()

A.(-oo,l)B,(-l,l)C.(-co,0)U(0,l)D.(-l,0)U(0,l)

2.f(x)在(0,+8)上的導(dǎo)函數(shù)為f'(x),xf(x)>2f(x)廁下列不等式成立的是()

A.20172f(2018)>20182f(2017)

2

B.2017f(2018)<20182f(2Q17)

C.2017f(2018)>2018f(2017)

D.2017f(2018)<2018f(2017)

類型三人f(x)士f<x)(人為常數(shù))型

典例3(1)已知f(x)為R上的可導(dǎo)函數(shù)，且VxCR,均有f(x)>〔(x)廁有()

A.e2019f(-2019)<f(0),f(2019)>e2O19f(0)

B.e2019f(-2019)<f(0),f(2019)<e2019f(0)

C.e2019f(-2019)>f(0),f(2019)>e2019f(0)

D.e2019f(-2019)>f(0),f(2019)<e2019f(0)

⑵已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)+2f'(x)>0恒成立，且%2)=；(e為自然對數(shù)

X

的底數(shù))，則不等式exf(x)-ei>0的解集為.

答案(1)D(2)(2,+8)

解析(1)構(gòu)造函數(shù)h(x)=鬻則h，(x戶號^<°，即皿在R上單調(diào)遞減，故h(-2

019)>h(0),即鬻=e21119f(-2019)>f(0);同理,h(2019)<h(0),gpf(2019)<e2

嗎f(0),故選D.

⑵由f(x)+2f1(x)>0得2^f(x)+1(x)卜0,可構(gòu)造h(x)=e￡f(x)廁h'(x)=|ei[f(x)+2f

xX

'(x)]>0,所以函數(shù)h(x)=e3f(x)在R上單調(diào)遞增，且h(2)=e,f⑵=1.不等式exf(x)-ez>0

xX

等價(jià)于e?f(x)>l,即h(x)>于2)=>x>2,所以不等式exf(x)-ez>0的解集為(2,+8).

點(diǎn)撥⑴對于不等式f'(x)+f(x)>0(或<0)構(gòu)造函數(shù)F(x)=e*f(x);

⑵對于不等式f'(x)-f(x)>0(或<0),構(gòu)造函數(shù)F(x);