傅立葉變換應(yīng)用于通信系統(tǒng)濾波

第五章 傅立葉變換應(yīng)用于通信系統(tǒng)—濾波、調(diào)制與抽樣學(xué)習(xí)目標(biāo)1．理解系統(tǒng)函數(shù)H(jω)及傅里葉變換分析法，掌握無失真?zhèn)鬏敆l件。2．了解理想低通濾波器模型，系統(tǒng)的物理可實(shí)現(xiàn)條件，熟悉調(diào)制、解調(diào)的原理與實(shí)現(xiàn)。3．掌握抽樣信號的傳輸與恢復(fù)，熟悉頻分復(fù)用與時分復(fù)用。教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)掌握無失真?zhèn)鬏敆l件。教學(xué)內(nèi)容§5.1 引言本章初步介紹傅里葉變換方法應(yīng)用于通信系統(tǒng)中的幾個主要方面 ——濾波、調(diào)制和抽樣。傅里葉變換形式的系統(tǒng)函數(shù)ethtrtEHR若e(t)E(),或E(j)r(t)R(),或R(j)h(t)H(),或H(j)則依卷積定理有R(j)E(j)H(j)所以H(j)R(j)E(j)對于穩(wěn)定系統(tǒng)

本章共8學(xué)時，其中，講授7學(xué)時，討論課1學(xué)時。在授課過程中，要引入當(dāng)今通信領(lǐng)域的新技術(shù)，通過讓學(xué)生查閱資料，及時研討，深入理解傅立葉變換在通信領(lǐng)域的應(yīng)用和發(fā)展。HjHssj頻率響應(yīng)特性H(j)~：系統(tǒng)的幅頻特性H(j)H(j)ej()()~：相頻特性設(shè)激勵為e(t)ej0t,則系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為r(t)h(t)e(t)h()ej0(t)dej0th()ej0dH(j0)ej0t（等于激勵e(t)乘以加權(quán)函數(shù)H(j0)）1系統(tǒng)函數(shù)的物理意義系統(tǒng)可以看作是一個信號處理激勵：E(j )響應(yīng)：H(j )·E(j ) （對信號各頻率分量進(jìn)行加權(quán)）E(j)E(j)j()eeH(j)H(j)ejh()R(j)E(j)H(j)（E()的幅度由H()加權(quán)）r()e()h()（E的相位由修正）對于不同的頻率，有不同的加權(quán)作用，這也是信號分解，求響應(yīng)再疊加的過程?！?.2 利用系統(tǒng)函數(shù)H(j )求響應(yīng)·系統(tǒng)的頻響特性與 H(s)的關(guān)系·正弦信號激勵下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)·非周期信號激勵下系統(tǒng)的響應(yīng)一．系統(tǒng)的頻響特性與 H(s)的關(guān)系當(dāng)H(s)在虛軸上及右半平面無 極點(diǎn)：Fht Hj Hssj當(dāng)H(s)在虛軸上有極點(diǎn)不同。例：當(dāng)輸入為 t時，求出v(t)即h(t)h(t)1t1v(t)i(t)dtu(t)CCH(s)Lh(t)1sH(j)Fh(t)1j二．正弦信號激勵下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)設(shè)激勵信號為 sin 0t，系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為H(0)sin0t(0)說明

itC vtH( ) H( )ej()，則正弦信號 sin 0t作為激勵的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為與激勵頻率的信號，幅度由Hj 0 加權(quán)，相移動 0 。H j 代表了系統(tǒng)對信號的處理效果三．非周期信號的響應(yīng)傅氏分析從頻譜改變的觀點(diǎn)說明激勵與響應(yīng)波形的差異，系統(tǒng)對信號的加權(quán)作用改變了信號的頻譜，物理概念清楚?！び酶道锶~分析法求解過程煩瑣，不如拉氏變換容易。2·引出H(jω)重要意義在于研究信號傳輸?shù)幕咎匦?，簡述濾波器的基本概念，并理解頻響特性的物理意義，這些理論內(nèi)容在信號傳輸和濾波器設(shè)計(jì)等實(shí)際問題中具有十分重要的指導(dǎo)意義?？偨Y(jié)系統(tǒng)可以看作是一個信號處理器：Hj 是一個加權(quán)函數(shù)， 對信號各頻率分量進(jìn)行 加權(quán)。信號的幅度由 H(j )加權(quán)，信號的相位由 修正。對于不同的頻率，有不同的加權(quán)作用，這也是信號分解，求響應(yīng)再疊加的過程。例5-2-1若Hj1當(dāng)輸入分別為sint,sin2t,sin3t時的輸出為多少?j1解：H(j)1()arctan12sint:1sin(t45)21sin2t:63)sin(2t5sin3t:1sin(3t72)10例5-2-2下圖所示RC電路，在輸入端 1 1加入矩形脈沖 v1t，利用傅里葉分析方法求2端電壓v2t。12v1(t)REv(t)vC0Cv2(t)012Ot分析：3RjHjEjHjhtFetHsjsrtF1Rj解:11HssCRC令1RC11sjRssCRC激勵信號v1t的傅里葉變換式為

HjjV1jESajE1eje22j響應(yīng)v2t的傅式變換V2jHjV1jESaejV2jej22j2求v2(t)v2jjE1ejjE111ejjjE1ejE1ejj所以v2t Eut ut Eetut e

jtutE1 e t ut E1 e t ut波形及頻譜圖如下：412HjR122v1(t)Cv2(t)1v1(t)2OV1jEO tv2(t)E

EOV2jO t說明

O系統(tǒng)具有低通特性，半 功率帶寬為 ；輸入信號在t0急劇上升，t急劇下降，蘊(yùn)含著高頻成分。經(jīng)低通后，以指數(shù)規(guī)律上升和下降，波形變圓滑。1，RC稱為時間常數(shù)，RC，即帶寬增加，允許更高的RC頻率分量通過，響應(yīng)波形的上升，下降時間就要縮短。思考題：當(dāng)輸入信號為周期矩形脈沖信號時，輸出如何?為描述方便，將原來的輸入和輸出標(biāo)記為v10(t)和v20(t)。v1v10t*TtV1jV10jn2π111nTV2jV2jHjV10jHj1n1nV20j1n1nv2tv20t*Tt波形及頻譜圖5輸入為周期矩形脈沖時的輸出12HjR1v2(t)22v1(t)C12Ov1(t)V1jEE TTOTtOv2(t)V2jETOTtO正弦信號激勵下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)設(shè)激勵信號v1(t)sin0t,若:H(j)H(j)ej()，求穩(wěn)態(tài)響應(yīng)v2(t)解V1(j)jπ(0)(0)V2(j)H(j)V1(j)H(j)ej()jπ(0)(0)所以V2(j)H(j0)jπ(0)ej(0)(j(0)0)e利用頻移特ej0t2π(0)j0tπ0)e2(所以v2(t)1H(j0)jej0tej(0)ej0tej(0)2H(j0)sin0t(0)§5.3 無失真?zhèn)鬏斠唬д嫘盘柦?jīng)系統(tǒng)傳輸，要受到系統(tǒng)函數(shù) Hj 的加權(quán)，輸出波形發(fā)生了變化，與輸入波形不同，則產(chǎn)生失真。線性系統(tǒng)引起的信號失真由兩方面的因素造成6·幅度失真：各頻率分量幅度產(chǎn)生不同程度的衰減；·相位失真：各頻率分量產(chǎn)生的相移不與頻率成正比，使響應(yīng)的各頻率分量在時間軸上的相對位置產(chǎn)生變化?！ぞ€性系統(tǒng)的失真 ——幅度，相位變化，不產(chǎn)生新的頻率成分；·非線性系統(tǒng)產(chǎn)生非線性失真 ——產(chǎn)生新的頻率成分。對系統(tǒng)的不同用途有不同的要求：·無失真?zhèn)鬏?；·利用失?波形變換二．無失真?zhèn)鬏敆l件已知系統(tǒng) h(t) H(j ),若激勵為 et響應(yīng)為 rt那么r(t)Ke(tt0)時不失真幅度可以比例增加波形形狀不變可以有時移etrt因?yàn)閞(t)Ke(tt0)h(t)所以R(j)KE(j)ejt0rt因?yàn)镽(j)E(j)H(j)et所以H(j)R(j)jt0E(jKe)otot0t頻譜圖Hjt0KH(j)KO即:t0O幾點(diǎn)認(rèn)識：·要求幅度為與頻率無關(guān)的常數(shù) K，系統(tǒng)的通頻帶為無限寬?！は辔惶匦耘c 成正比，是一條過原點(diǎn)的負(fù)斜率直線?！げ皇д娴木€性系統(tǒng)其沖激響應(yīng)也是沖激函數(shù)?！げ皇д娴木€性系統(tǒng)其沖激響應(yīng)也是沖激函數(shù)。相位特性為什么與頻率成正比關(guān)系？H(j ) Kejt0 K t t0 ht只有相位與頻率成正比，方能保證各諧波有相同的延遲時間，在延遲后各次諧波疊加方能不失真。延遲時間 t0是相位特性的斜率：7dt0ddd在滿足信號傳輸不產(chǎn)生相位失真的情況下，系統(tǒng)的群時延特性應(yīng)為常數(shù)。sint sin2t sint sin2t例輸入O t O t O tsint 2 sin2t 3 sint 2 sin2t 3輸出O t O t O t三．利用失真——波形形成HjrttEj 1 Rj Hj總結(jié)系統(tǒng)的無失真?zhèn)鬏敆l件時域:h(t)K(tt0)頻域:H(j)Kejt0即H(j ) K,( ) t0K和t0均為實(shí)常數(shù)§5.4 理想低通濾波器·理想低通的頻率特性·理想低通的沖激響應(yīng)·理想低通的階躍響應(yīng)·理想低通對矩形脈沖的響應(yīng)一．理想低通的頻率特性8H(j )1ccO c c O1ejt01cHjHj0c0

cct0· 為截止頻率，稱為理想低通濾波器的通頻帶，簡稱頻帶?！?在0~ c的低頻段內(nèi)，傳輸信號無失真 (只有時移 t0)。二．理想低通的沖激響應(yīng)因?yàn)閔(t)H(j)所以h(t)F1H(j)1H(j)ejtd2

11ejt0ejtdωc2π c11ej(tt0)d11ejtt0ccc2πc2πjtt0111ejctt0ejctt0πtt02jcsinctt0cSactt0πctt0π波形t1th(t)cπ由對稱性可以從矩形脈沖的傅氏變換式得到同樣的結(jié)果。t0 tπc9幾點(diǎn)認(rèn)識1．比較輸入輸出，可見嚴(yán)重失真；t 1信號頻帶無限寬，而理想低通的通頻帶 (系統(tǒng)頻帶)有限的 0~ c當(dāng) t經(jīng)過理想低通時， c以上的頻率成分都衰減為 0，所以失真。h(t) (t)系統(tǒng)為全通網(wǎng)絡(luò)，可以 無失真?zhèn)鬏敗?．理想低通濾波器是個物理不可實(shí)現(xiàn)的非因果系統(tǒng)原因：從 h(t)看，t<0時已有值。三．理想低通的階躍響應(yīng)激勵 e(t)=u(t) π系統(tǒng) h(t)響應(yīng) r(t)所以Rπ1ejjr(t)F1R()1c2πc1jjt01ecHj0 cu(t) h(t)t0(cc)π()1ejt0ejtdj1cjtt0d1cejtt02πe2πdccj12csintt0d11ctt0sinx22π02π0dxx令xtt0正弦積分ysinxSi(y)= dx0 x下限為0；奇偶性：奇函數(shù)。3.最大值出現(xiàn)在最小值出現(xiàn)在階躍響應(yīng)波形

sinx1 xπ 2π 3π4πO xSiyπ2O yπ210utOtrt112ππccOt0ttr11ctt0rtSi2π幾點(diǎn)認(rèn)識rt1π最小值位置：t01cππ2t0為系統(tǒng)延遲時間ccOt0ttr1．上升時間：輸出由最小值到最大值所經(jīng)歷的時間， 記作 trtr2π1BcfccB2πB是將角頻率折合為頻率的濾波器帶寬（截止頻率）。2．階躍響應(yīng)的上升時間 tr與網(wǎng)絡(luò)的截止頻率 B（帶寬）成反比四．理想低通對矩形脈沖的響應(yīng)因?yàn)閑1(t)u(t)u(t)r1t1c(tt0)1所以r1(t)SiSic(tt0)12Ot0t0tt02討論πtr 時，才有如圖示，近似矩形脈沖的響應(yīng)。如果 過窄或 c過2 c11小，則響應(yīng)波形上升與下降時間連在一起完全失去了激勵信號的脈沖形象。吉伯斯現(xiàn)象 ：跳變點(diǎn)有 9%的上沖。改變其他的 “窗函數(shù)”有可能消除上沖。（例如：升余弦類型）§5.5 系統(tǒng)的物理可實(shí)現(xiàn)性、佩利－維納準(zhǔn)則·一種可實(shí)現(xiàn)的低通·佩利－維納準(zhǔn)則一．一種可實(shí)現(xiàn)的低通理想低通濾波器在物理上是不可實(shí)現(xiàn)的，近似理想低通濾波器的實(shí)例R L時，且令c 1C LCL

H j1v1(t) C R v2(t)c Ohtπππ22ccπOOπt2cπh(t)h(t)u(t)公式推導(dǎo)二．佩利－維納準(zhǔn)則

cc物理可實(shí)現(xiàn)的網(wǎng)絡(luò)時域特性h(t)h(t)u(t)因果條件頻率特性Hj2dHj滿足平方可積條件佩利－維納準(zhǔn)則 ——系統(tǒng)可實(shí)現(xiàn)的必要條件。lnH(j)－12d說明·對于物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng) ,可以允許 H(jω)特性在某些不連續(xù)的頻率點(diǎn)上為零，12但不允許在一個有限頻帶內(nèi)為零。按此原理，理想低通、理想高通、理想帶通、理想帶阻等理想濾波器都是不可實(shí)現(xiàn)的；·佩利-維納準(zhǔn)則要求可實(shí)現(xiàn)的幅度特性其總的衰減不能過于迅速；·佩利-維納準(zhǔn)則是系統(tǒng)物理可實(shí)現(xiàn)的必要條件，而不是充分條件可實(shí)現(xiàn)的低通近似理想低通濾波器的實(shí)例LLRCv1(t)CRv2(t)網(wǎng)絡(luò)傳遞函數(shù)11CV2jj1RHjj1LV1jL2LC1j1jCRR注意到R L，并引入符號cC

1,則LC31２c２cjHj＝2Hje23231jc＋jccc２２Hj1arctanc222211ccchtF1Hj2ct3ce2sinct32波形及頻譜圖Hj2ct31h(t)ce2sinct32響應(yīng)是從 t=0開始，是一個可實(shí)現(xiàn)的網(wǎng)絡(luò)。 c O c13htππ2π2cOccOtππ2cπ§5.6利用希爾伯特(Hilbert)變換研究系統(tǒng)的約束特性·希爾伯特變換的引入·可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)函數(shù)與希爾伯特變換一．由傅里葉變換到希爾伯特變換2已知正負(fù)號函數(shù)的傅里葉變換Fsgnt12j根據(jù)對稱性得到sgn2πjt則1sgn為奇函數(shù)1jsgnπtjsgnt若系統(tǒng)函數(shù)為H(j)jsgnj900j900則沖激響應(yīng)htF1Hj1πt系統(tǒng)框圖:ft?htftF?jsgnF系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)f?tf?tfthtf1tπt利用卷積定理??FjsgnjF0FftFjF0結(jié)論具有系統(tǒng)函數(shù)為jsgn的網(wǎng)絡(luò)是一個使相位滯后π弧度的寬帶相移全214通網(wǎng)絡(luò)。同理可得到:若系統(tǒng)沖激響應(yīng)為ht1πt其網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)函數(shù)為H()Fhtjsgnj900j900該系統(tǒng)框圖為?tftfht?FFjsgn輸出信號ftf?thtf?t1利用卷積定理πtF?jsgnjF0FjF0結(jié)論具有系統(tǒng)函數(shù)為jsgn的網(wǎng)絡(luò)是一個使相位滯后π弧度的寬帶相移全2通網(wǎng)絡(luò)。希爾伯特變換希爾伯特正變換Hft1ff?tdπtf?t ft 1πt希爾伯特反變換H1?1fftftdπt? 1ft ftπt二． 可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)函數(shù)與希爾伯特變換可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)是因果系統(tǒng)，其沖激響應(yīng)ht ht ut 即 ht 0 t 0其傅里葉變換15Hj1Hjπ12πj又H(j)HjejRjjX(j)則11R(j)jXjπRjjXjπj21πRjXj1jπXjRj12π2π所以RjjXj1Rj1Xjd22πXj1Rjdj2π2根據(jù)實(shí)部與實(shí)部相等，虛部與虛部相等，解得R(j1Xj1Rj)dXjdππ結(jié)論因果系統(tǒng)系統(tǒng)函數(shù) H(j )的實(shí)部與虛部滿足希爾伯特變換約束關(guān)系。例題三．常用希爾伯特變換對ftf?tcos0tsin0tsin0tcos0tej0tjej0tmtej0tjmtej0t說明對于任意因果函數(shù)，傅里葉變換的實(shí)部與虛部都滿足希爾伯特變換的約束關(guān)系，希爾伯特變換作為一種數(shù)學(xué)工具在通信系統(tǒng)中得到了廣泛的應(yīng)用。例5-6-1求ftcos?0t的希爾伯特變換ft。解答用三種方法求解此題：方法1:希爾伯特變換?t滯后πft比f弧度，即2?cos0tπsin0tftHft416方法2：因FFcos0tπ0π0則希爾伯特變換的頻譜函數(shù)為?Fjsgnjπ0jπ0F即：?jπ00?sin0tFft方法3：直接用希爾伯特變換定義式Hcos1cos0dsin0t0tt例5-6-2π已知h(t)et，證明F[h(t)]的實(shí)部與虛部滿足希爾伯特變換的約束關(guān)系。證明1因?yàn)镕htFetu(t)j即系統(tǒng)函數(shù)Hj22j22RjjXj式中實(shí)部 Rj 2 2虛部 Xj 2 2現(xiàn)在求Xj的希爾伯特變換HXj1Xj1dπdπ22令22ABCjj可求出各分式系數(shù)11A2,B2,C22jj則111HXj2222dπjjjj1711HXj2πjj12π222212π22221arctanπ221πππ222222R例5-6-3試分析下面系統(tǒng)可以產(chǎn)生單邊帶信號y1t乘法器cos0tgt移相2sin0tHj乘法器t?y2gt

1222djjd2 2 dln 2 2 ln0 0G1ytm m已知信號gt是帶限信號，其頻譜函數(shù)為 G 圖中系統(tǒng)函數(shù)Hj jsgn0 m解：由調(diào)制定理可知y1t gtcos0t 為帶通信號其頻譜函數(shù)1 1Fy1t Y1 G 0 G 02 2g?t是gt的希爾伯特變換信號18其頻譜F??jGjsgngtG則y2t?sin0tgt其頻譜函數(shù)Fy2tY21?jπ002Gj0sgnjG0sgnjG002即Y21G0sgn10sgn20G02輸出信號其頻譜為頻譜圖如下所示

yt y1t y2tY Y1 Y21Y11G0G0220m0O00m1G0sgn(0)Y21G0sgn(0)220 m 0 O 0 0 mY1說明0m0O00m是帶通信號（上邊帶調(diào)幅信號）的頻譜。5.7調(diào)制與解調(diào)調(diào)制原理調(diào)幅、抑制載波調(diào)幅及其解調(diào)波形一．調(diào)制原理在通信系統(tǒng)中，信號從發(fā)射端傳輸?shù)浇邮斩?，為?shí)現(xiàn)信號的傳輸，往往要進(jìn)行調(diào)制和解調(diào)。19高頻信號容易以電磁波形式輻射出去多路信號的傳輸——頻分復(fù)用相關(guān)課程中講解“調(diào)制與解調(diào)”的側(cè)重點(diǎn)不同：“信號與系統(tǒng)”——應(yīng)用傅里葉變換的性質(zhì)說明搬移信號頻譜的原理；“通信原理”——研究不同的調(diào)制方式對系統(tǒng)性能的影響；“通信電子電路”——調(diào)制／解調(diào)電路的分析。1．調(diào)制調(diào)制：將信號的頻譜搬移到任何所需的較高頻段上的過程。調(diào)制的分類按載波正弦型信號作為載波脈沖串或一組數(shù)字信號作為載波連續(xù)性模擬（連續(xù)）調(diào)制數(shù)字調(diào)制模擬調(diào)制是數(shù)字調(diào)制的基礎(chǔ)。幅度調(diào)制（抑制載波的振幅調(diào)制， AM-SC）g(t) f(t) g(t)cos0t相乘cos0tg(t):調(diào)制信號f(t)：已調(diào)信號cos0t：載波信號0：載波角頻率頻譜結(jié)構(gòu)G( )gtm時，G()0AOtf(t)g(t)cos0tcos0tFcos0tmOm0 mOt(π)(π)0O020F()10)G(0)G(2分析gtcos0tF()AAOt220O0m00m分析歐拉公式1g(t)ejf(t)g(t)cos0t0tej0t2F()10)G(0)G(2f(t)g(t)cos0t卷積定理1π(0)π(0)2．解調(diào)G()2π將已調(diào)信號恢復(fù)成原來的調(diào)制信號的過程。g(t)cos0tg0tg(t)相乘理想低通cos0tH()2O

cm c 20 mg0(t)g(t)cos20t1g(t)1cos20t2G0()1G()1G(20)1F(20)244頻譜G0()H()G()F()Fcos0tA2O

(ππ(ππ00O00m0m21AG0()A242 0 O m c 2 0G( )AO m二．調(diào)幅、抑制載波調(diào)幅及其解調(diào)波形gtt調(diào)制信號cos0t載波信號t載波反相點(diǎn)gtcos0t抑制載波調(diào)幅tA gtcos0tA gt利用包絡(luò)檢波器解調(diào)

調(diào)幅t解調(diào)tx(t) r(t) w(t)Dft rt C R wtO t22(t)：半波整流信號w(t)：圖中得到的包絡(luò)x(t)：實(shí)際包絡(luò)，即 A+g(t)說明根據(jù)電磁波理論天線的尺寸以語音信號為例波長約為天線尺寸

1為被輻射信號的波長10300km30km必須盡量提高信號的頻率以縮小天線尺寸?！?.8帶通濾波系統(tǒng)的運(yùn)用·調(diào)幅信號作用于帶通系統(tǒng)·頻率窗函數(shù)的運(yùn)用前言本節(jié)研究兩個問題：·首先討論調(diào)制信號經(jīng)帶通濾波器傳輸?shù)男阅芊治?，這是通信系統(tǒng)中經(jīng)常遇到的實(shí)際問題；·第二部分研究一個理論問題，這就是用帶通濾波構(gòu)成頻率窗函數(shù)以改善信號局部特性的分辨率，這是信號處理技術(shù)中一些新方法的重要理論基礎(chǔ)。一．調(diào)幅信號作用于帶通系統(tǒng)例題·如果調(diào)制信號具有多個頻率分量，為保證傳輸波形的包絡(luò)不失真，要求理想帶通濾波器：幅頻特性在通帶內(nèi)為常數(shù);相頻特性應(yīng)為通過載頻點(diǎn)的直線·用帶通系統(tǒng)傳輸調(diào)幅波的過程中，只關(guān)心包絡(luò)波形是否產(chǎn)生失真，并不注意載波相位如何變化，因?yàn)樵诮邮斩私?jīng)解調(diào)后得到所需的包絡(luò)信號，載波本身并未傳遞消息。二．頻率窗函數(shù)的運(yùn)用在許多實(shí)際問題中往往需要研究信號在某一時間間隔或某一頻率間隔內(nèi)的特性，或者說希望觀察信號在時域或頻域的局部性能。這時可以利用“窗函數(shù)”對信號開窗。在時間域稱為時域（時間）窗函數(shù)，在頻率域稱為頻域（頻率）窗函數(shù)。例題例5-8-1已知帶通濾波器轉(zhuǎn)移函數(shù)為HsV2s2sV1ss121002激勵信號為v1t1costcos(100t)，求響應(yīng)v2t。解：23激勵信號v1t表示式可展開寫作v1tcos(100t)1cos101t1cos99t22可以分別求此三個余弦信號的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，然后疊加。由Hs寫出頻響特性Hj2j2jj21002j2212j100頻響特性j2H1001002j1002(頻率在＝100附近)Hj11j100利用此式分別求系統(tǒng)對11cos99t,三個信號的響cos100t，cos101t,22應(yīng)，為此寫出：Hj1001Hj1012e響應(yīng)v2(t)2Hj1001Hj1012e于是寫出響應(yīng)v2t表達(dá)式為2

45j45

Hj992ej452Hj992ej452v2tcos100t12cos101t452cos99t45222cos100t2cos100tcost4521245cos100tcost2曲線激勵信號頻譜 π 100ππ991012299100101241Hj1299100101

π2π410099π 1014π2響應(yīng)信號頻譜π1002π992π1014499100101比較v1t1costcos(100t)1Hj1v1t波形299100101t包絡(luò)延時v2t波形π2π499100t101π4π2v2t12cost45cos100t2討論·此帶通系統(tǒng)幅頻特性在通帶內(nèi)不是常數(shù)，因而響應(yīng)信號的兩個邊頻分量他們還分別產(chǎn)生了 45的相移，而載頻點(diǎn)相移 等于零。經(jīng)此帶通系統(tǒng)以后，調(diào)幅波包絡(luò)的相對強(qiáng)度減小(也即“調(diào)幅深度”減少25·包絡(luò)產(chǎn)生時延，延時時間可由相移值與頻率差值之比求得 ＝ s;4例5-8-2若信號ft通過某線性時不變系統(tǒng) 產(chǎn)生輸出信號為1 f w t da a1.求此系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)Ha；2.若wtsinπtcos3πt，求Ha表達(dá)式，并畫出Ha~圖形；ππt3.說明此系統(tǒng)具有何種功能？4.當(dāng)參數(shù)a改變時，Ha ~ 圖形變化有何規(guī)律？解：按卷積關(guān)系可求出系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為hat1wtaa若函數(shù)wt的傅里葉變換為W，借助尺度變換特性可得FhatHaaWaha1ttwaa由wt1sinπcos3πt求出其傅里葉變換式tππt11πuππ3π3πWu2ππ1u4πu2πu2πu4π2πW1系統(tǒng)函數(shù)及頻譜圖1當(dāng)2π4πW2π當(dāng)為其它值0

π4π 2πO 2π3π4πHaa2π4π 2πO 2π3π4πa a a a a26由此可求出：asinπ3πtcosthataaππtHa1a當(dāng)2π4π2πaa0當(dāng)為其他值系統(tǒng)功能由Ha圖形可見，此系統(tǒng)功能1aHa是理想帶通濾波，中心頻率2π03π2π4π2πO2πππa，帶寬Bωa34aaaaa＊當(dāng)參變量 a改變時，可調(diào)節(jié)此帶通濾波器中心頻率與帶寬：·增大a則中心頻率降低、帶寬變窄；·減小a則中心頻率移至高端，帶寬加寬。·但在變化過程中，這一系列的帶通濾波器之帶寬與頻率之比保持不變，即Bω 0 235.9從抽樣信號恢復(fù)連續(xù)時間信號·由抽樣信號恢復(fù)原信號·零階抽樣保持一．由抽樣信號恢復(fù)原信號理想低通濾波器

FSS 2m 1TSS om SS mTscHH0cTSF Fs H ft fst ht Co CF濾除高頻成分，即可恢復(fù)原信號1從時域運(yùn)算解釋om m時域運(yùn)算27以理想抽樣為例時域：fs(t)f(t)T(t)f(nTs)(tnTs)n頻域：Fs1FP1Fns2πTSn理想低通濾波器 ：頻域：Hft fs(t) ht說明cf t Tsπn

Tscc0c時域：htTsπSactf(nTs)(tnTs)TscSactnπcTsπnf(nTs)SactnTsf(nTs)Sa c t nTs·連續(xù)信號f(t)可以展開成Sa函數(shù)的無窮級數(shù)，級數(shù)的系數(shù)等于抽樣值f(nTs)。·也可以說在抽樣信號 fs(t)的每個抽樣值上畫一個峰值為 f(nTs)的Sa函數(shù)波形，由此合成的信號就是 fs(t)。當(dāng)s2m，則有c2ππm,Tssc此時ftf(nTs)SactnTsn演示二．零階抽樣保持在實(shí)際電路與系統(tǒng)中，要產(chǎn)生和傳輸接近δ函數(shù)的時寬窄且幅度大的脈沖信號比較困難。為此，在數(shù)字通信系統(tǒng)中經(jīng)常采用其他抽樣方式，如零階抽樣保持。M1

fst1O Tspt1

tOTsftM2fs0tfs0t1p1tTsO

tt28h0(t)fstTs

積分器

fs0tth0t tH0 TsSa波形及頻譜圖h0t1OTstft1Otfst1OTstfs0t1OTst補(bǔ)償?shù)屯V波器Fs0FsH01nFsTsnFnsSan補(bǔ)償?shù)屯V波器

h0tt Ts dt ut ut TsTsTsej2TsH02πTsOF1Om m1FsTssmO m s1Fs0Om mTsTsTsSaej2TTsjse22291Tses22SaTs2H0r0s2信號的恢復(fù)1Fs0補(bǔ)償?shù)屯V波器1jTsse2Ts2OSaH0r2mmH0rj0ss22sOsOs222F1mO m5.10脈沖編碼調(diào)制(PCM)引言，利用脈沖序列對連續(xù)信號進(jìn)行抽樣產(chǎn)生的信號成為脈沖幅度調(diào)制（PAM）信號，這一過程的實(shí)質(zhì)是把連續(xù)信號轉(zhuǎn)換為脈沖序列，而每個脈沖的幅度與各抽樣點(diǎn)信號的幅度成正比。在實(shí)際的數(shù)字通信系統(tǒng)中，除直接傳送 PAM信號之外，還有多種傳輸方式，其中應(yīng)用最為廣泛的一種調(diào)制方式稱為脈沖編碼調(diào)制（ PCM）。在PCM通信系統(tǒng)中，把連續(xù)信號轉(zhuǎn)換成數(shù)字（編碼）信號進(jìn)行傳輸或處理，在轉(zhuǎn)換過程中需要利用PAM信號。PCM通信系統(tǒng)簡化框圖發(fā)送端ftfs0tfDt信源抽樣量化編碼至數(shù)字信道ptA/D?fs0t1f