安徽省阜陽市潁上第一中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題

潁上一中新高二開學(xué)考數(shù)學(xué)試題第Ⅰ卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求.1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.R2.已知復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則的共軛復(fù)數(shù)（）A. B. C. D.3.已知，則（）A. B. C. D.4.某人從一魚池中捕得120條魚，做了記號后再放回池中，經(jīng)過一段時間后，再從該魚池中捕得100，經(jīng)過發(fā)現(xiàn)有記號的魚有10條（假定該魚池中魚的數(shù)量既不減少也不增加）則池中大約有魚（）A.120 B.1000條 C.130條 D.1200條5.命題“，”為真命題的一個充分不必要條件是（）A. B. C. D.6.阻尼器是一種以提供阻力達到減震效果的專業(yè)工程裝置.我國第一高樓上海中心大廈的阻尼器減震裝置，被稱為“定樓神器”，如圖1.由物理學(xué)知識可知，某阻尼器的運動過程可近似為單擺運動，其離開平衡位置的位移和時間的函數(shù)關(guān)系為，如圖2，若該阻尼器在擺動過程中連續(xù)三次到達同一位置的時間分別為，，，且，，則在一個周期內(nèi)阻尼器離開平衡位置的位移大于0.5m的總時間為（）圖1圖2A. B. C.1s D.7.若，，則（）A. B. C. D.8.已知函數(shù)是定義域為的偶函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)時，，若，則（）A.2 B.0 C. D.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.9.如圖，在正六邊形中，下列命題正確的是（）A. B.C. D.10.若函數(shù)在區(qū)間上的值域是，則稱區(qū)間是函數(shù)的一個“等域區(qū)間”.下列函數(shù)存在“等域區(qū)間”的是（）A. B. C. D.11.如圖，在棱長為1的正方體中，、、分別是、、的中點，則下列結(jié)論正確的是（）A.、、、四點共面 B.平面截正方體所得截面為等腰梯形C.三棱錐的體積為 D.異面直線與所成角的余弦值為12.把定義域為且同時滿足以下兩個條件的函數(shù)稱為“函數(shù)”：（1）對任意的，總有；（2）若，，則有成立.下列說法正確的是（）A.若為“函數(shù)”，則B.若為“函數(shù)”，則一定是增函數(shù)C.函數(shù)在上是“函數(shù)”D.函數(shù)在上是“函數(shù)”（表示不大于的最大整數(shù)）第Ⅱ卷三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.如圖，在中，，，，則的值為______.14.下列敘述中正確的是______.（填寫所有正確命題的序號）①隨機從某校高一600名男生中抽取60名學(xué)生調(diào)查身高，該調(diào)查中樣本量是60②數(shù)據(jù)2，3，3，5，9，9的中位數(shù)為3和5，眾數(shù)為3和9③數(shù)據(jù)9，10，11，11，16，20，22，23的75%分位數(shù)為21④若將一組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)都加上2，則平均數(shù)和方差都沒有發(fā)生變化15.在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且，.的外接圓半徑為1，，若邊上的一點滿足，且，則的面積為______.16.在棱長為2的正方體中，是的中點，是上的動點，則三棱錐外接球表面積的最小值為______.四、解答題：本小題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.如圖，在平面四邊形中，，，.（1）若，求的面積；（2）若，，求.18.如圖，已知平面，平面，為等邊三角形，，為的中點，求證：（1）平面.（2）平面平面.（3）求直線和平面所成的角的正弦值.19.俄羅斯與烏克蘭的軍事沖突導(dǎo)致石油、天然氣價格飆升.燃油價格問題是人們關(guān)心的熱點問題，某網(wǎng)站為此進行了調(diào)查.現(xiàn)從參與者中隨機選出100人作為樣本，并將這100人按年齡分組：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，得到的頻率分布直方圖如圖所示（1）求樣本中數(shù)據(jù)落在的頻率；（2）求樣本數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)；（3）若將頻率視為概率，現(xiàn)在要從和兩組中用分層抽樣的方法抽取6人，再從這6人中隨機抽取2人進行座談，求抽取的2人中至少有1人的年齡在這一組的概率.20.已知，，設(shè)函數(shù).（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若，求的值域.21.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.（1）求函數(shù)的解析式；（2）若對，使得關(guān)于的不等式恒成立，求實數(shù)的最大值.22.已知函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱.（1）求的值；（2）判斷的單調(diào)性；（3）若，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.參考答案：12345678CAADBCCC9101112ACDBCBCDAD13.；14.①③；15.；16.；1.C【分析】解不等式化簡集合，求出函數(shù)的值域化簡集合，再利用交集、補集的定義求解作答.【詳解】解不等式，得，即，因此，當(dāng)時，，則，因此，所以，.故選：C.2.A【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運算，化簡復(fù)數(shù)，從而得到的共軛復(fù)數(shù).【詳解】因為，所以.故選：A3.A【分析】觀察題目中角的特征可知，將要求的角轉(zhuǎn)化成已知角即，，再利用誘導(dǎo)公式求解即可.【詳解】由題意可知，將角進行整體代換并利用誘導(dǎo)公式得；；所以，即.故選：A.4.D【分析】設(shè)池中有魚約條，根據(jù)條件列出方程求解，即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)池中有魚約條，則由題意可知，解得，故池中魚約有1200條.故選：D.【點睛】本題主要考查簡單隨機抽樣，屬于基礎(chǔ)題型.5.B【分析】對命題，進行求解，可得，再通過充分條件和必要條件進行判斷即可.【詳解】因為命題，是真命題，當(dāng)時，，若恒成立，則，結(jié)合選項，命題是真命題的一個充分不必要條件是，故選：B.6.C【分析】先根據(jù)周期求出，再解不等式，得到的范圍即得解.【詳解】因為，，，所以，又，所以，則，由可得，所以，，所以，，故，所以在一個周期內(nèi)阻尼器離開平衡位置的位移大于0.5m的總時間為1s.故選：C.7.C【分析】根據(jù)和的單調(diào)性可以判斷選項A與B，再根據(jù)的單調(diào)性可以判斷選項C與D，即可得到答案.【詳解】因為，，令，則該函數(shù)在為增函數(shù)，∴，故A錯誤；令，則該函數(shù)在為減函數(shù)，則，則有，故B錯誤；令，則該函數(shù)為減函數(shù)，所以，則，故C正確；由C可知，，又，所以，故D錯誤；故選：C.8.C【分析】根據(jù)條件，可以證明是周期為4的周期函數(shù)，計算出和，由周期性可得，再利用函數(shù)的對稱性即可求解.【詳解】因為為奇函數(shù)，所以，又為偶函數(shù)，所以，所以，即，所以，故是以4為周期的周期函數(shù)；由，易得，，所以，所以，，解得，；所以；故選：C.9.ACD【分析】本題考查平面向量的線性運算和數(shù)量積的運算，結(jié)合圖形依次判斷即可.【詳解】選項A：∵，∴A正確.選項B：取的中點為，如上圖所示，則，∴B錯誤.選項C：在正六邊形中，，，所以中，，則；同理，，∵，∴C正確.選項D：設(shè)六邊形邊長為1，則，，原式化簡為：，∴D正確.故選：ACD.10.BC【分析】根據(jù)“等域區(qū)間”的定義，由與直線至少有2個交點逐項判斷.【詳解】對于A，且對稱軸為，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增；對于D，，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增；對于BC，函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增；由題意可知，當(dāng)與直線至少有2個交點時，符合題意，因為函數(shù)只有1個零點，所以與直線只有1個交點，A錯誤.在同一坐標(biāo)系中作出與直線的圖象，由圖象可知，與直線有2個交點，B正確.在同一坐標(biāo)系中作出與直線的圖象由圖象可知，單調(diào)遞增且與直線有2個交點，C正確.在單位圓中，由三角函數(shù)的定義可得當(dāng)且僅當(dāng)時，，當(dāng)在同一坐標(biāo)系中作出與直線的圖象由圖象可知：與直線只有1個交點，D錯誤.故選：BC.11.BCD【分析】以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可判斷ABD選項，利用錐體的體積公式可判定C選項，綜合可得出合適的選項.【詳解】以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、、、、、、.對于A選項，，，.設(shè)，即，所以，，該方程組無解，所以，、、、四點不共面，A錯；對于B選項，，，所以，，則，又因為，同理可得，即，所以，平面截正方體所得截面為等腰梯形，B對；對于C選項：，，C對；對于D選項，，，所以，，因此，異面直線與所成角的余弦值為，D對.故選：BCD.12.AD【分析】對于A，由條件（1）得.由條件（2），得，所以，故A說法正確；對于B和C，舉反例說明其說法錯誤；對于D，說明函數(shù)符合條件（1）（2），故D說法正確.【詳解】對于A，若函數(shù)為“函數(shù)”，則由條件（1）得.由條件（2）得當(dāng)時，，所以，故A說法正確；對于B，若，，則滿足條件（1）（2），但不是增函數(shù)，故B說法錯誤；對于C，當(dāng)，時，，，，，不滿足條件（2），所以不是“函數(shù)”，故C說法錯誤；對于D，在上的最小值是0，顯然符合條件（1）.設(shè)上的每一個數(shù)均由整數(shù)部分和小數(shù)部分構(gòu)成，設(shè)的整數(shù)部分是，小數(shù)部分是，即則.設(shè)的整數(shù)部分是，小數(shù)部分是，即，則.當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以，所以函數(shù)滿足條件（2），所以在上是“函數(shù)”，故D說法正確.故選：AD.13.【詳解】試題分析：考點：向量數(shù)量積14.①③【分析】根據(jù)樣本容量的定義即可判斷①選項；根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義即可判斷②選項；根據(jù)百分位數(shù)的計算方法即可判斷③選項；根據(jù)平均數(shù)和方差的計算公式即可判斷④選項.【詳解】因為樣本中包含的個體數(shù)稱為樣本量，所以①正確；因為數(shù)據(jù)2，3，3，5，9，9的中位數(shù)為，所以②錯誤，由于.所以該組數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)是第6項與第7項數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即為21，故③正確；若將一組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)都加上2，則易知平均數(shù)增加2，方差是不變化的，故④錯誤.故答案為：①③.15./【分析】先利用正弦定理求得，再次利用正弦定理得到，從而得到，進而利用余弦定理即可求得，由此利用三角形面積公式即可得解.【詳解】根據(jù)題意，得到圖形如下，因為的外接圓半徑，，所以由正弦定理得，可得，因為邊上的一點滿足，且，所以，則，，，，所以由正弦定理可得，，故，又，所以，所以由余弦定理，可得，故，即，所以.故答案為：.16.【解析】作出圖形，設(shè)，利用基本不等式可求得的最大值，可求得的最小值，利用正弦定理求得外接圓直徑的最小值，可求得該三棱錐外接球直徑的最小值，由此可求得結(jié)果.【詳解】如下圖所示，設(shè)圓柱的底面半徑為，母線長為，圓柱的外接球半徑為，取圓柱的軸截面，則該圓柱的軸截面矩形的對角線的中點到圓柱底面圓上每個點的距離都等于，則為圓柱的外接球球心，由勾股定理可得.本題中，∵平面，設(shè)的外接圓為圓，可將三棱錐內(nèi)接于圓柱，如下圖所示：設(shè)的外接圓直徑為，，該三棱錐的外接球直徑為，則.如下圖所示：設(shè)，則，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最大值，由，可得，，所以，的最大值為，由正弦定理得，即的最小值為3，因此，，所以，三棱錐外接球的表面積為.故三棱錐外接球的表面積的最小值為.故答案為：.【點睛】方法點睛：求空間多面體的外接球半徑的常用方法：①補形法：側(cè)面為直角三角形，或正四面體，或?qū)舛娼蔷嗟鹊哪Ｐ停梢赃€原到正方體或長方體中去求解；②利用球的性質(zhì)：幾何體中在不同面均對直角的棱必然是球大圓直徑，也即球的直徑；③定義法：到各個頂點距離均相等的點為外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圓圓心，找其垂線，則球心一定在垂線上，再根據(jù)帶其他頂點距離也是半徑，列關(guān)系求解即可.17.（1）；（2）.【分析】（1）利用余弦定理求出，再求出的面積；（2）設(shè)，在中，由正弦定理得①，在中，由正弦定理得②，①②兩式相除，即得解.【詳解】（1）在中，由余弦定理得，，即，解得，所以的面積.（2）設(shè)，在中，由正弦定理得，即，①在中，，，由正弦定理得，即，②①②兩式相除，得，即，整理得.又因為，所以，即.【點睛】本題主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形面積的計算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.18.19.（1）0.4（2）55（3）【分析】（1）利用頻率分布直方圖所有小矩形面積和為1計算求解即可；（2）根據(jù)頻率分布直方圖和第60百分位數(shù)定義計算即可；（3）利用分層抽樣的概念和古典概型計算公式計算即可.【詳解】（1）由頻率分布直方圖可知，樣本中數(shù)據(jù)落在的頻率為（2）樣本數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)落在第四組，且第60百分位數(shù)為（3）與兩組的頻率之比為，現(xiàn)從和兩組中用分層抽樣的方法抽取6人，則組抽取2人，記為，，組抽取4人，記為1，2，3，4.所有可能的情況為，，，，，，，，，，，，，，，共15種.其中至少有1人的年齡在的情況有，，，，，，，，，共9種，故所求概率.20.參考答案：1.（1）（2）.【分析】（1）結(jié)合圖像，由最大最小值可得，由可得，由函數(shù)圖像經(jīng)過點可求，從而可得答案.（2）原不等式等價于，使得成立，令，利用函數(shù)單調(diào)性求解最小值即可得答案.【詳解】（1）由所給函數(shù)圖像可知，，，即，所以，又圖像過點，所以，，解得，，因為，所以當(dāng)時，，故.（2）若對于，關(guān)于的不等式恒成立，即對于，關(guān)于的不等式恒成立，即對于，恒成立.當(dāng)時，，令時，為減函數(shù)，所以當(dāng)時，取得最小值為，即的最小值為，故實數(shù)，所以的最大值為.21.（1），（2）【分析】（1）化簡得到，解不等式，得到答案.（2），則，故，得到值域.【詳解】（1）.取，，解得，.故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，.（2），則，故，.22.（1）；（2）在R上單調(diào)遞增；（3）【分析】（1）易知為奇函數(shù)，可得，代入解析式，可求出的值；（2）先判斷在上的單調(diào)性，再結(jié)合是定義在R的奇函數(shù)，可推出在定義域上單調(diào)遞增；（3）根據(jù)的奇偶性，可得在上恒成立，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，可知在上恒成立，進而令，可得，從而不等式可轉(zhuǎn)化為在上恒成立，進而分離參數(shù)可得，求出的最大值，即可求出的取值范圍.【詳解】（1）因為的圖象關(guān)于原點對稱，所以為奇函數(shù)，所以，即，解得.（2）易知的定義域為R，令，因為函數(shù)及都在