b9分析06平方逼近

第六章函數(shù)逼近6-1第六章目錄§1最小二乘法原理和多項(xiàng)式擬合§2一般最小二乘擬合

2.1線性最小二乘法的一般形式

2.2非線性最小二乘擬合§3正交多項(xiàng)式曲線擬合

3.1離散正交多項(xiàng)式

3.2用離散正交多項(xiàng)式作曲線擬合§4函數(shù)的最佳平方逼近§5最佳一致逼近第1頁(yè)/共27頁(yè)第六章函數(shù)逼近6-2§4函數(shù)的最佳平方逼近

前面對(duì)離散數(shù)據(jù)，我們利用最

小二乘法求擬合函數(shù)（多項(xiàng)式），

本節(jié)對(duì)一些連續(xù)函數(shù)，當(dāng)其表達(dá)式

較復(fù)雜不易于計(jì)算和研究時(shí)，我們

利用最小二乘法，求這些連續(xù)函數(shù)

的近似函數(shù)（較簡(jiǎn)單的函數(shù)），稱

為函數(shù)f(x)在[a,b]上的最佳平方逼

函數(shù)

(x)

。第2頁(yè)/共27頁(yè)第六章函數(shù)逼近6-34.1基本方法

設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，

i(x)(i=0,1,2,…,m)在[a,b]上線性無(wú)關(guān)，H=Span{

0,

1,…,

m}為

k(x)的集合，求

(x)使：定義6.2連續(xù)情況下的內(nèi)積定義為：(

(x)為權(quán)函數(shù)）第3頁(yè)/共27頁(yè)第六章函數(shù)逼近6-4基本方法（續(xù)）

要求出滿足（6-10）的

(x)，與離散情況完全類似，即要求

k(x)滿足正規(guī)方程組（6-5），當(dāng)

k(x)線性無(wú)關(guān)

可求出唯一解是H中關(guān)于權(quán)函數(shù)

(x)的唯一的最佳平方逼近多項(xiàng)式。

若

k(x)=xk(k=0,1,2,…,m)，此時(shí)H為

k(x)所有線性組合生成的多項(xiàng)式集合，則

(x)稱為關(guān)于

(x)的m次最佳平方逼近多項(xiàng)式或最小二乘逼近多項(xiàng)式。關(guān)于權(quán)函數(shù)

(x)一般應(yīng)給定，若沒(méi)有特別標(biāo)明則

(x)

1。第4頁(yè)/共27頁(yè)第六章函數(shù)逼近6-5最佳平方逼近多項(xiàng)式舉例例7求f(x)=cos

x在[0,1]上的一次最佳平方逼近多項(xiàng)式

問(wèn)題：如何求二

次、三次最佳平

方逼近多項(xiàng)式，

可：（1）如上，

H={1,x,x2}

即取

2(x)=x2（2）或如后面例，按三項(xiàng)推式構(gòu)造正交多項(xiàng)式第5頁(yè)/共27頁(yè)第六章函數(shù)逼近6-64.2利用正交多項(xiàng)式求最佳平方逼近多項(xiàng)式

從上節(jié)知道利用正交函數(shù)系可以簡(jiǎn)化最小二乘法的求解，并提高解的精度，而正交多項(xiàng)式系，由于其計(jì)算簡(jiǎn)便，是函數(shù)逼近的重要工具，后面一致逼近，積分也要用到正交多項(xiàng)式。

定義6.3如果函數(shù)系{

0(x),

1(x),…,

m(x),…}滿足:

則稱此函數(shù)為區(qū)間[a,b]上關(guān)于權(quán)函數(shù)

(x)的正

交函數(shù)系。特別地，若Ak=1(k=0,1,2,…)，則稱其為

標(biāo)準(zhǔn)正交函數(shù)系，當(dāng)

k(x)為多項(xiàng)式時(shí)，稱為正交多

項(xiàng)式。第6頁(yè)/共27頁(yè)第六章函數(shù)逼近6-7正交多項(xiàng)式舉例第7頁(yè)/共27頁(yè)第六章函數(shù)逼近6-8正交函數(shù)系性質(zhì)

正交函數(shù)系具有以下性質(zhì)：定理6.3

定理6.4

設(shè)

k(x)(k=0,1,2,…)是最高次項(xiàng)系數(shù)不為零的k次多項(xiàng)式，則{

k(x)}是[a,b]上關(guān)于權(quán)函數(shù)

(x)的正交多項(xiàng)式系的充要條件是對(duì)任意至多k－1次的多項(xiàng)式Qk－1(x)，均有：區(qū)間[a,b]上關(guān)于權(quán)函數(shù)

(x)的正交函數(shù)系

0,

1,…,

n是線性無(wú)關(guān)的。

第8頁(yè)/共27頁(yè)第六章函數(shù)逼近6-9定理6.4的證明第9頁(yè)/共27頁(yè)第六章函數(shù)逼近6-10定理6.5證明類似于定理6.2，略。

構(gòu)造正交多項(xiàng)式的一般方法由以下定理給出：

定理6.5第10頁(yè)/共27頁(yè)第六章函數(shù)逼近6-11幾種常用的正交多項(xiàng)式

下面介紹幾種常用的正交多項(xiàng)式:

（一）勒讓德（Legendre）多項(xiàng)式

Legendre多項(xiàng)式的一般表示式為:

具體表達(dá)式為:第11頁(yè)/共27頁(yè)第六章函數(shù)逼近6-12Legendre多項(xiàng)式性質(zhì)（1）{Pk(x)}是區(qū)間[－1,1]上關(guān)于權(quán)函數(shù)

(x)

1的正交函數(shù)系，且

第12頁(yè)/共27頁(yè)第六章函數(shù)逼近6-13Legendre多項(xiàng)式性質(zhì)（續(xù)1）

通過(guò)變量變換由Legendre多項(xiàng)式可以得到在任意區(qū)間[a,b]上關(guān)于權(quán)函數(shù)

(x)

1的正交多項(xiàng)式系。第13頁(yè)/共27頁(yè)第六章函數(shù)逼近6-14Legendre多項(xiàng)式性質(zhì)（續(xù)2）（2）Legendre多項(xiàng)式滿足遞推公式:例如：第14頁(yè)/共27頁(yè)第六章函數(shù)逼近6-15（二）第一類切比雪夫（Chebyshev）多項(xiàng)式

第一類Chebyshev多項(xiàng)式的一般表示式為：

令x=cos

，當(dāng)x在[－1,1]上變化時(shí)，對(duì)應(yīng)的

在[0,

]上變化，（6-12）可改寫成：具體表達(dá)式為：由上式容易看出，Tn(x)是首項(xiàng)系數(shù)為2n-1的n次多項(xiàng)式。第15頁(yè)/共27頁(yè)第六章函數(shù)逼近6-16第一類Chebyshev多項(xiàng)式性質(zhì)第一類Chebyshev多項(xiàng)式有以下性質(zhì)：

第16頁(yè)/共27頁(yè)第六章函數(shù)逼近6-17第一類Chebyshev多項(xiàng)式性質(zhì)（續(xù)）性質(zhì)（3），（4）由余弦函數(shù)性質(zhì)即得。第17頁(yè)/共27頁(yè)第六章函數(shù)逼近6-18（三）拉蓋爾（Laguerre）多項(xiàng)式

Laguerre多項(xiàng)式定義為：其具體表達(dá)式為：第18頁(yè)/共27頁(yè)第六章函數(shù)逼近6-19Laguerre多項(xiàng)式性質(zhì)Laguerre多項(xiàng)式有以下性質(zhì)：

（1）{Ln(x)}是區(qū)間[0,+)

上關(guān)于權(quán)函數(shù)

(x)=e－x的正交多項(xiàng)式系，且：（2）Laguerre多項(xiàng)式滿足遞推公式：

由定理6.5可以逐步構(gòu)造在區(qū)間[a,b]上關(guān)于權(quán)函數(shù)

(x)的正交多項(xiàng)式系{

n(x)}進(jìn)而求出滿足式（6-8）的最佳平方逼近多項(xiàng)式：也可直接利用已知的正交多項(xiàng)式作出滿足式（6-8）的最佳平方逼近多項(xiàng)式：第19頁(yè)/共27頁(yè)第六章函數(shù)逼近6-20最佳平方逼近多項(xiàng)式舉例例8

利用正交多項(xiàng)式求y=tg

1x在區(qū)間[0,1]上的最佳平方逼近一次式。

第20頁(yè)/共27頁(yè)第六章函數(shù)逼近6-21例8（續(xù)）第21頁(yè)/共27頁(yè)第六章函數(shù)逼近6-22Laguerre多項(xiàng)式舉例（例9）例9求f(x)=Sin

x在[0,1]上的二次最佳平方逼近多項(xiàng)式解:用構(gòu)造正交多項(xiàng)式的方法，

(x)=1.第22頁(yè)/共27頁(yè)第六章函數(shù)逼近6-23Laguerre多項(xiàng)式舉例（例10）例10求f(x)=ex

在[

1,1]上的三次最佳平方逼近多項(xiàng)式

第23頁(yè)/共27頁(yè)第六章函數(shù)逼近6-24Laguerre多項(xiàng)式舉例（例10續(xù)）

若區(qū)間不一樣，如求f(x)=ex

在[0,1]上的二次最佳平方逼近則需要變換區(qū)間，將[

1,1]上的Pn(x)變換為[0,1]區(qū)間上的正交多項(xiàng)式:第24頁(yè)/共27頁(yè)第六章函數(shù)逼近6-25第六章結(jié)束第25頁(yè)/共27頁(yè)第六章函數(shù)逼近6-26

上機(jī)練習(xí)題：不同擬合模型的比較

已知觀測(cè)數(shù)據(jù)如下表所示，按下述方案求最小二乘擬合函數(shù)，并求出偏差平方和Q，比較擬合曲線的優(yōu)劣。

方案I擬合函數(shù)取為如下形式的三次多項(xiàng)式：

方案II用離散正交多項(xiàng)式求三次擬合多項(xiàng)式

方案III用離散正交多項(xiàng)式求四次擬合多項(xiàng)式

方案IV擬合函數(shù)取為如下形式的函數(shù)：

第26頁(yè)/共27頁(yè)第六章函數(shù)逼近6-27x00.20.61.01.31.61.71.81.9