平面向量基本定理及向量的坐標表示

第四章平面向量人教A版數(shù)學(xué)第四章平面向量人教A版數(shù)學(xué)第四章平面向量人教A版數(shù)學(xué)重點難點重點：①掌握平面向量基本定理，會進行向量的正交分解②理解平面向量坐標的概念，掌握平面向量的坐標運算難點：向量的正交分解與平面向量基本定理第四章平面向量人教A版數(shù)學(xué)知識歸納1．平面向量基本定理(1)如果e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù)a

、a

，1

2使得a＝

.我們把不共線的向量e1、e2叫做表示這個平面內(nèi)所有向量的一組基底．a(chǎn)1e1＋a2e2第四章平面向量人教A版數(shù)學(xué)當θ＝0°時，a與b方向；當θ＝90°時，稱a與b·3．如果基底的兩個基向量互相垂直，則稱其為正交基底，把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．相同；當θ＝180°時，a與b方向

相反

垂直第四章平面向量人教A版數(shù)學(xué)4．平面向量的直角坐標表示在平面直角坐標系內(nèi)，分別取與x軸、y軸正方向相同

的兩個單位向量i、j作為基底，對平面內(nèi)任一向量a，有且只有一對實數(shù)x，y，使得a＝xi＋yj，則實數(shù)對(x，y)叫做向量a的直角坐標，記作a＝(x，y)，其中x，y分別叫做a在x軸、y軸上的坐標，相等的向量其坐標相同，坐標相同的向量是相等向量．第四章平面向量人教A版數(shù)學(xué)第四章平面向量人教A版數(shù)學(xué)誤區(qū)警示已知向量的始點和終點坐標求向量的坐標時，一定要搞清方向，用對應(yīng)的終點坐標減去始點坐標．本節(jié)易忽略點有二：一是易將向量的終點坐標誤為向量坐標，二是向量共線的坐標表示易與向量垂直的坐標表示混淆．a(chǎn)＝(x

，y

)，b＝(x

，y

)，則a∥b?x

y

－x

y

＝0，1

1

2

2 1

2 2

1當a、b都是非零向量時，a⊥b?x

x

＋y

y

＝0.1

2 1

2第四章平面向量人教A版數(shù)學(xué)第四章平面向量解題技巧證明共線(或平行)問題的主要依據(jù)：(1)對于向量a，b，若存在實數(shù)λ，使得b＝λa，則向量a

人教A與b共線(平行)．

版數(shù)學(xué)1

1

2

2 1

2 2

1(2)a＝(x

，y

)，b＝(x

，y

)，若x

y

－x

y

＝0，則向量a∥b.(3)對于向量a，b，若|a·b|＝±|a|·|b|，則a與b共線．第四章平面向量人教A版數(shù)學(xué)第四章平面向量人教A版數(shù)學(xué)分析：據(jù)向量坐標與向量的始點、終點坐標的關(guān)系及數(shù)乘向量的定義求解．第四章平面向量人教A版數(shù)學(xué)第四章平面向量人教A版數(shù)學(xué)總結(jié)評述：向量的坐標表示是給出向量的又一種形式，只與它的始點、終點的相對位置有關(guān)，三者中給出任意兩個，都可以求出第三個，必須靈活運用．第四章平面向量人教A版數(shù)學(xué)第四章平面向量人教A版數(shù)學(xué)答案：A第四章平面向量人教A版數(shù)學(xué)答案：D第四章平面向量人教A版數(shù)學(xué)[例2]

已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，當實數(shù)k取何值時ka＋2b與2a－4b平行？解析：當ka＋2b與2a－4b平行時，存在惟一實數(shù)λ，使ka＋2b＝λ(2a－4b)．∵ka＋2b＝k(1,2)＋2(－3,2)＝(k－6,2k＋4)．2a－4b＝2(1,2)－4(－3,2)＝(14，－4)．由(k－6,2k＋4)＝λ(14，－4)，得第四章平面向量人教A版數(shù)學(xué)點評：可由向量平行的坐標表示的充要條件得(k－6)×(－4)－(2k＋4)×14＝0，得k＝－1.第四章平面向量(文)(2010·江蘇蘇北四市)已知向量a＝(6,2)，b＝(－3，k)，若a∥b，則實數(shù)k等于人(

)

教A版數(shù)學(xué)A．1

B．－1

C．－2

D．2答案：B第四章平面向量人教A版數(shù)學(xué)第四章平面向量人教A版數(shù)學(xué)第四章平面向量人教A版數(shù)學(xué)第四章平面向量人教A版數(shù)學(xué)分析：求軌跡方程的問題求誰設(shè)誰，設(shè)C(x，y)，據(jù)向量的運算法則及向量相等的關(guān)系，列出關(guān)于α、β、x、y的關(guān)系式，消去α、β即得．第四章平面向量人教A版數(shù)學(xué)第四章平面向量人教A版數(shù)學(xué)答案：D第四章平面向量人教A版數(shù)學(xué)第四章平面向量人教A版數(shù)學(xué)第四章平面向量人教A版數(shù)學(xué)第四章平面向量人教A版數(shù)學(xué)第四章平面向量人教A版數(shù)學(xué)第四章平面向量人教A版數(shù)學(xué)即m＋2n＝1①第四章平面向量人教A版數(shù)學(xué)第四章平面向量人教A版數(shù)學(xué)第四章平面向量人教A版數(shù)學(xué)一、選擇題1．已知平面向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，c＝(3，－5)，則用a，b表示向量c為(

)B．－a＋2bD．a(chǎn)＋2bA．2a－bC．a(chǎn)－2b[答案]C第四章平面向量人2．(文)已知向量a＝(1,3)，b＝(2,1)，若a＋2b與3a＋λb平行，則λ的值等于(

)

教A版數(shù)學(xué)B．6

C．2

D．－2A．－6[答案][解析]Ba＋2b＝(5,5),3a＋λb＝(3＋2λ，9＋λ)，由條件知，5×(9＋λ)－5×(3＋2λ)＝0，∴λ＝6.第四章平面向量人教A版數(shù)學(xué)[答案]

D第四章平面向量人教A版數(shù)學(xué)3．(2010·膠州三中)已知平面向量a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，λa＋b與b垂直，則λ等于(

)B．1D．2A．－1C．－2[答案][解析]Cλa＋b＝(λ＋4，－3λ－2)，∵λa＋b與b垂直，∴(λ＋4，－3λ－2)·(4，－2)＝4(λ＋4)－2(－3λ－2)＝10λ＋20＝0，∴λ＝－2.第四章平面向量人教A版數(shù)學(xué)[答案]

A第四章平面向量人教A版數(shù)學(xué)第四章平面向量教A版數(shù)學(xué)二、填空題5．(文)(2010·陜西文)已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，則m＝

.人－1由題意得，a＋b＝(2，－1)＋(－1，m)＝(1，[答案][解析]m－1)，∵(a＋b)∥c，∴1×2－(m－1)×(－1)＝0，∴m＝－1.第四章平面向量人教A版數(shù)學(xué)1

2(理)(2010·上海嘉定區(qū)調(diào)研)已知e

＝(1,3)，e

＝(1,1)，e

＝(x，－1)，且e

＝2e

＋λe

(λ∈R)，則實數(shù)x的值是3

3

1

2

．[答案]

－5[解析]3

1

2e

＝2e

＋