方程和方程組復(fù)習(xí)指導(dǎo)(全文)

精品文檔-下載后可編輯方程和方程組復(fù)習(xí)指導(dǎo)(全文)方程和方程組是初中數(shù)學(xué)的核心知識點，主要考查學(xué)生的計算能力和運用方程解決實際問題的能力.

一、一元一次方程的解及解法

例1（2022?賀州）解方程：[x6]-[30-x4]=5.

分析：將方程兩邊同時乘以分母的最小公倍數(shù)，然后去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1.

解：去分母，得2x-3（30-x）=60.

去括號，得2x-90+3x=60.

移項，得2x+3x=60+90.

合并同類項，得5x=150.

系數(shù)化為1，得x=30.

評注：去分母時，注意將方程中的每一項都乘以最小公倍數(shù)，不能漏乘.

練習(xí)1解方程：[12]x+2×（[54]x+1）=8+x.

二、二元一次方程組的解及解法

例2（2022?成都）已知[x=3，y=-2]是方程組[ax+by=3，bx+ay=-7]的解，求代數(shù)式（a+b）（a-b）的值.

分析：將關(guān)于x，y的方程組的解代入方程組中，得到關(guān)于a，b的方程組，解此方程組，然后求代數(shù)式的值.

解：把[x=3，y=-2]代入方程組，得[3a-2b=3，①3b-2a=-7.②]由①+②，得a+b=-4.

由①-②，得5a-5b=10，即a-b=2.

所以（a+b）（a-b）=-4×2=-8.

評注：解決此類題目時注意觀察代數(shù)式的結(jié)構(gòu)，嘗試運用整體代入法求代數(shù)式的值，不一定要解出方程組的解，有的題目可以根據(jù)未知數(shù)的系數(shù)特點選擇較簡單的解題方法.

練習(xí)2已知x，y滿足方程組[x+6y=12，3x-2y=8.]則x+y的值為（）

A.9B.7C.5D.3

三、二元一次方程（組）的應(yīng)用

例3（2022?徐州）小麗購買學(xué)習(xí)用品的收據(jù)如下表，因污損導(dǎo)致部分?jǐn)?shù)據(jù)無法識別，根據(jù)下表：[商品名＼&單價（元）＼&數(shù)量（個）＼&金額（元）＼&簽字筆＼&3＼&2＼&6＼&自動鉛筆＼&1.5＼&?＼&?＼&記號筆＼&4＼&?＼&?＼&軟皮筆記本＼&?＼&2＼&9＼&圓規(guī)＼&3.5＼&1＼&?＼&合計＼&＼&8＼&28＼&]

解決下列問題：

（1）小麗買了自動鉛筆、記號筆各幾支？

（2）若小麗再次購買軟皮筆記本和自動鉛筆兩種文具，共花費15元，則有哪幾種不同的購買方案？

分析：（1）由“購買數(shù)量為8”和“購買總金額為28元”得出兩個等量關(guān)系，由此列出方程組.

（2）由題意可列出二元一次方程，根自動鉛筆和記號筆是正整數(shù)分析該二元一次方程的解.

解：（1）設(shè)小麗購買自動鉛筆x支，記號筆y支.根據(jù)題意，得

[x+y=8-2+2+1，1.5x+4y=28-6+9+3.5.]

解得[x=1，y=2.]

答：小麗購買自動鉛筆1支，記號筆2支.

（2）設(shè)小麗購買軟皮筆記本m本，自動鉛筆n支.根據(jù)題意，得

[92]m+1.5n=15，即n=10-3m.

又因為m，n都是正整數(shù)，

所以[m=1，n=7]或[m=2，n=4]或[m=3，n=1.]

答：共有三種方案：

方案一：1本軟皮筆記本和7支記號筆；

方案二：2本軟皮筆記本和4支記號筆；

方案三：3本軟皮筆記本和1支記號筆.

評注：運用方程（組）解決實際問題時，關(guān)鍵要找出實際問題中的等量關(guān)系，通過設(shè)未知數(shù)來列出方程（組）.運用二元一次方程求解某物體的數(shù)量時，注意該物體的數(shù)量為非負(fù)整數(shù)，由此可討論出該二元一次方程的解.

練習(xí)3某商場投入13800元資金購進(jìn)甲、乙兩種礦泉水共500箱，礦泉水的成本價和銷售價如下表所示：[＼&成本價（元/箱）＼&銷售價（元/箱）＼&甲＼&24＼&36＼&乙＼&33＼&48＼&][類別][單價]

（1）該商場購進(jìn)甲、乙兩種礦泉水各多少箱？

（2）全部售完500箱礦泉水，該商場共獲得利潤多少元？

四、一元二次方程的解及解法

例4（2022?山西）解方程：2（x-3）2=x2-9.

分析：先移項，然后運用平方差公式和提公因式法解方程.

解：移項，得2（x-3）2-（x2-9）=0.

因式分解，得2（x-3）2-（x+3）（x-3）=0，

（x-3）（2x-6-x-3）=0，

（x-3）（x-9）=0.

x-3=0或x-9=0.

x1=3，x2=9.

評注：解方程時要根據(jù)方程的特點選擇比較簡單的方法解方程.

練習(xí)4解方程：x2-6x-4=0.

五、一元二次方程的應(yīng)用

例5（2022?畢節(jié)）為進(jìn)一步發(fā)展基礎(chǔ)教育，自2022年以來，某縣加大了教育經(jīng)費的投入，2022年該縣投入教育經(jīng)費6000萬元.2022年投入教育經(jīng)費8640萬元.假設(shè)該縣這兩年投入教育經(jīng)費的年平均增長率相同.

（1）求這兩年該縣投入教育經(jīng)費的年平均增長率；

（2）若該縣教育經(jīng)費的投入還將保持相同的年平均增長率，請你預(yù)算2022年該縣投入教育經(jīng)費多少萬元.

分析：設(shè)年平均增長率，根據(jù)兩年增長率相同列出2022年教育經(jīng)費投入資金表達(dá)式，由此列出方程.

解：（1）設(shè)該縣投入教育經(jīng)費的年平均增長率為x.根據(jù)題意，得

6000（1+x）2=8640.

解得x1=0.2=20%，x2=-2.2（不合題意，舍去）.

答：這兩年該縣投入教育經(jīng)費的年平均增長率為20%.

（2）因為2022年該縣投入教育經(jīng)費為8640萬元，且增長率為20%，

所以2022年該縣投入教育經(jīng)費為8640×（1+20%）=10368（萬元）.

答：預(yù)算2022年該縣投入教育經(jīng)費10368萬元.

評注：有關(guān)增長率的問題，往往要用到公式：M=a（1+x）n，這里a表示增長的基數(shù)，x表示每次的增長率，n表示增長的次數(shù)，M表示增長n次后的量.

練習(xí)5某服裝店原計劃按每套200元的價格銷售一批保暖內(nèi)衣，但上市后銷量不佳，為減少庫存積壓，兩次連續(xù)降價打折處理，最后價格調(diào)整為每套128元.若兩次降價折扣率相同，則每次的降價率為（）

A.8%B.18%C.20%D.25%

例6（2022?湖北）如圖1，一農(nóng)戶要建一個矩形豬舍，豬舍的一邊利用長為12m的住房墻，另外三邊用25m長的建筑材料圍成，為方便進(jìn)出，在垂直于住房墻的一邊留一個1m寬的門，所圍矩形豬舍的長、寬分別為多少時，豬舍面積為80m2？[住房墻][1m][圖1]

分析：設(shè)豬舍垂直于住房墻一邊的長為xm，用x表示出平行于墻的一邊的長，由矩形的面積公式即可列出方程.

解：設(shè)矩形豬舍垂直于住房墻一邊的長為xm，則平行于墻的一邊的長為（25-2x+1）m，即（26-2x）m.由題意，得

x（26-2x）=80，

化簡，得x2-13x+40=0.

解得x1=5，x2=8.

當(dāng)x=5時，26-2x=16>12（舍去），

當(dāng)x=8時，26-2x=10

答：所圍矩形豬舍的長為10m、寬為8m.

評注：運用一元二次方程解決實際問題時，必須要根據(jù)實際情況驗證方程的根是否符合題意，不符合題意的根舍去.

練習(xí)6某小區(qū)在綠化工程中有一塊長為18m、寬為6m的矩形空地，計劃在其中修建兩塊相同的矩形綠地，使它們的面積之和為60m2，兩塊綠地之間及周邊留有寬度相等的人行通道（如圖2），求人行通道的寬度.[6m][18m][圖2]

六、分式方程的解及解法

例7（2022?樂山）解方程：[1x-2]-3=[x-12-x].

分析：先去分母，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，然后按照整式方程的步驟求解，最后檢驗根.

解：方程兩邊同乘以x-2，得

1-3（x-2）=-（x-1），即-2x=-6.

解得x=3.

z驗：當(dāng)x=3時，x-2≠0.

所以原方程的解為x=3.

評注：解分式方程時，一定要檢驗方程的根是否有意義，注意增根.

練習(xí)7關(guān)于x的方程[3x-2x+1]=2+[mx+1]無解，則m的值為（）

A.-5B.-8

C.-2D.5

七、分式方程的應(yīng)用

例8（2022?岳陽）我市某學(xué)校開展“遠(yuǎn)是君山，磨礪意志，保護江豚，愛鳥護鳥”為主題的遠(yuǎn)足活動.已知學(xué)校與君山島相距24千米，遠(yuǎn)足服務(wù)人員騎自行車，學(xué)生步行，服務(wù)人員騎自行車的平均速度是學(xué)生步行平均速度的2.5倍，服務(wù)人員與學(xué)生同時從學(xué)校出發(fā)，到達(dá)君山島時，服務(wù)人員所花時間比學(xué)生少用了3.6小時，求學(xué)生步行的平均速度是多少千米/小時.

分析：由“路程÷速度=時間”和“服務(wù)人員所花時間比學(xué)生少用了3.6小時”即可列出方程.

解：設(shè)學(xué)生步行的平均速度是每小時x千米，則服務(wù)人員騎自行車的平均速度是每小時2.5x千米.根據(jù)題意，得

[24x]-[242.5x]=3.6.

解得x=4.

經(jīng)檢驗，x=4是原方程的解，且符合題意.

答：學(xué)生步行的平均速度是每小時4千米.

評注：運用分式方程解決實際問題時，既要考慮方程的根是否使方程有意義，又要考慮方程的根是否符合實際意義.

練習(xí)8“母親節(jié)”前夕，某商店根據(jù)市場調(diào)查，用3000元購進(jìn)第一批盒裝花，上市后很快售完，接著又用5000元購進(jìn)第二批這種盒裝花.已知第二批所購花的盒數(shù)是第一批所購花盒數(shù)的2倍，且每盒花的進(jìn)價比第一批的進(jìn)價少5元.求第一批盒裝花每盒的進(jìn)價是多少元？

八、方程與函數(shù)的綜合應(yīng)用

例9已知一次函數(shù)y=-mx+3和y=3x-n的圖象交于點P（2，-1），則關(guān)于x的方程組[mx+y=3，3x-y=n]的解是.

分析：理解方程組[mx+y=3，3x-y=n]的解與一次函數(shù)y=-mx+3和y=3x-n的圖象的交點P（2，-1）的縱橫坐標(biāo)的關(guān)系.

解：一次函數(shù)y=-mx+3和y=3x-n的圖象交于點P（2，-1），

方程組[mx+y=3，3x-y=n]的解是[x=2，y=-1.]

評注：本題考查了一次函數(shù)與二元一次方程組的知識，解題的關(guān)鍵是了解函數(shù)的圖象的交點與方程組的解之間的關(guān)系.

練習(xí)9已知二元一次方程組[x-y=-5，x+2y=-2]的解為[x=-4，y=1，]則在同一平面直角坐標(biāo)系中，直線l1：y=x+5與直線l2：y=[-12]x-1的交點坐標(biāo)為.

例10（2022?菏澤）如圖3，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax2+bx+2過B（-2，6），C（2，2）兩點.

（1）試求拋物線的解析式；

（2）若拋物線的頂點為D，求BDC的面積；

（3）若直線y=[-12]x向上平移b個單位所得的直線與拋物線段BDC（包括端點B，C）部分有兩個交點，求b的取值范圍.[O][x][y][B][C][D][圖3][-2-112345][7

6

5

4

3

2

1

-1][?][?][?]

分析：（1）運用待定系數(shù)法列方程組求拋物線的解析式.

（2）運用配方法求出二次函數(shù)的頂點D的坐標(biāo)，再求出直線BC與對稱軸的交點H的坐標(biāo)，根據(jù)SBDC=SBDH+SDHC求出SBDC.

（3）聯(lián)立一次函數(shù)y=[-12]x+b和二次函數(shù)的解析式，列方程組，根據(jù)題意求出b的取值范圍.

解：（1）將點B，C的坐標(biāo)代入解析式中，得

[4a-2b+2=6，4a+2b+2=2.]

解得[a=12，b=-1.]

拋物線的解析式為y=[12]x2-x+2.

（2）y=[12]x2-x+2，

y=[12]（x-1）2+[32].

拋物線的頂點D的坐標(biāo)為（1，[32]）.

設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n，

把B（-2，6），C（2，2）代入，得[-2m+n=6，2m+n=2.]

解得[m=-1，n=4.]

直線BC的解析式為y=-x+4.

拋物線的對稱軸直線x=1與直線BC的交點H的坐標(biāo)為（1，3）（如圖4）.[O][x][y][B][C][D][圖4][-2-112345][7

6

5

4

3

2

1

][?][?][?][-1][H]

DH=3[-32][=32].

SBDC=SBDH+SDHC[=12]×[32]×3[+12]×[32]×1=3.

（3）直y=[-12]x向上平移b個單位得直線y=[-12]x+b，

聯(lián)立一次函數(shù)y=[-12]x+b與二次函數(shù)的解析式，得[y=-12x+b，y=12x2-x+2.]

消去y，得x2-x+4-2b=0.

當(dāng)Δ=0，即1-4（4-2b）=0時，直線與拋物線只有一個交點.

解得b=[158].

當(dāng)直線y[=-12]x+b經(jīng)過點C（2，2）時，b=3，

當(dāng)直線y[=-12]x+b經(jīng)過點B（-2，6）時，b=5.

直線y[=-12]x向上平移b個單位所得的直線與拋物線段BDC（包括端點B，C）部分有兩個交點，

[158]

評注：求直線與拋物線是否有交點時，可將兩個函數(shù)的解析式聯(lián)立成方程組，然后轉(zhuǎn)化為一元二次方程，根據(jù)根的判別式判斷交點情況.當(dāng)方程有兩個不相等的實數(shù)根時，直線與拋物線有2個交點；當(dāng)方程有兩個相等的實數(shù)根時，直線與拋物線有1個交點；當(dāng)方程沒有實數(shù)根時，直線與拋物線沒有交點.

練習(xí)10如圖5，拋物線y=ax2+2ax+1與x軸只有一個公共點A，經(jīng)過點A的直線交該拋物線于點B，交y軸于點C，且點C是線段AB的中點.[O][x][y][A][B][C][圖5]

（1）求這條拋物線對應(yīng)的函數(shù)解析式；

（2）求直線AB對應(yīng)的函數(shù)解析式.

九、方程與幾何的綜合應(yīng)用

例11（2022?柳州）如圖6，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8cm，AD=12cm，BC=18cm，點P從點A出發(fā)以2cm/s的速度沿ADC運動，點P從點A出發(fā)的同時點Q從點C出發(fā)，以1cm/s的速度向點B運動，當(dāng)點P到達(dá)點C時，點Q也停止運動.設(shè)點P，Q運動的時間為ts.[A][B][C][P][Q][圖6][D]

（1）從運動開始，當(dāng)t取何值時，PQ∥CD？

（2）從運動開始，當(dāng)t取何值時，PQC為直角三角形？

分析：（1）已知AD∥BC，添加PD=CQ即可判斷以P，Q，D，C為頂點的四邊形是平行四邊形.

（2）分三種情況討論：①∠CQP=90°，

②∠CPQ=90°，③∠PCQ=90°.

解：（1）由題意，得點P在AD上，PD∥BC，當(dāng)PD=CQ時，四邊形PDCQ是平行四邊形，即12-2t=t.

解得t=4.