兩條直線平行與垂直的判定

1.能根據(jù)兩條直線的斜率判定兩條直線是否平行或垂直.2.能根據(jù)兩條直線平行或垂直的關(guān)系確定兩條直線斜率的關(guān)系.1.兩條直線平行與斜率的關(guān)系設(shè)兩條不重合的直線l1，l2，斜率存在且分別為k1，k2，傾斜角分別為α1，α2.則對(duì)應(yīng)關(guān)系如下：前提條件α1＝α2≠90°α1＝α2＝90°對(duì)應(yīng)關(guān)系l1∥l2?

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?兩直線斜率都不存在圖示k1＝k2l1∥l2當(dāng)直線l1與l2斜率都存在時(shí)一定有k1＝k2?l1∥l2嗎？2.兩條直線垂直與斜率的關(guān)系圖示對(duì)應(yīng)關(guān)系l1與l2的斜率都存在，分別為k1，k2，則l1⊥l2?

.l1與l2中的一條斜率不存在，另一條斜率為零，則l1與l2的位置關(guān)系是

.k1·k2＝－1垂直1.兩直線平行與斜率的關(guān)系(1)課本中兩直線平行的前提條件是斜率都存在，且兩直線不重合.從傾斜角的角度看即是兩直線的傾斜角α1、α2均不為90°，這樣才能保證tanα1＝k1，tanα2＝k2有意義.(2)當(dāng)l1與l2都垂直于x軸且不重合時(shí)，也可推得l1∥l2，即斜率都不存在時(shí)兩直線也平行，這樣兩條不重合的直線平行的判定一般性的結(jié)論可以是：l1∥l2?k1＝k2或l1、l2的斜率均不存在.2.兩直線垂直與斜率的關(guān)系(1)由k1·k2＝－1判斷兩直線垂直的前提條件是斜率都存在且均不為零.(2)兩直線中，一條斜率不存在，另一條斜率為0，則這兩條直線也垂直.這樣兩直線垂直更一般的結(jié)論為：l1⊥l2?k1·k2＝－1或一條直線斜率不存在，另一條直線斜率等于0.解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是充分利用幾何圖形的性質(zhì)，并將該性質(zhì)用解析幾何的方法表示并解決.這里就是利用兩直線平行與斜率的關(guān)系求解的.例1

已知?ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A(0,1)，B(1,0)，C(4,3)，求頂點(diǎn)D的坐標(biāo).[分析]

解答本題可由平行四邊形ABCD的性質(zhì)AB∥CD且AD∥BC入手，設(shè)出D的坐標(biāo)，由kAB＝kCD，kAD＝kBC，解方程組可得D的坐標(biāo).判斷下列各小題中的直線l1與l2是否平行．(1)l1經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(－1，－2)，B(2,1)，l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(3,4)，N(－1，－1)．(2)l1的斜率為1，l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,1)，B(2,2)．(3)l1經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0,1)，B(1,0)，l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(－1,3)，N(2,0)．針對(duì)這一類型題目，可借助所在直線的斜率關(guān)系來(lái)解決，使幾何問(wèn)題代數(shù)化．在利用斜率關(guān)系時(shí)，注意斜率為0和斜率不存在的特殊情況．例2

已知△ABC三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(－2，－4)，B(6,6)，C(0,6)，求此三角形三邊的高所在直線的斜率．[分析]

解答本題可先由斜率公式求出三邊所在直線的斜率，再由兩直線垂直的條件求各邊上的高所在直線的斜率．已知直線l1經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3，a)，B(a－2,3)，直線l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(2,3)，D(－1，a－2)，若l1⊥l2，求a的值．[解]

由題意知l2的斜率k2一定存在，l1的斜率可能不存在，(1)當(dāng)l1的斜率不存在時(shí)，即3＝a－2，a＝5時(shí)，k2＝0，此時(shí)l1⊥l2滿足題意．利用平行與垂直的位置關(guān)系求字母參數(shù)的值滲透了方程的思想，在求解時(shí)，首先應(yīng)考慮直線的斜率是否有不存在的情況，故應(yīng)分類討論，在求出字母的值后，如果是平行的關(guān)系，還要檢驗(yàn)是否有重合的情況．例3

已知定點(diǎn)A(－1,3)，B(4,2)，以A，B為直徑的端點(diǎn)，作圓與x軸交于點(diǎn)C，求交點(diǎn)C的坐標(biāo)．[分析]

本題中有三個(gè)點(diǎn)A，B，C，由于AB為直徑，C為圓上的點(diǎn)，所以∠ACB＝90°，因此，必有kAC·kBC＝－1.列出方程，求解即可．[評(píng)析]

利用直線的平行與垂直的條件解題，主要利用其斜率的關(guān)系，當(dāng)然，在解題時(shí)特別要注意斜率不存在的情況，以及分類討論的思想．本例中，利用∠ACB＝90°，及兩條直線垂直時(shí)斜率之間的關(guān)系，從而構(gòu)造關(guān)于x的方程，解之便求出其交點(diǎn)坐標(biāo)，因此利用垂直與平行關(guān)系可構(gòu)造相關(guān)方程，解之即可求出相關(guān)參數(shù)．本例中，當(dāng)AC或BC的斜率不存在時(shí)，不滿足AC⊥BC.這是很明顯的事