張軍數(shù)字信號處理chap6數(shù)字濾波器的基本結(jié)構(gòu)-end

第六章數(shù)字濾波器根本結(jié)構(gòu)

第一節(jié)

數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)的表示方法

數(shù)字濾波器的作用是對輸入信號起到數(shù)字濾波的作用；DF是由差分方程描述的一類特殊的離散時間系統(tǒng)。數(shù)字濾波實(shí)際上是一種運(yùn)算過程，其功能是將一組輸入的數(shù)字序列通過一定的運(yùn)算后轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪唤M輸出的數(shù)字序列。因此數(shù)字濾波器本身就是一臺數(shù)字式的處理設(shè)備。不同的運(yùn)算處理方法決定了濾波器的實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)的不同。

一、什么是數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器一般可以用兩種方法實(shí)現(xiàn)：一種是根據(jù)描述數(shù)字濾波器的數(shù)學(xué)模型或信號流圖，用數(shù)字硬件裝配成一臺專門的設(shè)備，構(gòu)成專用的信號處理機(jī)；另一種方法就是直接利用通用計(jì)算機(jī)，將所需要的運(yùn)算編成程序讓計(jì)算機(jī)來執(zhí)行，這也就是用軟件來實(shí)現(xiàn)數(shù)字濾波器。由第1章已經(jīng)知道，一個輸入序列x(n)，通過一個單位脈沖響應(yīng)為h(n)的線性時不變系統(tǒng)后，其輸出響應(yīng)y(n)為將上式兩邊經(jīng)過傅里葉變換，可得式中，Y(ejω)、X(ejω)分別為輸出序列和輸入序列的頻譜函數(shù)，H(ejω)是系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)。b=1;a=[1,-0.9];%y(n)-0.9y(n-1)=x(n)，即H(Z)=1/(1-0.9z)x=[ones(1,10),zeros(1,40)];y=filter(b,a,x);N=64;X=fft(x,N);Y=fft(y,N);可以看出，輸入序列的頻譜X(ejω)經(jīng)過濾波后，變?yōu)閄(ejω)H(ejω)。如果|H(ejω)|的值在某些頻率上是比較小的，那么輸入信號中的這些頻率分量在輸出信號中將被抑制掉。因此，只要按照輸入信號頻譜的特點(diǎn)和處理信號的目的，適中選擇H(ejω)，使得濾波后的X(ejω)H(ejω)符合人們的要求，這就是數(shù)字濾波器的濾波原理。和模擬濾波器一樣，線性數(shù)字濾波器按照頻率響應(yīng)的通帶特性可劃分為低通、高通、帶通和帶阻幾種形式。它們的理想模式如下圖?！蚕到y(tǒng)的頻率響應(yīng)H(ejω)是以2π為周期的。)圖

數(shù)字濾波器的理想幅頻特性二、數(shù)字濾波器的工作原理h(n)x(n)y(n)=x(n)*h(n)那么LSI系統(tǒng)的輸出為：三、數(shù)字濾波器表示方法有兩種表示方法：方框圖表示法；流圖表示法.數(shù)字濾波器中,信號只有延時，乘以常數(shù)和相加三種運(yùn)算。所以DF結(jié)構(gòu)中有三個根本運(yùn)算單元：單位延時，乘常數(shù)的乘法器，加法器。

數(shù)字濾波器是離散時間系統(tǒng)，所處理的信號是離散時間信號。一般時域離散系統(tǒng)或網(wǎng)絡(luò)可以用差分方程、單位脈沖響應(yīng)以及系統(tǒng)函數(shù)進(jìn)行描述。如果系統(tǒng)輸入、輸出服從N階差分方程(6-1)那么其系統(tǒng)函數(shù)，即濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為(6-2)為了用專用硬件或軟件實(shí)現(xiàn)對輸入信號的處理，需要把式〔6-1〕或式(6-2)變換成一種算法。對于同一個系統(tǒng)函數(shù)H(z)，對輸入信號的處理可實(shí)現(xiàn)的算法有很多種，每一種算法對應(yīng)于一種不同的運(yùn)算結(jié)構(gòu)。例如：

(6-3)觀察式(6-3)可知，對應(yīng)于每一種不同的運(yùn)算結(jié)構(gòu)，我們都可以用三種根本的運(yùn)算單元：乘法器、加法器和單位延時器來實(shí)現(xiàn)。這三種根本運(yùn)算單元的常用流圖表示方法如圖6-1所示。圖6-1三種根本運(yùn)算的方框圖及信號流圖表示把上述三個根本單元互聯(lián)，可構(gòu)成不同數(shù)字網(wǎng)絡(luò)或運(yùn)算結(jié)構(gòu)，也有方框圖表示法和流圖表示法。單位延時系數(shù)乘相加圖6-2一階系統(tǒng)的方框圖及信號流圖表示

圖6-3二階系統(tǒng)的方框圖及信號流圖表示

可通過流圖或方框圖看出系統(tǒng)的運(yùn)算步驟和運(yùn)算結(jié)構(gòu)。以后我們用流圖來分析數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)。四、數(shù)字濾波器的分類濾波器的種類很多，分類方法也不同。1.從功能上分；低通、帶通、高通、帶阻。2.從實(shí)現(xiàn)方法上分:FIR、IIR3.從設(shè)計(jì)方法上來分：Chebyshev(切比雪夫〕,Butterworth〔巴特沃斯〕4.從處理信號分：經(jīng)典濾波器、現(xiàn)代濾波器1、經(jīng)典濾波器假定輸入信號x(n)中的有用成分和希望去除的成分，各自占有不同的頻帶。當(dāng)x(n〕經(jīng)過一個線性系統(tǒng)〔即濾波器〕后即可將欲去除的成分有效地去除。但如果信號和噪聲的頻譜相互重疊，那么經(jīng)典濾波器將無能為力。wc|H(ejw)||X(ejw)|wwc有用無用|Y(ejw)|wwc2.現(xiàn)代濾波器它主要研究內(nèi)容是從含有噪聲的數(shù)據(jù)記錄〔又稱時間序列〕中估計(jì)出信號的某些特征或信號本身。一旦信號被估計(jì)出，那么估計(jì)出的信號將比原信號會有高的信噪比?，F(xiàn)代濾波器把信號和噪聲都視為隨機(jī)信號，利用它們的統(tǒng)計(jì)特征〔如自相關(guān)函數(shù)、功率譜等〕導(dǎo)出一套最正確估值算法，然后用硬件或軟件予以實(shí)現(xiàn)?，F(xiàn)代濾波器理論源于維納在40年代及其以后的工作，這一類濾波器的代表為：維納濾波器，此外，還有卡爾曼濾波器、線性預(yù)測器、自適應(yīng)濾波器。本課程主要講經(jīng)典濾波器。3.模擬濾波器和數(shù)字濾波器經(jīng)典濾波器從功能上分又可分為：低通濾波器〔LPAF/LPDF):Lowpassanalogfilter帶通濾波器(BPAF/BPDF):Bandpassanalogfilter高通濾波器(HPAF/HPDF):Highpassanalogfilter帶阻濾波器(BSAF/BSDF):Bandstopanalogfilter即它們每一種又可分為：數(shù)字(Digital)和模擬(Analog)濾波器。4.模擬濾波器的理想幅頻特性LPAFHPAFBPAFBSAF5.數(shù)字濾波器的理想幅頻特性數(shù)字濾波器按照頻率響應(yīng)的通帶特性可劃分為低通、高通、帶通和帶阻幾種形式。它們的理想模式如下圖。〔系統(tǒng)的頻率響應(yīng)H(ejω)是以2π為周期的。)LPDFHPDFBPDFBSDF五、研究DF實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)意義1.濾波器的根本特性〔如有限長沖激響應(yīng)FIR與無限長沖激響應(yīng)IIR〕決定了結(jié)構(gòu)上有不同的特點(diǎn)。2.不同結(jié)構(gòu)所需的存儲單元及乘法次數(shù)不同，前者影響復(fù)雜性，后者影響運(yùn)算速度。3.有限精度〔有限字長〕實(shí)現(xiàn)情況下，不同運(yùn)算結(jié)構(gòu)的誤差及穩(wěn)定性不同。4.好的濾波器結(jié)構(gòu)應(yīng)該易于控制濾波器性能，適合于模塊化實(shí)現(xiàn)，便于時分復(fù)用。六、本章介紹主要的內(nèi)容1.介紹IIR濾波器實(shí)現(xiàn)的根本結(jié)構(gòu)。2.介紹FIR濾波器實(shí)現(xiàn)的根本結(jié)構(gòu)。第二節(jié)

IIRDF的根本結(jié)構(gòu)一、IIRDF特點(diǎn)1.單位沖激響應(yīng)h(n)是無限長的n→∞2.系統(tǒng)函數(shù)H(z)在有限Z平面〔0<|Z|<∞)有極點(diǎn)存在。3.結(jié)構(gòu)上存在輸出到輸入的反響，也即結(jié)構(gòu)上是遞歸型的。二、IIRDF根本結(jié)構(gòu)IIRDF類型有：直接型、級聯(lián)型、并聯(lián)型。直接型結(jié)構(gòu)：直接I型、直接II型〔典范型〕。1、IIRDF系統(tǒng)函數(shù)及差分方程

一個N階IIRDF的系統(tǒng)函數(shù)可表示為：以下我們討論M<=N情況。那么這一系統(tǒng)差分方程為：

從這個差分方程表達(dá)式可以看出，系統(tǒng)的輸出y(n)由兩部分構(gòu)成：第一部分 是一個對輸入x(n)的M階延時鏈結(jié)構(gòu)，每階延時抽頭后加權(quán)相加，構(gòu)成一個橫向結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)。第二部分 是一個對輸出y(n)的N階延時鏈的橫向結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)，是由輸出到輸入的反饋網(wǎng)絡(luò)。由這兩部分相加構(gòu)成輸出，從圖上可以看出，直接Ⅰ型結(jié)構(gòu)需要（N＋M）個延時器和（N＋M

＋1）個乘法器。2、直接I型

〔1)直接I型流圖圖6-4直接Ⅰ型結(jié)構(gòu)

第一個網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的零點(diǎn)，第二個網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的極點(diǎn)。(2)結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)此結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)為：(1)兩個網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)：第一個橫向結(jié)構(gòu)M節(jié)延時網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)零點(diǎn)，第二個有反響的N節(jié)延時網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)極點(diǎn)。(2)共需(N+M)級延時單元(3)系數(shù)ai,bi不是直接決定單個零極點(diǎn)，因而不能很好地進(jìn)行濾波器性能控制。(4)極點(diǎn)對系數(shù)的變化過于靈敏，從而使系統(tǒng)頻率響應(yīng)對系統(tǒng)變化過于靈敏，也就是對有限精度〔有限字長〕運(yùn)算過于靈敏，容易出現(xiàn)不穩(wěn)定或產(chǎn)生較大誤差。3、直接II型〔正準(zhǔn)型/典范型〕

〔1)直接II型原理將上面直接型結(jié)構(gòu)的兩局部看成兩個獨(dú)立的網(wǎng)絡(luò)〔即兩個子系統(tǒng)〕。原理：一個線性時不變系統(tǒng)，假設(shè)交換其級聯(lián)子系統(tǒng)的次序，系統(tǒng)函數(shù)不變。把此原理應(yīng)用于直接I型結(jié)構(gòu)。即：〔1〕交換兩個級聯(lián)網(wǎng)絡(luò)的次序〔2〕合并兩個具有相同輸入的延時支路。得到另一種結(jié)構(gòu)即直接II型。(2)直接II型的結(jié)構(gòu)流圖過程

1--對調(diào)x(n)b0b1b2Z-1Z-1y(n)a1a2Z-1Z-1bM-1bMZ-1Z-1aN-1aNZ-1Z-1第一局部第二局部對調(diào)x(n)y(n)a1a2Z-1Z-1aN-1aNZ-1Z-1b0b1b2Z-1Z-1bM-1bMZ-1Z-1對調(diào)(3)直接II型的結(jié)構(gòu)流圖過程

2--合并x(n)a1a2Z-1Z-1aN-1aNZ-1Z-1b0b1b2Z-1Z-1bM+1bMZ-1Z-1合并x(n)a1a2Z-1Z-1aN-1aNZ-1Z-1b0b1b2bM+1bMy(n)y(n)

由于對調(diào)后前后兩路都有一條內(nèi)容完全相同的延時鏈，可以合并為一條即可。這就是直接II型的結(jié)構(gòu)流圖。(4)直接II型特點(diǎn)直接II型結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：(1)兩個網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)。第一個有反響的N節(jié)延時網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)極點(diǎn)；第二個橫向結(jié)構(gòu)M節(jié)延時網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)零點(diǎn)。(2)實(shí)現(xiàn)N階濾波器〔一般N>=M)只需N級延時單元，所需延時單元最少。故稱典范型。(3)同直接I型一樣，具有直接型實(shí)現(xiàn)的一般缺點(diǎn)。例子IIRDF系統(tǒng)函數(shù)，畫出直接I型、直接II型的結(jié)構(gòu)流圖。例子IIRDF系統(tǒng)函數(shù)，畫出直接I型、直接II型的結(jié)構(gòu)流圖。解：為了得到直接I、II型結(jié)構(gòu)，必須將H(z)代為Z-1的有理式；x(n)8-411Z-1Z-1y(n)5/4-3/4Z-1Z-1Z-11/8Z-1-25/4Z-1Z-1Z-1-3/41/8-411-28y(n)x(n)注意反響局部系數(shù)符號4、級聯(lián)型結(jié)構(gòu)

(1)系統(tǒng)函數(shù)因式分解一個N階系統(tǒng)函數(shù)可用它的零、極點(diǎn)來表示即系統(tǒng)函數(shù)的分子、分母進(jìn)行因式分解：(2)系統(tǒng)函數(shù)系數(shù)分析(3)根本二階節(jié)的級聯(lián)結(jié)構(gòu)(4)濾波器的根本二階節(jié)所以，濾波器就可以用假設(shè)干個二階網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)起來構(gòu)成。這每一個二階網(wǎng)絡(luò)也稱濾波器的根本二階節(jié)〔即濾波器的二階節(jié)〕。一個根本二階節(jié)的系統(tǒng)函數(shù)的形式為：一般用直接II型〔正準(zhǔn)型、典范型表示〕x(n)β1ia2iZ-1Z-1a1iβ2iy(n)(5)用二階節(jié)級聯(lián)表示的濾波器系統(tǒng)整個濾波器那么是多個二階節(jié)級聯(lián)x(n)β11a21Z-1Z-1a11β21β12a22Z-1Z-1a12β22β1Ma2MZ-1Z-1a1Mβ2My(n)…...A例子設(shè)IIR數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)為：1Z-1111Z-1Z-111y(n)x(n)(6)級聯(lián)結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)從級聯(lián)結(jié)構(gòu)中看出：它的每一個根本節(jié)只關(guān)系到濾波器的某一對極點(diǎn)和一對零點(diǎn)。調(diào)整β1i,β2i,只單獨(dú)調(diào)整濾波器第I對零點(diǎn)，而不影響其它零點(diǎn)。同樣，調(diào)整a1i,a2i,……只單獨(dú)調(diào)整濾波器第I對極點(diǎn)，而不影響其它極點(diǎn)。級聯(lián)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：(a)每個二階節(jié)系數(shù)單獨(dú)控制一對零點(diǎn)或一對極點(diǎn)，有利于調(diào)整濾波器頻率響應(yīng)性能。(b)分子分母中二階因子可以配合成各種根本二階節(jié)的方式，而各二階根本節(jié)的排列次序也可以不同，它們都能代表同一個系統(tǒng)函數(shù)H(z)。但是，當(dāng)用二進(jìn)制表示時，只能采用有限位長，其所帶來的誤差，對各種實(shí)現(xiàn)方案是不一樣的。因而對于配合與排列次序，都存在著最優(yōu)化的問題。5、并聯(lián)型

(1)系統(tǒng)函數(shù)的局部分式展開將系統(tǒng)函數(shù)展成局部分式的形式：用并聯(lián)的方式實(shí)現(xiàn)DF。“相加〞在電路中實(shí)現(xiàn)用并聯(lián)。如果遇到某一系數(shù)為復(fù)數(shù)，那么一定有另一個為共軛復(fù)數(shù)，將它們合并為二階實(shí)數(shù)的局部分式。(2)并聯(lián)型根本二階節(jié)結(jié)構(gòu)并聯(lián)型的根本二階節(jié)的形式：其中：要求分子比分母小一階x(n)β0a2Z-1Z-1a1β1y(n)(3)根本二階節(jié)的并聯(lián)結(jié)構(gòu)AN1Z-1a1x(n)aN1a11Z-1Z-1A1β11y(n)A0...β01a21a1N2a2N2β0N2β1N2其實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)為：Z-1Z-1Z-1(4)并聯(lián)型特點(diǎn)(1)可以單獨(dú)調(diào)整極點(diǎn)位置，但不能象級聯(lián)那樣直接控制零點(diǎn)(因?yàn)橹粸楦鞫A節(jié)網(wǎng)絡(luò)的零點(diǎn)，并非整個系統(tǒng)函數(shù)的零點(diǎn))。(2)其誤差最小。因?yàn)椴⒙?lián)型各根本節(jié)的誤差互不影響，所以比級聯(lián)誤差還少。假設(shè)某一支路a1誤差為1％，但總系統(tǒng)的誤差仍可到達(dá)少1％。(因?yàn)榉殖蒩1,a2…...支路).注意：(1)為什么二階節(jié)是最根本的？因?yàn)槎A節(jié)是實(shí)系數(shù)，而一階節(jié)一般為復(fù)系數(shù)。(2)統(tǒng)一用二階節(jié)表示，保持結(jié)構(gòu)上的一致性，有利于時分多路復(fù)用。(3)級聯(lián)結(jié)構(gòu)與并聯(lián)結(jié)構(gòu)的根本二階節(jié)是不同的?！?〕例子其并聯(lián)結(jié)構(gòu)為：x(n)Z-1Z-114y(n)161-61Z-1〔5〕例子其并聯(lián)結(jié)構(gòu)為：x(n)Z-1Z-1-3/4y(n)1/2將網(wǎng)絡(luò)中所有支路的方向顛倒，但保持支路增益不變，并將輸入與輸出也顛倒過來，以使得源節(jié)點(diǎn)變成匯節(jié)點(diǎn)，匯節(jié)點(diǎn)變成源節(jié)點(diǎn)，那么得到了系統(tǒng)的一種新的結(jié)構(gòu)。這一過程，成為轉(zhuǎn)置。轉(zhuǎn)置流圖與原流圖有相同的系統(tǒng)函數(shù)。z-1y[n]x[n]az-1y[n]x[n]a轉(zhuǎn)置按前向通道從左到右z-1y[n]x[n]a容易看出，轉(zhuǎn)置前后，系統(tǒng)函數(shù)均為：6、轉(zhuǎn)置形式直接I型與轉(zhuǎn)置…………z-1z-1z-1z-1z-1z-1b0b1b2bM-1bMa1a2aN-1aNy[n]x[n]直接I型…………z-1z-1z-1z-1z-1z-1b0a1a2aN-1aNb1b2bM-1bMy[n]x[n]轉(zhuǎn)置直接II型與轉(zhuǎn)置轉(zhuǎn)置直接II型………z-1z-1z-1b0a1a2aN-1aNb1b2bN-1bNy[n]x[n]………z-1z-1z-1b0b1b2bN-1bNa1a2aN-1aNy[n]x[n]關(guān)于轉(zhuǎn)置形式的幾個要點(diǎn)轉(zhuǎn)置前后系統(tǒng)函數(shù)不變。轉(zhuǎn)置前后的根本結(jié)構(gòu)不變，信號流圖中的支路、延遲環(huán)節(jié)個數(shù)和系數(shù)也都不變。信號流圖的支路是有方向性的，這種方向性決定了信號的流向，以及各個環(huán)節(jié)的時間先后，因此結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)置，必然引起實(shí)現(xiàn)上的不同。轉(zhuǎn)置形式的主要意義，在于提供實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)的多種可能。第三節(jié)

FIRDF的結(jié)構(gòu)

〔有限長沖激響應(yīng)濾波器〕一、FIRDF的特點(diǎn)(1)系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h(n)在有限個n值處不為零。即h(n)是個有限長序列。(2)系統(tǒng)函數(shù)|H(z)|在|z|>0處收斂，極點(diǎn)全部在z=0處(即FIR一定為穩(wěn)定系統(tǒng))(3)結(jié)構(gòu)上主要是非遞歸結(jié)構(gòu)，沒有輸出到輸入反響。但有些結(jié)構(gòu)中〔例如頻率抽樣結(jié)構(gòu)〕也包含有反響的遞歸局部。二、FIR的系統(tǒng)函數(shù)及差分方程長度為N的單位沖激響應(yīng)h(n)的系統(tǒng)函數(shù)為：三、FIR濾波器實(shí)現(xiàn)根本結(jié)構(gòu)〔1〕FIR的橫截型結(jié)構(gòu)〔直接型〕〔2〕FIR的級聯(lián)型結(jié)構(gòu)〔3〕FIR的線性相位結(jié)構(gòu)〔4〕FIR的快速卷積結(jié)構(gòu)1.FIR直接型結(jié)構(gòu)

〔卷積型、橫截型〕

(1)流圖h(0)h(1)h(2)h(N-1)Z-1Z-1Z-1Z-1x(n)y(n)倒下h(0)h(1)h(N-2)h(N-1)Z-1Z-1Z-1Z-1y(n)x(n)h(0)h(1)h(N-2)h(N-1)Z-1Z-1Z-1Z-1y(n)x(n)轉(zhuǎn)置〔2〕框圖Z-1Z-1Z-1Z-1…….x(n)h(0)h(1)h(2)h(N-1)y(n)2.級聯(lián)型結(jié)構(gòu)

〔1〕流圖當(dāng)需要控制濾波器的傳輸零點(diǎn)時，可將H(z)系統(tǒng)函數(shù)分解成二階實(shí)系數(shù)因子的形成：即可以由多個二階節(jié)級聯(lián)實(shí)現(xiàn)，每個二階節(jié)用橫截型結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)。x(n)β11Z-1Z-1β21β12Z-1Z-1β22β1N/2Z-1Z-1β2N/2y(n)…...β01β02β0N/21〔2〕級聯(lián)型結(jié)構(gòu)特點(diǎn)由于這種結(jié)構(gòu)所需的系數(shù)比直接型多，所需乘法運(yùn)算也比直接型多，很少用。由于這種結(jié)構(gòu)的每一節(jié)控制一對零點(diǎn)，因而只能在需要控制傳輸零點(diǎn)時用。3.線性相位FIR型結(jié)構(gòu)

〔1〕定義所謂線性相位：是指濾波器產(chǎn)生的相移與輸入信號頻率成線性關(guān)系?！?〕線性相位FIRDF具有特性h(n)是因果的，為實(shí)數(shù)，且滿足對稱性。即滿足約束條件：h(n)=±h(N-1-n)其中:h(n)為偶對稱時，h(n)=h(N-1-n);h(n)為奇對稱時，h(n)=-h(N-1-n);下面我們針對h(n)奇、偶進(jìn)行討論?！?〕h(n)為偶對稱，N=偶數(shù)時(a)FIR的線性相位的特性令n'=N-1-n代入用n=n'再用n=n',并應(yīng)用