數(shù)學(xué)-2024屆新高三開學(xué)摸底2024屆高二下學(xué)期 數(shù)學(xué)考試及答案解析九省新高考通用

2024屆新高三開學(xué)摸底考試卷（九省新高考專用）02數(shù)學(xué)本試卷共22題。全卷滿分150分。考試用時(shí)120分鐘。注意事項(xiàng)：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答第Ⅰ卷時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。寫在本試卷上無效。3．回答第Ⅱ卷時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知全集，集合，，且滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先求出集合，中的不等式，再根據(jù)得出集合，根據(jù)集合并集和補(bǔ)集的定義計(jì)算即可．【詳解】由題可知，，因?yàn)椋?，即，所以，所以，故選：B．2．已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），是的共軛復(fù)數(shù)，則（

）A．5 B． C．10 D．【答案】C【分析】先根據(jù)復(fù)數(shù)的除法求出，再計(jì)算.【詳解】由得，所以，所以.故選：C.3．已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為M，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為N，i是虛數(shù)單位，則“點(diǎn)M在第一象限”是“點(diǎn)N在第四象限”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】設(shè)復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為M在第一象限，求出的范圍，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為N在第四象限，求出的范圍，再結(jié)合充分條件必要條件的定義即可求出答案.【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為M在第一象限，則，，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為N在第四象限，則.反之，也成立，“點(diǎn)M在第一象限”是“點(diǎn)N在第四象限”的充要條件.故選：C..4．木升在古代多用來盛裝糧食作物，是農(nóng)家必備的用具，如圖為一升制木升，某同學(xué)制作了一個(gè)高為40的正四棱臺(tái)木升模型，已知該正四棱臺(tái)的所有頂點(diǎn)都在一個(gè)半徑為50的球O的球面上，且一個(gè)底面的中心與球O的球心重合，則該正四棱臺(tái)的側(cè)面與底面所成二面角的正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)正四棱臺(tái)的外接球的性質(zhì)可得兩底面的邊長(zhǎng)，進(jìn)而根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系，結(jié)合二面角的定義即可求解.【詳解】如圖：正四棱臺(tái)，由題意可知：是底面正方形的中心也是球O的球心，且,所以,進(jìn)而可得取的中點(diǎn)為，過的中點(diǎn)作，連接,所以,,故,在直角三角形中，故，由于,所以即為正四棱臺(tái)的側(cè)面與底面所成二面角，故正弦值為，故選：A5．若數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)遞推公式，結(jié)合代入法可以求出數(shù)列的周期，利用數(shù)列的周期性進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)椋?，所以，所以該?shù)列的周期為，于是有，故選：C6．函數(shù)的部分圖象為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】確定函數(shù)為奇函數(shù)，排除BD，當(dāng)時(shí)，，排除A，得到答案.【詳解】的定義域?yàn)椋?，故為奇函?shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，排除B，D；又時(shí)，，，，故，排除A．故選：C．7．我國(guó)東漢末數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一副“弦圖”給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”，它是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，如圖所示.在“趙爽弦圖”中，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，利用平面向量的線性運(yùn)算列式，再借助方程思想求解作答.【詳解】依題意，，于是，所以.故選：A8．設(shè)是定義在上的周期為3的函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（）A．﹣1 B．1 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，化簡(jiǎn)得到，代入即可求解.【詳解】因?yàn)槭嵌x在上的周期為3的函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則.故選：D.4．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)在復(fù)平面上分別對(duì)應(yīng)點(diǎn)和點(diǎn)，則、兩點(diǎn)間的距離是______．【答案】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn),應(yīng)用兩點(diǎn)間距離公式求解即可.【詳解】復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn),復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，則.故答案為：14．我國(guó)古代典籍《周易》用“卦”描述萬(wàn)物的變化.每一“重卦”由從下到上排列的6個(gè)爻組成，爻分為陽(yáng)爻“”和陰爻“”，如圖就是一重卦.如果某重卦中恰有3個(gè)陰爻，則該重卦可以有___________種.(用數(shù)字作答)【答案】20【分析】只需從6個(gè)位置中選取3個(gè)位置放置陽(yáng)爻，則問題得解.【詳解】根據(jù)題意，每一“重卦”由從下到上排列的6個(gè)爻組成，假設(shè)有6個(gè)位置，在其中任選3個(gè)，安排3個(gè)“陰爻”，有種情況，即該重卦可以有20種情況，故答案為：20.15．?的外心為?，三個(gè)內(nèi)角?所對(duì)的邊分別為?，?.則?面積的最大值為____________.【答案】12【分析】由平面向量的數(shù)量積結(jié)合已知可得，再由余弦定理求得,進(jìn)而求得，由余弦定理及基本不等式求得ac的最大值，則面積的最大值可求.【詳解】設(shè)的中點(diǎn)為，如圖所示，的外心為，則，，整理得，則，又，當(dāng)且僅當(dāng)，等號(hào)成立.故答案為：12.16．以下四個(gè)關(guān)于圓錐曲線的命題中：①設(shè)、為兩個(gè)定點(diǎn)，為非零常數(shù)，若，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為雙曲線；②過定圓上一定點(diǎn)作圓的動(dòng)弦，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為橢圓；③拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是；④曲線與曲線（且）有相同的焦點(diǎn).其中真命題的序號(hào)為______寫出所有真命題的序號(hào).【答案】③④【分析】根據(jù)雙曲線的定義判斷①，根據(jù)相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程判斷②，根據(jù)拋物線焦點(diǎn)的求法判斷③，根據(jù)橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)判斷④.【詳解】①，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡不存在，所以①錯(cuò)誤.②，設(shè)，由于，所以，是線段的中點(diǎn)，所以，設(shè)圓的方程為，將的坐標(biāo)代入圓的方程得，整理得，這不是橢圓方程，所以②錯(cuò)誤.③，由得，所以拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為，③正確.④，表示雙曲線，其焦點(diǎn)在軸上，且.當(dāng)時(shí)，可化為，表示雙曲線，其焦點(diǎn)在軸上，且.當(dāng)時(shí)，表示橢圓，其焦點(diǎn)在軸上，且.所以④正確.故答案為：③④四、解答題：本題共6小題，共70分，請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程成演算步驟17．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在角的終邊上，點(diǎn)在角的終邊上，且.(1)求的值；(2)求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示結(jié)合余弦的二倍角公式即可求解；（2）利用三角函數(shù)的定義和正弦的兩角和公式求解即可.【詳解】（1）由題意可知，，所以，又因?yàn)?，所以，解得，所?（2）由（1）可知，，所以，，所以由三角函數(shù)的定義可得，，，，所以.18．已知數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)該等比數(shù)列的公比為q，由等比數(shù)列通項(xiàng)公式結(jié)合{a}是遞增的等比數(shù)列可得通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得，后可得，利用裂項(xiàng)相消法可得答案.【詳解】（1）根據(jù)題意，設(shè)該等比數(shù)列的公比為q，若，則有或或.又由數(shù)列{a}是遞增的等比數(shù)列，則，則有，則數(shù)列{a}的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得，則，則，則19．如圖，在四棱錐中，且，其中為等腰直角三角形，，且平面平面.(1)求的長(zhǎng)；(2)若平面與平面夾角的余弦值是，求的長(zhǎng).【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題目中的垂直條件結(jié)合平面與平面垂直的性質(zhì)定理以及直線與平面垂直的判定定理把放到一個(gè)直角三角形中，從而可求長(zhǎng)度.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面與平面的法向量，利用求平面與平面夾角的方法列式即可求解.【詳解】（1）取的中點(diǎn)，則，又平面平面，平面平面平面，平面，平面，，，平面，平面，平面，，又.（2）在平面內(nèi)過作的垂線以為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)檩S，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面的法向量為，，取.設(shè)，設(shè)平面的法向量為，，平面與平面夾角的余弦值是，，，或（舍），.20．已知圓是圓上任意一點(diǎn)，線段的垂直平分線與半徑相交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為曲線．(1)求曲線的方程；(2)過點(diǎn)的直線與曲線相交于點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)，過點(diǎn)的另一條直線與相交于兩點(diǎn)，且的面積是面積的倍，求直線的方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意和橢圓的定義即可求解；（2）首先求出直線的方程，以及點(diǎn)的坐標(biāo)，討論直線的斜率存在與否，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立解方程組求出，根據(jù)的面積是面積的倍，化簡(jiǎn)可以得到，進(jìn)一步求出斜率，從而得出答案.【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)為線段的垂直平分線與半徑的交點(diǎn)，所以，所以，所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓，在橢圓中，所以曲線的方程為．（2）由已知得，所以直線的方程為，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為．當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，或都與已知不符；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，由得，易知，則，，由的面積是面積的倍可得，化簡(jiǎn)得，即，又，所以，即，也就是，所以，解得，所以直線的方程為．

21．已知函數(shù)，.(1)求函數(shù)的極值；(2)證明：當(dāng)時(shí)，在上恒成立.【答案】(1)極小值為，無極大值(2)證明見解析【分析】（1）求得，令，求得，結(jié)合，得到函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求得極值；（2）由，根據(jù)題意，由且，放縮得到，令，求得，得出函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性求得，得出，即可得證.【詳解】（1）解：由函數(shù)，可得定義域?yàn)?，且，令，可得，所以單調(diào)遞增，又因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，可得，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，可得，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，極小值為，無極大值.（2）解：由，因?yàn)榍遥傻昧?，可得，因?yàn)?，即或，又因?yàn)榉匠痰膬筛际秦?fù)數(shù)根（舍去），所以，可得當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，同時(shí)也為在上的最小值，即，所以，所以，所以，

故當(dāng)時(shí)，在恒成立.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．22．已知是單調(diào)遞增的等差數(shù)