電動(dòng)力學(xué)靜電場(chǎng)答案

【關(guān)鍵字】空間編號(hào)： 班級(jí)： 學(xué)號(hào)： 姓名：成績(jī)：第1章靜電場(chǎng)證明均勻介質(zhì)內(nèi)部的極化電荷體密度，總等于自由電荷體密度的－（1－）倍。有一內(nèi)外半徑分別為的空心介質(zhì)球，介質(zhì)的介電常數(shù)為，使介質(zhì)內(nèi)均勻帶靜止自由電荷，求（1）空間各點(diǎn)的電場(chǎng)；（2）極化體電荷和極化面電荷分布。解1）由電荷分布的對(duì)稱性可知：電場(chǎng)分布也是對(duì)稱的。電場(chǎng)方向沿徑向故：時(shí)或時(shí)球殼體內(nèi)：在的球形外：式中寫在一起2）（與第一題相符）內(nèi)表面：外表面：證明：當(dāng)兩種絕緣介質(zhì)的分界面上不帶面自由電荷時(shí)，電場(chǎng)線的偏折滿足：式中和分別為兩介質(zhì)的介電常數(shù)，和分別為界面兩側(cè)電場(chǎng)線與法線的夾角。證明：絕緣介質(zhì)分界面上自由電荷密度，故邊值關(guān)系為：,（,）若兩種介質(zhì)都是線性均勻的，即，；上邊兩式為:，于是得：試用邊值關(guān)系證明：在絕緣介質(zhì)與導(dǎo)體的分界面上，在靜電情況下，導(dǎo)體外的電場(chǎng)線總是筆直于導(dǎo)體表面。證明：設(shè)介質(zhì)1為導(dǎo)體，介質(zhì)2為絕緣體。靜電情況下：,由邊值關(guān)系：,可得：,即，，對(duì)于各向同性線性介質(zhì)所以，即導(dǎo)體外的電場(chǎng)線筆直于導(dǎo)體表面如圖1，有一厚度為，電荷密度為的均勻帶電無限大平板，試用分離變量法求空間電勢(shì)的分布。解：以O(shè)原點(diǎn)建立如圖坐標(biāo)系，為根據(jù)問題的對(duì)稱性，電勢(shì)分布僅與x有關(guān)，即一維問題。容易寫出定解問題：時(shí)時(shí)直接求解得內(nèi)半徑，外半徑為的兩個(gè)同心導(dǎo)體球殼，令內(nèi)球接地，外球帶電量，試用分離變量法求空間電勢(shì)分布。解?根據(jù)球?qū)ΨQ性，空間電勢(shì)分布僅與r有關(guān)，定結(jié)問題為：r=b時(shí)求解得均勻外電場(chǎng)中，置入半徑為的導(dǎo)體球。求以下兩種情況的電勢(shì)分布。（1）導(dǎo)體球上接有電池，使球保持電勢(shì)為；（2）導(dǎo)體球上帶有總電荷。解建立球坐標(biāo)系極軸方向?yàn)榫鶆螂妶?chǎng)方向，可知電勢(shì)分布具有軸對(duì)稱性，即電勢(shì)僅與r有關(guān)1） 的定解問題為此時(shí)是導(dǎo)體球放入前，通過坐標(biāo)原點(diǎn)的等勢(shì)面的電勢(shì)，用分離變量法解為2） 的定解問題為類似解為

8.介電常數(shù)為e的無限均勻介質(zhì)中，挖一個(gè)半徑為a的空球，球心處置一電矩為p的自由偶極子，試求空間電勢(shì)分布。解如圖建立球坐標(biāo)系，p彳的方向?yàn)闃O軸ex8.介電常數(shù)為e的無限均勻介質(zhì)中，挖一個(gè)半徑為a的空球，球心處置一電矩為p的自由偶極子，試求空間電勢(shì)分布。解如圖建立球坐標(biāo)系，p彳的方向?yàn)闃O軸ex申的定解問題為r=a時(shí)，9=9；8乎=8dd9ie0dr dr注意到泊松方程解的性質(zhì)及電勢(shì)分布具有軸對(duì)稱性，9可寫為:i第二項(xiàng)為極化電荷激發(fā)的勢(shì)，該項(xiàng)在球心應(yīng)為有限值，故Bn=0解的電勢(shì)分布9．半徑為R的均勻介質(zhì)球中心置一自由偶極子p，球外充滿另一種介質(zhì)，求空間各點(diǎn)的電勢(shì)和極化電荷分布(介質(zhì)球介電常數(shù)為81，球外為82)。解：求解與上題類似，只需80I,,一82'p-r 2(s—8)p-rf+ 1 2得9= f—+ 2 f)\r<R),i 4兀8r3 4兀83+28JR3 011120弟2 4k\s+28)r312>R),0極化電荷分布，在介質(zhì)球內(nèi)P=-(1-.[p丿(“因此在球心處有一極化電偶極矩P=—1—P，在r=叫的界面上，由爲(wèi)一 一Pi)，P=(8-80也-82 0dr-82 0dr10r=R02兀8Vg+28)R3112010.兩個(gè)接地的無限大導(dǎo)電平面，其夾角為60。，點(diǎn)電荷Q位于這個(gè)兩面角的平面上，并與棱邊（兩面角之交線）相距為a。試用電像法求真空中的電勢(shì)。解：考慮到兩個(gè)無限大導(dǎo)電平面是接地的，且點(diǎn)電荷Q位于雙面角的平分線上，可按下面的方法求得像電荷的位置和大小：的-Q和+Q，應(yīng)在E、F處有兩個(gè)像電荷+Q和-Q才能使導(dǎo)體ON-的電勢(shì)為零。可以證明E、F處的兩個(gè)點(diǎn)電荷+Q和-Q關(guān)于ON平面對(duì)稱，因而可滿足ON平面的電勢(shì)為零，這樣找出了5個(gè)像電荷，加上原來給定的點(diǎn)電荷，能夠使角域內(nèi)的場(chǎng)方程和邊界條件得到滿足，所以角域內(nèi)任一點(diǎn)P處的電勢(shì)可表為14ks0(Q Q丄QQ丄14ks0ir rr rr r,123456其中r,r, ,r分別為給定電荷Q及其像電荷到P點(diǎn)的距離。126在其余空間的電勢(shì)為9二0。11.接地空心導(dǎo)體球，內(nèi)外半徑為R和R，球內(nèi)離球心a處（a<R）置一121點(diǎn)電荷Q，試用電像法求空間電勢(shì)分布。導(dǎo)體上感應(yīng)電荷分布在內(nèi)表面還是外表面？其量為多少？若導(dǎo)體球殼不接地而是帶電量Q，則電勢(shì)分布又如0

何？若導(dǎo)體球殼具有確定的電勢(shì)9°，電勢(shì)分布如何?解：根據(jù)題意設(shè)球內(nèi)區(qū)域電勢(shì)為件’球外區(qū)域電勢(shì)為申2V29=-Q5（x-a,y,z）180V29=0200其中r其中r=C?2+a2-2Racos。）2,r—C?2+b2-2Rbcos。）2由邊界條件9ir=R1=0要使\Q22要使\Q22RCQ2b-Q'2a）=01*）解得b解得bi=才,b2=a，（舍去）RR代入（*），得Q=-TQ，Q—TQ1a2a由上可知，9,——由上可知，9,——4兀8R21申= V4兀&021申= V4兀&02+a2—2Racos0QR/a2+Q2/a)一1—2/a'cos021Q+QI 0>R201Q+Q若使有確定9，且兩種情況有相同解申= 0，0 04K8 R021P=~4兀&1P=~4兀&02+a2—2Racos0QR/aR4 2R2RR2+1

:a2-4-acosB丿d9 d9由邊界條件82金—81需一b所以，外表面感應(yīng)電荷面密度。嚴(yán)竺| :0dR'R=R2內(nèi)表面感應(yīng)電荷面密度。=s2 0dR所以，外表面感應(yīng)電荷面密度。嚴(yán)竺| :0dR'R=R2內(nèi)表面感應(yīng)電荷面密度。=s2 0dRR=R1 4兀R2一a2'2+a2—2Racos9211總感應(yīng)電荷0十宀二Jbds=—Q，(可見全部在內(nèi)表面上)感應(yīng) 2s12.四個(gè)點(diǎn)電荷，兩個(gè)+q,兩個(gè)一q，分別處于邊長(zhǎng)為a的正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，相鄰的符號(hào)相反，求此電荷體系遠(yuǎn)處的電勢(shì)。解：該系統(tǒng)電荷分布為分立分布，在如圖坐標(biāo)系中位置為q(0,0,0),-q(a,0,0).-q(0,a,0)，q(0,0,a)的精確到四極矩情況下，可求得遠(yuǎn)處的電勢(shì)分布為=qa23xy4ksr5013.求面電荷密度按COS0分布存在電四極矩？解:p=JpQ)?xdv=Jbdv=Jbds=0,xxx所以，4所以，Ka3Qe14.設(shè)真空中電場(chǎng)的勢(shì)為9=q/14.設(shè)真空中電場(chǎng)的勢(shì)為9=q/r—qr2/(2a3)+3q/(2a)(r>a)(r<a)式中r是離坐標(biāo)原點(diǎn)的距離，a和q是常數(shù)，求相應(yīng)的電荷分布。解：V2申二—B，p=—V29?￡,800r>a時(shí)，(q\p=—V2—-8=0，Ir丿0/\r<a時(shí)，p=—V2Jqr2/2a3+3q/2a)-8=3q8/a30015.在一點(diǎn)電荷q的電場(chǎng)中，距離它為d的地方有一偶極子，其電矩p=ql，求在下列兩種情況下，此電矩所受的力F和力矩L：（1） 偶極子的電矩p沿點(diǎn)電荷電場(chǎng)的方向;（2） 偶極子的電矩p垂直于點(diǎn)電荷的電場(chǎng)。解：把點(diǎn)電荷q激發(fā)的電場(chǎng)視為外場(chǎng)，E=—外4K8r30電偶極p在外電場(chǎng)E中的勢(shì)能為W=—pE，

外外而F=