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文檔簡介
第2課時1.你能證明它們嗎1.掌握證明的基本步驟和書寫格式;2.經(jīng)歷“探索、猜想、證明”的過程,能夠用綜合法證明等腰三角形的有關性質(zhì)定理和判定定理;3.結(jié)合實例體會反證法的含義.等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合.等腰三角形的兩個底角相等.簡稱:
等邊對等角.頂角ABC底邊腰腰底角底角【定義】【性質(zhì)定理】【性質(zhì)定理的推論】有兩邊相等的三角形叫做等腰三角形.(簡稱:“三線合一”)等腰三角形知識回顧ACB你能證明你的結(jié)論嗎?畫一畫:先畫一個等腰三角形,然后在等腰三角形中作出一些線段
(如角平分線、中線、高線),你能發(fā)現(xiàn)其中一些相等的線段嗎?等腰三角形還具有哪些重要的性質(zhì)?除了用定義來判定三角形是等腰三角形外,還有哪些簡單的方法來判定三角形是等腰三角形?結(jié)論1.三線合一2.底角的兩條平分線相等3.兩條腰上的中線相等4.兩條腰上的高線相等圖例ADCBACBDEACBMNACBQP【結(jié)論】【例1】證明:等腰三角形兩底角的平分線相等.ACBDE已知:求證:BD=CE.如圖,在△ABC中,AB=AC,BD,CE
是△ABC角平分線.12【例題】∵AB=AC(已知),∴∠ABC=∠ACB(等邊對等角).【證明】∠2=∠ACB(已知),又∵∠1=∠ABC,∴∠1=∠2(等式性質(zhì)).在△BDC與△CEB中∵∠DCB=∠EBC(已知),BC=CB(公共邊),∠1=∠2(已證),∴△BDC≌△CEB(ASA).∴BD=CE(全等三角形的對應邊相等).ACBDE121.證明:等腰三角形兩腰上的高相等.【證明】∵AB=AC(已知),∴∠ABC=∠ACB(等邊對等角).又∵BP,CQ是△ABC兩腰上的高(已知),∴∠BPC=∠CQB=90°(高的意義).在△BPC與△CQB中∵∠BPC=∠CQB(已證),∠PCB=∠QBC(已證),
BC=CB(公共邊),∴△BPC≌△CQB(AAS).∴BP=CQ(全等三角形的對應邊相等).已知:如圖,在△ABC中,AB=AC,BP,CQ是△ABC兩腰上的高.求證:BP=CQ.ACBPQ【跟蹤訓練】又∵CM=,BN=
(已知),2.證明:等腰三角形兩腰上的中線相等.BM=CN.求證:已知:如圖,在△ABC中,AB=AC,BM,CN是△ABC兩腰上的中線.【證明】∵AB=AC(已知),∴∠ABC=∠ACB(等邊對等角).(全等三角形的對應邊相等).∴CM=BN(等式的基本性質(zhì)).在△BMC與△CNB中∵BC=CB(公共邊),∠MCB=∠NBC(已知),CM=BN(已證),∴△BMC≌△CNB(SAS).∴BM=CN.ACBMNACBDE1.已知:如圖,在△ABC中,AB=AC(1)如果∠ABD=∠ABC,∠ACE=∠ACB,那么BD=CE嗎?為什么?(2)如果∠ABD=∠ABC
,∠ACE=∠ACB
呢?由此你能得到一個什么結(jié)論?
如果∠ABD=∠ABC
,∠ACE=∠ACB
,那么BD=CE嗎?【議一議】2.已知:如圖,在△ABC中,AB=AC如果AD=AC,AE=AB,那么BD=CE嗎?為什么?ACBDE由此你能得到一個什么結(jié)論?
如果AD=AC
,AE=AB
,那么BD=CE嗎?數(shù)學方法:特殊到一般的思想方法3.前面已經(jīng)證明了“等邊對等角”,反過來,“等角對等邊”嗎?即有兩個角相等的三角形是等腰三角形嗎?ACB已知:如圖,在△ABC中,∠B=∠C.求證:AB=AC.要證明AB=AC,只要能構造出AB,AC所在的兩個三角形全等就可以了.請與小組內(nèi)同學交流.分析:作∠A的平分線或作BC邊上的高.作BC邊上的中線可以嗎?有兩個角相等的三角形是等腰三角形(等角對等邊).
這又是判定兩條線段相等的依據(jù)之一.請同學們注意運用哦!等腰三角形的判定定理在△ABC中∵∠B=∠C(已知),∴AB=AC(等角對等邊).ACB【結(jié)論】
兩個角相等的三角形是等腰三角形,那么在一個三角形中,如果兩個角不相等,那么這兩個角所對的邊有什么關系呢?CAB
你認為這個結(jié)論成立嗎?
如果成立,你能證明它嗎?請與小組內(nèi)同學交流.在△ABC中,如果∠B≠∠C,那么AC
≠AB
.也不相等?【猜想】CAB分析:如圖,在△ABC中,已知∠B≠∠C,此時,AC與AB要么相等,要么不相等.證明:假設AB=AC,那么根據(jù)“等邊對等角”定理可得∠B=∠C,但已知條件是∠B≠∠C.“∠B=∠C”與“∠B≠∠C”相矛盾,因此,AB≠AC.論證命題的新思維與新方法
先假設命題的結(jié)論不成立,然后推導出與定義、公理、已證定理或已知條件相矛盾的結(jié)果,從而證明命題的結(jié)論一定成立.這種證明方法稱為反證法.(reductiontoabsurdity)反證法是一種重要的數(shù)學證明方法,在解決某些問題時常常會有出人意料的作用.論證的新方法----反證法【證明】假設這五個數(shù)中沒有一個大于或等于1/5,即都小于1/5,那么這五個數(shù)的和a1+a2+a3+a4+a5就小于1.這與已知這五個數(shù)的和a1+a2+a3+a4+a5=1相矛盾.因此,這五個數(shù)中至少有一個大于或等于1/5.【例2】求證:如果a1,a2,a3,a4,a5都是正數(shù),且a1+a2+a3+a4+a5=1,那么,這五個數(shù)中至少有一個大于或等于1/5.【例題】1.假設:先假設命題的結(jié)論不成立;2.歸謬:從這個假設出發(fā),應用正確的推論方法,得出與定義、公理、已證定理或已知條件相矛盾的結(jié)果;3.結(jié)論:由矛盾判定假設不正確,從而肯定命題的結(jié)論正確.【規(guī)律方法】用反證法證題的一般步驟1.(寧波·中考)如圖,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD,CE分別是△ABC,△BCD的角平分線,則圖中的等腰三角形有()A.5個B.4個
C.3個D.2個【解析】選A.∵AB=AC,∴△ABC是等腰三角形.又∵∠A=36°,∴∠ABC=∠ACB=(180°-36°)÷2=72°.∵BD、CE分別是△ABC、△BCD的角平分線,∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=36°,∠BCE=∠DCE=∠ACB=36°.∴∠A=∠ABD,∠CBD=∠BCE,∴△ABD、△BCE是等腰三角形.∵∠CDE=∠A+∠ABD=72°,∠DEC=∠CBD+∠BCE=72°,∴∠CDE=∠DEC=∠ACB.∴△CDE、△BCD是等腰三角形.∴一共有5個等腰三角形.2.(通化·中考)用反證法證明命題“三角形中必有一個內(nèi)角小于或等于60°”時,首先應假設這個三角形中()A.有一個內(nèi)角大于60°B.有一個內(nèi)角小于60°C.每一個內(nèi)角都大于60°D.每一個內(nèi)角都小于60°【解析】選C.因為“必有一個內(nèi)角小于或等于60°”的反面是“沒有一個內(nèi)角小于或等于60°”,即“每一個內(nèi)角都大于60°”.3.(日照·中考)一次函數(shù)y=x+4分別交x軸、y軸于A、B兩點,在x軸上取一點C,使△ABC為等腰三角形,則這樣的點C最多有
個.【解析】當C點的坐標為(,0)或(,0)時,AB=AC,當C點的坐標為(4,0)時,AB=BC;當C點的坐標為(0,0)時,AC=BC.所以C點共有4個.答案:4
4.(衡陽·中考)已知:如圖,在等邊三角形ABC的AC邊上取中點D,BC的延長線上取一點E,使CE=CD.求證:BD=DE.【解析】
∵△ABC是等邊三角形,∴∠ABC=∠ACB=60°,∵D為AC的中點,∴∠DBC=∠ABC=30°,∵CE=CD,∴∠E=∠CDE,又∵∠ACB=∠E+∠CDE,
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