中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)線段角相交線和平行線

第五章基本圖形（一）第20課線段、角、相交線和平行線1．線段沿著一個(gè)方向無(wú)限延長(zhǎng)就成為

；線段向兩方無(wú)限延長(zhǎng)就成為

；線段是直線上兩點(diǎn)間的部分，射線是直線上某一點(diǎn)一旁的部分．2．直線的基本性質(zhì)：

．

線段的基本性質(zhì)：

，連結(jié)兩點(diǎn)的

，叫做兩點(diǎn)之間的距離．

要點(diǎn)梳理射線直線兩點(diǎn)之間線段最短線段的長(zhǎng)度兩點(diǎn)確定一條直線3.有公共端點(diǎn)的兩條射線所組成的圖形叫做角，也可以把角看成是由一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而成的圖形．

(1)1周角＝

平角＝

直角＝

，1°＝

，

1′＝

.

(2)小于直角的角叫做

；大于直角而小于平角的角叫做

；度數(shù)是90°的角叫做

．4.兩個(gè)角的和等于90°時(shí)，稱這兩個(gè)角

，同角(或等角)的余角相等．兩個(gè)角的和等于180°時(shí)，稱這兩個(gè)角

，同角(或等角)的補(bǔ)角相等．

24360°60′60″銳角鈍角直角互為余角互為補(bǔ)角

5．角平分線和線段中垂線的性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到

．

線段中垂線上的點(diǎn)到線段

．

到角兩邊的距離相等的點(diǎn)在角平分線上．

到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在線段的中垂線上．6．兩條直線相交，只有

．兩條直線相交形成四個(gè)角，我們把其中相對(duì)的每一對(duì)角叫做對(duì)頂角，對(duì)頂角

．角兩邊的距離相等兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等一個(gè)交點(diǎn)相等7．兩條直線相交所組成的四個(gè)角中有一個(gè)是直角時(shí)，我們說(shuō)這兩條直線互相

，其中的一條直線叫做另一條直線的

，它們的交點(diǎn)叫做

．

從直線外一點(diǎn)到這條直線的

，叫做點(diǎn)到直線的距離．連結(jié)直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中

．8．垂直于一條線段并且平分這條線段的直線，叫做這條線段的

，也叫線段的中垂線．9．在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線叫做平行線．經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線和這條直線平行．垂直平分線垂直垂線垂足垂線段的長(zhǎng)度垂線段最短10.平行線的判定及性質(zhì)：

(1)判定：

①在同一平面內(nèi)

的兩條直線叫做平行線；

②

相等，兩直線平行；

③

相等，兩直線平行；

④

，兩直線平行；

⑤在同一平面內(nèi)垂直于同一直線的兩直線平行；

⑥平行于同一直線的兩直線平行．

(2)性質(zhì)：

①兩直線平行，

；

②兩直線平行，

；

③兩直線平行，

．不相交同位角內(nèi)錯(cuò)角同旁內(nèi)角互補(bǔ)同位角相等內(nèi)錯(cuò)角相等同旁內(nèi)角互補(bǔ)1.正確理解線段、射線、直線的概念

點(diǎn)通常表示一個(gè)物體的位置，無(wú)大小可言．點(diǎn)動(dòng)成線，線有彎曲的，也有筆直的，彎曲的線叫做曲線；而筆直的線，若向兩邊無(wú)限延伸，沒(méi)有端點(diǎn)且無(wú)粗細(xì)可言就叫做直線，射線是直線的一部分，向一方無(wú)限延伸，有一個(gè)端點(diǎn)，線段也是直線的一部分，有且只有兩個(gè)端點(diǎn)．

“延伸”和“延長(zhǎng)”是兩個(gè)不同的概念．線段不能延伸，但可以延長(zhǎng)；直線與射線是可以無(wú)限延伸，線段向一方延長(zhǎng)的部分，叫做線段的延長(zhǎng)線，指定哪個(gè)方向延長(zhǎng)就是向哪個(gè)方向延長(zhǎng)；反向延長(zhǎng)的部分叫做反向延長(zhǎng)線，如延長(zhǎng)線段AB即為反向延長(zhǎng)線段BA.[難點(diǎn)正本疑點(diǎn)清源]

線段的延長(zhǎng)線即指線段向一方延長(zhǎng)的部分，延長(zhǎng)線常畫(huà)成虛線．線段的延長(zhǎng)線是有方向的，作延長(zhǎng)線時(shí)要特別注意表示線段的字母的順序，以便確定延長(zhǎng)方向．注意：一條線段可以延長(zhǎng)，但線段的延長(zhǎng)線不是原線段的一部分．

2．理解同一平面內(nèi)兩條直線的相互位置關(guān)系

同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系只有兩種：相交和平行．“在同一平面內(nèi)”是其前提，離開(kāi)了這個(gè)前提，不相交的直線就不一定平行了，因?yàn)樵诳臻g里存在著既不平行也不相交的兩條直線，如正方體的有些棱所在的線既不相交也不平行．基礎(chǔ)自測(cè)1．(2011·桂林)下面四個(gè)圖形中，∠1＝∠2一定成立的是(

)

解析：在B圖中，∠1、∠2有相同的頂點(diǎn)，且角的兩邊互為反向延長(zhǎng)線，∠1與∠2是對(duì)頂角，所以∠1＝∠2.B2．(2011·茂名)如圖，已知AB∥CD,則圖中與∠1互補(bǔ)的角有

(

)A．2個(gè)B．3個(gè)

C．4個(gè)D．5個(gè)解析：∵AB∥CD，∴∠1＋∠AEF＝180°.

又∴∠CFD＝180°，∴∠1＋∠EFD＝180°，所以與∠1互補(bǔ)的角有∠AEF、∠EFD共2個(gè)．A3．(2011·金華)如圖，有一塊含有45°角的直角三角板的兩個(gè)頂點(diǎn)放在直尺的對(duì)邊上．如果∠1＝20°，那么∠2的度數(shù)是

(

)A．30°B．25°C．20°D．15°

解析：∴AB∥CD，又∠3＋∠2＝45°，∴∠3＝∠1＝20°，∴∠2＝45°－∠3＝45°－20°＝25°.B4．(2011·紹興)如圖，已知AB//CD，BC平分∠ABE，∠C＝34°，則∠BED

的度數(shù)是(

)A．17°

B．34°C．56°

D．68°

解析：∵AB∥CD，∴∠C＝∠ABC＝34°，∠BED＝∠ABE.

又∵BC平分∠ABE，∴∠ABE＝2∠ABC＝2×34°＝68°，∴∠BED＝68°.D5．(2011·黃石)平面上不重合的兩點(diǎn)確定一條直線，不同三點(diǎn)最多可確定3條直線，若平面上不同的n個(gè)點(diǎn)最多可確定21條直線，則n的值為(

)A．5B．6C．7D．8

解析：平面上不同的幾個(gè)點(diǎn)最多可確定條直線，則＝21，n2－n－42＝0，(n－7)(n＋6)＝0，

n＝7或n＝－6(舍去)，所以n＝7.C題型分類深度剖析

題型一線段的計(jì)算

【例1】已知E、F兩點(diǎn)把線段AB分成2∶3∶4三部分，D是線段AB的中點(diǎn)，F(xiàn)B＝12，求DF的長(zhǎng)及AE：AD.

解：如圖，設(shè)AE＝2x，EF＝3x，F(xiàn)B＝4x，則AB＝9x.∵D是AB的中點(diǎn)，∴AD＝BD＝4.5x.∵FB＝12，∴4x＝12，x＝3.

又AF＝2x＋3x＝5x，∴DF＝5x－4.5x＝0.5x＝0.5×3＝1.5.∴AE∶AD＝2x∶4.5x＝2∶4.5＝4∶9.探究提高

在解答有關(guān)線段的計(jì)算問(wèn)題時(shí)，一般要注意以下幾個(gè)方面：

①按照題中已知條件畫(huà)出符合題意的圖形是正確解題的前提條件；

②學(xué)會(huì)觀察圖形，找出線段之間的關(guān)系，列算式或方程來(lái)解答．知能遷移1在直線l上，線段AB＝7cm，BC＝3cm，D是AC的中點(diǎn)，求DB的長(zhǎng)度．

解：(1)當(dāng)點(diǎn)C在線段AB延長(zhǎng)線上，如圖：有AC＝AB＋BC＝7＋3＝10.∵D是AC的中點(diǎn)，∴AD＝AC＝5.∴DB＝AB－AD＝7－5＝2(cm)．

(2)當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上，如圖：有AC＝AB－BC＝7－3＝4.∵D是AC的中點(diǎn)，∴AD＝CD＝AC＝2.∴DB＝DC＋CB＝2＋3＝5(cm)．綜上，DB的長(zhǎng)度為2cm或5cm.題型二相交線【例2】如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，OE⊥AB，垂足為O，如果∠EOD＝42°，則∠AOC＝________.

解析：∵OE⊥AB，∴∠AOE＝90°.∴∠AOC＋∠EOD＝180°－∠AOE＝90°.∵∠EOD＝42°，∴∠AOC＝90°－42°＝48°.探究提高當(dāng)已知中有“相交線”出現(xiàn)的時(shí)候，要充分挖掘其中隱含的“鄰補(bǔ)角和對(duì)頂角”，以幫助解題．48°知能遷移2

(1)(2010·寧波)如圖，直線AB與直線CD相交于點(diǎn)O，E是∠AOD內(nèi)一點(diǎn)，已知OE⊥AB，∠BOD＝45°，則∠COE的度數(shù)是(

)A．125°B．135°C．145°D．155°

解析：∵OE⊥AB，∴∠EOA＝90°.∵∠AOC＝∠BOD＝45°，∴∠COE＝∠EOA＋∠AOC＝90°＋45°＝135°.B(2)如圖，已知直線AB、CD相交于點(diǎn)O，OA平分∠EOC，若∠EOC＝100°，則∠BOD的度數(shù)是(

)A．20°B．40°C．50°D．80°

解析：∵OA平分∠EOC，∴∠AOC＝∠EOC＝×100°＝50°，∴∠BOD＝∠AOC＝50°.C題型三平行線【例3】

(1)如圖，點(diǎn)E在AD的延長(zhǎng)線上，下列條件中能判斷

BC∥AD的是(

)A．∠3＝∠4B．∠A＋∠ADC＝180°C．∠1＝∠2D．∠A＝∠5

解析：BC、AD被BD所截，當(dāng)∠1＝∠2時(shí)，BC∥AD，應(yīng)選C.C(2)如圖，a∥b，M、N分別在a、b上，P為兩平行線間一點(diǎn)，求∠1＋∠2＋∠3之和．解題示范——規(guī)范步驟，該得的分，一分不丟！

解:思路一：延長(zhǎng)MP交b于Q，因?yàn)閍∥b，所以∠1＝∠4，故∠1＋∠2＋∠3＝∠4＋∠2＋∠3，△PQN的三外角之和等于360°.思路二：連接MN，則原∠1被分成∠5、∠6之和，原∠3被分成∠7、∠8之和，又∠5＋∠8＝180°，∠2＋∠6＋∠7＝180°，所以∠1＋∠2＋∠3

＝(∠6＋∠2＋∠7)＋(∠5＋∠8)＝360°.思路三：過(guò)P畫(huà)c∥a，因?yàn)閍∥b，所以c∥b，原∠2被分成∠9、∠10之和，因?yàn)椤?＋∠9＝180°，∠3＋∠10＝180°，所以∠1＋∠2＋∠3＝360°.探究提高

本例中集中給出了多種輔助線的作法，以構(gòu)造平行線或構(gòu)造“三線八角”基本圖形為主要原則，利用平行線的性質(zhì)求角度．知能遷移3

(1)(2011·德州)如圖，直線l1∥l2,∠1＝40°，∠2＝75°，則∠3等于(

)A．55°B．60°C．65°D．70°解析：如右圖，在△ABC中，∠BAC＝∠2＝75°，∠ABC＝∠1＝40°.∴∠3＝180°－∠BAC－∠ABC＝65°.C(2)如圖，a∥b，∠1＝105°，∠2＝140°，則∠3的度數(shù)是(

)A．75°

B．65°

C．55°

D．50°解析：如圖，過(guò)點(diǎn)B畫(huà)，c∥a.∵a∥b，∴b∥c.∴∠1＋∠4＝180°，∠2＋∠5＝180°，∴∠4＝75°，∠5＝40°，∴∠3＝180°－∠4－∠5＝65°，選B.B題型四與直線交點(diǎn)個(gè)數(shù)有關(guān)的探究問(wèn)題【例4】閱讀下列材料并填空：

(1)探究：平面上有n個(gè)點(diǎn)(n≥2)且任意3個(gè)點(diǎn)不在同一條直線上，經(jīng)過(guò)每?jī)牲c(diǎn)畫(huà)一條直線，一共能畫(huà)多少條直線？我們知道，兩點(diǎn)確定一條直線，平面上有2個(gè)點(diǎn)時(shí)，可以畫(huà)＝1(條)直線；平面內(nèi)有3個(gè)點(diǎn)時(shí)，一共可以畫(huà)＝3(條)直線；平面上有4個(gè)點(diǎn)時(shí)，一共可以畫(huà)＝6(條)直線；平面內(nèi)有5個(gè)點(diǎn)時(shí)，一共可以畫(huà)

條直線……；平面上有n個(gè)點(diǎn)時(shí)，一共可以畫(huà)

條直線．＝10探究提高

此題給出了幾種特殊情況，從分子、分母數(shù)字的變化規(guī)律也可以得到探究結(jié)果，熟記本題的探究結(jié)果，對(duì)解決一些問(wèn)題會(huì)有所幫助．(2)遷移：某足球比賽中有n個(gè)球隊(duì)(n≥2)進(jìn)行單循環(huán)比賽(每?jī)申?duì)之間必須比賽一場(chǎng))，一共要進(jìn)行多少場(chǎng)比賽？有2個(gè)球隊(duì)時(shí)，要進(jìn)行＝1(場(chǎng))比賽，有3個(gè)球隊(duì)時(shí)，要進(jìn)行＝3(場(chǎng))比賽，有4個(gè)球隊(duì)時(shí)，要進(jìn)行__________場(chǎng)比賽．＝6知能遷移4

(1)(2011·柳州)如圖，點(diǎn)A、B、C是直線l上的三個(gè)點(diǎn)，圖中共有線段條數(shù)是(

)A．1條B．2條

C．3條D．4條解析：有三條線段AB、AC、BC.C(2)在某次商業(yè)聚會(huì)中，聚會(huì)結(jié)束后同桌的六個(gè)客人都互相握了手，聚會(huì)開(kāi)始時(shí)這六個(gè)客人也都互相問(wèn)了好，那么，他們一共有多少次握手，多少次問(wèn)好？

解：共握手＝15次，問(wèn)好6×5＝30次．13．因概念理解不清，造成角的計(jì)算錯(cuò)誤試題如圖，已知：∠AOB與∠BOC互為鄰補(bǔ)角，OD是∠AOB的平分線，OE在∠BOC內(nèi)，∠BOE＝∠EOC，∠DOE＝72°，求∠EOC的度數(shù)．學(xué)生答案展示∵OD是∠AOB的平分線，∴∠BOD＝∠AOB.∵∠BOE＝∠EOC，∴∠BOE＝∠BOC，∠EOC＝∠BOC，∵∠AOB＋∠BOC＝180°，∴∠EOC＝×180°＝60°.

答：∠EOC的度數(shù)是60°.易錯(cuò)警示剖析若不用方程的思想方法來(lái)考慮本題，可能無(wú)法下手，或以錯(cuò)誤告終．本題已知角度的數(shù)量關(guān)系及某一個(gè)角的度數(shù)，要求其他角的度數(shù)，因?yàn)榻o出度數(shù)的角∠DOE不能運(yùn)用角平分線，也不知∠DOE與其他角的任何關(guān)系，因此∠DOE＝72°，這個(gè)條件用不上，那么此時(shí)可以考慮在應(yīng)用題中學(xué)習(xí)的一種方法，當(dāng)某個(gè)量不知道或不好表示時(shí)，我們常用未知數(shù)把這個(gè)量設(shè)出來(lái)，其他的量也都可以用這個(gè)未知數(shù)表示出來(lái)，再列出方程解出這個(gè)未知數(shù)．當(dāng)然，未知數(shù)的設(shè)法有多種．正解設(shè)∠AOD＝x，∵OD是∠AOB的角平分線，∴∠BOD＝∠AOD＝x.

又∵∠DOE＝72°，∴∠BOE＝72°－x.∵∠BOE＝∠EOC，∴∠EOC＝2×(72°－x)．∵∠AOD＋∠DOB＋∠BOE＋∠EOC＝180°，∴x＋x＋(72°－x)＋2×(72°－x)＝180°.∴x＝36°，即∠AOD＝36°.∴∠EOC＝2×(72°－36°)＝72°.批閱筆記

本題采用間接設(shè)未知數(shù)的方法，設(shè)∠AOD＝x，則可知∠DOB＝x，∠BOE＝72°－x，∠EOC＝2×(72°－x)，最后利用∠AOD＋∠DOB＋∠BOE＋∠EOC＝180°這個(gè)等量關(guān)系列出方程解出x的值，利用方程的思想方法來(lái)解題，用代數(shù)的方法來(lái)解決幾何問(wèn)題.

方法與技巧

1.掌握平面幾何的基本概念，正確理解平面幾何的基本內(nèi)容和方法，是學(xué)好平面幾何的第一步．