特殊平行四邊形典型例題解析題

特殊平行四邊形典型例題解析題，設(shè)折痕EF與BD交于點(diǎn)O.∵點(diǎn)B與D重合，且ABCD是矩形∴BD是對(duì)角線，OB=OD=BC=8cm∵紙片沿EF折疊，∴BO∥EF，OD垂直于EF∴△BOD與折痕EF平行∴BO=DE，OD=BE又∵ABCD是矩形，∴AB=CD=6cm∴AE=BC=8cm∴△AEB與△DEC全等∴DE=AE=8cm∴BO=DE=8cm∴EF=BD-BO=12-8=4cm∴折痕EF的長為4cm.2.如圖，在直角三角形ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，D是BC上一點(diǎn)，且AD⊥BC，E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是AC上一點(diǎn)，且EF⊥AC，求證：DE=DF.解：連接AE、CD、DF，作DE的垂線DG.∵E是AB的中點(diǎn)，∴AE=EB=1.5∵∠B=90°，∴AC是△ABC的斜邊∴AC=5∵F是AC上一點(diǎn)，且EF⊥AC，∴EF是AC的高線∴EF=FC-EC=AC/2-EB=2∴△EFG與△ABC相似∴EG/AC=GF/BC∴EG=GF×AC/BC=2.4∴DG=DE-EG=1.5-2.4=-0.9又∵AD⊥BC，∴△ABD與△CBD相似∴BD2=AB×BC=12∴CD=BD-BC=2∴DG/CD=AG/AB∴AG=DG×AB/CD=-2.25又∵AF=AC-FC=3∴DF=AF-AD=3-AG-1.5=1.5∴DE=|-0.9|=0.9∴DE+DF=2.4=EF∴DE=DF∴得證：DE=DF.由折疊的意義可知：EF⊥BD，EF平分BD，因此BE=ED，BF=FD。又因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形，所以AB=CD，AD=BC，∠C=90°，AD∥BC。因此，∠EDO=∠FBO。由于點(diǎn)B和D重合，所以BO=DO，∠BOF=∠DOE，從而△BOF≌△DOE。由ED=BF，可知ED=BF=FD=BE，因此四邊形BFDE是菱形。根據(jù)菱形面積公式S=×BD×EF=BF×CD，可得S=1/2×8×7.5=30，因此折痕EF的長為7.5cm。當(dāng)平行四邊形ABCD滿足條件∠BAC=90°或AC=BD或OA=OB或∠ABC+∠ADC=180°或∠BAD+∠BCD=180°等條件中的任一個(gè)時(shí)，它成為矩形。例1：在菱形ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，求（1）∠AED的度數(shù)；（2）對(duì)角線AC的長；（3）菱形ABCD的面積。分析：由E為AB的中點(diǎn)可知DE是AB的垂直平分線，從而∠AED=90°，由于DE=EA=EB，所以△AED為等邊三角形，從而菱形中各角都可以求出。對(duì)角線互相垂直，可知AC2=AD2+DC2=2AD2，所以AC=AD√2。由菱形的解（1）連結(jié)BD，由于四邊形ABCD是菱形，所以BD是AC的垂直平分線，從而AC=2BD，又因?yàn)锳C=2AD√2，所以BD=AD√2。因此，菱形ABCD的面積為S=BD×AC/2=AD2。例2：在菱形ABCD中，以F為中心作圓，證明四邊形AFDE為矩形。分析：要證明四邊形AFDE為矩形，可以先證明AF=FD，而根據(jù)菱形的有關(guān)性質(zhì)不難證明，從而可以證得本題的結(jié)論。由菱形的性質(zhì)可知，AD=DC，∠ADC=120°，∠AFC=60°，所以∠AFD=∠ADC/2=60°，因此△AFD為等邊三角形，從而AF=FD。又因?yàn)镋F=DF，所以△AFE≌△DFE，從而∠AFE=∠DFE，所以∠AFD=∠EFD，因此四邊形AFDE為矩形。例3：在菱形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的一點(diǎn)，連結(jié)AC，求∠EAF的度數(shù)。解答：由四邊形ABCD為菱形可知，AC與BD互相垂直平分，因此∠BAD=∠BCD=45°，所以∠EAF=∠BAD+∠BCD=90°。例4：已知四邊形ABCD為菱形，AC與BD相交于點(diǎn)O，證明AO=CO。分析：要證明AO=CO，可以利用菱形的性質(zhì)證明。由于四邊形ABCD為菱形，所以AC與BD互相垂直平分，因此OA=OC，即AO=CO。分析：本題需要利用平行四邊形和菱形的性質(zhì)來解決。解：根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，對(duì)角線互相平分，因此可以得到$\triangleAOC\cong\triangleBOD$，進(jìn)而得到$AO=BO$，$CO=DO$。同時(shí)，根據(jù)菱形的性質(zhì)，對(duì)角線互相垂直平分，因此可以得到$OF=OE$。因此，$OF+OE=2OE=29-15=14$，所以$OE=7$。ABCD是一個(gè)平行四邊形，求它的周長。根據(jù)定義，平行四邊形的周長等于所有邊長的和。因此，ABCD的周長為AB+BC+CD+DA。答案為ABCD的周長=AB+BC+CD+DA。在平行四邊形ABCD中，已知AB=10，求周長。根據(jù)定義，平行四邊形的周長等于所有邊長的和。因此，ABCD的周長為AB+BC+CD+DA。由于ABCD是一個(gè)平行四邊形，所以AB=CD，BC=DA。因此，ABCD的周長為10+BC+CD+10=20+BC+CD。答案為ABCD的周長=20+BC+CD。已知平行四邊形ABCD中，DE和DF是兩條高，且ABCD的周長為36。從鈍角頂點(diǎn)D向AB和BC引兩條線段，求這個(gè)平行四邊形的面積。根據(jù)定義，平行四邊形的面積等于底邊長度乘以高。因此，ABCD的面積為DE×AB或DF×BC。由于DE=DF，AB=CD，BC